Разум подсказывает, что , ем круче горка, тем выше скорость. Шарик, набрав скорость на правой горке , в теории, должен быть быстрее. Но! На левой части путь, ка не крути, короче. Отсюда вывод: время почти одинаковое.
мам я есть хочу... сначала расчитай количество калорий... мам можно я с друзьями в поход пойду... сначала расчитай количество шагов с учетом рельефа местности... знаете, у нас чересчур самодуров, давайте не передавать это нашим деткам, им и так мозг засрали.
Следующая задачка - построить зависимость времени спуска для горок в форме рациональной степенной функции. Ну или любой другой, монотонно и однократно меняющей выпуклость на промежутке.
Я тоже понадеялся, что даже после всего этого будет перевод на человеческий русский язык😆для простых людей не испорченных буквоедством(ну как минимум расшифровка "для чайников") - так и просидел, как инфузория под микроскопом...
а патамушта автор хател павыпендриваца....все делаеца проще если не пренебрегать силой трения, на параболе ана будет меньше ...и в аканачательном ответе сакратица и астанеца тока саатнашение...
@ZeroTwn автор решил задачу для ОБЩЕГО случая. Да, для прямой решение очевидно. Для параболы уже без эллиптического интеграла и ряда не обойтись. Так что автор НЕ перемудрил с правой частью. И теперь если надо поиграть с другими кривыми: дуга окружности, эллипса, кубическая парабола и т.д., просто подставляем вместо f(x) уравнение нашей кривой в решение диф. уравнения и всё! Единая формула для ВСЕХ кривых.
Хе-хе. А "берущийся" интеграл от "элементарных" тригонометрических функций это не ряд? Функции, объявленные "элементарными" (тригонометрические, экспонента, логарифм, степени с ненатуральным показателем), на самом деле являются рядами. 🙂 Тут результатом тоже является ряд, но другой, "не элементарный", хотя разницы по сути нет.
@@Verbalizator Если это позволит решить какую-то задачу, то почему бы и нет. Смысл моего сообщения таков: даже если интеграл берется в элементарных функциях, всегда стоит держать в уме, что эти ф-ции - тоже ряды. Просто свойства этих рядов и способы обращения с ними хорошо известны, что позволяет использовать их для решения большого класса задач. Неберущиеся в элементарных ф-циях интегралы нисколько не хуже берущихся, просто ряды оказываются не очень знакомыми.
Получил истинное удовольствие от просмотра видео. Такая простая казалось бы задача, а потом пошло столько формул, и они все усложнялись, и я на таком расслабоне смотрел, глаза разъезжаются в разные стороны и задремал что-то...)) Такое умиротворяющее видео)
Браво, автор! На протяжении 15 минут я залип на блестящее решение этой первоначально казавшейся очевидной задачи. Всё мастерски разложено по полочкам и я много что понял, несмотря на то, что мы лишь в этом году, в 11 классе, слегка коснулись темы интегралов.
@@lalupay тут фишка в дифференциальном уравнении. Его нужно суметь составить, на основе ЗСЭ и пр. Его решают. И получают интеграл, просто как решение. Как его взять - задача чисто техническая.
@@Георгий-э2ьда как бы очевидно что на параболической горке ускорение выше изначально, за счет чего далее под ускорением более "трудный участок" проходится быстрее, и мало влияет на скорость.
Очень хороший ролик. Все по полочкам, доходчиво, ничего лишнего. Второе видео, которое я смотрю у этого автора. Мне особенно нравится характер задач: вопрос, о котором любой хоть раз задумывался и пытался прикинуть в голове, описывается строгим матиматическим языком и решается с подробным описанием каждого шага. Однозначно стоит подписаться.
Спасибо за интересную задачу и подробное её решение. Мы на термехе рассматривали задачу о брахистохроне - кривой наискорейшего спуска. Ей оказывается дуга циклоиды.
В Википедии нарисована брахистохрона, принимающая в нижних точках траектории отрицательные значения. Дуга циклоиды - это только положительные( неотрицательные) значения. Циклоида - частный случай брахистохроны? Спасибо.
@dianaa7743 ..И на санках и на картонках и на портфелях и на ногах и на лыжах катались.. Ну это не помогает в случае если надо точно определить для какого показателя степени время спуска из (1;1) в (0;0) будет минимальным.. (в случае параболы показатель степени равен двум).. Вот как вы думаете при каком значении степени n от нуля и до бесконечности, время спуска с горки (с профилем описываемым функцией x в степени n) будет минимально?.. Я думаю если не считать, а только по ощущениям - то никто не ответит..
Ничего не понимаю ни в физике, ни в математике, но прикинула, что на вогнутом спуске в самом начале спуск круче, что должно бы придать дополнительное ускорение) Короче, угадала. 😀
Больше 30 лет назад, ещё будучи студентами в автодорожном техникуме, нам задали подготовить доклады на тему "геометрические кривые", кому-то досталась синусоида, кому-то архимедова спираль и т.д., а мне досталась циклоида. Помню я тогда сильно удивился, услышав это слово, но разумеется, за отсутствием тогда интернета и прочих приблуд, пришлось идти в библиотеку, где я в книгах нашёл, что это за такая кривая и как она создаётся на чертеже, ну и на всю жизнь запомнил, что именно по циклоиде шарик из точки А в точку Б скатится быстрее всего. Видя картинку ролика, я уже понял какой на самом деле должен быть правильный ответ.
Нисколечки не докпываюсь к словам, но раз уж тут о матемтике - точной науке, то нужно бы добавить что не на циклоиде, а на ПЕРЕВЕРНУТОЙ циклоиде ) А у нее тоже есть название - перевернутая циклоида - это брахистохрона )
Жуть конечно. Такие задачи давно решают числовым интегрированием. Благо машине все равно сколько кусков суммировать. Но классическая математика и способность автора ею оперировать вызывает уважение.
Далеко не всё равно. На вычислительной математике мы разрабатывали ПО для численного интегрирования. Если нужно взять интеграл с высокой точностью, расчет будет длиться долго)
Ага. Заметно, раз забыли, что кинетическая энергия КАТЯЩЕГОСЯ тела имеет не одну, а две составляющие. Автору ролика я бы на экзамене по физике поставил из жалости тройбан.
Строго говоря, это не теоретическая механика, так как ни один из традиционных аппаратов теормеха здесь не применяется. Это механика в рамках общей (или даже школьной) физики плюс матанализ. Вот мне интересно, можно ли решить эту задачу при помощи одной только школьной математики, без явного интегрирования?
@@Micro-Moo матанализ проходится в рамках среднего общего образования (10-11 классы) и в некоторых даже 9 классах физико-математических учебных заведений, как я понял вы больше имели ввиду исключительно основное образование (5-9 или 6-9 классы), и вполне даже можно решить используя основы механики и некоторой математики если решать опираясь больше не на точность, но это по крайней мере у меня в голове, но если вы хотите можете вполне самостоятельно решить, я уверен что есть способы даже если я описал неверный
@@Micro-MooНу время движения по прямой, т.е. по той линии, что слева, понятно почти интуитивно. Тело движется по оси Y равноускоренно, и по оси X также равноускоренно. Есть формула из кинематики, 6-ой класс: x = x0 + V0t + at^2/2. Начальная скорость у нас нулевая по условию. Значит, x = x0 + at^2/2. С учётом знаков и заменив ускорение a на g, получим время для каждой оси sqrt(2/g). Далее по теореме Пифагора, применённой ко времени (скалярной величины как бы :) получаем ту самую формулу: 2/√g. Без всяких диффов и интегралов )) А вот для правой части задачи, т.е. для движения по параболе при действующей силе тяжести - я хз какое там движение по осям будет, оно ни разу не равноускоренное. Там без неберущегося интеграла и ряда я так понимаю никак.
Я преподаю высшую математику в ВУЗ-е. Иногда ради удовольствия смотрю видео, связанные с математикой. Так что на ваш канал набрёл случайно. Посмотрел 3 видео, включая это. Оцениваю положительно!!! Приятно, что в сети есть каналы, на которых рассматривают задачи посложнее задач из стандартного курса "вышки"! И, к тому же, довольно интересные задачки у Вас! 😊 Желаю успехов Вам!!!
Кито то спращиаль, с чево косинус появившись вдруг. Я, тоже не пониль с чево . На графике надо показывать одновременно, эти формальные построения и выводы. Наверное они там, задействовали угол начала координат и курса шарика, там будэ почти прямий угол. Вот они в ем и пошли косинус размечать.
Вышка это не физика, коллега. В физике формулировка задачи определяет решение. Автор ролика перепутал КАЧЕНИЕ со СКОЛЬЖЕНИЕМ, а материальную точку, для которой он формулировал решение, назвал почему-то совершенно иным объектом - ШАРИКОМ, у которого кроме энергии поступательного движения при качении возникает ещё и вращательная компонента, весьма немаленькая, определяемая произведением момента инерции на половину квадрата угловой скорости.
@@electron_palychВсе верно пишете, о,, материальной точке" в условии этой задаче я писал ещё месяц назад, так скажите (как физик физику), какая льдинка будет на финише первой?
Была пара статей на эту тему в советском журнале "Квант" за 1975-й год (№№ 8 и 12). Задачу решали Галилей, Ньютон и Бернулли. Вот Бернулли и нашёл решение - шарик должен спускаться по циклоиде.
@@vladimirkovbasa9552 это общее название, а форма такой линии может быть любая. в работах рассматриваются даже два отрезка прямой линии и скорость спуска зависит от глубины провала первой, почти вертикальной, но даже такая форма быстрее простой прямой линии
Чем больше отклонение траектории от вертикали, тем большее время потребуется. В качестве меры отклонения, по всей траектории, можно взять площадь фигуры, образованной линиями: x = 1, y = 0, y = f(x). Для параболы эта площадь меньше, значит и время меньше )) Спасибо за видео ))
@Hmath куда-то делся Ваш комментарий о траектории y = x^5. А что с ней не так? Вроде, должно быть ещё меньшее время ) Если это не так - то вот это удивительно! Было бы правильным добавить в ролик )
да, пропадают комментарии, даже мои собственные. Да, для y=x^5 время больше, чем для y=x^2. В видео и есть общая формула, которую можно использовать для вычисления. Площадь не имеет никакого отношения к времени. Исследовать при других степенях - это было задание для зрителей. И несколько человек уже здесь в комментариях написали правильные ответы.
@@Hmath Удивительно! Заинтриговали )) Попробую, когда время будет, самостоятельно посчитать. И подумать насчёт площади. Ещё раз спасибо за прикольную задачу ))
@@Сереженька-т4н Это очень частный случай задачи о брахистохроне Иоганна Бернулли. Сформулирована впервые в Acta Eruditorum в июне 1696 года. Решена Ньютоном. Чего вам еще?
Спасибо за творчество! Не так давно услышал о том, что кровли китайских пагод выполняются в такой форме именно для сокращения времени скатывания воды с них...
время для прямой горки можно и проще вычислить. высота и ширина обе 1, значит угол 45°. сил трения и сопротивления нет, значит a=gsinα≈4.9√2. путь в свою очереди √2, далее s=at²/2 √2=t²*4.9√2/2 t²=1/2.45≈0.408 t≈0.64
Когда я учился в серьёзном советском техническом ВУЗе, у нас с первого курса было целых пять семестров вэ_мата. Первые четыре семестра у нас вела очень подколодная гадючная змея /женского пола/. А на третьем курсе на пятом семестре нам на чтение спецкурсов (вариационное исчисление, дифуравнения в частных производных и т.п.) поставили мужчину, выпускника мехмата МГУ. Принимал он у нас экзамен, кстати - либеральнее всх остальных преподавателей. Так вот: с помощью аппарата этого самого вэ_мата он показал, что линия наикратчайшего спуска - это так называемая БРАХИСТОХРОНА ! Которая является дугой циклоиды. ЗАНАВЕС !!!😄👍
Как в том анекдоте, преподаватель спрашивает: -В километре от вас стреляет пушка. Вы сначало увидите или услышите выстрел? Ученик - Конечно увижу! Преподаватель - обьясните и докажите почему! Ученик - Так это просто! Глаза же ближе к выстрелу чем уши! 😂
30 лет назад все это было на физфаке универа, но сегодня я бы просто открыл одно из приложений моделирования физических процессов)) Отрадно, что умных людей довольно много, особенно радует, что много молодежи.
@@kirillonf.m.4713 , это полная циклоида? Я только полуарку вижу, отражённую относительно прямой y = x. А по её инверсии даже WolframAlpha пишет «(no result found in terms of standard mathematical functions)».
@@Schaunard да)) думаю, многим было бы интересно посмотреть вывод этой кривой. Вариационку обычно всё же на мат. кафедрах изучают, а тут можно решить задачу, породившую данную дисциплину.
красиво порешали👌 если подумать, то сразу ясно, что наименьшее время будет при прямом вертикальном падении, если бы не перемещение в точку 0, ведь надо еще и по горизонтали подвинуть😅 вот действительно по какой кривой будет самый оптимальный вариант?🤔 не по экспоненте ли случайно🫠
Замечательное видео. Напомнило мне о курсе философии и практики физики в 11 классе. Решали задачу о минимизации времени движения между двумя точками в поле силы тяжести. Все выкладки записали на бумажке, а потом с помощью динамической минимизации искали экстремум функционала времени.
У нас предмет назывался вариационное исчисление, вёл наш же сопроматчик с нашей же кафедры сопротивления материалов. Суть задачи заключалась в поиске траектории т.е. функции для наибыстрейшего спуска. Помню я тогда был весьма впечатлён! А в 1983 я только вылупился 🙃
@@Micro-Mooделайте скидку на то что это ютуб, и тут этот контент может показаться интересным людям не из этой сферы, а начальное обозначение объектов "шариками " Делает трактовку задачи проще на слух
@@blackenedlazer «делайте скидку на то что это ютуб...» Это не я придумал и это не моё дело, но я не думаю, что нужна какая-то скидка. Если кто не понимает, может спросить, или вообще не смотреть. Нет никакой специфики TH-cam.
Ухх. Тут если шарик, да без проскальзываний, с одной стороны скатывается по x², а с другой стороны такой же шарик по x³, а потом соударение и посчитать насколько далеко он улетит из такого желоба высотой 1 (какой конкретно шарик улетит тоже вопрос). Отличная задачка на экзамене по теормеху. :) Для студента который весь семестр не ходил 😂
Интересное видео! Вот вроде бы и чувствуешь, что парабола ближе к свободному падению, и время должно быть меньше, но вот как это доказать - не знаешь. Спасибо автору!
Если честно, то довольно простенькая задача. Но как же приятно вспомнить теормех - первый семестр второго курса. Очень правильно поставлены граничные условия. Хотя я очень похожие задачи решал в ВФТШ ещё в 10 классе, в далёком 1969г. Автору лайк и респект за такие задачи. Классика нетленна🎉🎉🎉!!!
Я закончил топ-10 по России лицей с физмат уклоном. Если бы у нас даже что-то подобное дали, причём не то чтобы в 10, - в 11 классе, - я бы просто молча встал и вышел. Пусть сами гниют с такими задачами
Я бы стал упираться в формулу двойного угла или что-то подобное, чтобы затащить тот косинус. Но иногда надо знать что интеграл не берется, но есть в книжке. Хороший урок))
Спасибо за видео. Известная задача древности - о линии наискорейшего спуска. Ответ находится при решениии дифуры - это брахистрохона (она же кардиоида). Еще есть примечательнав кривая - клотона (отвечает на вопрос о дорожных поротах..)
Надо ещё учесть, что в начале два допущения, но на самом деле сопротивления у шариков разные. Задача упрощена. Это кайф - красивое решение. Скучаю по дифурам.
Хорошее видео! Однако, кажется, с физикой есть небольшая проблема. Если речь идет именно о качении (то есть, движении без проскальзывания), значительная часть энергии шарика будет уходить во вращательное движение. Её доля определяется моментом инерции, и кинетическая энергия поступательного движения будет пропорционально меньше все время движения. По идее, можно представить это изменение, введя эффективное ускорение свободного падения, меньшее чем g. Лучше было сказать, что скользит шайба, а иначе модель неверная. К математике вопросов нет :)
Автор в самом начале исключил трение, а без него шарик будет скользить без вращения (если кто-то не раскрутит его заранее, но это на результат не повлияет)
Поскольку вопрос стоит какое время меньшее, то вычислений реально не нужно. Опуская некоторые формальности можно так решить задачу. Рассмотрим семейство кривых соединяющих точки (1,1) и (0,0) выпуклых выше наклонной ОА и вогнутых ниже ее. понятно что время прохождения на самой верхней наклонной (это будет отрезки А,(0,1) + вертикаль (0,1), (0,0)) будет максимальной(случай 0), а движение по самой правой кривой (т.е. по отрезкам (1,1),(0,1) а затем по (0,1)к (0,0) минимальным (случай 2). т.е любая кривая выше чем другая даст большее время . Для примера оценим случай 2 : движение по вертикали t1 = 1/SQRT(g) и по горизонтали уже с постоянной скоростью T =1/g ) . Общее время будет их сумма = 1/SQRT(g) + 1/g, что меньше чем 2/SQRT(g) = 1/(SQRT(g) +1/SQR(g) (смотри вычисления автора) . понятно что в случае параболы время 1/SQRT(g)+1/g < Tpar
@@АлексейК-т9ж Начну с конца -- в условии нигде не видел про опускание ниже ноля, но даже если добавить такое условие, то для точек (0, 0) и (1, 1) нужная дуга брахистохроны постоянно направлена вниз и не уходит ниже нулевой отметки. Брахистохрона начинает уходить ниже только когда горизонтальное расстояние хотя бы в pi раз больше вертикального. Дальше про "монотонность функции времени при изменении кривой" -- тут корректней сказать функционал на множестве кривых, и на этом множестве нет линейного порядка. Можно взять пару кривых, где одна сначала ниже второй, а потом наоборот. Поэтому что имеется в виду под монотонностью не очень понятно. Ну и ещё один аргумент, что монотонность не работает -- тот вариант, что Вам кажется интуитивно минимальным (случай 2) оказывается дольше, чем прямолинейное движение по диагонали. (спуск по вертикали за время sqrt(2 / g) по формуле a * t ^ 2 / 2 = h; скорость на горизонтали будет равна v = sqrt(2 * g), например, из закона сохранения энергии; итоговое время будет sqrt(1 / g) * (sqrt(2) + sqrt(1 / 2)) = 2,12 / sqrt(g), что больше 2 / sqrt(g) для диагонали)
Ничего себе! Я-то думала, что пара школьных формул - и найдём ответ, а тут выпрыгнул такой монстр! Насчёт минимального времени, по-моему, всё очевидно: нужно убрать горку. Ну, или сделать так, чтобы она была строго вертикальной. Отдельно хочу поблагодарить автора за светлую тему! Глаза отдыхают, и можно не включать экранную лупу.
А в конце обязательно проверить теорию, скатив два шарика и с большой точностью измерить время спуска. Есть и такие ролики, где одинаковые шарики скатывают одновременно с горок с разным профилем.
У меня хоть и высшее образование, но , честно говоря , высшая математика не есть моей сильной стороной😁😁😁 завидую тем , кто с легкостью оперирует этими формулами
студент спрашивает преподователя: - можно два вопроса? - да. - почему заменили x = cos t когда t - это уже время? - а второй какой вопрос? - это и был второй вопрос.
я даже не подумал, что в замене в интеграле кто-то будет воспринимать t, как время. Но действительно, нужно было просто другой буквой для замены воспользоваться. Напишите x = cos u, тогда может меньше будет ассоциаций.
как лыжник сразу про себя отметил, что параболическая кривая явно опаснее (если это спуск) в плане скорости, ушло на это секунды 3-4. Спасибо за ролик, каждый день за рулем решаю видимо огромное количество матзадач, чтобы ни в кого не вчесать.
Вот как-то зажали меня на парковке. После работы вышел и понял, что придётся долго маневрировать, чтобы выехать. Ситуация на самом деле типовая. Я в углу. Одна машина стоит параллельно моей, близко, но есть небольшое пространство для манёвра. Ещё одна машина стоит за моей, не вплотную, но близко. В общем, выезд возможен задом по диагонали, но прям впритык. Я ес-сно за 6-7 манёвров выбрался. А в голове родилась при этом задача: а как выехать за наим. метраж? Какая будет при этом кривая? Название для неё я уже придумал: припаркоида. Можно также искать наим. кол-во манёвров, поворотов руля и т.д. Слабо такую задачу решить? :)
Обязательно нужно решить, написать книгу, потом её переведут в программный комплекс, и автопилоты машин будут по этой теории парковаться!! Даешь припаркоиду!
Задача коммивояжера при числе пунктов стремящемся к бесконечности, а расстоянии между ними к нулю. 🤣 Как в анекдоте... "Задачу об устойчивости табуретки с 1,2,3 ножками математик решает быстро, но всю оставшуюся жизнь бьется над решением об устойчивости табуретки с произвольным числом ножек."😛
С интегрированием и разложением в ряд очень красиво и классно. Спасибо большое за качественное видео, от которого получил огромнейшее удовольствие!!! Возникла идея, как решить в рамках школьной физики (не знаю зачем возникла, и зачем я это пишу, но мне понравилась идея и решил поделиться). Движение по прямой это равноускоренное движение, там формулы с 9 класса известны, на и все интегрирования в рамках вычисления площадей треугольников и по силам сообразительному школьнику. Скорее всего будет несложно показать, что если мы заменим спуск по прямой от (1; 1) до (0; 0) на спуск по ломаной от (1; 1) до (0.5; 0.25) и затем до (0; 0), то спуск по ломаной быстрее. Продолжая замены оставшихся прямых такими ломаными из двух отрезков мы будем приближаться к времени спуска по параболе, а раз по каждой ломаной спуск будет становиться чуть быстрее, значит итоговое время спуска по параболе тоже будет меньше. Строгое доказательство может выглядеть так. Рассмотрим задачу: сравнить время спуска в двух случаях - 1) по отрезку, вершины которого находятся на параболе (т.е. берем время спуска по секущей для графика f(x) = x^2, построенной в точках x=a и x=b), 2) по ломаной из двух секущих (от b до (a+b)/2 и дальше от (a+b)/2 до a). Все формулы для выбранных отрезков считаются в рамках формул равноускоренного движения (надо только не забыть, что начальная скорость в общем случае ненулевая), а в силу общности доказательства для любых a, b и начальной скорости - результат применим ко всему описанному выше процессу итеративной замены ломаными. Кстати если попытаться просуммировать сокращения времени при таких заменах на ломаные - готов поспорить, что все равно вылезет эллиптический интеграл, но для ответа на вопрос задачи нам все-таки не понадобилось с ним возиться и можно пробовать рассказывать школьнику :)
вообще вы сейчас описали как раз то, что и делает интеграл: разбили на участки прямых, нашли время на каждом участке, а потом просуммировали :) Если устремить теперь длины этих отрезков к нулю, то и получится определение интеграла ;)
13:48 Вот и ответ - "От этого время спуска не измениться" На картинке одно, а в формулах горки разные, в этом случае пренебрегаем не только сопроматом но и рассудком 😀
У Вас есть краткий список самых ходовых не берущихся интегралов? Я на подобное натыкался когда надо было найти длину дуги. Вроде элементарные формулы и интегралы с корнем, а браться не берутся.
Градштейн И. С., Рыжик И.М. - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (4-е изд.) - 1963 там больше 500 страниц формул :) Большая часть интегралов там как раз не выражается через элементарные функции :) Там ответы для разных определенных интегралов зато есть
Быстрее всего шарик, ИМХО, упадёт вертикально в точку под собой. Но это нужно уточнять) В решении не учитывается вращение шарика вокруг собственной оси (можно списать на отсутствие трения), но в реальном эксперименте шарики будут именно СКАТЫВАТЬСЯ, а не соскальзывать! В уравнение энергии нужно сделать поправку на энергию вращения шарика (у Фейнмана об этом хорошо написано). Если хотите решать без вращения, то в условии можно указать, например, что санки скатываются с горки :)
@@boderaner «кто мешает перед падением повернуть плоскость координат на 45°» Это ничего не изменит. Вы же силу гравитации не собираетесь поворачивать? Физические явления не зависят от выбора неподвижной системы отсчёта. Возможно, не всё чётко оговорено, но изначально задачу можно понимать как задачу о движении между двумя фиксированными точками и заданным направлением силы гравитации, а уже траектория между этими двумя точками может варьироваться. Если бы речь шла только о движении с определённой высоты, всё было бы тривиально, тогда вертикальное падение.
Очень хорошее повествование, отличная анимация формул! Но нужно было сказать, что ещё мы пренебрегаем вращением шарика, так как вообще-то нужно ещё учитывать кинетическую энергию вращения Iω²/2, тем более если говорится, что шарик не проскальзывает. Именно поэтому в школьных задачках с горок не шарики скатываются, а "гладкие" бруски сползают.
Лучше всего решать задачу без матиматики, а только физикой и логикой. для этого изминить условия задачи представиив 2 крайних случая. 1. вариант это ломаная линия где шарику необходимо для начала спускаться почти горизонтально пол дороги, а затем почти свободно падать. 2. вариант это наоборот шарик изначально полпути почти вертикально падает а затем катиться почти горизонтально. естественно на пол пути сделать некий с радиусом переход, чтобы вся энергия перешла в движение, а не удар. и сам этот переход можно не учитывать, так как он нужен не для практики, а для более наглядного результата, где основное-это определяется что даст больше скорости. 3. и мы получим результат, то что в случае когда сперва шарик падает, то на слабой наклоненной поверхности он начнет движение с начальной точки не с нулем скорости а вот когда он сначала катится, то он начинает с нуля скорости. А вертикальное падение у шариков всегда одинакого. Поэтому чисто логически выходит что шарик выгодно сперва отправить падать, а затем уже катиться. Вывод чем ниже график (точка перелома с вертикали в горизонталь) тем выше скорость.
т.е если рассмотреть функции вида y=x^a, то, исходя из вашей логики, чем больше а, тем меньше время спуска (потому что в этом случае как раз сначала наклон будет всё больше). Но на самом деле это не работает. Вы забываете, что в этом случае растет и путь, который нужно пройти и это напрямую влияет на время. Ох-уж-эта-математика говорит, что для таких функций степень а~2.5 должна быть для минимального времени, а дальше время только увеличивается с ростом степени
Спасибо, добрый человек! Наконец-то у меня в голове уложилось "почему". А то, расписали пятиэтажные формулы, просчитали-доказали, а почему так по формулам выходит, в видео не объяснили...
@@Hmathа как можно точно определить это 2,5. То есть я например посчитал, что при 4 t больше чем при двух. То есть между 2 и 4 есть эта точка перелома после клторой время снова начрнает расти. Брать вторую производную? Но как-то стремно учитывая, что и у первой есть только приближенное значение...
По-моему, тут чисто интуитивно было понятно, что шарик на вогнутой параболической горке быстрее получит начальное ускорение, а чем быстрее он его получит, тем выше будет ускорение ускорения.
В этой задаче нет ускорения ускорения т.к. зависимость координаты от времени здесь имеет не более, чем вторую степень. Так что ваша интуиция вас подводит.
@@malejeeck почему же подводит? Откуда же появляется выигрыш во времени если шарик движется по более длинному пути? Обьяснения типа "из частных производных с интегралом" ? Это смешно, математика лишь подтверждает что по параболе шарик катиться дольше, но начальный путь у него круче.
Эта задача решается в общем виде в вариационном исчислении, решением является брахистохрона. Есть ли смысл рассматривать эти частные случаи со школьной математикой?
Согласно численным расчетам по формуле из видео, при степени 2,48 время будет минимально = 0,593 с. И при степени 16,927 время станет таким же как и для прямой горки
Если поднять точность то получим: .. при g=9.8 и степени ~2.47919395 , время спуска будет минимальным ~0.59347 сек (при степени 2 оно равно ~0.595сек.) .. При степенях за 1000 (очень крутая горка вначале, потом плоская) время стремится к 0.676 сек. (близко к времени падения с метра 0.451754сек. + 0.225877сек. время потом проехать по горизонтали (в условии из координаты (1;1) в (0;0) скользим) метр с набранной скоростью .. и того = 0.6776сек.)
ну можно смело выставлять в финале чемп мира по математике... даже если знаешь идею - вряд ли быстро справишься с эллиптическим интегралом... тем более потом ряд, в котором не понятно до какого члена доползать, что бы нужное приближение получить... много времени займет... крч, жесткая задача... при совсем безобидной формулировке)) мне нравятся такие ловушки
Для олимпиады любого уровня вряд ли подойдёт, так как на олимпиаде время ограниченно. Для олимпиад нужно стремиться придумывать задачи, требующего нетривиального мышления, но такие, для которых готовое решение можно изложить очень коротко. Конкурсант либо ничего не придумает, либо найдёт красивое и легко доказываемое (когда оно уже известно) решение, с минимумом выкладок. Да, я знаю, что придумывать такие задачи крайне трудно.
Поразительно! Простыми законами физики тут не обойтись. Как сказал великий учёный Галилео Галилей Математика - это язык, на котором написана книга природы. “
@@alegthephilosopher4429 связано, ведь математика и геометрия плюс физика и житейский опыт - это уже даёт логическое мышление. Отсюда понятно, что выбирая артистов, спортсменов и шоуменов, народ изначально будет в проигрыше.
Если бы все занимались арифметикой, пахать было бы некому и сеять сытное, доброе и светлое. Подохли бы все наверняка, это как если бы все в планшете сидели и любовались чужим трудом.
![แฉกลโกงงานวัด 2024 [ โกงมั้ยครับ ep.106 ] | DOM](http://i.ytimg.com/vi/taC5dpP3HXA/mqdefault.jpg)
- Мама, мама! А можно я пойду кататься с горки?
- Сперва рассчитай, с какой горки веселее скатываться.
А НЕЛЬЗЯ ЛИ ПО-ПРОЩЕ СКЛИФОСОФФСКИЙ ???
А ТО И ИНТЕГРАЛЫ И ФАКТОРИАЛЫ И ЛОГАРИФМЫ ???
быстрее всего, если профиль склона это циклоида.
Разум подсказывает, что , ем круче горка, тем выше скорость. Шарик, набрав скорость на правой горке , в теории, должен быть быстрее. Но! На левой части путь, ка не крути, короче. Отсюда вывод: время почти одинаковое.
а потом в хронике, ребенок убил свою родительницу...
мам я есть хочу... сначала расчитай количество калорий... мам можно я с друзьями в поход пойду... сначала расчитай количество шагов с учетом рельефа местности... знаете, у нас чересчур самодуров, давайте не передавать это нашим деткам, им и так мозг засрали.
Взгрустнулось, сразу ощутил как сократился объем моих знаний и умений за 25 лет после университета.
А я взвыл,вроде помню,как решить,но интеграл... Прошло 50 лет.
Если не использовать полученные знания, то уровень некомпетентности достигается за 5 лет.
@@mikola969 Нынче с "неберучками" просто - загнал в wolframalpha - и привет.
Следующая задачка - построить зависимость времени спуска для горок в форме рациональной степенной функции. Ну или любой другой, монотонно и однократно меняющей выпуклость на промежутке.
эх, тоже 13 лет назад щёлкал такое в МИФИ как семечки, а сейчас взгрустнулось
Стал смотреть в робкой надежде, что существует простое решение, но увы, холявы не бывает. Респект автору, который дошёл до цели.
"Холявы" не бывает. Бывает халява.
@@ВладимирЧукардин-е3щ 🤓👆
Уравнение движения справа - гармонический осциллятор. Время не зависит от высоты - это четверть периода.
Я тоже понадеялся, что даже после всего этого будет перевод на человеческий русский язык😆для простых людей не испорченных буквоедством(ну как минимум расшифровка "для чайников") - так и просидел, как инфузория под микроскопом...
а патамушта автор хател павыпендриваца....все делаеца проще если не пренебрегать силой трения, на параболе ана будет меньше ...и в аканачательном ответе сакратица и астанеца тока саатнашение...
Какая по сути простая формулировка задачи и какое достаточно сложное решение! Диф. уравнение, неберущийся интеграл, ряд. Супер!
@ZeroTwn, вот автор и интегрировал :)
Где же он перемудрил?
@ZeroTwn автор решил задачу для ОБЩЕГО случая. Да, для прямой решение очевидно. Для параболы уже без эллиптического интеграла и ряда не обойтись. Так что автор НЕ перемудрил с правой частью. И теперь если надо поиграть с другими кривыми: дуга окружности, эллипса, кубическая парабола и т.д., просто подставляем вместо f(x) уравнение нашей кривой в решение диф. уравнения и всё! Единая формула для ВСЕХ кривых.
Хе-хе. А "берущийся" интеграл от "элементарных" тригонометрических функций это не ряд? Функции, объявленные "элементарными" (тригонометрические, экспонента, логарифм, степени с ненатуральным показателем), на самом деле являются рядами. 🙂 Тут результатом тоже является ряд, но другой, "не элементарный", хотя разницы по сути нет.
@@cavesalamander6308 рядом можно представить что угодно, даже тождественный 0. Два члена: 1 и -1. Чем не ряд? ))
@@Verbalizator Если это позволит решить какую-то задачу, то почему бы и нет.
Смысл моего сообщения таков: даже если интеграл берется в элементарных функциях, всегда стоит держать в уме, что эти ф-ции - тоже ряды. Просто свойства этих рядов и способы обращения с ними хорошо известны, что позволяет использовать их для решения большого класса задач. Неберущиеся в элементарных ф-циях интегралы нисколько не хуже берущихся, просто ряды оказываются не очень знакомыми.
Получил истинное удовольствие от просмотра видео.
Такая простая казалось бы задача, а потом пошло столько формул, и они все усложнялись, и я на таком расслабоне смотрел, глаза разъезжаются в разные стороны и задремал что-то...)) Такое умиротворяющее видео)
Браво, автор! На протяжении 15 минут я залип на блестящее решение этой первоначально казавшейся очевидной задачи. Всё мастерски разложено по полочкам и я много что понял, несмотря на то, что мы лишь в этом году, в 11 классе, слегка коснулись темы интегралов.
Чем коснулись? Гуглóм?
@user-lw8ko1ql1q Учебником
@@lalupay тут фишка в дифференциальном уравнении. Его нужно суметь составить, на основе ЗСЭ и пр. Его решают. И получают интеграл, просто как решение. Как его взять - задача чисто техническая.
@@Arbolitito учебником
Слегка коснулись?Кретины.
Товарищи. Я обыкновенный двоешник Советской школы. Ничего не понял. Но было очень интересно. Хотя я сразу поставил на параболическую горку)))
"цыган"-УГАДАЛКА...
Молодец! Значит, мудрый!
@@Георгий-э2ьда как бы очевидно что на параболической горке ускорение выше изначально, за счет чего далее под ускорением более "трудный участок" проходится быстрее, и мало влияет на скорость.
Спасибо что поставил. Товарищ. Судя по тому что происходит в стране все остальные положили
будь хоть паралепипед будь хоть круг едрена вошь
Очень хороший ролик. Все по полочкам, доходчиво, ничего лишнего. Второе видео, которое я смотрю у этого автора. Мне особенно нравится характер задач: вопрос, о котором любой хоть раз задумывался и пытался прикинуть в голове, описывается строгим матиматическим языком и решается с подробным описанием каждого шага. Однозначно стоит подписаться.
Спасибо за интересную задачу и подробное её решение. Мы на термехе рассматривали задачу о брахистохроне - кривой наискорейшего спуска. Ей оказывается дуга циклоиды.
В Википедии нарисована брахистохрона, принимающая в нижних точках траектории отрицательные значения. Дуга циклоиды - это только положительные( неотрицательные) значения. Циклоида - частный случай брахистохроны? Спасибо.
Такие задачки элементарно решаются численными методами, но, конечно, аналитический подход тоже прекрасен, просто как разминка для мозга.
Кто в детсве с горок катался, и без графиков знает ! ❤ Спасибо за разминку ума !
@dianaa7743 ..И на санках и на картонках и на портфелях и на ногах и на лыжах катались.. Ну это не помогает в случае если надо точно определить для какого показателя степени время спуска из (1;1) в (0;0) будет минимальным.. (в случае параболы показатель степени равен двум).. Вот как вы думаете при каком значении степени n от нуля и до бесконечности, время спуска с горки (с профилем описываемым функцией x в степени n) будет минимально?.. Я думаю если не считать, а только по ощущениям - то никто не ответит..
@@ValentinaAlexandrova-v2r я вообще то гуманитарий😀
Дай мне санки и скинь годков сорок, конечно пойду на параболическую.
Ничего не понимаю ни в физике, ни в математике, но прикинула, что на вогнутом спуске в самом начале спуск круче, что должно бы придать дополнительное ускорение) Короче, угадала. 😀
Я тоже так подумала, скорость больше , время меньше. На вогнутом.
Так и путь пройденный шаром будет больше на параболе. Так, что это не аргумент.
@@ИванДонской-о4у не аргумент- интуиция
Как сказал Горбатый: Бабу не проведёшь, баба - она нутром чует!
Траекторию полёта Луна 25 не вы рассчитывали?
Больше 30 лет назад, ещё будучи студентами в автодорожном техникуме, нам задали подготовить доклады на тему "геометрические кривые", кому-то досталась синусоида, кому-то архимедова спираль и т.д., а мне досталась циклоида. Помню я тогда сильно удивился, услышав это слово, но разумеется, за отсутствием тогда интернета и прочих приблуд, пришлось идти в библиотеку, где я в книгах нашёл, что это за такая кривая и как она создаётся на чертеже, ну и на всю жизнь запомнил, что именно по циклоиде шарик из точки А в точку Б скатится быстрее всего. Видя картинку ролика, я уже понял какой на самом деле должен быть правильный ответ.
Нисколечки не докпываюсь к словам, но раз уж тут о матемтике - точной науке, то нужно бы добавить что не на циклоиде, а на ПЕРЕВЕРНУТОЙ циклоиде ) А у нее тоже есть название - перевернутая циклоида - это брахистохрона )
Так здесь же нет ни циклоиды, ни брахистохроны. Здесь ветка параболы.
@@nikitaluzhbin8982 брахистохрона - так и переводится - кратчайшее время!
Жуть конечно. Такие задачи давно решают числовым интегрированием. Благо машине все равно сколько кусков суммировать.
Но классическая математика и способность автора ею оперировать вызывает уважение.
Далеко не всё равно. На вычислительной математике мы разрабатывали ПО для численного интегрирования. Если нужно взять интеграл с высокой точностью, расчет будет длиться долго)
@@matthewgiovannini2360 очевидно.
Для того чтобы переходить от аналитического решения к приближенному, нужно доказать необходимость этого
@@dp40... а для этого получить решение двумя путями)
Перед просмотром решения сделал ставку на параболический спуск. С ужовольствием наблюдал за красотой решения. Спасибо аатору.
Я думал, раз они падают с одинаковой высоты, то скорость будет одна и та же, и время также.
П... здец как интересно!!! Жаль ничего не понятно, но досмотрел до конца!!!
МОЛОДЕЦ!!!
👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍👍Взгрустнулось, сразу ощутил как сократился объем моих знаний и умений за 45 лет после института
После 45 может и не взгруснуться, а взбледнуться!
Дед, иди сорняки пропалывай
Тупеешь, АлеКС, тупеешь!
😂😂😂
Ага. Заметно, раз забыли, что кинетическая энергия КАТЯЩЕГОСЯ тела имеет не одну, а две составляющие. Автору ролика я бы на экзамене по физике поставил из жалости тройбан.
Кстати сопротивление от скорости зависит. А правый шарик по средней скорости обгоняет, а значит разница по времени ещё меньше
Все мозги порвал на части, все извилины заплёл
И канатчиковы власти колят нам второй укол
А на х считать когда можно просто проверить?
Точно.Все очевидно геометрически.Остальное численные расчеты на сколько
Почитал комментарии , предложенная задача , позволила многим показать , какие они крутые ...
Теоретическая механика топ, было бы здорово видеть ее у вас чаще)
Строго говоря, это не теоретическая механика, так как ни один из традиционных аппаратов теормеха здесь не применяется. Это механика в рамках общей (или даже школьной) физики плюс матанализ. Вот мне интересно, можно ли решить эту задачу при помощи одной только школьной математики, без явного интегрирования?
@@Micro-Moo матанализ проходится в рамках среднего общего образования (10-11 классы) и в некоторых даже 9 классах физико-математических учебных заведений, как я понял вы больше имели ввиду исключительно основное образование (5-9 или 6-9 классы), и вполне даже можно решить используя основы механики и некоторой математики если решать опираясь больше не на точность, но это по крайней мере у меня в голове, но если вы хотите можете вполне самостоятельно решить, я уверен что есть способы даже если я описал неверный
@@ilichili Я не называю тот матанализ 10-11 классов матанализом, скорее, это неформальное введение.
@@Micro-MooНу время движения по прямой, т.е. по той линии, что слева, понятно почти интуитивно. Тело движется по оси Y равноускоренно, и по оси X также равноускоренно. Есть формула из кинематики, 6-ой класс: x = x0 + V0t + at^2/2. Начальная скорость у нас нулевая по условию. Значит, x = x0 + at^2/2. С учётом знаков и заменив ускорение a на g, получим время для каждой оси sqrt(2/g). Далее по теореме Пифагора, применённой ко времени (скалярной величины как бы :) получаем ту самую формулу: 2/√g. Без всяких диффов и интегралов )) А вот для правой части задачи, т.е. для движения по параболе при действующей силе тяжести - я хз какое там движение по осям будет, оно ни разу не равноускоренное. Там без неберущегося интеграла и ряда я так понимаю никак.
@@Verbalizator «Там без неберущегося интеграла и ряда я так понимаю никак.» В этом я не уверен, хотя всё остальное правильно.
Я преподаю высшую математику в ВУЗ-е.
Иногда ради удовольствия смотрю видео, связанные с математикой.
Так что на ваш канал набрёл случайно.
Посмотрел 3 видео, включая это.
Оцениваю положительно!!!
Приятно, что в сети есть каналы, на которых рассматривают задачи посложнее задач из стандартного курса "вышки"!
И, к тому же, довольно интересные задачки у Вас! 😊
Желаю успехов Вам!!!
dx/Г(1-х2) - мне вот эта замена была непонятной. Ведь Dx умножена на F(x) ' и еще плюс 1 под корнем!
Кито то спращиаль, с чево косинус появившись вдруг. Я, тоже не пониль с чево . На графике надо показывать одновременно, эти формальные построения и выводы. Наверное они там, задействовали угол начала координат и курса шарика, там будэ почти прямий угол. Вот они в ем и пошли косинус размечать.
@@ВысшаяМатематика-л2р На Ваш взгляд ( расчёт) , кто быстрее? Левый или правый, я фильм не видел, я за левого.
Вышка это не физика, коллега. В физике формулировка задачи определяет решение. Автор ролика перепутал КАЧЕНИЕ со СКОЛЬЖЕНИЕМ, а материальную точку, для которой он формулировал решение, назвал почему-то совершенно иным объектом - ШАРИКОМ, у которого кроме энергии поступательного движения при качении возникает ещё и вращательная компонента, весьма немаленькая, определяемая произведением момента инерции на половину квадрата угловой скорости.
@@electron_palychВсе верно пишете, о,, материальной точке" в условии этой задаче я писал ещё месяц назад, так скажите (как физик физику), какая льдинка будет на финише первой?
Была пара статей на эту тему в советском журнале "Квант" за 1975-й год (№№ 8 и 12). Задачу решали Галилей, Ньютон и Бернулли. Вот Бернулли и нашёл решение - шарик должен спускаться по циклоиде.
Кажется там 7 (?) решений было. Одно не подписанное. По когтям узнали Льва - Ньютон!
Фурье?
Это китайгородский с гельфандом заместо их писали
По брахистохроне - линии наискорейшего спуска.
@@vladimirkovbasa9552 это общее название, а форма такой линии может быть любая. в работах рассматриваются даже два отрезка прямой линии и скорость спуска зависит от глубины провала первой, почти вертикальной, но даже такая форма быстрее простой прямой линии
Чем больше отклонение траектории от вертикали, тем большее время потребуется. В качестве меры отклонения, по всей траектории, можно взять площадь фигуры, образованной линиями: x = 1, y = 0, y = f(x). Для параболы эта площадь меньше, значит и время меньше ))
Спасибо за видео ))
@Hmath куда-то делся Ваш комментарий о траектории y = x^5. А что с ней не так? Вроде, должно быть ещё меньшее время ) Если это не так - то вот это удивительно! Было бы правильным добавить в ролик )
да, пропадают комментарии, даже мои собственные. Да, для y=x^5 время больше, чем для y=x^2. В видео и есть общая формула, которую можно использовать для вычисления. Площадь не имеет никакого отношения к времени.
Исследовать при других степенях - это было задание для зрителей. И несколько человек уже здесь в комментариях написали правильные ответы.
@@Hmath Удивительно! Заинтриговали )) Попробую, когда время будет, самостоятельно посчитать. И подумать насчёт площади. Ещё раз спасибо за прикольную задачу ))
как вариант траектория вниз и влево, типа мячик отразился под углом 90 градусов и полетел в 0 координату. Площадь нулевая будет.
@@Hmath Площадь имеет непосредственное значение. В ней и есть смысл.
Приятно узнать, что есть еще люди, которые не знают куда приложить всё это выученное.
Автор - то - прекрасно приложил уже, - и все это видят здесь и обсуждают. А что вы приложили - здесь никто не видит.
@@Сереженька-т4н Это очень частный случай задачи о брахистохроне Иоганна Бернулли. Сформулирована впервые в Acta Eruditorum в июне 1696 года. Решена Ньютоном. Чего вам еще?
Неприятно знать, что есть люди прилагающие усилия для прогресса, не имеющие таких знаний!
@@mehanik_ru1013 Эффективные манагеры! Люди со знаниями прогресса, увы, не делают. Всё время сомневаются.
😂
Красиво. Прикольно, как проявляются старые знания в голове, как фотография в проявителе. Спасибо. Продолжайте.
потрясающе, с разложением интеграла в ряды это сильно.
о новый интересный ролик по околофизичной теме!
Очень вдохновляющее видео. Сразу желание спать пропало!
Брахистохрона... Первый курс лётного училища... 40 лет назад... Спасибо, автор!
АВИАТЕХНИКИ ПОСЛЕ ТАКИХ ФОРМУЛ - ВООБЩЕ СПИВАЮТСЯ .
ДА И СПИРТА У НИХ ЗАВАЛИСЬ !!1
Потрясающий контент! Очень познавательно, жду подобных задач)))
Спасибо за творчество! Не так давно услышал о том, что кровли китайских пагод выполняются в такой форме именно для сокращения времени скатывания воды с них...
Да не времени, воду просто от стен так лучше отбрасывает.
30 лет назад так все это было интересно и понято. Сегодня рада, что не приходится эти заниматься. Все-таки реальная жизнь интересней:)
Да это задача интересная. Мы из города Бухары. Ест и другие пути решения этой задачи. Огромное спасибо вам от имени моих учеников
время для прямой горки можно и проще вычислить. высота и ширина обе 1, значит угол 45°. сил трения и сопротивления нет, значит a=gsinα≈4.9√2. путь в свою очереди √2, далее s=at²/2
√2=t²*4.9√2/2
t²=1/2.45≈0.408
t≈0.64
Вот это да! Сложновато для меня но интересно!🔥
Блин.. как все сложно 😂😂😂
Хоть и интуитивно понятно! С правой горки - он почти ПАДАЕТ!
А с левой - катится ))
😂Нихрена не понял, но было очень интересно
Ого, я действительно не ожидал, что это будет такая резня. Спасибо и в то же время поздравляю.
Отличный выпуск!!! Хочется видеть побольше контента по физике!
По началу было понимание,дальше,мозг вскипел.Спасибо за баню.
Когда я учился в серьёзном советском техническом ВУЗе, у нас с первого курса было целых пять семестров вэ_мата. Первые четыре семестра у нас вела очень подколодная гадючная змея /женского пола/. А на третьем курсе на пятом семестре нам на чтение спецкурсов (вариационное исчисление, дифуравнения в частных производных и т.п.) поставили мужчину, выпускника мехмата МГУ. Принимал он у нас экзамен, кстати - либеральнее всх остальных преподавателей.
Так вот: с помощью аппарата этого самого вэ_мата он показал, что линия наикратчайшего спуска - это так называемая БРАХИСТОХРОНА ! Которая является дугой циклоиды.
ЗАНАВЕС !!!😄👍
Как в том анекдоте, преподаватель спрашивает:
-В километре от вас стреляет пушка. Вы сначало увидите или услышите выстрел?
Ученик - Конечно увижу!
Преподаватель - обьясните и докажите почему!
Ученик - Так это просто! Глаза же ближе к выстрелу чем уши!
😂
Минимальное время спуска будет по циклоиде, наилучшее приближение е^x, или как вариант 1/lnX или гиперболический косинус.
Зачем вы так грязно ругаетесь ? Тут же еще люди с творческим складом ума сидят, а у нас очень ранимое сердце :)
минимальное время будет в свободном падении.
30 лет назад все это было на физфаке универа, но сегодня я бы просто открыл одно из приложений моделирования физических процессов)) Отрадно, что умных людей довольно много, особенно радует, что много молодежи.
Рекомендую всем заинтересованным (кто не знает) почитать о брахистохроне
А именно: «Vsause брахистокрона», с канала VoicePower. Там один их ведущих Разрушителей Легенд - Адам Севидж :)
@@Anti_During да вообще почитать о ней. Очень интересный объект
Ну её нафиг. Один из самых простых для наблюдения объектов, а в декартовых координатах как функция от _x_ в элементарных функциях не выражается! 😠
@@boderaner y = r*arccos(1-x/r) - √(2rx-x²)
А?
@@kirillonf.m.4713 , это полная циклоида?
Я только полуарку вижу, отражённую относительно прямой y = x.
А по её инверсии даже WolframAlpha пишет «(no result found in terms of standard mathematical functions)».
Не ожидал решения этой задачи для всех интегрируемо-дифференцируемых функций. Круто!
8:10 тут получили по факту функционал)) было бы классно с помощью вариационного исчисления его исследовать
Так получается брахистхрона - кривая, обеспечивающая наискорейший спуск
@@Schaunard да)) думаю, многим было бы интересно посмотреть вывод этой кривой. Вариационку обычно всё же на мат. кафедрах изучают, а тут можно решить задачу, породившую данную дисциплину.
красиво порешали👌 если подумать, то сразу ясно, что наименьшее время будет при прямом вертикальном падении, если бы не перемещение в точку 0, ведь надо еще и по горизонтали подвинуть😅 вот действительно по какой кривой будет самый оптимальный вариант?🤔 не по экспоненте ли случайно🫠
@@WayfaringHD нет, по арке циклоиды
Замечательное видео. Напомнило мне о курсе философии и практики физики в 11 классе. Решали задачу о минимизации времени движения между двумя точками в поле силы тяжести. Все выкладки записали на бумажке, а потом с помощью динамической минимизации искали экстремум функционала времени.
Спасибо за видео! Мой первый курс в инфизе вспомнился, но нам так красиво все не объясняли.
- инфиз по какой специальности ?
@@ДжонХилл-г4р Инженер системный аналитик.
@@ДжонХилл-г4р Физрук, наверное.
Огромное Вам Спасибо ! Всегда смотрю Ваши ролики, увлекаюсь Математикой. Спасибо !
Спасибо огромное за качественные видео!
Немножко денег кинул на поддержку канала!
спасибо!
Для точного расчёта - браво.
А в жизни сразу понятно,с какой горки веселее. - Там, где есть начальный разгон 😏
Одна из моих любимых задач. Помню как ещё в универе её расписывал нам наш преподаватель по сопромату, как бы это ни странно звучало. 😊
А, нам это в технаре давали в 1983г
У нас предмет назывался вариационное исчисление, вёл наш же сопроматчик с нашей же кафедры сопротивления материалов. Суть задачи заключалась в поиске траектории т.е. функции для наибыстрейшего спуска. Помню я тогда был весьма впечатлён!
А в 1983 я только вылупился 🙃
Теоретически интересно и практически полезно. Довольно грамотно и доступно.
Только корректнее сразу говорить о мтаериальных точках, слово "шарик" тут лишнее и сразу требует оговорок о моменитах инерции.
Это верно. Многие были сбиты с толку из-за графики с нарисованным шариком и слова «шарик».
Вот в точку! Если моменты посчитать, то всё еще может и развернуться!
@@Micro-Mooделайте скидку на то что это ютуб, и тут этот контент может показаться интересным людям не из этой сферы, а начальное обозначение объектов "шариками " Делает трактовку задачи проще на слух
@@blackenedlazer «делайте скидку на то что это ютуб...» Это не я придумал и это не моё дело, но я не думаю, что нужна какая-то скидка. Если кто не понимает, может спросить, или вообще не смотреть. Нет никакой специфики TH-cam.
Ухх. Тут если шарик, да без проскальзываний, с одной стороны скатывается по x², а с другой стороны такой же шарик по x³, а потом соударение и посчитать насколько далеко он улетит из такого желоба высотой 1 (какой конкретно шарик улетит тоже вопрос). Отличная задачка на экзамене по теормеху. :) Для студента который весь семестр не ходил 😂
Интересное видео! Вот вроде бы и чувствуешь, что парабола ближе к свободному падению, и время должно быть меньше, но вот как это доказать - не знаешь. Спасибо автору!
Если честно, то довольно простенькая задача. Но как же приятно вспомнить теормех - первый семестр второго курса. Очень правильно поставлены граничные условия. Хотя я очень похожие задачи решал в ВФТШ ещё в 10 классе, в далёком 1969г. Автору лайк и респект за такие задачи. Классика нетленна🎉🎉🎉!!!
Очень сложная задача
ВФТШ - что означает? Вечерний аналог ЗФТШ?
В 1967-69г.г. Это была Вечерняя Физтех школа.
теРмех. "о" опускается.
Я закончил топ-10 по России лицей с физмат уклоном. Если бы у нас даже что-то подобное дали, причём не то чтобы в 10, - в 11 классе, - я бы просто молча встал и вышел. Пусть сами гниют с такими задачами
Я бы стал упираться в формулу двойного угла или что-то подобное, чтобы затащить тот косинус. Но иногда надо знать что интеграл не берется, но есть в книжке. Хороший урок))
Какой же я глупый, просто ужас автору респект, даëшь знания!
Не ты один
@@Александр-ш5и5н - Класс!
Спасибо за видео. Известная задача древности - о линии наискорейшего спуска. Ответ находится при решениии дифуры - это брахистрохона (она же кардиоида).
Еще есть примечательнав кривая - клотона (отвечает на вопрос о дорожных поротах..)
Проснулось желание по формуле пуассона эйлера найти допустимую экстималь и убедиться что это будет брахистохрона
в будущем сделаю и такое :) как без этого?
не знаю, что такое экстрималь, но на всякий случай написал донос
за брахистохрону придется ответить 😅
У меня таких проблем с лёгкими нет
@@Nikolai.Nidvorai 💯
Круто. Объяснение супер! Все понятно.
По этой логике строили крыши в китайских домах (в частности дворцах).Нужно было ,чтобы в сезон дождей, капли как можно быстрее покидали крышу.
Всё предельно ясно и точно. Очень хорошо разобрана задача.
Методом её максимума Понтрягина родимую. Максимизировать функционал. Читайте как рассчитывают трамплины и учите вариационное исчисление
Вот посчитать бы в какой кастрюле сварятся щи быстрее по времени в алюминевой или в эмалированной???
Мое почтение, отличный ролик!)
Надо ещё учесть, что в начале два допущения, но на самом деле сопротивления у шариков разные. Задача упрощена. Это кайф - красивое решение. Скучаю по дифурам.
Хорошее видео! Однако, кажется, с физикой есть небольшая проблема. Если речь идет именно о качении (то есть, движении без проскальзывания), значительная часть энергии шарика будет уходить во вращательное движение. Её доля определяется моментом инерции, и кинетическая энергия поступательного движения будет пропорционально меньше все время движения. По идее, можно представить это изменение, введя эффективное ускорение свободного падения, меньшее чем g. Лучше было сказать, что скользит шайба, а иначе модель неверная.
К математике вопросов нет :)
кажется это никак не повлияет на результат сравнения, а только на значение времен. Но соотношение останется тем же
@@vadimromansky8235 Да, конечно
Нет. В условии предлагается рассматривать движение материальной точки, а для неё никакого вращения нет. Графика с шариками сбивает с толку, это да.
а если бы это был кубик?
@@Micro-Mooне поэтому,автор сказал что трением пренебрегаем,а начать вращаться шарик может только при наличии трения!
А здесь как учитывается то, что шар будет вращаться, момент инерции, количество движения вращающегося тела?
Автор в самом начале исключил трение, а без него шарик будет скользить без вращения (если кто-то не раскрутит его заранее, но это на результат не повлияет)
Все проще, автор ввел в условие, что шарик - материальная точка
Поскольку вопрос стоит какое время меньшее, то вычислений реально не нужно. Опуская некоторые формальности можно так решить задачу. Рассмотрим семейство кривых соединяющих точки (1,1) и (0,0) выпуклых выше наклонной ОА и вогнутых ниже ее. понятно что время прохождения на самой верхней наклонной (это будет отрезки А,(0,1) + вертикаль (0,1), (0,0)) будет максимальной(случай 0), а движение по самой правой кривой (т.е. по отрезкам (1,1),(0,1) а затем по (0,1)к (0,0) минимальным (случай 2). т.е любая кривая выше чем другая даст большее время . Для примера оценим случай 2 : движение по вертикали t1 = 1/SQRT(g) и по горизонтали уже с постоянной скоростью T =1/g ) . Общее время будет их сумма = 1/SQRT(g) + 1/g, что меньше чем 2/SQRT(g) = 1/(SQRT(g) +1/SQR(g) (смотри вычисления автора) . понятно что в случае параболы время 1/SQRT(g)+1/g < Tpar
Так она же не монотонная, минимум достигается на брахистохроне, а не на вертикальной+горизонтальной
@@Terrain239 на брахистохроне траектория опускается ниже нулевой отметки, что не соответствует условию выполнения задачи.
@@АлексейК-т9ж Начну с конца -- в условии нигде не видел про опускание ниже ноля, но даже если добавить такое условие, то для точек (0, 0) и (1, 1) нужная дуга брахистохроны постоянно направлена вниз и не уходит ниже нулевой отметки. Брахистохрона начинает уходить ниже только когда горизонтальное расстояние хотя бы в pi раз больше вертикального.
Дальше про "монотонность функции времени при изменении кривой" -- тут корректней сказать функционал на множестве кривых, и на этом множестве нет линейного порядка. Можно взять пару кривых, где одна сначала ниже второй, а потом наоборот. Поэтому что имеется в виду под монотонностью не очень понятно.
Ну и ещё один аргумент, что монотонность не работает -- тот вариант, что Вам кажется интуитивно минимальным (случай 2) оказывается дольше, чем прямолинейное движение по диагонали. (спуск по вертикали за время sqrt(2 / g) по формуле a * t ^ 2 / 2 = h; скорость на горизонтали будет равна v = sqrt(2 * g), например, из закона сохранения энергии; итоговое время будет sqrt(1 / g) * (sqrt(2) + sqrt(1 / 2)) = 2,12 / sqrt(g), что больше 2 / sqrt(g) для диагонали)
Ничего себе! Я-то думала, что пара школьных формул - и найдём ответ, а тут выпрыгнул такой монстр! Насчёт минимального времени, по-моему, всё очевидно: нужно убрать горку. Ну, или сделать так, чтобы она была строго вертикальной.
Отдельно хочу поблагодарить автора за светлую тему! Глаза отдыхают, и можно не включать экранную лупу.
А в конце обязательно проверить теорию, скатив два шарика и с большой точностью измерить время спуска.
Есть и такие ролики, где одинаковые шарики скатывают одновременно с горок с разным профилем.
Только тут нужно учесть что шарики имеют еще и вращательный момент. Поэтому полная энергия будет распределяться немного сложнее
Есть такая лабораторная работа в институте.
Ого, супер тема, и вывод интегралов красивый
я тут поигрался с вольфрамом: график функции Г(х+2)-1 эффективнее 1-cos(pi*x/2) :)
Спасибо и за сюжет, и за интересные комментарии.
У меня хоть и высшее образование, но , честно говоря , высшая математика не есть моей сильной стороной😁😁😁
завидую тем , кто с легкостью оперирует этими формулами
студент спрашивает преподователя:
- можно два вопроса?
- да.
- почему заменили x = cos t когда t - это уже время?
- а второй какой вопрос?
- это и был второй вопрос.
я даже не подумал, что в замене в интеграле кто-то будет воспринимать t, как время. Но действительно, нужно было просто другой буквой для замены воспользоваться. Напишите x = cos u, тогда может меньше будет ассоциаций.
В каком месте смеяться?
@@Hmath надо просто добавить что эта замена равнозначна для t в интервале 0, Pi/2
как лыжник сразу про себя отметил, что параболическая кривая явно опаснее (если это спуск) в плане скорости, ушло на это секунды 3-4. Спасибо за ролик, каждый день за рулем решаю видимо огромное количество матзадач, чтобы ни в кого не вчесать.
Вот как-то зажали меня на парковке. После работы вышел и понял, что придётся долго маневрировать, чтобы выехать. Ситуация на самом деле типовая. Я в углу. Одна машина стоит параллельно моей, близко, но есть небольшое пространство для манёвра. Ещё одна машина стоит за моей, не вплотную, но близко. В общем, выезд возможен задом по диагонали, но прям впритык. Я ес-сно за 6-7 манёвров выбрался. А в голове родилась при этом задача: а как выехать за наим. метраж? Какая будет при этом кривая? Название для неё я уже придумал: припаркоида. Можно также искать наим. кол-во манёвров, поворотов руля и т.д. Слабо такую задачу решить? :)
Обязательно нужно решить, написать книгу, потом её переведут в программный комплекс, и автопилоты машин будут по этой теории парковаться!! Даешь припаркоиду!
@@С.т-л8ь припаркоида это прямо сильно)
Задача коммивояжера при числе пунктов стремящемся к бесконечности, а расстоянии между ними к нулю. 🤣 Как в анекдоте... "Задачу об устойчивости табуретки с 1,2,3 ножками математик решает быстро, но всю оставшуюся жизнь бьется над решением об устойчивости табуретки с произвольным числом ножек."😛
С интегрированием и разложением в ряд очень красиво и классно. Спасибо большое за качественное видео, от которого получил огромнейшее удовольствие!!!
Возникла идея, как решить в рамках школьной физики (не знаю зачем возникла, и зачем я это пишу, но мне понравилась идея и решил поделиться). Движение по прямой это равноускоренное движение, там формулы с 9 класса известны, на и все интегрирования в рамках вычисления площадей треугольников и по силам сообразительному школьнику. Скорее всего будет несложно показать, что если мы заменим спуск по прямой от (1; 1) до (0; 0) на спуск по ломаной от (1; 1) до (0.5; 0.25) и затем до (0; 0), то спуск по ломаной быстрее. Продолжая замены оставшихся прямых такими ломаными из двух отрезков мы будем приближаться к времени спуска по параболе, а раз по каждой ломаной спуск будет становиться чуть быстрее, значит итоговое время спуска по параболе тоже будет меньше.
Строгое доказательство может выглядеть так. Рассмотрим задачу: сравнить время спуска в двух случаях - 1) по отрезку, вершины которого находятся на параболе (т.е. берем время спуска по секущей для графика f(x) = x^2, построенной в точках x=a и x=b), 2) по ломаной из двух секущих (от b до (a+b)/2 и дальше от (a+b)/2 до a). Все формулы для выбранных отрезков считаются в рамках формул равноускоренного движения (надо только не забыть, что начальная скорость в общем случае ненулевая), а в силу общности доказательства для любых a, b и начальной скорости - результат применим ко всему описанному выше процессу итеративной замены ломаными. Кстати если попытаться просуммировать сокращения времени при таких заменах на ломаные - готов поспорить, что все равно вылезет эллиптический интеграл, но для ответа на вопрос задачи нам все-таки не понадобилось с ним возиться и можно пробовать рассказывать школьнику :)
вообще вы сейчас описали как раз то, что и делает интеграл: разбили на участки прямых, нашли время на каждом участке, а потом просуммировали :) Если устремить теперь длины этих отрезков к нулю, то и получится определение интеграла ;)
13:48 Вот и ответ - "От этого время спуска не измениться" На картинке одно, а в формулах горки разные, в этом случае пренебрегаем не только сопроматом но и рассудком 😀
Вы-то видимо уже давно и регулярно рассудком пренебрегаете 😀
А что вы тут хотите исследовать инструментами сопромата? Это обычная физическая задачка, но на усложненном математическом аппарате
У Вас есть краткий список самых ходовых не берущихся интегралов? Я на подобное натыкался когда надо было найти длину дуги. Вроде элементарные формулы и интегралы с корнем, а браться не берутся.
Градштейн И. С., Рыжик И.М. - Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (4-е изд.) - 1963
там больше 500 страниц формул :) Большая часть интегралов там как раз не выражается через элементарные функции :) Там ответы для разных определенных интегралов зато есть
Быстрее всего шарик, ИМХО, упадёт вертикально в точку под собой. Но это нужно уточнять)
В решении не учитывается вращение шарика вокруг собственной оси (можно списать на отсутствие трения), но в реальном эксперименте шарики будут именно СКАТЫВАТЬСЯ, а не соскальзывать!
В уравнение энергии нужно сделать поправку на энергию вращения шарика (у Фейнмана об этом хорошо написано).
Если хотите решать без вращения, то в условии можно указать, например, что санки скатываются с горки :)
пусть будет так :)
При вертикальном падении шарика время будет равно t1=sqrt(2/g)≈0,4515 с
только, падая вертикально вниз, не попасть из точки (1,1) в точку (0,0) ;)
@@Hmath, кто мешает перед падением повернуть плоскость координат на 45°? Правда, придётся тогда и расстояние помножить на ⎷2.
@@boderaner «кто мешает перед падением повернуть плоскость координат на 45°» Это ничего не изменит. Вы же силу гравитации не собираетесь поворачивать? Физические явления не зависят от выбора неподвижной системы отсчёта. Возможно, не всё чётко оговорено, но изначально задачу можно понимать как задачу о движении между двумя фиксированными точками и заданным направлением силы гравитации, а уже траектория между этими двумя точками может варьироваться. Если бы речь шла только о движении с определённой высоты, всё было бы тривиально, тогда вертикальное падение.
Очень хорошее повествование, отличная анимация формул!
Но нужно было сказать, что ещё мы пренебрегаем вращением шарика, так как вообще-то нужно ещё учитывать кинетическую энергию вращения Iω²/2, тем более если говорится, что шарик не проскальзывает.
Именно поэтому в школьных задачках с горок не шарики скатываются, а "гладкие" бруски сползают.
Лучше всего решать задачу без матиматики, а только физикой и логикой.
для этого изминить условия задачи представиив 2 крайних случая.
1. вариант это ломаная линия где шарику необходимо для начала спускаться почти горизонтально пол дороги, а затем почти свободно падать.
2. вариант это наоборот шарик изначально полпути почти вертикально падает а затем катиться почти горизонтально.
естественно на пол пути сделать некий с радиусом переход, чтобы вся энергия перешла в движение, а не удар. и сам этот переход можно не учитывать, так как он нужен не для практики, а для более наглядного результата, где основное-это определяется что даст больше скорости.
3. и мы получим результат, то что в случае когда сперва шарик падает, то на слабой наклоненной поверхности он начнет движение с начальной точки не с нулем скорости
а вот когда он сначала катится, то он начинает с нуля скорости. А вертикальное падение у шариков всегда одинакого.
Поэтому чисто логически выходит что шарик выгодно сперва отправить падать, а затем уже катиться.
Вывод чем ниже график (точка перелома с вертикали в горизонталь) тем выше скорость.
Элементарно Ватсон 🎉, и зачем городить огород? Ох уж энти математики, ох уж энти физики...
т.е если рассмотреть функции вида y=x^a, то, исходя из вашей логики, чем больше а, тем меньше время спуска (потому что в этом случае как раз сначала наклон будет всё больше). Но на самом деле это не работает. Вы забываете, что в этом случае растет и путь, который нужно пройти и это напрямую влияет на время. Ох-уж-эта-математика говорит, что для таких функций степень а~2.5 должна быть для минимального времени, а дальше время только увеличивается с ростом степени
Спасибо, добрый человек!
Наконец-то у меня в голове уложилось "почему". А то, расписали пятиэтажные формулы, просчитали-доказали, а почему так по формулам выходит, в видео не объяснили...
@@Hmathа как можно точно определить это 2,5. То есть я например посчитал, что при 4 t больше чем при двух. То есть между 2 и 4 есть эта точка перелома после клторой время снова начрнает расти. Брать вторую производную? Но как-то стремно учитывая, что и у первой есть только приближенное значение...
там же страшные выражения получаются, не найти так аналитически. Просто численно подбирал. примерно 2.5 :)
Решить я бы сам не решил (лентяй и скорее всего не потянул бы), но интуитивно я угадал. Это радует. :)
По-моему, тут чисто интуитивно было понятно, что шарик на вогнутой параболической горке быстрее получит начальное ускорение, а чем быстрее он его получит, тем выше будет ускорение ускорения.
после такого мат.доказательства все мы умные
В этой задаче нет ускорения ускорения т.к. зависимость координаты от времени здесь имеет не более, чем вторую степень. Так что ваша интуиция вас подводит.
@@malejeeck почему же подводит? Откуда же появляется выигрыш во времени если шарик движется по более длинному пути? Обьяснения типа "из частных производных с интегралом" ? Это смешно, математика лишь подтверждает что по параболе шарик катиться дольше, но начальный путь у него круче.
@@áúéúóá автор не учел разницу в воздействии силы тяготения на шарики в начале пути.
именно
Эта задача решается в общем виде в вариационном исчислении, решением является брахистохрона.
Есть ли смысл рассматривать эти частные случаи со школьной математикой?
Не подскажете когда в школьной математике появились полные эллиптические интегралы второго рода и в каком разделе?
@@annapharmakis697 может я и преувеличил немного, но сути это не меняет.
@@diogeneslaertius3365 Я редактор, для меня это важно:)
Теория рядов у меня была в 4 семестре института.
Тут скорее физика школьная, а мат. аппарат вполне себе вузовский
Хорошее видео, хорошее решение было у Эйлера)
Мне нравится смотреть ваши видео. Подкину идею: попробуйте решить интеграл с функцией Ламберта
не дошло до меня почему х=cos t???
Предельные значения 0 и 1. Какие функции принимают значения в диапазоне от 0 до 1. Только sinx и cosx. Вот и логика замены
Замечательное видео, лаконично и понятно.
Внезапно ютуб решил, что мне пора перестать деградировать
Согласно численным расчетам по формуле из видео, при степени 2,48 время будет минимально = 0,593 с. И при степени 16,927 время станет таким же как и для прямой горки
Если поднять точность то получим: .. при g=9.8 и степени ~2.47919395 , время спуска будет минимальным ~0.59347 сек (при степени 2 оно равно ~0.595сек.) .. При степенях за 1000 (очень крутая горка вначале, потом плоская) время стремится к 0.676 сек. (близко к времени падения с метра 0.451754сек. + 0.225877сек. время потом проехать по горизонтали (в условии из координаты (1;1) в (0;0) скользим) метр с набранной скоростью .. и того = 0.6776сек.)
ну можно смело выставлять в финале чемп мира по математике... даже если знаешь идею - вряд ли быстро справишься с эллиптическим интегралом... тем более потом ряд, в котором не понятно до какого члена доползать, что бы нужное приближение получить... много времени займет... крч, жесткая задача... при совсем безобидной формулировке)) мне нравятся такие ловушки
Для олимпиады любого уровня вряд ли подойдёт, так как на олимпиаде время ограниченно. Для олимпиад нужно стремиться придумывать задачи, требующего нетривиального мышления, но такие, для которых готовое решение можно изложить очень коротко. Конкурсант либо ничего не придумает, либо найдёт красивое и легко доказываемое (когда оно уже известно) решение, с минимумом выкладок. Да, я знаю, что придумывать такие задачи крайне трудно.
можно было то что с параболы катится изменить на мат маятник и убедиться что время будет меньше)) так что задача не самая сложная
Поразительно! Простыми законами физики тут не обойтись. Как сказал великий учёный Галилео Галилей
Математика - это язык, на котором написана книга природы. “
Видел такое в ролике про вариационное исчесление
ну оно понятно, это первое с чего начинают обычно предмет вариационное исчисление и интегральные уравнение, а именно с брахистохроны
@@TheDelwish да я сейчас об этом посмотрел узнал
Вообще-то исчИсление
@@evgenysapotnitsky8234 Но при этом в слове "вариационное" не ошибся. Чудеса!😃
По идее, потенциальная энергия преобразуется в кинетическую. Скорость конечная д.б. равной?
интересно, если б при приеме на работу в госдуму надо было обязательно решить такую задачу, в каком мире мы бы сейчас жили?
В том мире, где мы бы здорово сэкономили на содержании банды дармоедов.
Знание математики никак не связано со другими науками и навыками. К сожалению.
в мире жутких зануд 😊 типа Шелдона Купера....ой сорри, доктора Купера.
@@alegthephilosopher4429 связано, ведь математика и геометрия плюс физика и житейский опыт - это уже даёт логическое мышление. Отсюда понятно, что выбирая артистов, спортсменов и шоуменов, народ изначально будет в проигрыше.
Если бы все занимались арифметикой, пахать было бы некому и сеять сытное, доброе и светлое.
Подохли бы все наверняка, это как если бы все в планшете сидели и любовались чужим трудом.
Чем ближе траектория движения к свободному падению, тем быстрее тело пройдет участок