Никто не решил ➜ Удобная подстановка ➜ Решите уравнение ➜ x^3-3x+1=0
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 28 ก.ย. 2024
- Замена переменной для быстрого решения кубического уравнения.
Telegram: t.me/volkov_te...
Мой Дзен: zen.yandex.ru/...
Telegram 2: t.me/zhena_muz...
Группа ВК: volkovv...
Предыдущее видео: • Сократить дробь ➜ 1010...
Valery Volkov / valeryvolkov
Семейный Дзен: zen.yandex.ru/...
@arinablog наш семейный канал
/ @arinablog
Instagram: / volkovege
Twitter: / volkovege
Почта: uroki64@mail.ru
Поддержать: donationalerts....
Сложная, необычная замена. Спасибо за подробное решение.
Сделал замену x = U + k/U, подставил, подобрал нужное k, получил бикубическое уравнение. Нашел U^3 и для удобства свернул его по формуле Эйлера (так как он комплексным получился). Нашел U, подставил, преобразовал в косинус. Получилось x = -2 * cos(Pi/9 + 2*Pi*n/3).
Применяем готовый алгоритм Кардано для решения уравнения x³ + 3Px - 2Q = 0 в общем виде
D = Q² + P³
Если D ≥ 0, то x = ³√(Q + √D) + ³√(Q - √D)
Если D < 0, то T = √(-P),
x = 2T cos(⅓ arccos(Q/T³) + 2πk/3), k = 0, 1, 2.
В данном случае P = -1; Q = -1/2
D = 1/4 - 1 = -3/4 < 0
T = √1 = 1
Уравнение имеет три действительных корня:
x = 2cos(⅓ arccos (-1/2) + 120°k) = 2cos(⅓*120° + 120°k) = 2cos (40° + 120°k), k = 0, 1, 2
x1 = 2cos 40°
x2 = 2cos 160° = -2cos 20°
x3 = 2cos 280° = 2cos 80°
С ответом сходится.
готовый алгоритм применить можно, но приятнее понимать, что откуда взялось. В ролике же это наглядно было показано. В случает применения алгоритма - нет.
@@Salavat1k Как раз в случае готового алгоритма это понятно. Просто во избежание загромождения комментария я не стал приводить его вывод.
Что значит k=0, 1, 2?
@@wh1te_n1gga32 Это формула для трёх разных корней уравнения. Первый корень получается при подстановке в формулу k = 0, второй - при k = 1, третий - при k = 2.
@@Alexander-- спасибо
Как приятно, интригующе, а иногда и непросто, наблюдать и понимать, как Валерию " во всем хочется дойти до самой сути..." и как ему это удается.
Спасибо!
Я нахожу это странным. как женщина может найти удовольствие в этих уравнениях
@@fakeit6339 чë странного
Спасибо за решение! Только одно замечание. Выглядит так, что Вы угадали коэффициент 2 в подстановке. На самом деле его можно вычислить. Если есть подозрение на синус тройного угла, то коэффициенты при x^3 и x должны быть разного знака и относиться как 4:3. Пробуем x = k*y. После подстановки: k^3 / 4 == 3k /3. Откуда k^2 = 4.
Там коэффициент 2 взялся потому, что Х находится в промежутке от -2 до 2. А любой синус лежит от -1 до 1. Поэтому его и домножили на 2
Вот это поворот, не ожидал такой секрет в тригонометрии.
Если честно, вообще не помню замену х на тригонометрию. Конечно, сколько лет прошло, но всё-таки.
Похоже, это единственный путь взять три корня на прицел. Синус попадает в цель! ❤
невероятноооо. мне ОЧЕНЬ понравился момент с х=2sin(t)
Это скорее очень удачно подобрали корни, чем общее решение. Очень повезло, что формула синуса тройного угла вышла, о общем случае замена бы ничего не дала
@Виктор Мещеряков. О математике и себе (иногда). Начал анализировать, что то кажется, что не для любого уравнения общего вида:
x^3+bx+c=0 , можно сделать замену.
Первое, это необходимо чтобы b
@@АлексейЗолоторев-ы7ф Вы не указали, по модулю какого числа у Вас mod считается. 😁
Когда считаешь абсолютную величину числа, то это abs(), а когда mod, то это алгебраический термин, тут либо фактор-группа по модулю либо остаток от деления, т.е. x mod y = остаток от деления x на y, например, 3 mod 2 =1
Это стандартное решение. Тригонометрическую замену в случае 3 действительных корней, т.е. тогда, когда решение по алгоритму Кардано приводит к комплексным числам, предложил ещё Виет. Единственно, он использовал не синус, а косинус, но это не суть, решение сводится к косинусу тройного угла.
Нас в школе учили что если отрицательных коэффициентов не стоит перед скобками и иксы в скобках стоят на первом месте, то справа всегда +, а дальше знак производной меняется на противоположный в каждой точке, где степень нечетная
Учите квадратичную функцию, на ней построено 70% задач ЕГЭ
Впервые круто!))
Если задаться задачей не использовать синусы, а решить в условно числовом формате, то предлагаю для начала попытаться решить это уравнение как квадратное, относительно свободного члена 1 (x^3 - станет свободным членом, 3/2 * x - вторым коэффициентом и при 1^1 останется 1).
Занятные вещи выходят.
Если всё правильно сделал, то получилось два любопытных уравнения как корни квадратного:
x/4(3+- sqrt(9-16x))=1
или в упрощённом виде
x(3+- sqrt(9-16x))=4
При этом на x налагаются условия: x =< 9/16
И вот дальше я задумался как можно решить каждое из них по отдельности...
Та ты шо!!! Вот это круть! Однако Валера загнул! (Извиняюсь за фамильярность, но мои 70 лет (моё, блин, богатство) несколько притупили чувство такта).
Очень понравились как сама задача, так и её изложение. Спасибо!
Вот эта магия ещё та. Даже и не подумаешь, что тут может появиться тригонометрия.
Просто восхищён.
И математикой и решением автора.
класс ! круто! я всё понял!
Классно .Супер Очень красиво
Нисебе чего! Синусами решить кубическое уравнение
Спасибо. Показалось уж очень необычным, но интересным
Математика, как и картошка, ум в порядок приводит
Некая подстава(( как бы завлекается предложением некоей подстановки ведущей к получению решения в радикалах, а на деле известные методы с тригонометрией.
А я для анализа количества корней и промежутков где они расположены построил две функции : f(x) =-1/x и f(x) =x^2 - 3. Точки их пересечения расположены в промежутках один от - 2 до - 1, второй корень от 0 до 1, третий от 1 до 2. А дальше тот-же метод угадайка...
Это жесть !!
Объясните,пожалуйста,почему t ограничено +/-П/2
И почему меняем именно на синус
Полностью согласен.почему промежуток не от -П до +П
Потому что на этом промежутке синус пробегает все возможные значения от -1 до 1, а именно в этих пределах и лежат все значения x/2. Что же до того «почему меняем именно на синус», то с тем же успехом можно заменить на косинус, рассматривая промежуток от 0 до Pi, т.к. на этом отрезке косинус пробежит все значения от -1 до 1. Замену, сводящую решение таких уравнений к косинусу тройного угла, предложил ещё Франсуа Виет в 16 веке.
Круто впервые)
Добрый день.
Можете поделиться, каким софтом и инструментами пользуетесь при записи роликов?
Пишете явно не мышкой в Paint)))
Подскажите уровень учащегося способного провернуть такой финт? Какой класс или курс?
Он даёт почти всегда посложнее. Пора ему исправиться.
Спасибо, необычный подход
Да, действительно никто бы не решил, но очень интересно!
Я так и не понял чему Хе равно? ЦиХра де? :)
Думал про замену на синус, но там не увидел тройной угол.. Очень жоска!
Спасибо
Всегда теряюсь при необходимости тригонометрической подстановки...
Спасибо, мне понравилась задача
Вааау, очень круто
Красота!
классно! спасибо большое!
Я вообще не знал, что у обычного кубического уравнения с целыми кэфами корнями могут быть тригонометрические числа
Это просто удобная форма записи иррациональных чисел.
@@skeleton_man00 да, я понимаю. Я думал просто, что они вообще там не пересекаются
@@AEF23C20 ну тут числа то все радиальные, даже если через корень или синус записаны. А в примере целые коэффициенты и корни ирриациальные. Я не говорю, что что-то не так, просто не знал, что так может быть, не встречал раньше. Понятно, что у квадратного уравнения с целыми коэффициентами может быть корни с радикалами, но с синусами не видел никогда
Хотя наверное эти корни с синумами можно через радикалы записать, тяжело, но думаю как-то возможно. Тогда ничего необычного нет
@@resurgence1991 В том то и прикол, что отсюда и появилось понятие комплексных чисел. В данном случае при решении возникает т.н. _неприводимый случай,_ когда все корни вещественны, но требуются комплексные числа для выражения корней в радикалах.
Все рассказывают как круто, как круто. Надо знать решение, чтоб такую подстановку сделать.
Почему никого не смутило "Чтоб при движении по окружности дойти до первой первой точки 1/2 надо повернуться на 60 градусов" откуда Оо взяли 60 градусов (((
По окружности понятно, п/3 это 60 градусов, другого не дано, либо 30, либо два раза по 30.
Добрый вечер, почему при замене взяли интервал от минус пи/2 до пи/2 ??
Ну надо же догадаться до тригонометртческой постановки, сворачивающей все аккурат в синус тройного угла
Очень крутой пример.
Ничего не понятно, но очень интересно!!
Я в комменты зашёл и только этот комментарий понял. Боюсь я попал не в свой район😅
Очень сложно, можно разложить по формуле кубов
Мне не всегда понятно почему уходим в тригонометрию, можете дать ссылку или провести занятие в каких случаях переходим к синусам. Нас в институте учили, что любой корень можно найти с помощью сходящихся рядов в лимите.
А можно проще, т.к. ответы приблизительные всё равно?
Я сразу подумала о графиках:
x^3-3x+1=0;
x^3=3x-1;
y1=x^3 и y2=3x-1;
построим графики => получим точки пересечения графиков => значения абцисс этих точек и будут решениями данного квадратного уравнения-8коасс.
В условии сказано решить уравнение, но не огаваривается как, аналитически или графически.
@@ssa1591 нельзя приблизительные.Такие решения на ЕГЭ и экзаменах не засчитываются ( из опыта)
О ЕГЭ не было речи и не было сказано, что решать аналитически, а поэтому решаем тем способом какой проще.
Франсуа Виет такой вариант предложил, бо про комплексные числа не знал.
Почему нельзя решить обычным способом?
Главный вопрос, а на черто это всё нужно. И где это применить?
Очень круто. Откуда задание?
Мощно
Валерий, ты ж умный. Как мне тебе поставить второй лайк, не меняя аккаунт?
Невже один ти такий розумний, що ніхто не розв'язав? Менше піарся!
Все эти задачи мало полезны, ибо сконструированы каким-то автором на угадайку. Они не имеют универсального значения.
4:13 это откуда там 4 появилась? Там 4 должно быть...
Ниче не понял))мои лучшие годы прошли) теперь помню только названия)
новый способ для меня
опять кубические уравнения... ну чтож) я только научился их решать, я сделал собственный решатель кубических уравнений, он говорит: x = -1,879385, x = 1,532089, x = 0.3471964
капец. думала простое решение, а тут. даже не жалко, что час не сидела над этим. функции, экстремумы. я б в ту степь вообще б не пошла
Что такое "соседняя точка"?
Когда вышел за сигаретами в ларек и пошел через соседний город 😂
ведь в итоге х2=2
А, что подчитываем, картошку или яблоки?
Если по ф кордано дискриминант меньше нуля тогда надо через тригонометрию??? Не понял я подставил второй корень в калькулятор и корень не подходит. Тогда ошибка а решении?????
Да. В этом случае форм. Кардано (Cardano) не даёт результатов. Тогда нужно использовать тригоном. решение, применяя соотв. формулы.
Когда повернулис на 60 градусов, забыли палец наслюнявить и поднять вверх, а так ..- все верно.
Понятно, спасибо, но трудно догадаться, как заменить
да это охренеть, как можно придумать тригонометрическую замену в коротеньком кубическом уравнении?!? это физ-мат 3й уровень сложности? из какого сборника задача?
Это из начального курса матем. анализа 10(11)-х классов обычной средней школы. А что такое "это физ-мат 3й уровень сложности"? :)))
@@ajdarseidzade688 не надо мне рассказывать про "обычную среднюю школу", там такого и близко нет, я работал учителем математики. Такие вещи решают в физ-мат классах, а конкретно это задание похоже что не просто физ-мат, а ещё и повышенной сложности, а может и олимпиадное, потому что решение кубического уравнения перетекает в исследование функции и дальнейшую нетривиальную замену переменной с переходом в тригонометрию! А в сборниках задач для физ-мат классов задачи сгруппированы по сложности в три группы, вот про это я и спросил.
@@olegpisarenkov4908 Я учился в обычной средней школе. И у нас подобную замену Учительница (Людмила Алексеевна) проходила. Было это лет 30 с чем-то назад! Не могу покамест найти такую вещь в учебниках т.к. из-за того, что было давно и возможно это было на доп. (добровольно она их ввела!) занятиях. Сейчас очень мало таких учителей.
@@ajdarseidzade688 вот лет 30 назад, когда отношение к 9-10 классу было другое, на доп.занятиях возможно подобный пример и разбирали, уровня физ-мат класса - как вариант подготовки к экзаменам в технические вузы на физико-математические специальности, это я поверю. Но для обычной школы это очень круто, учительница была явным энтузиастом своего дела, действительно готовила к профильным ВУЗам значит.
Начало исследования очень похоже на метод Штурма
Занятно, но ответ не в радикалах - это обычно не то, что подразумевают под решением кубического уравнения
Начнем с того, что sin(pi/18) можно выразить в радикалах (исходя из известного синуса pi/6, придется решать кубическое уравнение с целыми коэффициентами - неважно как, пусть даже по Кардано). Ну тогда и синусы любых кратных pi/18 тоже выражаются в радикалах.
@@alexeygourevich6967 ну конечно можно выразить корни кубического уравнения с целыми коэффициентами в радикалах
Похоже, что автор уравнения зашифровал формулу тройного угла и сказал: "Нате, гадайте".
Вообще-то, тут уже надо уточнять, что понимать под решением. В радикалах от рациональных чисел (что в школе и подразумевают под решением алгебраических уравнений) действительно никто не решил, и не решит. А если нужно решение через тригонометрические функции, то проще прямо по формуле Кардано и формулу Эйлера для комплексных чисел.
Подобную замену где-то видел...
К сожалению задача угадайка, чтобы придумать такое решение, надо знать ее другое решение или знать ответы.
Если конечно действительно не повезло.
Практически все видеоролики Валерия построены "задом наперед", т.е. зная решение, придумываем задачу
Можно решить используя метод Кардано используя подстановку x=u+v
Вау, тригонометрия! А ты тут какими судьбами?
x = (-1 + √(-3)/3)^(1/3) + (-1 - √(-3)/3)^(1/3)
Это же не школьный уровень, да?
Я с синусами и графиками ничего не понял. Почему они взаимосвязаны.
зачем вообще нужно это решать!
Сработал бы данный трюк, если бы в уравнении присутствовал x^2?
Я читал про депрессивные кубические уравнения, но интересно, как можно перейти к общему решению
от x^2 легко избавиться заменой
Кому в жизни, это пригодилось и как?
Тригонометрию не помню...
Экзотика от Валерия Волкова 😅
Для меня это очень сложно
Ничего не понял, какаето ерунда. Вроде просто уравнение, а развазюкал черт извилину не заметит... тока голова разболелась. Проще примерчики давайте нам..проще и интереснее.
Не получается. Значения близкие, но не идентичные.
Скажите как сделать такую клетку в паинт, вы ж там работаете?
не могу никак найти
Фон с клеткой любого размера делается отдельно, например, в Фотошопе, на белом фоне, потом эта картинка открывается в Паинте и на ней идёт запись решения задачи.
@@ValeryVolkov а какой масштаб должен быть, или сколько пикселей изображение лучше выбирать ?
Примернл 1,88
Зачем расписывать разность квадратов, если (x)2=1, следовательно x=1 или -1???
Потому что потому
Шок, первая часть ЕГЭ по проф математике, а ей решить тяжело оказывается
Волков решает здесь диффур.уравнения, но никак не хочет решить x^x=3/4 без Ламберта
А можно решить это уравнение без тригонометрии?
Можно, но сложно. Два дискрименанта или три, но два точно, будут иметь отрицательные радикалы, а корни вещественные.
А без тригонометрии это можно решить?
Можно, по алгоритму Кардано. Но там решение сведётся к вычислению кубического корня из комплексного числа, а это, если по формуле Муавра решать, та же самая тригонометрия.
Это уравнение еще из СССР
Кто занимался вычислением синусов и косинусов 10 град, 20град, 40град должен помнить, что уравнение из этой оперы. Решения в радикалах не существует. Можно по Кардано предварительно проверить дискриминант, уравнение имеет три вещественных корня. Подставил Х=2cos(фи)√-P\3, по Виету, где P=-3.
"Решения в радикалах не существует" - неверно. Ответ, полученный Валерием, в радикалах можно выразить. Ну да, не очень красиво, зато в радикалах.
а на( x + 2) разделить нельзя?
Тригонометрическая подстановка...
Я не понял почему син 3 * син т - 4 син ^ 3 т это синус три т?
Формула синуса тройного угла
Как обычно бывает с тригонометрическими функциями - задача решена, а внятного ответа не найдено
Не понял замену на 4:20(
Это формула синуса тройного угла
sin3a = 3sina - 4sin³a
Как понять, в каких случаях следует применять такой творческий приём?
если есть возможность доказать, что корни лежат на отрезке [-1;1], то можно делать замену с синусом
но тут еще повезло, что все свернулось в синус тройного угла
в общем задача четко заточена под такое "элегантное решение"
@@АндрейЯковлев-ц2н Спасибо Вам большое, понял!
👍🙏🇰🇿
X^2+y^2 = 19451945, найти целые числа самым быстрым способом?
Борис Трушин показывал
Трушин уже разбирал. Произведение суммы двух квадратов
У Б.Трушина на канале есть ролик по этому примеру. Там есть красивый метод решения.
@@dmitrygurban8635 можно пожалуйста ссылку?
Жесть. Пока не понял
Откуда вдруг взялась тригонометрия?