Изучаем историю математики: Франсуа Виет (1540-1603) независимо вывел решение кубического уравнения с тремя действительными корнями. Его решение было основано на тригонометрической формуле *_(2cosФ)^3 - 3(2cosФ)=2cos(3Ф)_* . В частности, подстановка *_x=2a cosФ_* приводит уравнение *_x^3 - 3 a^2 x=a^2 b_* к виду *_2a cos(3Ф)=b_* .
т.к. я физик, то я решила не заморачиваться, а просто построить 2 графика: y = x^3 и y = 3x - 1. Я сразу увидела, что есть 3 пересечения, т.е.3 корня, причем лежащие в интервале от 2 до -2. Я даже не пользовалась большой точностью и все нарисовала от руки. Я получила приблизительные корни -1.9, 0.35 и 1.5. Разници оказалась меньше 10%, что вполне удовлетворяет погрешностям эксперимента. Я понимаю, что вызову бурю негатива среди чистых математиков, но хотя бы путь определения количества корней гораздо проще.
Пользуюсь тем же методом. Тоже не понимаю смысла заморачиваться с тригонометрией при решении подобных уравнений. Поскольку имею довольно большой опыт программирования, то имею привычку скрупулезно проверять результаты. Получен тот же результат, а более точные значения - -1.88, 0.349, 1.532.😊
Да не то чтобы прям бурю негатива, но все же метод некорректный. Нет оснований полагать, что в графике нет ошибки. Более того, определение количества корней через производную матерые математики могут сделать в уме, в отличие от графика, для которого нужна ручка и бумага в клеточку. Знаю, в уме также мало оснований, что не допущено ошибки, но сухие расчеты всегда проще в плане выявления ошибки, чем графический метод решения.
@@andreyfom-zv3gp Для того, чтобы узнать есть ошибка или нет достаточно подставить полученное значение в уравнение, проверив таким образом равенство. Не вижу никакой проблемы, зато вижу сразу количество корней в уравнении.
Сделал замену x = U + k/U, подставил, подобрал нужное k, получил бикубическое уравнение. Нашел U^3 и для удобства свернул его по формуле Эйлера (так как он комплексным получился). Нашел U, подставил, преобразовал в косинус. Получилось x = -2 * cos(Pi/9 + 2*Pi*n/3).
Как приятно, интригующе, а иногда и непросто, наблюдать и понимать, как Валерию " во всем хочется дойти до самой сути..." и как ему это удается. Спасибо!
Применяем готовый алгоритм Кардано для решения уравнения x³ + 3Px - 2Q = 0 в общем виде D = Q² + P³ Если D ≥ 0, то x = ³√(Q + √D) + ³√(Q - √D) Если D < 0, то T = √(-P), x = 2T cos(⅓ arccos(Q/T³) + 2πk/3), k = 0, 1, 2. В данном случае P = -1; Q = -1/2 D = 1/4 - 1 = -3/4 < 0 T = √1 = 1 Уравнение имеет три действительных корня: x = 2cos(⅓ arccos (-1/2) + 120°k) = 2cos(⅓*120° + 120°k) = 2cos (40° + 120°k), k = 0, 1, 2 x1 = 2cos 40° x2 = 2cos 160° = -2cos 20° x3 = 2cos 280° = 2cos 80° С ответом сходится.
готовый алгоритм применить можно, но приятнее понимать, что откуда взялось. В ролике же это наглядно было показано. В случает применения алгоритма - нет.
@@Lol18372 Это формула для трёх разных корней уравнения. Первый корень получается при подстановке в формулу k = 0, второй - при k = 1, третий - при k = 2.
Спасибо за решение! Только одно замечание. Выглядит так, что Вы угадали коэффициент 2 в подстановке. На самом деле его можно вычислить. Если есть подозрение на синус тройного угла, то коэффициенты при x^3 и x должны быть разного знака и относиться как 4:3. Пробуем x = k*y. После подстановки: k^3 / 4 == 3k /3. Откуда k^2 = 4.
Это скорее очень удачно подобрали корни, чем общее решение. Очень повезло, что формула синуса тройного угла вышла, о общем случае замена бы ничего не дала
@Виктор Мещеряков. О математике и себе (иногда). Начал анализировать, что то кажется, что не для любого уравнения общего вида: x^3+bx+c=0 , можно сделать замену. Первое, это необходимо чтобы b
@@АлексейЗолоторев-ы7ф Вы не указали, по модулю какого числа у Вас mod считается. 😁 Когда считаешь абсолютную величину числа, то это abs(), а когда mod, то это алгебраический термин, тут либо фактор-группа по модулю либо остаток от деления, т.е. x mod y = остаток от деления x на y, например, 3 mod 2 =1
Это стандартное решение. Тригонометрическую замену в случае 3 действительных корней, т.е. тогда, когда решение по алгоритму Кардано приводит к комплексным числам, предложил ещё Виет. Единственно, он использовал не синус, а косинус, но это не суть, решение сводится к косинусу тройного угла.
У уравнения нет рациональных корней. Это следует из теоремы о рациональных корнях. f(2)>0, f(1)0. У уравнения иррациональные корни. В данном случае удобно воспользоваться формулой косинуса или синуса тройного угла. 2cos(t)=x 8(cost)^3-6cos(t)+1=0 cos(3t)=-1/2 Найдя два иррациональных корня, третий можно вычислить по теореме Виета x1+x2+x3=0.
Можно уйти в комплексные числа и получить практически тот же ответ, сделав подстановку x = u + k/u, где k = 1. Далее получается незатейливое квадратное уравнение с комплексными корнями, а дальше через преобразования ищутся 3 действительных корня.
Насколько понял тут так: 1. Тригонометрическая подстановка - один из методов подстановки (замены переменной) и используется в тех случаях, когда область определения (ОО) исходного уравнения совпадает с областью значения тригонометрической функции или включается в эту область. 2. Находим, с помощь производной, ОО для нашего уравнения. Видим, что она находится тут (-2;2) и причем функция нашего ур-ия пересекает '0' три раза в этой ОО. На "симметричность" и прочие возможны признаки (периодичность например), получается, не обращаем внимания (?). И исходя из этих пунктов решаем, что можно применить соотв. тригонометрическую подстановку. Т.е. надеемся использовать, в дальнейшем, свойства тригонометрических выражений для решения нашего уравнения. А решить же, например, с помощью разложения на множители у нас не выходит т.к. не получается (не всегда же "легкие" бывают уравнения - которые раскладываются на множители). И поэтому мы применили такой метод подстановки тут.
Нупочему? Потому что корни лежат в пределах от -2 до 2 А синус и косинус могу принимать значения от -1 до 1 По сути синусц и косинусы это такие же простые числа, просто иногда иррациональные
Нас в школе учили что если отрицательных коэффициентов не стоит перед скобками и иксы в скобках стоят на первом месте, то справа всегда +, а дальше знак производной меняется на противоположный в каждой точке, где степень нечетная
Та ты шо!!! Вот это круть! Однако Валера загнул! (Извиняюсь за фамильярность, но мои 70 лет (моё, блин, богатство) несколько притупили чувство такта). Очень понравились как сама задача, так и её изложение. Спасибо!
а почему бы не использовать вторую производную для определения тип экстремума? тогда меньше подстановок и расчётов (отрицательное - максимум, положительное - минимум, ноль - точка перегиба)
Потому что на этом промежутке синус пробегает все возможные значения от -1 до 1, а именно в этих пределах и лежат все значения x/2. Что же до того «почему меняем именно на синус», то с тем же успехом можно заменить на косинус, рассматривая промежуток от 0 до Pi, т.к. на этом отрезке косинус пробежит все значения от -1 до 1. Замену, сводящую решение таких уравнений к косинусу тройного угла, предложил ещё Франсуа Виет в 16 веке.
Если задаться задачей не использовать синусы, а решить в условно числовом формате, то предлагаю для начала попытаться решить это уравнение как квадратное, относительно свободного члена 1 (x^3 - станет свободным членом, 3/2 * x - вторым коэффициентом и при 1^1 останется 1). Занятные вещи выходят. Если всё правильно сделал, то получилось два любопытных уравнения как корни квадратного: x/4(3+- sqrt(9-16x))=1 или в упрощённом виде x(3+- sqrt(9-16x))=4 При этом на x налагаются условия: x =< 9/16 И вот дальше я задумался как можно решить каждое из них по отдельности...
До тригонометрической замены не додумался, решил по формуле Кардано, получил корень x1=((½(-1+i√3))^⅓)+((½(-1-i√3))^⅓). Дальше схема Горнера и еще два корня (для удобства прочтения запишу их как зависимые от х1): ½(-x1±i√(3(x1)²+12)). Мы не ищем легких путей)
в итоге чему х то равен? ответ аля 2sin p/18 меня не удовлетворяет, его нельзя "пощупать" как например число 5 и как сделать проверку правильности полученных ответов, если такая тигамотина вышла?
Очень крутая замена и (!) используется в современных математических библиотеках для ПК. П.С. - видео мне попалось случайно в "Рекомендациях от Ютубе" и еще раз, лишний раз убедился насколько полезен канал Валерия Волкова. -> Уважаемый Ютуб! Может восстановите "монетизацию" на данном очень полезном канале для всех? Т.е. на канале для многих людей из разных стран. Чтобы у автора канал был хоть небольшой стимул.
Не смотрел видео, но можно решить вполне в лоб. Делаем стандартную подстановку для приведенного кубического вида x = y - p/3y. p = -3 => x = y + 1/y. После упрощений выходит y⁶ + y³ + 1 = 0 Решаем относительно y³. D = 1 - 4 = -3. y³ = -1/2 ± i√3/2 Подстановкой находим, что подходит только -1/2 + i√3/2. Переходя к тригонометрической записи видим, что это cos(2PI/3) + i*sin(2PI/3). Стало быть кубический корень y = cos(2PI/9) + i*sin(2PI/9) Далее, для вычисления подстановки y + 1/y рассмотрим a + ib + 1/(a +ib), где a = cos(2PI/9), b = sin(2PI/9). В последствии всех преобразований и факта, что a² + b² = 1, получаем x₃ = 2cos(2PI/9). Первый корень найден. (Обозначили как x₃ ибо в дальнейшем будет квадратное уравнение со своей парой корней.) Разделим исходный многочлен на x - 2cos(2PI/9). Получаем без остатка квадратную форму x² + 2xcos(2PI/9) + (4cos²(2PI/9) - 3), (На калькуляторе можно проверить, что (4cos²(2PI/9) - 3) * 2cos(2PI/9) = 1. Это не обман, поскольку многочлен обязан делиться на один из корней без остатка .) Ну и теперь решаем стандартно через дискриминант. После всех преобразований (привнося фазовый угол PI/6 в синус) получим x₁ = 2sin(PI/18), x₂ = -2sin(7PI/18). Ответ: x₁ = 2sin(PI/18), x₂ = -2sin(7PI/18), x₃ = 2cos(2PI/9)
Прям как в известном карикатурном сюжете. Стоит, значит, профессор рядом с огромной доской, испещренными формулами и говорит: «Вот путем таких несложных преобразований мы и получили искомые корни...».
"Чтобы дойти до точки надо повернуть влево по стрелке"-это понятно.Но как решить уравнение:(х-1)(х^2+х-2)=1 чтобы получить корни в цифрах,а не синусах-это и предстоит выяснить:)...Заморочился и прикинул ответ 2->2sin(pi/18)получилось упростить->i*(-exp(-pi*i/18) + exp(pi*i/18))
А я для анализа количества корней и промежутков где они расположены построил две функции : f(x) =-1/x и f(x) =x^2 - 3. Точки их пересечения расположены в промежутках один от - 2 до - 1, второй корень от 0 до 1, третий от 1 до 2. А дальше тот-же метод угадайка...
@@luarluarwick8304 да знаю я все Просто решение кубических уравнений дело сложное, а подстановка тригонометрии может в этом помочь Хотя этот способ и сложный
Мне не всегда понятно почему уходим в тригонометрию, можете дать ссылку или провести занятие в каких случаях переходим к синусам. Нас в институте учили, что любой корень можно найти с помощью сходящихся рядов в лимите.
А можно проще, т.к. ответы приблизительные всё равно? Я сразу подумала о графиках: x^3-3x+1=0; x^3=3x-1; y1=x^3 и y2=3x-1; построим графики => получим точки пересечения графиков => значения абцисс этих точек и будут решениями данного квадратного уравнения-8коасс. В условии сказано решить уравнение, но не огаваривается как, аналитически или графически.
@@AEF23C20 ну тут числа то все радиальные, даже если через корень или синус записаны. А в примере целые коэффициенты и корни ирриациальные. Я не говорю, что что-то не так, просто не знал, что так может быть, не встречал раньше. Понятно, что у квадратного уравнения с целыми коэффициентами может быть корни с радикалами, но с синусами не видел никогда
@@resurgence1991 В том то и прикол, что отсюда и появилось понятие комплексных чисел. В данном случае при решении возникает т.н. _неприводимый случай,_ когда все корни вещественны, но требуются комплексные числа для выражения корней в радикалах.
@@arzumanabbasov9085 Я так же ответил, когда подбирал числа и подтвердил это графическим решением, но меня больше интересует обычный способ решения, то есть не только ответы
Рассмотрим первое уравнение. x + √y = 11 x + √y - 2 = 9 √y - 2 = 9 - x √y - 2 = (3-√x)*(3+√x) Рассмотрим второе уравнение. √x + y = 7 √x + y - 3 = 4 √x - 3 = 4 - y √x - 3 = (2-√y)*(2+√y) Перемножим первое на второе. (√y-2)*(√x-3) = (3-√x)*(3+√x)*(2-√y)*(2+√y) В правой части уравнения в первой и третьей скобках вынесем -1 за скобки. -1 на -1 дают 1. (√y-2)*(√x-3) = (√x-3)*(3+√x)*(√y-2)*(2+√y) А дальше всё по стандартной схеме. (√y-2)*(√x-3) - (√x-3)*(3+√x)*(√y-2)*(2+√y) = 0 (√y-2)*(√x-3)*(1 - (2+√y)*(3+√x)) = 0 √y-2=0; y=4 √x-3; x=9 1 - (2+√y)*(3+√x) = 0 (2+√y)*(3+√x) = 1 Зная, что x>0 и y>0, понимаем, что (3+√x)>3, а (2+√y)>2, и умножение двух этих скобок единицу давать ника не может. Соответственно, в третьем уравнении корней нет. Значит, x=9, y=4
Фон с клеткой любого размера делается отдельно, например, в Фотошопе, на белом фоне, потом эта картинка открывается в Паинте и на ней идёт запись решения задачи.
Если выразить аргументы получившихся тригонометрических корней в градусах, то ни одна градусная мера из них не будет кратна трём. Это означает, что их нельзя выразить в действительных радикалах. Так что совсем без букв не обойтись, хотя бы несколько i понадобится.
Сработал бы данный трюк, если бы в уравнении присутствовал x^2? Я читал про депрессивные кубические уравнения, но интересно, как можно перейти к общему решению
Все рассказывают как круто, как круто. Надо знать решение, чтоб такую подстановку сделать. Почему никого не смутило "Чтоб при движении по окружности дойти до первой первой точки 1/2 надо повернуться на 60 градусов" откуда Оо взяли 60 градусов (((
Вот это поворот, не ожидал такой секрет в тригонометрии.
Если честно, вообще не помню замену х на тригонометрию. Конечно, сколько лет прошло, но всё-таки.
Похоже, это единственный путь взять три корня на прицел. Синус попадает в цель! ❤
Сложная, необычная замена. Спасибо за подробное решение.
Изучаем историю математики:
Франсуа Виет (1540-1603) независимо вывел решение кубического уравнения с тремя действительными корнями.
Его решение было основано на тригонометрической формуле *_(2cosФ)^3 - 3(2cosФ)=2cos(3Ф)_* .
В частности, подстановка *_x=2a cosФ_* приводит уравнение *_x^3 - 3 a^2 x=a^2 b_* к виду *_2a cos(3Ф)=b_* .
Что тут тригонометрией пахнет ясно. Непонятна запись формулы, что вы приводите.
Это тот самый Виет?
😮😮
😮
т.к. я физик, то я решила не заморачиваться, а просто построить 2 графика: y = x^3 и y = 3x - 1. Я сразу увидела, что есть 3 пересечения, т.е.3 корня, причем лежащие в интервале от 2 до -2. Я даже не пользовалась большой точностью и все нарисовала от руки. Я получила приблизительные корни -1.9, 0.35 и 1.5. Разници оказалась меньше 10%, что вполне удовлетворяет погрешностям эксперимента. Я понимаю, что вызову бурю негатива среди чистых математиков, но хотя бы путь определения количества корней гораздо проще.
Причем это не сильно хуже, чем потом:
x1 = 2cos 40°
x2 = 2cos 160° = -2cos 20°
x3 = 2cos 280° = 2cos 80°
вычислять без калькулятора.
Пользуюсь тем же методом. Тоже не понимаю смысла заморачиваться с тригонометрией при решении подобных уравнений. Поскольку имею довольно большой опыт программирования, то имею привычку скрупулезно проверять результаты. Получен тот же результат, а более точные значения - -1.88, 0.349, 1.532.😊
Да не то чтобы прям бурю негатива, но все же метод некорректный. Нет оснований полагать, что в графике нет ошибки. Более того, определение количества корней через производную матерые математики могут сделать в уме, в отличие от графика, для которого нужна ручка и бумага в клеточку. Знаю, в уме также мало оснований, что не допущено ошибки, но сухие расчеты всегда проще в плане выявления ошибки, чем графический метод решения.
@@andreyfom-zv3gp Для того, чтобы узнать есть ошибка или нет достаточно подставить полученное значение в уравнение, проверив таким образом равенство. Не вижу никакой проблемы, зато вижу сразу количество корней в уравнении.
Я тоже сразу решил использовать графический метод
Сделал замену x = U + k/U, подставил, подобрал нужное k, получил бикубическое уравнение. Нашел U^3 и для удобства свернул его по формуле Эйлера (так как он комплексным получился). Нашел U, подставил, преобразовал в косинус. Получилось x = -2 * cos(Pi/9 + 2*Pi*n/3).
Как приятно, интригующе, а иногда и непросто, наблюдать и понимать, как Валерию " во всем хочется дойти до самой сути..." и как ему это удается.
Спасибо!
Я нахожу это странным. как женщина может найти удовольствие в этих уравнениях
@@fakeit6339 чë странного
Сложно. Это и расстраивает( Но переход к тригонометрии понятен. И это обнадеживает).Спасибо, Валерий Викторович.
Применяем готовый алгоритм Кардано для решения уравнения x³ + 3Px - 2Q = 0 в общем виде
D = Q² + P³
Если D ≥ 0, то x = ³√(Q + √D) + ³√(Q - √D)
Если D < 0, то T = √(-P),
x = 2T cos(⅓ arccos(Q/T³) + 2πk/3), k = 0, 1, 2.
В данном случае P = -1; Q = -1/2
D = 1/4 - 1 = -3/4 < 0
T = √1 = 1
Уравнение имеет три действительных корня:
x = 2cos(⅓ arccos (-1/2) + 120°k) = 2cos(⅓*120° + 120°k) = 2cos (40° + 120°k), k = 0, 1, 2
x1 = 2cos 40°
x2 = 2cos 160° = -2cos 20°
x3 = 2cos 280° = 2cos 80°
С ответом сходится.
готовый алгоритм применить можно, но приятнее понимать, что откуда взялось. В ролике же это наглядно было показано. В случает применения алгоритма - нет.
@@Salavat1k Как раз в случае готового алгоритма это понятно. Просто во избежание загромождения комментария я не стал приводить его вывод.
Что значит k=0, 1, 2?
@@Lol18372 Это формула для трёх разных корней уравнения. Первый корень получается при подстановке в формулу k = 0, второй - при k = 1, третий - при k = 2.
@@Alexander-- спасибо
Спасибо за решение! Только одно замечание. Выглядит так, что Вы угадали коэффициент 2 в подстановке. На самом деле его можно вычислить. Если есть подозрение на синус тройного угла, то коэффициенты при x^3 и x должны быть разного знака и относиться как 4:3. Пробуем x = k*y. После подстановки: k^3 / 4 == 3k /3. Откуда k^2 = 4.
Там коэффициент 2 взялся потому, что Х находится в промежутке от -2 до 2. А любой синус лежит от -1 до 1. Поэтому его и домножили на 2
невероятноооо. мне ОЧЕНЬ понравился момент с х=2sin(t)
Мне нравится, когда Вы говорите перед решением задач "Для начала мы..."
О! Впервые было круто ))))
👏👏👏👏👏👏👏👏
Шикарный пример!!!!!!!
Спасибо, профессор!!!
Я уже раз 10 пересмотрел, ну очень увлекательно, спасибо Валерий!❤️👍
Это скорее очень удачно подобрали корни, чем общее решение. Очень повезло, что формула синуса тройного угла вышла, о общем случае замена бы ничего не дала
@Виктор Мещеряков. О математике и себе (иногда). Начал анализировать, что то кажется, что не для любого уравнения общего вида:
x^3+bx+c=0 , можно сделать замену.
Первое, это необходимо чтобы b
@@АлексейЗолоторев-ы7ф Вы не указали, по модулю какого числа у Вас mod считается. 😁
Когда считаешь абсолютную величину числа, то это abs(), а когда mod, то это алгебраический термин, тут либо фактор-группа по модулю либо остаток от деления, т.е. x mod y = остаток от деления x на y, например, 3 mod 2 =1
Это стандартное решение. Тригонометрическую замену в случае 3 действительных корней, т.е. тогда, когда решение по алгоритму Кардано приводит к комплексным числам, предложил ещё Виет. Единственно, он использовал не синус, а косинус, но это не суть, решение сводится к косинусу тройного угла.
У уравнения нет рациональных корней. Это следует из теоремы о рациональных корнях.
f(2)>0, f(1)0. У уравнения иррациональные корни. В данном случае удобно воспользоваться формулой косинуса или синуса тройного угла.
2cos(t)=x
8(cost)^3-6cos(t)+1=0
cos(3t)=-1/2
Найдя два иррациональных корня, третий можно вычислить по теореме Виета x1+x2+x3=0.
Отличный пример, прекрасное решение . Давно написан был задачник Гюнтер Кузьмин похожих задач было достаточно для шлифовки мастерства...
Отличный пример! Большой лайк!
Можно уйти в комплексные числа и получить практически тот же ответ, сделав подстановку x = u + k/u, где k = 1. Далее получается незатейливое квадратное уравнение с комплексными корнями, а дальше через преобразования ищутся 3 действительных корня.
Ты б еще квадрионы применил... что за дурилка.
извините а можно ссылку на видео где объясняется как и почему можно делать такую геометрическую подстановку ?
плюсую
"почему можно"
а почему может быть нельзя?
другое дело, что "повезло":
1) что все корни на промежутке (-2;2)
2) "свернуть" все в синус тройного угла
«Как» и «почему» - нет ответа на этот вопрос. Нужно догадаться.
Насколько понял тут так:
1. Тригонометрическая подстановка - один из методов подстановки (замены переменной) и используется в тех случаях, когда область определения (ОО) исходного уравнения совпадает с областью значения тригонометрической функции или включается в эту область.
2. Находим, с помощь производной, ОО для нашего уравнения. Видим, что она находится тут (-2;2) и причем функция нашего ур-ия пересекает '0' три раза в этой ОО. На "симметричность" и прочие возможны признаки (периодичность например), получается, не обращаем внимания (?).
И исходя из этих пунктов решаем, что можно применить соотв. тригонометрическую подстановку. Т.е. надеемся использовать, в дальнейшем, свойства тригонометрических выражений для решения нашего уравнения. А решить же, например, с помощью разложения на множители у нас не выходит т.к. не получается (не всегда же "легкие" бывают уравнения - которые раскладываются на множители). И поэтому мы применили такой метод подстановки тут.
Нупочему? Потому что корни лежат в пределах от -2 до 2
А синус и косинус могу принимать значения от -1 до 1
По сути синусц и косинусы это такие же простые числа, просто иногда иррациональные
Впервые круто! )))
Нас в школе учили что если отрицательных коэффициентов не стоит перед скобками и иксы в скобках стоят на первом месте, то справа всегда +, а дальше знак производной меняется на противоположный в каждой точке, где степень нечетная
Учите квадратичную функцию, на ней построено 70% задач ЕГЭ
О, впервые круто! )))
Та ты шо!!! Вот это круть! Однако Валера загнул! (Извиняюсь за фамильярность, но мои 70 лет (моё, блин, богатство) несколько притупили чувство такта).
Очень понравились как сама задача, так и её изложение. Спасибо!
Вот эта магия ещё та. Даже и не подумаешь, что тут может появиться тригонометрия.
Спасибо, очень остоумное решение.
nice and original solution. greetings from Israel
Shalom! Thanks!
класс ! круто! я всё понял!
Просто восхищён.
И математикой и решением автора.
Супер-задача! Замечательный разбор!
а почему бы не использовать вторую производную для определения тип экстремума? тогда меньше подстановок и расчётов (отрицательное - максимум, положительное - минимум, ноль - точка перегиба)
Спасибо. Показалось уж очень необычным, но интересным
Объясните,пожалуйста,почему t ограничено +/-П/2
И почему меняем именно на синус
Полностью согласен.почему промежуток не от -П до +П
Потому что на этом промежутке синус пробегает все возможные значения от -1 до 1, а именно в этих пределах и лежат все значения x/2. Что же до того «почему меняем именно на синус», то с тем же успехом можно заменить на косинус, рассматривая промежуток от 0 до Pi, т.к. на этом отрезке косинус пробежит все значения от -1 до 1. Замену, сводящую решение таких уравнений к косинусу тройного угла, предложил ещё Франсуа Виет в 16 веке.
Классно .Супер Очень красиво
Спасибо, необычный подход
Нисебе чего! Синусами решить кубическое уравнение
Порадовали... Спасибо.)
Если задаться задачей не использовать синусы, а решить в условно числовом формате, то предлагаю для начала попытаться решить это уравнение как квадратное, относительно свободного члена 1 (x^3 - станет свободным членом, 3/2 * x - вторым коэффициентом и при 1^1 останется 1).
Занятные вещи выходят.
Если всё правильно сделал, то получилось два любопытных уравнения как корни квадратного:
x/4(3+- sqrt(9-16x))=1
или в упрощённом виде
x(3+- sqrt(9-16x))=4
При этом на x налагаются условия: x =< 9/16
И вот дальше я задумался как можно решить каждое из них по отдельности...
До тригонометрической замены не додумался, решил по формуле Кардано, получил корень x1=((½(-1+i√3))^⅓)+((½(-1-i√3))^⅓). Дальше схема Горнера и еще два корня (для удобства прочтения запишу их как зависимые от х1): ½(-x1±i√(3(x1)²+12)). Мы не ищем легких путей)
А это какой язык вообще?
в итоге чему х то равен? ответ аля 2sin p/18 меня не удовлетворяет, его нельзя "пощупать" как например число 5 и как сделать проверку правильности полученных ответов, если такая тигамотина вышла?
Проверка зд. трудновата. Для решения есть готовые формулы. Тогда проверка ненужна.
Круто впервые)
Это, просто, нечто!!!
Примерчик на -УРА!
Очень крутая замена и (!) используется в современных математических библиотеках для ПК.
П.С. - видео мне попалось случайно в "Рекомендациях от Ютубе" и еще раз, лишний раз убедился насколько полезен канал Валерия Волкова. ->
Уважаемый Ютуб! Может восстановите "монетизацию" на данном очень полезном канале для всех? Т.е. на канале для многих людей из разных стран. Чтобы у автора канал был хоть небольшой стимул.
Подскажите уровень учащегося способного провернуть такой финт? Какой класс или курс?
Он даёт почти всегда посложнее. Пора ему исправиться.
Неожиданный поворот при решении...👍
Не смотрел видео, но можно решить вполне в лоб.
Делаем стандартную подстановку для приведенного кубического вида x = y - p/3y. p = -3 => x = y + 1/y.
После упрощений выходит
y⁶ + y³ + 1 = 0
Решаем относительно y³.
D = 1 - 4 = -3.
y³ = -1/2 ± i√3/2
Подстановкой находим, что подходит только -1/2 + i√3/2.
Переходя к тригонометрической записи видим, что это cos(2PI/3) + i*sin(2PI/3).
Стало быть кубический корень
y = cos(2PI/9) + i*sin(2PI/9)
Далее, для вычисления подстановки y + 1/y рассмотрим a + ib + 1/(a +ib), где a = cos(2PI/9), b = sin(2PI/9).
В последствии всех преобразований и факта, что a² + b² = 1, получаем
x₃ = 2cos(2PI/9). Первый корень найден. (Обозначили как x₃ ибо в дальнейшем будет квадратное уравнение со своей парой корней.)
Разделим исходный многочлен на x - 2cos(2PI/9).
Получаем без остатка квадратную форму
x² + 2xcos(2PI/9) + (4cos²(2PI/9) - 3),
(На калькуляторе можно проверить, что (4cos²(2PI/9) - 3) * 2cos(2PI/9) = 1. Это не обман, поскольку многочлен обязан делиться на один из корней без остатка .)
Ну и теперь решаем стандартно через дискриминант. После всех преобразований (привнося фазовый угол PI/6 в синус) получим
x₁ = 2sin(PI/18), x₂ = -2sin(7PI/18).
Ответ: x₁ = 2sin(PI/18), x₂ = -2sin(7PI/18), x₃ = 2cos(2PI/9)
Внезапное перенесение в тригонометрию, красота!
Спасибо, мне понравилась задача
Вааау, очень круто
Прям как в известном карикатурном сюжете. Стоит, значит, профессор рядом с огромной доской, испещренными формулами и говорит: «Вот путем таких несложных преобразований мы и получили искомые корни...».
Очень круто. Откуда задание?
Красота!
А выразить в радикалах?
классно! спасибо большое!
Спасибо! Красивое решение.
Спасибо, Валерий.
Да, действительно никто бы не решил, но очень интересно!
Круто, впервые круто!!!)
Добрый день.
Можете поделиться, каким софтом и инструментами пользуетесь при записи роликов?
Пишете явно не мышкой в Paint)))
Думал про замену на синус, но там не увидел тройной угол.. Очень жоска!
Добрый вечер, почему при замене взяли интервал от минус пи/2 до пи/2 ??
Вау вот это способ решения. Я в 10 классе, и я ни за что в жинзи не догадался бы до этого решения
двоечник, ремня бы всыпать
Hо есть готовые формулы для реш. куб. уравнений. Тогда становится решать гораздо легче. Валера этого избегает.
Это жесть !!
Исследование области расположения корней пепед тригонтметрической заменой - очень прикольная фишка! Никогда раньше такой не встречал! (или не помню)
"Чтобы дойти до точки надо повернуть влево по стрелке"-это понятно.Но как решить уравнение:(х-1)(х^2+х-2)=1 чтобы получить корни в цифрах,а не синусах-это и предстоит выяснить:)...Заморочился и прикинул ответ 2->2sin(pi/18)получилось упростить->i*(-exp(-pi*i/18) + exp(pi*i/18))
А я для анализа количества корней и промежутков где они расположены построил две функции : f(x) =-1/x и f(x) =x^2 - 3. Точки их пересечения расположены в промежутках один от - 2 до - 1, второй корень от 0 до 1, третий от 1 до 2. А дальше тот-же метод угадайка...
Маленькая помарка, точки -1 и 1 - это локальные экстремумы функции f(x)
А, что подчитываем, картошку или яблоки?
Очень крутой пример.
Так, а числа то какие в ответе ? Пи это 3.14, его надо на три умножить и поделить ещё это пополам ? А затем синус из этой бадяги выкупить?
Что такое "соседняя точка"?
Невероятно, огромное спасибо за такое решение
Зачем оно тебе?
@@luarluarwick8304 секрет
@@СвободныйМатематик Т. е. сам не знаешь?
@@luarluarwick8304 да знаю я все
Просто решение кубических уравнений дело сложное, а подстановка тригонометрии может в этом помочь
Хотя этот способ и сложный
@@СвободныйМатематик Это не ответ на вопрос.
Мне не всегда понятно почему уходим в тригонометрию, можете дать ссылку или провести занятие в каких случаях переходим к синусам. Нас в институте учили, что любой корень можно найти с помощью сходящихся рядов в лимите.
А можно проще, т.к. ответы приблизительные всё равно?
Я сразу подумала о графиках:
x^3-3x+1=0;
x^3=3x-1;
y1=x^3 и y2=3x-1;
построим графики => получим точки пересечения графиков => значения абцисс этих точек и будут решениями данного квадратного уравнения-8коасс.
В условии сказано решить уравнение, но не огаваривается как, аналитически или графически.
@@ssa1591 нельзя приблизительные.Такие решения на ЕГЭ и экзаменах не засчитываются ( из опыта)
О ЕГЭ не было речи и не было сказано, что решать аналитически, а поэтому решаем тем способом какой проще.
Франсуа Виет такой вариант предложил, бо про комплексные числа не знал.
Математика, как и картошка, ум в порядок приводит
Я вообще не знал, что у обычного кубического уравнения с целыми кэфами корнями могут быть тригонометрические числа
Это просто удобная форма записи иррациональных чисел.
@@skeleton_man00 да, я понимаю. Я думал просто, что они вообще там не пересекаются
@@AEF23C20 ну тут числа то все радиальные, даже если через корень или синус записаны. А в примере целые коэффициенты и корни ирриациальные. Я не говорю, что что-то не так, просто не знал, что так может быть, не встречал раньше. Понятно, что у квадратного уравнения с целыми коэффициентами может быть корни с радикалами, но с синусами не видел никогда
Хотя наверное эти корни с синумами можно через радикалы записать, тяжело, но думаю как-то возможно. Тогда ничего необычного нет
@@resurgence1991 В том то и прикол, что отсюда и появилось понятие комплексных чисел. В данном случае при решении возникает т.н. _неприводимый случай,_ когда все корни вещественны, но требуются комплексные числа для выражения корней в радикалах.
Ничего не понятно, но очень интересно!!
Я в комменты зашёл и только этот комментарий понял. Боюсь я попал не в свой район😅
Главный вопрос, а на черто это всё нужно. И где это применить?
Чтобы в старости в маразм не впасть.
Можно же дописать между кубом и иксом 0х^2 и поделить уголком
Красиво!!!!
напоминает одно из уранений на вступительном экзамене в универ лет так 15 назад
Нельзя ли ее решить без графиков и синусов
Здравствуйте, вы не знаете как можно решить эту систему?
{x + √y = 11
{√x + y = 7
X=9, y=4
@@arzumanabbasov9085 Я так же ответил, когда подбирал числа и подтвердил это графическим решением, но меня больше интересует обычный способ решения, то есть не только ответы
Рассмотрим первое уравнение.
x + √y = 11
x + √y - 2 = 9
√y - 2 = 9 - x
√y - 2 = (3-√x)*(3+√x)
Рассмотрим второе уравнение.
√x + y = 7
√x + y - 3 = 4
√x - 3 = 4 - y
√x - 3 = (2-√y)*(2+√y)
Перемножим первое на второе.
(√y-2)*(√x-3) = (3-√x)*(3+√x)*(2-√y)*(2+√y)
В правой части уравнения в первой и третьей скобках вынесем -1 за скобки. -1 на -1 дают 1.
(√y-2)*(√x-3) = (√x-3)*(3+√x)*(√y-2)*(2+√y)
А дальше всё по стандартной схеме.
(√y-2)*(√x-3) - (√x-3)*(3+√x)*(√y-2)*(2+√y) = 0
(√y-2)*(√x-3)*(1 - (2+√y)*(3+√x)) = 0
√y-2=0; y=4
√x-3; x=9
1 - (2+√y)*(3+√x) = 0
(2+√y)*(3+√x) = 1
Зная, что x>0 и y>0, понимаем, что (3+√x)>3, а (2+√y)>2, и умножение двух этих скобок единицу давать ника не может. Соответственно, в третьем уравнении корней нет.
Значит, x=9, y=4
Л@@malishstas
@@АлександрЩербинин-м1и ??
Скажите как сделать такую клетку в паинт, вы ж там работаете?
не могу никак найти
Фон с клеткой любого размера делается отдельно, например, в Фотошопе, на белом фоне, потом эта картинка открывается в Паинте и на ней идёт запись решения задачи.
@@ValeryVolkov а какой масштаб должен быть, или сколько пикселей изображение лучше выбирать ?
Отличное решение
А проверка где?
схема Горнера?
Спасибо
эмм а конкретное числовое безбуквенное значение икса будет?: |
Если выразить аргументы получившихся тригонометрических корней в градусах, то ни одна градусная мера из них не будет кратна трём. Это означает, что их нельзя выразить в действительных радикалах. Так что совсем без букв не обойтись, хотя бы несколько i понадобится.
Когда вышел за сигаретами в ларек и пошел через соседний город 😂
ведь в итоге х2=2
Сработал бы данный трюк, если бы в уравнении присутствовал x^2?
Я читал про депрессивные кубические уравнения, но интересно, как можно перейти к общему решению
от x^2 легко избавиться заменой
Мощно
Круто! Не догодался до трг.подстановки. Но почему ИМЕННО х равен 2sint?
Потому что область sinα [-1;1], а корень этого уравнения находится (-2;2). Если честно, я не уверен, что из-за этого. Я пока что учусь в 9 классе 😅
@@KingArkon 9 класс? В россии?
У меня на первой минуте таких объяснений коллапс мозга случился.
начиная с 1:09 разве нельзя сразу сказать, что если мы определили знак производной "+", то дальше знаки будут чередоваться. или могут быть исключения?
Не всегда, поэтому и проверяем. Рассмотрите например f(x) = x³
@@fantom_000 понял, спасибо.
Валерий, ты ж умный. Как мне тебе поставить второй лайк, не меняя аккаунт?
Все рассказывают как круто, как круто. Надо знать решение, чтоб такую подстановку сделать.
Почему никого не смутило "Чтоб при движении по окружности дойти до первой первой точки 1/2 надо повернуться на 60 градусов" откуда Оо взяли 60 градусов (((
По окружности понятно, п/3 это 60 градусов, другого не дано, либо 30, либо два раза по 30.
Пока без инфаркта...
Можно решить используя метод Кардано используя подстановку x=u+v
Я так и не понял чему Хе равно? ЦиХра де? :)