Супер ЖЕСТЬ для продвинутых: x^5+(6-x)^5=1056
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 28 ก.ย. 2024
- Решите уравнение: x^5+(6-x)^5=1056.
Поддержать Проект: donationalerts....
Новая Группа ВКонтакте: volkovv...
Почта: uroki64@mail.ru
Разность n-х степеней здесь: • Вывод формулы для разн...
Решение конечно прикольно, но это как апендицит вырезать со спины
Сдаю информатику, у меня прям рефлексом было разбить 1056 на 1024 и 32. Ну а дальше я думаю все видно...
да, +
Да я так и решил сам, без раскрытия диких скобок. Х^5+(6-Х)^5=2^5+2^5*2^5; пусть 6-х=у, тогда х^5+у^5=2^5+4^5; получаем систему из двух простых уравнений:1){х^5=2^5;у^5=4^5} Откуда х=2,у=4,(6-х)=4,х=2 и второе уравнение 2) {х^5=4^5;у^5=2^5} Откуда х=4,у=2,(6-х)=2,х=4 ОТВЕТ: Х=2 либо Х=4
@@johnsmith-ou2nv это правда, но тут нет доказательства полноты - того что не может быть других решений
@@GelesGames ну хз, тут подругому даже не предполагаю как, тут мах два уравнения либо так либо так, третьего не дано
@@johnsmith-ou2nv это неравносильный переход
Если сразу сделать замену y = x-3 и раскрыть степени, то получится намного быстрее и красивее
Шикарно. Большой лайк и подписка. Решение точно. Но есть еще вариант решения в комментах. Думаю, эта задачка вовсе не жесть -- просто красива в плане симметрии :)).
Ее здесь многие так и решили, а именно (вставляю решение): замена t=x-3; замена именно такая, чтобы была симметрия и взаимные сокращение после раскрытия по биному Ньютона; далее получаем после раскрытия по биному: (5t^4*3+10t^2*3^3+3^5)*2=1056; остальные слагаемые взаимно сокращаются; делим на 6: 5t^4+90t^2+81=176 или t^4+18t^2-19=0; D/4=9^2+19=100; t^2=-9+/-sqrt100=-9+/-10; t^2=1; (комплекс. корни отбрасываем); t=+/-1 и, наконец, x=t+3=4;2. Задачка всё же красивая, но вовсе не жесть. Уровень ЕГЭ.
И еще простой вариант решения: легко видеть корни 2 и 4. Стало быть, делаем замену на t=x-3 и делим многочлен после замены на (t-1)(t+1), ибо делить на (x-2)(x-4) исходный многочлен чуток муторнее. Короче, делим t^4+18t^2-19 на t^2-1 (по сути, такое простое деление в уме можно сделать) и получаем t^2+19=0. Т.е. больше корней вещ-х нет. [Если комплексные нужны, то находим и их: x=t+3=3+/-(sqrt19)i]
Спасибо ! Очень наглядно и доступно для учеников средней школы. Именно пошаговое преобразование для решения очень важно ,чтобы успешно работать с подобными заданиями.
Это тот самый (редкий) случай, который решается простым подбором за 1 мин) два в пятой = 32, четыре в пятой = 1024, 32 + 1024 = 1056
А потом докажите, что других корней у этого равнения нету.
@@5434345 сам доказывай, он не обязан
@@dis5422 в смысле "не обязан"? у уравнения 5 степени может быть до 5 действительных корней
это то же самое, что решать квадратное уравнение x^2-x=0 и при этом сказать "х=0 - очевидный корень, И ВСЕ О_О"
Андрей Яковлев,
Если не быть дупелем, то наличие максимум двух корней доказывается элементарно. Берётся производная левой части управления и определяется единственная стационарная точка x= 3. Также по знаку производной легко проверяется, что слева от этой точки функция монотонно убывает, а справа растет. Далее сравнивается значение F (3) с 1056 и устанавливается наличие у исходного уравнения ровно двух корней.
В чем интуитивно прав тезка Иванков, так это в том, что если бы у уравнения были иррациональные корни, то методом автора его все равно решить было проблематично.
вообще-то хватило 10 секунд. причем, последние 9 - на проверку версии )
Как по мне , замена x=t+3, дальше раскрытие (t+3)^5 и использование этого для раскрития (3-t)^5 дальше сложив получаем биквадратное уравнение. Даже не зная бинома Ньютона легко возвести в 5 степень
Да, да. И получаем после раскрытия по Биному: 5t^4*3*2+10t^2*3^3*2+3^5*2=1056; остальные слагаемые взаимно сокращаются; делим на 6: 5t^4+90t^2+81=176 или t^4+18t^2-19=0; D/4=9^2+19=100; t^2=-9+/-sqrt100=-9+/-10; t^2=1 (комплекс. корни отбрасываем); t=+/-1 и, наконец, x=t+3=4;2. Вот и всё. Ок, задачка всё же красивая. Люблю симметрию. Большой лайк автору канала!
@@lookatthisview6004 В уравнении вида (х-а)^n +(x-b)^n=C делается замена х+(-а-b)/2=t.
Мне кажется, не все хорошо понимают, почему "будет удобно" производить те или иные преобразования. Было бы неплохо оговориться, что вы сводите уравнение к виду, где будет встречаться только xy. Тогда ваши неочевидные преобразования обретают четкую направленность и смысл.
Вот и я не понял почему разделили на 5, а главное что разделили на 5? Ведь в правой части 0
*Комплексные корни* тоже подходят
x = 3+sqrt(19)*i
x = 3-sqrt(19)*i
Много терпения и изобретательности надо на решение. 2 подставы. Жестяная жесть!
Замена х=3+t. Раскрывая скобки получаем биквадратное уравнение t⁴+18*t²-19=0. Корни t²=1, t²=-19. x=2;4;3±i√19
правильно. давай везде комплексные числа приплетать. а то фраза "нет корней" звучит не полной. нужно всегда дополнять, что именно в ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЛАХ их нет 😁😁😁
В этом ей богу больше смысла.
@@icedragonroyal4550 Рівняння 4-ї степені, згідно основної теореми алгебри, повинно мати 4 комплексних кореня, що в принципі і було показано.
Я думал , что единственный к такому додумался(хотя это было несложно), пока не глянул в коментарии
Ничего себе) Я когда решал, точно такой же заменой делал) Думал в комент написать, а тут уже) И комплексные не забыл. Меня сначала смутили 4 корня, а потом я понял, что там 5 степень в 0 вырождается)
Очередной раз спасибо Ютуба,смотрю и наслаждаюсь,здорово!!!
1.В исходном уравнении переносим всё в лево раскрываем скобки приравниваем к нулю.
2. Разложим на множители, получаем:
30(x-2)(x-4)(x²-6x+28)=0
3. Скобки приравниваем к нулю, получаем x=2, x=4, третья скобка корней не имеет.
А может сразу ответ записать?
Разложение на множители надо видеть, а тут даже множителей не видно
Спасибо
@@yellow_arrow3258 можно с помощью теоремы безу и схемы Горнера.
А еще есть корни x= 3-i√19 и х= 3+i√19, комплексные корни))
Как ты посмел опередить меня !
Степень пятая должен быть ещё один!
@@vladimirzadiran5609 не совсем, тут степень сокращается, так что 4 корня, 2 действительных и 2 комплексных
Блин, из простой задачи сделали такое сложное решение... Можно было сразу заметить, что левое выражение симметрично относительно x=3 и сделать сдвиг туда, таким образом симметризовав уравнение. Получится биквадрат с очевидным решением.
P.S. Судя по комментариям, многие решали таким же способом. Молодцы!
Я с тобой согласен) Мне не сразу, но после записи как суммы 5 степеней тоже бросилась в глаза симметрия x и (x-6), и тут уже прямо школьный опыт говорит сделать замену t=x-3)))
А вы представьте как этот умник преподаёт ученикам.
@@ВоваТерещенко-б1г Зате він вважає себе "продвинутым ".
Впринципе, я тоже угадал сразу, но прикол таких задач не в том чтобы подобрать, а по возможности решить, хотя с производной тоже понравилось) просто корни такие что можно угадать)
С самого начала знал про 3±i✓19', жаль не рассмотрели
Я её в уме решил. Я заметил, что 1056 = 1024 + 32 = 4^5 + 2^5. И всего то. Конечно это не гарантирует того, что других корней нет, но всё же оказалось правильным))0)
Вот из-за таких способов решения заданий части С на ЕГЭ люди потом и удивляются, почему всё решил, а баллов за задание - ноль.
@@dmxumrrk332 это был рофл...
Проверить что нет других корней, кроме этих несложно. Раскрыть скобки в левой части, 1056 перенести влево, привести подобные слагаемые. Далее, или проанализировать полученную функцию на монотонность и убедиться, что только 2 пересечения графика с осью Х, или, что ещё проще, разделить полученный многочлен на х-2 и х-4 и понять, что у полученного в остатке многочлена нет действительных корней.
У нас в Сербии есть множество умных математиков, но нет такого методичества как у вас.
Это удивительно. Просто поэтического.
Жаль что у меня нет авторизации для учения нашей детей на том уровне. По моему мнению наша литература по математики и классической механики енигматическая и по тому большинство нашей тальентнвой детей попадает.
Большое спасибо уважаемый господин Валерий Волков
(Прошу прощения за долгий ком.)
Очень интересное и познавательное видео! Спасибо!!!
Спасибо за разбор! Графическим способом удобнее, но это не мои домыслы, это в принципе так есть. Найти производную функции в левой части уравнения, её нули, из этого функция имеет один экстремум в конкретном случае, и слева/справа от него убывает/возрастает на промежутках от минус/плюс бесконечности до значения в точке экстремум, вертикальных асимптот нет, что её минимум в точке экстремума меньше значения константы правой части, а значит имеет всего 2 точки пересечения с прямой y=1056. Корни можно найти подстановкой, доказав, что их ровно два. Ещё что-то забыл, ведь школу 11 лет назад окончил... Функция непрерывна, определена для всех x, ну в общем, эль класико.
Но вот что я заметил: эта функция симметрична относительно x=3, и корни уравнения, если константа больше минимума, будут всегда симметричны относительно этой прямой. А как это называется? Функция вроде бы сама не чётная, но относительно x=3 чётная. Как её назвать и как это использовать вот что интересно))
Соглашусь с каментами насчет замены х=3+t, единственное что хочется добавить, это что функция симметрична относительно вертикальной прямой х=3, это видно из ее уравнения, поэтому и стоит "сдвинуть" ее заменой. Полученное биквадратное уравнение легко решается по т. Виетта.
А ещё такое уравнение можно методом Гаусса решить. И имеет смысл заострить внимание на том, почему у свиду уравнения 5й степени всего четыре решения вместо пяти.
Потому что это не уравнение пятой степени. x^5 сокращается, если раскрыть скобки.
а я всё сижу и думаю: где же пятый корень??
Вот это экшн!!!! Лихо, адреналин зашкаливает =)))
Ааа, какая сложная задача, лучше пойду пива бахну и дальше буду деградировать!
И в дотку покатать или CS.
А кто вам сказал, что вы развиваетесь на этих видосах? Тут 2 варианта:
1) или вы сами все поняли, что делает видос бесполезным.
2) вам видос открыл глаза на решение, и он оказался полезным, но это не сделало вас умнее даже на 0.001% Вы просто получили знание, которое будете применять в похожих ситуациях, практически, механическая память. Никакой речи об умственном развитии не идёт.
Я решил быстрее, чем автор:
x^5+(6-x)^5=1056
Если х=1, то 1^5+(6-1)^5=1+3125=3126;
Если х>1>=2, то 2^5+(6-2)^5=32+1024=1056.
Ответ: x=2.
@@aleksandr-1978 а 4 где, а если бы пример подобрали так, что ответ включал корни квадратные?
@@llllNEOllllchannel Математические задания хорошо прокачивают соображалку, если вникать в суть
исследовать функцию на монотонность, у нее только один экстремум, и тот минимум. в точке 3. Далее слева и справа подбором корни в точках 2 и 4.
Спасибо! Если не секрет, Ваши ученики решают задания такой сложности, и, если решают, то чем Вы их кормите?!
Ватрушками конечно
Мельдонием.
Да тут просто. В таких задачах главное правильную замену подобрать
@@vladoss4643 не обязательно... этот пример решается легко путем элементарного подбора значений х при которых х в 5 степени близко к 1056... это 4 в 5 й степени 1024... и оставшееся 32 это 2 в 5 степени... отсюда и два подбираемых ответа х1 = 2, х2 = 4.
@@eminemin7527 У меня более универсальный подход. Хотя, конечно, в этой задаче так тоже можно сделать.
Ответ: 4. Цифры небольшие. Решил методом подбора. Старый, добрый проверенный метод. Как и сложные функции по точкам строить) На тестах помогает
ну-с, методом подбора зачастую можно упустить корни. вот вы, например, не учли x=2.
@@АлександрАверьянов-ж8у Да, я начал с 6 и пошёл вниз. Нашёл ответ и успокоился. Даже не думал, что может быть и не один. Но посмотрев решение, однозначно скажу, что я бы не решил её даже в лучшие математические годы
Решение понятно! Благодарю за то, что продвинулась))
А мне было проще раскрыть по биному Ньютона, потом по схеме Горнера найти корень 2 и потом 4 :)
Впрочем, Ваш метод очень красивый!
А не проще было подстановкой цифры сделать вместо икса, попробовал 3 нет попробовал 4 да. Что за маразм искать какие то сложные пути решения
@@afganezz Нужно доказать все возможные корни математически ну или графически, а не подбором подогнать ответ
@@vipercrn кому нужно
У меня есть решение попроще и оно вроде бы даже правильное.
Можно 1056 представить как 1024+32=1056
2^10+2^5=1056
4^5+2^5=1056
x^5+(6-x)^5=4^5+2^5
Отсюда можно сказать, что (x=4 и 6-x=2) или (x=2 и 6-x=4).
В первом случае x=4, во втором x=2
P.S x=3 - стационарная точка. До неё функция убывает после неё возрастает, при x=3 f(x)=3^5+3^5≠0 значит уравнение имеет два различных корня, которые можно найти выше описанным способом.
Так же решал
Botayu Ege просто проверь
вместе х=2 или 4 поставь и выйдет 1056
А в чем проблема построить график функции, вместо всего этого извращения?) Очевидно, что при больших значениях x (положительных или отрицательных) график будет расходиться в разные стороны - это легко доказать.
Какая нафиг функция? Если ты в этом понимаешь-делай,но можно этот пример решить быстрее,если внимательно посмотреть на число 1056.
@@АлександрПак-с6у тебя графики рисовать в школе не учили с осями x и y?))
функция y = x^5 + (6-x)^5 - 1056 - строим график и ищем такие значения x, при которых y будет равен нулю. Очевидно, что при больших положительных или больших отрицательных значениях x, график будет стремиться в плюс или минус бесконечность.
Очень нужное и жизненное уравнение. Именно на таких уравнениях лучше всего объяснять школьникам красоту математеки и ее нужность в дальнейшей жизни.
Чтобы не долго "убивать" желание учиться, а мгновенно, одним уравнением! Я имею в виду школьников обычных школ!
Люблю математику конечно, но это уравнение нужность математики никак школьникам не раскроет, это просто банальное нахождение неизвестной переменной, ради того чтоб знать какое за ней скрывается число. Это скорее убьёт в них желание учиться своей сложностью (ну в большинстве из них), лучше показывать достижения математики на примере реальных вещей. Ведь математика это фундаментальная наука, благодаря ней сделаны большинство вещей, привычных нам.
Эту идею я почерпнул из другого Вашего сайта. Удивительно, что здесь Вы ее обошли.
Подстановка: x = 3+y, отсюда 6-x = 3-y. Применяем формулу бинома
(3±y)⁵ = 3⁵ ± 5⋅3⁴⋅y + 10⋅3³⋅y² ± 10⋅3²⋅y³ + 5⋅3⋅y⁴ ± y⁵
После сложения слогаемые с нечетными степенями y взаимно уничтожаются и получаем
2⋅3⁵ + 20⋅3³⋅y² + 10⋅3⋅y⁴ = 1056
Для упрощения вычислений делим обе части на 6:
3⁴ + 10⋅3²⋅y² + 5⋅y⁴ = 176 или 81 + 90 y² + 5 y⁴ = 1056
Переносим свободный член влево, приводим подобные, делим на 5, получаем биквадратное уравнение:
y⁴ + 18 y² - 19 = 0, которое решается подстановкой t = y².
Корни уравнения 1 и -19. Отсюда y² = 1 => y = ±1 или y =±i√19 , откуда x₁ = 4, x₂ = 2, x₃ =3+ i√19, x₄ =3 -i√19
Уравнение не простое, даже слишком. Я не заметил замену, как Вы, поэтому пошел напрямик, то есть раскрыл скобки и при приведение подобных слагаемых вывел, что х⁴-12х³+72х²-216х+224=0
И как вы говорили в каком-то из роликов, что это можно решить методом неопределённых коэффициентов. Мне, конечно, повезло, раз числа оказались целыми, но я выяснил, что а=с=-6 , а b=28 , d=8 или b=8, d=28 ( тут без разницы, так как а=с) и получил х=4 или 2 . Это не считая комплексные корни.
Ответ : 2;4
Корни 2 и 4 находятся как делители свободного члена. Далее исследуем функцию f(x)=x^5 + (6-x)^5. Получаем один экстремум - глобальный минимум x=3. При x3 - строго возрастает, а это значит, что с прямой f(x) = 1056 может быть не больше двух точек пересечения, и мы их сразу нашли, а других решений, кроме 2 и 4, нет.
Замена t = x-3 приводит к биквадратному уравнению после раскрытия по биному
С удовольствием смотрю Ваши решения, очень хороший тренинг для мозга.
Это почему нет корней от первого уравнения, что в Вашем видео? Есть. Просто они комплексные: 3 + i√19, 3 - i√19.
Неужели продвинутый уровень не подразумевает знания комплексных чисел? :)
Я начинал решать иначе:
Раскрыл скобки и перенёс 1056 влево. Таким образом избавился от пятой степени. Получил: 30x^4 - 360x^3 + 2160x^2 - 6480x + 6720 =0
Поделил это выражение на 30 и получил симпатичное уравнение 4-й степени: x^4 - 12x^3 + 72x^2 - 216x + 224 =0
.......................................................
По схеме Горнера подбираем делитель как один из сомножителей свободного члена 224. Например, подходит 4. Поэтому полученное уравнение четвертой степени делим на (x - 4). Получаем:
(x - 4)(x^3 - 8x^2 + 40x - 56) =0
С полученным кубическим многочленом поступаем аналогично. Теперь подходит 2. Делим уравнение на (x -2):
(x - 4)(x - 2)(x^2 - 6x + 28) = 0
...............................................
Приравниваем все сомножители к нулю, решаем новые уравнения.
Первые два дадут действительные корни: 4 и 2, а квадратное уравнение два комплексных: -(-6)/2 + √((6/2)^2 - 28) = 3 + √(-19) = 3 + i√(19) и 3 - i√(19).
По-моему, можно и не в "лоб" решать, а окольными путями. Исследовав записанную в левой части ур-я функцию, определим, что её график подобен параболе с одной точкой минимума, равного нулю, при x = 3, относительно которой она симметрична (являясь при этом положительной на всей области определения, кроме точки минимума). А значит, число корней исходного уравнения - ДВА.
Далее. Предположим наличие в уравнении ЦЕЛОЧИСЛЕННЫХ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ. Как можно оценить, положительным числом возведённым в 5-ю степень, дающим БЛИЖАЙШЕЕ к правой части уравнения число является 4 (1032). Подставив его в ур-е, увидим, что оно обратилось в тождество. - Ура!!! Мы почти подбором нащупали ПЕРВЫЙ корень ур-я.
Но помня о симметричности функции из левой части ур-я, радостно понимаем, что и при х = 2 всё должно "сойтись". - Проверяем и убеждаемся, что это так и есть.
Вот и всё. х1 = 4, х2 = 2.😀
3-х=t, x=3-t, раскрыть скобки, получится биквадратное уравнение, ответ:4,2, спасибо автору за удовольствие применить приемы, редко используемые!
Хочу предложить немного другое решение. Кажется, что оно более простое.
Исходное уравнение поделить на 6^5. Пусть t = x / 6
Получаю t^5 + (1 -t)^5 = 1056 /(6^5)
Следующая замена t = k + 1/2 ; 1 - t =1/ 2 - k
Получаю (k + 1/2)^5 - (k - 1/2)^5 = 11 / 81 (по биному Ньютона видно, что останутся только ЧЕТНЫЕ степени k , то есть задача свелась просто к решению биквадратного уравнения, "подняться" до x, зная k не составит труда)
Приведенное решение очень полезно для обучения всяким преобразованиям, решениям систем уравнений, но для конкретной задачи какое-то... скучное. Во-первых, как уже многие заметили, можно упростить преобразования сделав замену t=3-x, и раскрыв скобки. Но это тоже как-то неинтересно. А если там не пятая степень, а пятнадцатая (при другом числе в правой части уравнения, конечно), что тогда?
Предлагаю такое решение.
1. За несколько секунд приходит понимание, что 1056=1024+32, соответственно х=4 или х=2.
2. Исследуем функцию - левую часть уравнения - с помощью производной. Она вычисляется элементарно и равна 0 только в точке 3. Соответственно фу-я убывает на (-оо;3] и возрастает на [3;+оо). Значит более двух решений данное уравнение иметь не может.
3. Ответ: 2, 4.
P.S. Понятно, что такое решение основано на том, что корни видны сразу, а это может быть и не так. Но с другой стороны, интересно придумать более быстрое решение в конкретной ситуации, когда ответ очевиден, а возиться после этого с кучей скобок нет никакого желания.
1056 = 4^5 + 2^5. Ответ 4; 2 ;)
Где доказательство, что другие R не подходят?
@@ИванВоронин-и2м симметричное относительно 3 уравнение пятой степени имеет 4 корня. Т.к. число справа больше 2*3^5, значит есть 2 действительных корня. Хотя то, что правая часть раскладывается по степеням двойки, конечно, случайность. Решение типа "можно заметить, что..."
Est' prosche reshenie: Predstavit' 1056 kak 2^5+4^5. x^5-2^5=4^5-(6-x)^5, predstavit' kak raznosti 5 stepeni; vynositsja (x-2) a dal'she prosto.
Отличная задачка!Я её немного по-другому решил, но и этот вариант отличный!! Школу закончил в 76-м прошлого века.
Задач тем хороша, что громоздкое решение приводит к простенькому и очевидному ответу. Но оно того стоит! За что я уважаю автора, так это за его многоэтажные решения.
Легко заметить что корни 2 и 4. А дальше дело техники
Eto uravnenie 4 stepeni.. Gde ostalnye 2 kornya (soglasno osnovnoy teoremy algebry)?... ili tam est' povtoryayuschiesya korni? Ili esche 2 kompleksnyh? Davaite eto pokazhem! Spasibo...
Делаем постановку x=2*y
Получаем y^5+(3-y)^5=33.
Решение y=1 и y=2. Переводим x=4 и x=2.
Зачем такое длинное решение?
решение 2 и 4 увидел почти сразу - просто поняв что 1056 = 1024+32=4^5 + 2^5, 1056 к степеням 2 близкое число а их я помню )) а дальше можно просто разделить в столбик многочлен и найти оставшиеся решения
Можно проще:
Пусть f(x)=x^5-(6-x)^5
f'(x)=5x^4-5(6-x)^4
Надем точки экстремума:
f'(x)=0 ⇔ 5x^4-5(6-x)^4=0 ⇔ x^2-(6-x)^2=0 ⇔ x-6+x=0 ⇔ x=3
f'(0) f(x) убывает на x
С производными - это зашквар )))
Да, методы матанализа иногда рулят.
Более простое решение корни угадать, при помощи производных доказать что других быть не может. А так 5-я степень в радикалах не решается по теореме Галуа
5-я степень не решается в общем виде. А здесь и не 5-я даже)
Вот случай повторить бином Ньютона. Поскольку 6^5-1056 делится на 30, то можно смело все поделить и получится вполне легко раскладываемое на множители выражение. Видно и действительные, и комплексные корни. Если пользоваться формулами комбинаторики, то калькулятор не понадобится)
Я как гуманитарий, методом подбора быстрее решил, логично что х не может быть больше 5, так как 5 в 5 степени будет уже совсем много, то есть остаётся методом перечисления подставить под иск 2,3,4 и ответ ясен
Ещё одно решение может быть и таким.
Имеем алгебраическое уравнение четвёртого порядка с целочисленными
рациональными коэффициентами. Предположим, что некоторые корни
рациональны и пусть корень x* > 0. Тогда для этого корня имеем:
x*^5 + (6 - x*)^5 = 1056.
Следовательно, (6 - x*)^5 < 1056. Извлекая из обеих частей этого
неравенства корень пятой степени, получим что для x* необходимо
выполнение неравенства: (6 - x*) < 1056^(1/5). Заметим, что 5^5 = 3125 <
1056, а 1056 > 4^5=1024. Поэтому имеем право потребовать: (6 - x*) < 5 при
x* > 0. Остаётся только проверить, что корни x1 = 2 и x2 = 4
удовлетворяют нашему уравнению.
Предположим, что x* < 0. Обозначим -y* =x*, где y* > 0. Тогда для y*
должно быть выполнено: -y*^5 + (6 + y*)^5 = 1056. Заметим, что если
раскрыть (6 + y*)^5 по формуле бинома Ньютона, то все члены
биномиальной суммы окажутся больше нуля. При этом пятые степени y*
в левой части нашего равенства будут взаимно уничтожены, а
свободный член левой части получит значение 6^5 = 7776. Если теперь
перенести в левую часть число 1056 со знаком минус, то становится
очевидно, что левая часть никак не может равняться нулю, поскольку
7776 - 1056 > 0.
Следовательно, отрицательных корней здесь не имеем.
мда, то чувство, когда решил за 5секунд, а тут надо расписывать вечность...
Действительно экшн. Долго, нудно, в процессе решения появляются новые условия и решения...пока доберёшься до ответа - забудешь
Если заметить, что можно перейти к симметрическому могочлену, то решение в несколько строк ... Спасибо за решение учителю ...
Сдавал ЕГЭ 12 лет назад.
Такие уравнения там были в части В. В то время неплохо с ними справлялся. Сейчас уже к сожалению не сумел)
Хотя в ходе решения видишь, что все это знакомо.
Действительно, "жесть". Сам не решил, но смотрел Ваше решение, как путь канатоходца: неужели дойдёт до конца!? Дошёл!
Как придумано это yравнение?
Функция F(t)=t^5 выпукла при t>=0.
Имеем уравнение F(t1)+F(t2)=F(k1)+F(k2), где t1=x, t2=6-x, k1=4, k2=2.
Так как выполняется условие t1+t2=k1+k2, то уравнение равносильно совокупности: t1=k1,t1=k2, t2=k1, t2=k2 т.е. x=2;4.
Будут абсолютно те же решения при F(t)=t^7, только число 1056 надо будет пересчитать на 4^7+2^7.
Можно поменять и входящие аргументы (x+3)^5+1^5=(x+1)^5+3^5. Ответ x=0;2.
если сразу расписать, 1056 = 1024+32=4в5+2в5=4в5+(6-4)в5=2в5+(6-2)в5, то тот же ответ, 2 и 4 получается проще и быстрее.
Мы видим, что 5**5=3125, это больше 1056 более, чем в два раза. Следовательно Х не может быть больше 5 (6**5=7776, т.е. разница между 6**5 и 5**5 уже больше 1056 следовательно Х**5-(6-Х )**5 всегда будет больше 1056). Соответственно остается 5 чисел: 4,3,2,1,0. При нуле 6**5 еще больше 5**5. При Х=1:1+5**5 то же больше 1056. Для значений 4,3,2, считаем. И получаем, 4 и 2 дают правильный ответ, причем посчитать можно один раз, так как 2**5+4**5=4**5+2**5.
Чётко!🔥
Во-первых, как правильно тут заметили, правая часть под натиском особо зорких биологических калькуляторов (шутка, друзья) раскладывается на сумму двух пятых степеней натуральных чисел 4 и 2. Сразу многие дают ответ x=4. Однако, эти "многие" тут же упускают, что и x=2 тоже является корнем этого уравнения :). Если теперь разделить многочлен x^5+(6-x)^5-1056 на произведение (x-2)(x-4) , {решение алгебраического уравнения представляется в каноническом виде как произведение многочленов степени не выше второй, что учтёт, кстати, и комплексные корни, если средняя школа таки продвинутая :) }, то получится после довольно нудной процедуры => 5*6*( x^2-6x+28). Квадратный трёхчлен в скобках не имеет действительных корней. Т.е. получается исходное уравнение в каноническом виде: 5*6*( x^2-6x+28)*(x-2)*(x-4)=0. И таки да, если считать, что исходное уравнение, в общем-то, четвёртой степени (пятые степени при раскрытии скобок "уничтожаются"), то корней четыре - два действительных (и даже не только целочисленных, но и натуральных!) и два комплексно сопряжённых. Однако, и я не Бог, и вполне возможно таки "потерял" один корень :). Но лень искать дальше или доказывать, что его нет ваще. P.S. С другой стороны, явно виден композиторский замысел: может поищете, граждане, решение в виде суммы двух пятых степеней чисел? Совсем здорово, если композитор таки предусмотрел "принципиальное отсутствие пятого корня". Вообще, сочинять теоремы/коструктивные гипотезы или ставить задачи гораздо сложнее, чем их решать!!!! См. в историю Математики.
Задача-супер!В школе о таких не рассказывают
Мне понравилось решение, спасибо!
так я в 2 строчки получил тоже самое. 1056 это тоже самое, что 1024+32 или 4^5 + 2^5 = X^5 + (6-X)^5. Отсюда два варианта X^5 = 4^5 или X^5 = 2^5.
Ez bizony igazán nehéz példa. Pedig csak egyszerű átalakítások vannak benne.
4! Решил ещё до просмотра ролика примерно за минуту. Просто обратил внимание что справа число подозрително близкое от 1024, являющееся 10й степенью двойки, ну и соответственно 4 в 5й. Разница между 1056 и 1024 это 32, что является как раз 5й степенью двойки. Ну и всё, ответ уже очевиден. Писал это сообщение раза в 3 дольше чем нашёл ответ.
Решение намного упростится подстановкой х+з=у. после возведения в степени и приведения подобніх получим решаемое биквадратное уравнение
Интересно. Можно методом подбора, но это пример для любого значения.
То чувство, когда какой-нибудь пацан просто подбором найдёт ответ 2,4 хах,а ты парился час на олимпиаде например
Танунах. Два корня 2,4 угадываются, дальше делением многочленов остается квадратное уравнение. Какая то тонкая консервная эта жесть.
..... СПАСИБО! 👍
Лучше у=х-3, многое сократится. Коэффициенты для 5й степени 1, 5,10,10,5,1. Половина сократится, останется биквадратное.
Только взглянув на превьюху, я сразу понял, что 1024+32=1056 ! И тогда я быстро определил, что x=4. 4^5=1024, (6-4=2)^5=32.
МОЛОДЕЦ. СПАСИБО.
Класс!
Нашел в уме, 4. Первая часть уравнения должна быть явно больше, и вариантов там мало.
Спасибо. Интересно.
Решается мгновенно, если догадался. Как -бы.!? 1056 представляется как 4^5+2^5, программисты это заметят сразу. Итак два корня очевидны, 2 и 4. Онлайн раскладываем полином (6-x)^5, сокращаем лишнее, делим получившееся уравнение на (x-2)(x-4). Решаем квадратуру. Получаем еще два корня 3±i √19. Но по условию задачи полином 5 степени, корней должно быть 5. И тут белочка зависла....
Такой вопрос, а откуда тут должно высветится что третьего (пятого) решения нет?
Он же сказал - дискриминант отрицательный у третьего решения.
Линейное уравнение 4-го порядка. Имеет 4 корня, как 2 вещественных, так и пару комплексно-сопряжённых.
Красиво!
Не надо морочить голову детям. Проще это редуцировать до
x^5+(6-x)^5=1056 ----> x^5+(6-x)^5=2^10 + 2^5 ----> (x/2)^5 + (3-x/2)^5 = 2^5 +1;
x есть небольшое целое число. Из (x/2)^5 + (3-x/2)^5 = 2^5 +1 несложно в уме сосчитать, что x м/б 2 или 4
решается интуитивно за 3 минуты
Вряд ли Вы одобрите, но, все-таки, можно ли решить так?
- Пусть (6 - Х)^5 = t,
- Тогда х^5 + tХ^5 = 2^5х33,
- Х^5(t+1) = 2^5х33
Положим t + 1 = 33, а Х^5 = 2^5
В итоге:
1) t = 32,
(6 - Х )^5 = 32 = 2^5,
6 - Х = 2,
Х = 4;
2) Х^5 = 2^5,
Х = 2
Не, так точно не работает
Во-первых, х не сошлись, т.е. при х = 2, х⁵•(t+1)=32•(4⁵+1)=1024•32+32≠1024+32
Во-вторых, непонятно во втором действии - изначальное разве х⁵+(6-х)⁵•х⁵=1056?
В-третьих, куда-то пропали комплексные корни
Нет, извините, не понимаю решения. Хотя и кажется логичным
@@yellow_arrow3258 Спасибо! Невнимательность при замене переменных, увы. Зря обрадовалась.
Сколько нужно часов математики в неделю, чтобы позволить себе заниматься таким эксклюзивом
Именно поэтому я возненавидел математику, для чего городить огород из непонятных, длинных и одинаковых строчек. Заменять одно другим, когда все гараздо проще. Именно из-за таких вот примеров(обьяснять простое сложным) и отбиваеться вся охота к учёбе. Притом, на вопрос "А зачем мне это в жизни?", в 90% случаев поступает два варианта ответа:"потому что такая программа" или"для развития мышления и воображения". Если с первым всё понятно, то со вторым ответом рождаются несколько вопросов. Один из них "как я могу с помощью этих каракуль тренировать свои умственные способности, если я не понимаю для ЧЕГО эти каракули??"???
В гарварде анализировали учеников на протяжении 30 или 40 лет. Выше стояли те что знали математику, статистически
сумма квадратов через квадрат разности- это вообще что такое? как это получается?
Спасибо. А как этот метод называется?
Легендарный математический метод “заметим, что...„
Очень трудный подход. Проще подобрать два корня, а это сделать легко, а затем взять производную левой функции, найти одну точку экстремума и понять, что с константой может быть не более двух точек пересечения. ВСЕ!
Отличное уравнение.
Можно просто пробовать разложить 1056 на сумму двух чисел в пятой степени, 2^5 = 32, 4^5 = 1024. Не совсем рационально получен ответ.
Не забудьте 3±i√19 со своими методами
Да, вы не один заметили, но вообще не по существу обижать способ не надо. Биномерам можно, подборщикам нельзя
Да, жесть. Подумал и наметил решение. Но не смог сам решить, так как сломался карандаш.
Une autre méthode :
2 et 4 sont des solutions évidentes et l’étude des variations de f(x)=x^5+(6-x)^5 montre qu’il n’y en a pas d’autres
Раскрыть скобки: нееее
Записать 917363 формул: ооооо ДААААААААА
Так как информатик сразу 4 в пятой в голову пришло , проверил и чудесным образом подошло , но решение крутое конечно, а 2 обратна к 4 поэтому решение почти в уме )))
не проще открыть калькулятор функций и увидеть результат?)
Спасибо, было очень интересно разобрать такое новароченное уравнение😁