Как набрать МИЛЛИАРД ★ Геометрическая прогрессия на шахматной доске ★ Теория шести рукопожатий ★ th-cam.com/video/UJHQ0CRmqT4/w-d-xo.html Давайте вместе проведём эксперимент - наберём 1000000000 просмотров! Поделитесь этим видео th-cam.com/video/UJHQ0CRmqT4/w-d-xo.html со всеми своими знакомыми. Напишите им и предложите поучаствовать в этом эксперименте. Проверим вместе как работает геометрическая прогрессия. Напишите в комментариях свои прогнозы: получится или нет?
В доказательстве существования второго корня есть логический пробел: то, что функция в минимуме отрицательна, а слева от минимума убывает, ещё не гарантирует, что она прошла через 0. Она могла бы, например, при движении вдоль оси влево стремиться к 0. Надо хотя бы показать, что где-то слева от минимума функция была больше 0. Это в какой-то мере компенсируется потом подбором второго корня (и его наличием), но всё-таки.
може в подачі є пробіл, але не в підході. Правильніше казати "коренів не більше 2х". Відповідно, якщо показали 2 кореня, то це обгрунтовує, що далі шукати не треба
Чел есть лиш один случай когда эта функция могла не проходить через 0 а лиш приближаться к нему и тогда точка 1/е не была бы точкой минимума и была бы 2 точка экстремума…
Из того, что функция убывает на отрезке (0,1/e] и имеет отрицательное минимальное значение в точке 1/e, не следует сразу же, что она пересекает на этом отрезке ось абсцисс, это нужно проверять.
Вы правы, но в решении то фактически проверенно, непосредственной подстановкой. Кроме того можно говорить: есть максимум два решения, а следовательно если мы их натурно предоставим, то таки есть ровно два решения.
@@TheElSonador Два решения получены подбором их верность установлена непосредственной подстановкой (1) С помощью исследования функции доказано, что у данного уравнения МАКСИМУМ ДВА решения (2) (1) и (2) => что данные решение - это ВСЕ корни уравнения.
Вариант решения за рамками школьной программы, но для любых чисел стоящих справа, а не специально подогнанных: x^x = a ln(x^x) = ln(a) x * ln(x) = ln(a) e^(ln(x)) * ln(x) = ln(a) W(e^(ln(x)) * ln(x)) = W(ln(a)) ln(x) = W(ln(a)) x = e^W(ln(a)) Где W - это W функция ламберта Если отбросить мнимые значения то, W от ln(1/2 ^ 1/2) для нашего примера принимает 2 значения при возведении Е в степень которых получается 1/2 и 1/4. Такие уравнения, если применять только школьную программу (и даже институтскую в некоторых вузах), включая дифференцирование, интегрирование, не решаются никак кроме как подбором. Поэтому маловато толку в таких примерах
@@ncrean66 ну это типа как в забугорских вузах принято. мы сразу мысленно сокращаем, а они на обечасти применяют сначала функцию. типа если a=b то и W(a) = W(b). ну то есть разжевано. так-то да, понятно что сразу видно что слева обратная операция сокращается.
@@РоРо-ш8ч а в чем разница W и скажем ln ?) Ну например уравнение е^х = 2, вы записываете ответ х = ln 2 Вас же не тянет посчитать приближенное значение, вы оставляете ответ так. такие же значки для описания точного ответа, который не может быть выражен иначе в общем случае. Ln вы также без калькулятора не посчитаете) разница только в том, что к ln вы привыкли и он есть в каждом калькуляторе и вы воспринимаете его как чтото нормальное, но W ничем не отличается, такая же обратная функция. И при желании W можно посчитать без калькулятора, она также в бесконечные ряды раскладывается, например в бесконечную дробь.
Добавлю объяснение к своему предыдущему комменту, так как может быть не понятно, к чему он вообще: "Гениально. Никогда бы не подумал, что возможно x^x=y^y" - вот так изначально выглядел коммент ))
Наличие второго корня же не доказано, например слева от 1/ e график мог не успеть пересечь ось Икс на ОДЗ или асимптотически мог слева стримиться к какому-то числу, например к единице
Ну, если в комплексных числах решать, то наверное использовать W-функцию Ламберта. Для этого после логарифмирования обеих частей уравнения представим x*ln(x) = ln(x)*e^(ln(x)). Тогда после взятия функции Ламберта получим ln(x) = W(1/2*ln(1/2)) => ln(x) = W(-0.5ln2) => x = e^(W[i, (-0.5ln2)]), где i € Z. Получаем все комплексные решения уравнения. Действительные значения 1/2 и 1/4 получаются при i = 0 и i = -1 соответственно.
Спасибо, Валерий !! Эту задачу сегодня решил похожим методом. Взял производную от х^х. Она берётся неявно через логарифмирование : y" = х^x *( ln(x) + 1). Далее получил промежутки возрастания и убывания и две точки пересечения ( не обязательно даже их знать ) с горизонтом y = sqrt(2)/2
Всё верно, но два замечания: 1. надо проверить на то, что функция на исследуемом участке всюду дифференцируема 2. "Метод подбора".... извините, несколько странен для математики. Это хорошо ещё, что вы свели всё к целочисленной задаче, а если бы там полезли трансцендентные или хотя бы иррациональные числа? Вы уверены что во всех случаях надо вести подбор исключительно среди натуральных чисел?
@@sepium662don А что такое в математическом смысле "пересечение графиков", кроме как... корней соответствующих уравнений? Как Вы определяете, не решая уравнения - где графики пересекаются?
@@MarkBoldyrev из того, что во-первых, туда обычно кладут задачи с красивыми ответами, а во-вторых, если способ решения не давали, значит должно подбираться. Как с полиномами 3й или 4й степени - один корень угадываем, а дальше - по формуле.
Валера! Как всегда замечательно! Копал огород, устал -- думать не хотелось. Дай, -- думаю, -- посмотрю, как там решаются такие сложные задачи?... Легко! Даже стыдно теперь, что не стал напрягаться и сразу посмотрел ответ.
Можно просто использовать производную (x^x)' = (x^x)(ln x + 1), а при её нахождении сослаться на соответствующее предыдущее видео. То, как устроена эта производная, быстро поможет понять, что корней на самом деле два.
В общем случае у уравнения x^x = a есть: - два корня, если (1/e)^(1/e) < a < 1; - один корень, если a ⩾ 1 или a = (1/e)^(1/e); - нет корней, если a < (1/e)^(1/e).
@@Alexander-- Возможно, вам это тоже покажется удивительным, но авторы некоторых учебников по алгебре (например, Колягин, 2011) для уравнений вида f(x)ᵍ⁽ˣ⁾ = a допускают решения и с отрицательным основанием: «т.к. неизвестное x содержится и в основании, и в показателе степени, необходимо рассмотреть также случай g(x) = n, n ∈ ℤ, f(x)ⁿ = a при f(x) < 0» - тогда уравнение xˣ = -1 будет иметь корень x = -1 (т.к. (-1)⁻¹ = -1), а уравнение xˣ = 1/4 будет иметь корень x = -2 (т.к. (-2)⁻² = 1/4). Хотя мне такой подход представляется довольно странным (тем не менее, он изложен в учебнике, рекомендованном Министерством образования).
@@allozovsky Меня это ничуть не удивляет. Об этом говорил ещё Трушин: есть две операции, одинаковые по форме и обозначению, но разные по смыслу и содержанию: возведение в целую степень и возведение в действительную степень. В зависимости от того, какую операцию Вы имеете в виду, такой набор корней и получите.
@@Alexander-- Удивительно, что позиция школьных учебников по этому вопросу не согласована (хотя все они получают заключения в академии наук и академии образования).
Когда рисовали график справа налево: т.к. функция имеет корни справа от точки 1/е, и функция была возрастающая, то логично, что она пересекает ось абсцисс, но до точки 1/е откуда взялась уверенность, что там точно будет пересечение? Данный факт не очевиден. Функция (когда ее рисовали справа налево) могла постоянно расти постоянно приближаясь к 0, но могла и не пересечь ось абсцисс (т.е. быть ограниченной сверху). Надо дополнительно брать любую точку левее 1/4, подставлять в функцию и показывать, там значение больше нуля, а значит от этой точки до точки 1/е точно будет ещё один корень в виду непрерывности функции.
Мы нашли второй корень методом подбора, предположив, что график функции (в силу её убывания) пересекает ось абсцисс слева от точки минимума. То есть, уже по факту второй корень есть. Вот если бы нам не удалось найти второй корень, то тогда пришлось бы исследовать функцию слева от точки минимума более подробно.
@@ValeryVolkov а что мешает графику функции до точки 1/e вести себя как при асимптотическом стремлении к нулю? Т.е. до точки 1/e функция конечно убывает, но пересечения с нулем все же нет?
@@lasxtirien2761 я и говорю, что после точки минимума 1/e, где функция возрастает, есть пересечение с осью Ох - точка 1/2. Но до 1/е, где функция убывает, с чего должно взяться пересечение?
@@brinza888 при 1/5 функция положительна. но вообще я сам не очень понимаю аргументацию "а давайте найдем корень методом подбора". Скорее нужно было найти предел функции при x --> 0 и посмотреть знак функции при x близком к нулю, там будет порядка 0.3
На мой взгляд, даже несмотря на то что минимум f(x) лежит ниже оси абсцисс, ни разу не очевидно, что слева от точки минимума на области определения график обязательно пересечёт ось абсцисс. Если уж совсем строго рассуждать, необходимо посчитать предел функции при х->+0 и убедиться, что он больше нуля. И вот тогда пересечение будет очевидным.
Мы нашли второй корень методом подбора, предположив, что график функции (в силу её убывания) пересекает ось абсцисс слева от точки минимума. То есть, уже по факту второй корень есть. Вот если бы нам не удалось найти второй корень, то тогда пришлось бы исследовать функцию слева от точки минимума более подробно.
Из всего решения я понял только как доказывается, что корня два. Первый корень находится на отрезке (1/e; бесконечность) и второй на отрезке (0; 1/e). А дальше начинаются чудеса! Первый корень 1/2 нашли каким то непонятным способом, который автор назвал "просматривается корень" :D. Второй корень 1/4 нашли вообще каким то сакральным способом :D. На интервале от 0 до 1/e находится бесконечное множество точек, а не только "1/3, 1/4 и т.д". Например, 4/13 и 3/11. Таким образом, получается, что второй корень был найден способом "тыкнуть пальцем в небо" и чудесным образом на второй попытке (из бесконечного множества) нашли нужный. Вы действительно считаете, что "просматривается корень" и "тыкнуть пальцем в небо" - это способы решения задачи? Попробуйте решить уравнение x^x=3. Интересно узнать как там просматривается корень и сколько раз будете пальцем в небо тыкать))
@@alexnx4278 Какое отношение x^x=3 имеет к представленному примеру, если ты просишь "просмотреть" корень? В случае x^x=1/2^1/2, почему-то тебя удивляет подбор корня. Я тебе в это и ткнул - в любых подобных уравнениях один корень очевиден. Тебя же это удивляет) Ах, как так, очевиден? Ах, как так подобрали? Вот и разъяснил. Твое же уравнение никакого отношения к рассматриваемому уравнению отношения не имеет и его нужно решать уже "как положено". С исследованиями, определениями интервалов и т.п. Так понятно?
Ну на счёт видимого корня все верно, учитывая что слева что справа одинаковая функция только одна с переменной а другая с константой То очевидно что когда переменная будет равна константе, то и значения будут равны То есть рил надо доказывать что 1/2^1/2=1/2^1/2? А х^х=3 уже разные функции
Метод подбора можно упростить. y½ = кв. корень y. Всё, что нам остается - найти одно единственное число, удовлетворяющее следующий запрос: y² = y * 2 = y + y, что легко сводится к 2.
Можно еще прологарифмировать по основанию 2 log2(x) = -1/(2x), а потом просто стоить график, одна точка 1/2, следующая 1/4 - только ее и удобно считать. она и есть второе решение.
Есть неточность. Если функция меньше нуля и увеличивается при уменьшении аргумента это не значит что она станет положительной. Нужно было поставить например 1/10 и убедиться что значение положительное. Вот тогда можно уже утверждать что есть второй корень. Но решение супер. Спасибо!!
Мы нашли второй корень методом подбора, предположив, что график функции (в силу её убывания) пересекает ось абсцисс слева от точки минимума. То есть, уже по факту второй корень есть. Вот если бы нам не удалось найти второй корень, то тогда пришлось бы исследовать функцию слева от точки минимума более подробно.
Есть небольшая логическая ошибка: Функция возрастает, но она может не успеть достичь оси ОХ, т.е. возрастание функции не гарантирует наличие второго корня. Нужно добавить исследование предела справа от 0.
Мы нашли второй корень методом подбора, предположив, что график функции (в силу её убывания) пересекает ось абсцисс слева от точки минимума. То есть, уже по факту второй корень есть. Вот если бы нам не удалось найти второй корень, то тогда пришлось бы исследовать функцию слева от точки минимума более подробно.
@@TheSnos15 Ну так примените метод посложнее раз вы глупости не пишите. Я о том, что должно быть более универсальное решение, чем просто метод подбора.
Какой оказался наполненный пример (как айсберг, всего себя, кроме верхушки, скрывал под водой). Второй корень существует благодаря особенному свойству числа "2", 2+2=4, 2*2=4...? Спасибо Вам, Валерий! Счастливого Рождества!
Как я понимаю, исходя из вида самого уравнения мы пытаемся подобрать корень вида 1/x на промежутке (0;1/e), тогда в качестве x мы можем пробовать натуральные числа больше, чем е=2.7..., т.е 3,4,5 и т.д. Но 3 не подходит, т.к. (1/3)^(1/3) не равно (1/2)^(1/2), и мы никак это не преобразуем. Дальше берём 4, и, как видно, оно подходит. Дальше числа не пробуем, т.к. 1/4 - единственный корень функции f(x) на промежутке (0;1/e).
Наша задача угадать. Можем угадываем - не можем не угадываем. А если Вы решили перебором искать, то удачи Вам не видать, ибо почему не взяли 1/3 спрашиваете, а почему не взяли 1/3,1; 1/3,2; 1/3,3 и т.д. до бесконечности?
На 4:37 логическая ошибка. То, что функция убывает, не означает, что она пересекала точку 0. Она могла убывать, например, начиная скажем c -1/N на области определения. Для правильности подхода, надо было подставить какую-то точку (скажем 1/10) и убедиться, что в ней функция больше нуля
@@QwDragon объективно 0^0 - это неопределенность (так как нулевая степень - это деление числа на себя, то есть 0/0 ) и существует как предел x^x при x->+0. В данном вопроса автор прав.
First, see LHS. x power x we cant isolate x so we Lambert W function. Second, we power Both sides with (1/x). It becomes x= (1/√2)^(1/x). Now to use Lambert i.e W(xe^x) =x, we exponentially raise 1/√2 as e^(.5ln.5*(1/x)). Thus x= e^(.5ln.5/x). Now we multiply .5ln.5/x on both sides to utilize the Lambert function. Now .5ln.5 = ue^u which if we Lambert W both sides. We get X= (.5ln.5)/W(.5ln.5) Please Correct me If I am Wrong. :)
@@saimohnishmuralidharan5440 The solution itself is correct, but evaluating (.5ln.5)/W(.5ln.5) will again give you the .5 you started with - to get the answer we are looking for you have to use the W₋₁ branch, that is (.5ln.5)/W₋₁(.5ln.5) = .25 (Wolfram Mathematica might be of help here). Also you may simply put it as exp(W₀(.5ln.5)) = .5 exp(W₋₁(.5ln.5)) = .25
Строим график y=xlnx и y=1/2ln1/2 на калькуляторе находим координаты пересечения этих функции это 1/2 и 1/4 для проверки подставим эти значения xlnx=1/2ln1/2 и получаем верное равенство. Это значит x1=1/2 а x2=1/4
Данное видео хорошо показывает, что решений в уравнении 2. Но вот нахождение второго корня, точнее его подбор... Хотелось бы узнать возможность нахождения второго корня для более общего уравнения, где "1/2" заменяется на "1/a", получится функция x*ln(x)-1/a*ln(1/a). Все начальные выкладки данного видео сохраняются: 1/e - min функции, только при a>2 =3,4,5... второй корень будет находится правее 1/e, даже можно оценить, в интервале (1/e; 1). Т.к. уже при x=1 функция x*ln(x)-1/a*ln(1/a) будет иметь положительное значение.
Валерий, строго говоря, вы не доказали, что есть второй корень. Если функция убывает на (0;1/e], то убывать может по-разному. Важно, что при х -> 0+0 предел функции равен + бесконечности, тогда в силу разных знаков (при х, близких к 0 и в точке 1/e) график пересечёт ось х внутри интервала (0;1/e) А вот то, что корней не более 2-х, следует из исследования на монотонность Спасибо за задачу! П.С. Угадать 1/4 - тоже не очевидно, как...
Мы нашли второй корень методом подбора, предположив, что график функции (в силу её убывания) пересекает ось абсцисс слева от точки минимума. То есть, уже по факту второй корень есть. Вот если бы нам не удалось найти второй корень, то тогда пришлось бы исследовать функцию слева от точки минимума более подробно.
при х стремящемся к 0+ предел функции х*ln(х) равен 0, а предел функции х^х равен 1, а не + бесконечности ---элементарная задачка из курса мат. анализа.
Редкий случай,когда не хочется смотреть до конца. Почему-то не первый уже раз не начинаете с одз. Можно найти экстремум,а затем проводим прямую у=√0.5. Четко видео ,что две точки пересечения, т.к. самая нижняя точка (экстремум) функции y=√x в степени √х ниже ,чем √0.5. Такие уравнения лучше всего решать графическим способом. Это и просто, наглядно, и доступно. Да и на глаз видно,что ответы 0.25 и 0.5.
Не надо неполному ответу придавать статус неверного. 1/2 - верный ответ, но не полный. Даже если вы догадались и назвали правильный ответ, в строгой математике к вам нет претензий. Подставили, проверили, верно, ответ принят. Если пропустили корень на экзамене, минус баллы. За неполный ответ.
На самом деле из монотонного убывания функции на интервале (0; 1/е) вовсе не следует, что она имеет на нём нуль. Она могла монотонно убывать от 0 или любого отрицательного числа, больше f(1/e). Нужно было показать, что функция меняет знак на интервале (0, 1/e). Ну, а решение уравнения методом подбора - это вообще песня...
1) Данное исследование не говорит, что есть ровно два корня, оно говорит, что есть МАКСИМУМ ДВА корня. С учётом того, что мы можем непосредственно предъявить два корня делается вывод, что их таки два и таки вот они. 2) "решение уравнения методом подбора - это вообще песня..." - доказательство о макс. возможном кол-ве корней + их непосредственное предъявление (в макс. количестве) есть математически строгое решение.
Мы нашли второй корень методом подбора, предположив, что график функции (в силу её убывания) пересекает ось абсцисс слева от точки минимума. То есть, уже по факту второй корень есть. Вот если бы нам не удалось найти второй корень, то тогда пришлось бы исследовать функцию слева от точки минимума более подробно.
Если x .это не числовой знаменатель, то он является просто значимым уровнителем на вторичной декаде 1 и ..2.. Где корень определения суммарных чисел является знак = = равенства!
Автор лукавит, так как в начале задачи не оговорил, что x^x это функция и поэтому x>0. А если не принимать эти ограничения, то можно найти ещё корни этого уравнения. Мы же умеем возводить в степень отрицательные числа на примере функции x^n. Кроме того, следует учитывать, что (1/2)^(1/2)=±1/√2 по формуле Муавра
Можно использовать и функцию Ламберта. W(ze^z)=z xlnx=(1/2)ln(1/2) W(lnxe^lnx)=W((1/2)ln(1/2)) lnx=W((1/2)ln(1/2)) W((1/2)ln(1/2))=W(-0,3465736) W1=-0,693 W2=-1,3863 x1=e^(-0,693)=0,5 x2=e^(-1,3863)=0,25
К сожалению если функция возрастает, это ещё не значит, что она где-то обратится в ноль, так что мы доказали не наличие двух корней, а то что их не более двух)
хохма в логарифмировании. Лог по другому основанию дает точку минимума в 1/основание - и таких точек минимума будет бесконечное множество в зависимости от выбранного основания логарифма. Причем дальнейшие рассуждения все будут верны и для логарифма по любому основанию, вот только точки пересечения слева от точек мин. (бесконечных в перечислении по вариации основания лог-ма) также ВСЕ будут бесконечно разные.... т.е. ур-е имеет бесконечное число решений...
Very good and very educative. Thank you very much. And although I understand Russian very good (I studied in USSR in MEI) I am sorry for writing in English coz I don’t have Russian keyboard. I follow all your clips. Keep the good work. 🌺
На мой взгляд, второй корень находится, если представить, что х=(1/2)^n. Тогда легко показать, что n = 1 или 2. С учетом выкладок по производной оказывается, что ответа только 2.
Можно сделать замену x = 1/t > 0 и перейти к уравнению (1/t)¹ᐟᵗ = (1/2)¹ᐟ², откуда t¹ᐟᵗ = 2¹ᐟ², t² = 2ᵗ - пересечение параболы и показательной функции, имеющей два очевидных положительных корня, которые легко находятся графически: 2 и 4.
или их 2, 3, или сколько там надо. Сначала ищем количество корней (графически например), а дальше хоть подбором, хоть программу на компьютере пишите)) Только вряд ли школьника пустят на экзамен с компьютером)))
А можно найти второй корень аналитически через дубль-вэ функцию Ламберта. Правда, ответ будет страшненький, но это всё та же 1/4 . Именно этот второй корень через дубль-вэ функцию отображает Вольфрам Альфа. И вот тут в пору задуматься, а всегда ли рационально использовать аналитический метод...
Ну, не такой уж и страшненький: exp(W₀(-ln(2)/2)) = 1/2 и exp(W₋₁(-ln(2)/2)) = 1/4. Разве что ни на калькуляторе, ни "уголком" W-функцию не посчитаешь. Но стоит чуть пошевелить левую часть (например, xˣ = (1/3)¹ᐟ³), и кроме как аналитически или численно уже не решить.
Поверь, в этом нет абсолютно ничего сверхтяжёлого. А вот школьники которые решают Всероссийскую олимпиаду в 11 классе, становятся призёрами и победителями - да, их можно с уверенностью назвать умниками
Боже, какое счастье, что я закончи школу, да и вуз уже почти 10 лет назад, и забыл математику, которую там знал почти на отлично. Как мне жаль тех, кто мучается с этой недонаукой
Супер! Численное значение 0.5^0.5=0.7071 и если написать "решите уравнение х^х=0,7071, то я уверен что два корня нашли-бы процентов 90. А так просто конфетка.
Решений, вообще-то, много больше, если расширить поле корней на комплексное множество. Проще говоря, если искать ещё и комплексные корни. Два решения только среди множества действительный чисел R. К тому же куда проще было решить это уравнение графически, поскольку оно и так трансцендентное. Стало быть не имеет аналитической формы записи в виде простой формулы-ответа. Опять же - поиск производной есть одна из ступеней построения геометрического образа степенно-показательной функции (графика)
Вопрос про математику. Сам учился в физмат лицее. Любил математику (была 5 за экзамен, в то время так называемый "спецпакет"). Но никогда не понимал зачем нужны задачи по математике. Сейчас работаю инженером и не понимаю еще больше. В реальной жизни ни чего из этих задач не встречается. Может кто в курсе. Не бывает в обычной жизни уравнений которые решаются аналитически. Только численно (МКЭ, CFD, интегрирование в Excell). Максимум, что пригодилось - это посчитать окупаемость газового оборудования на авто. А вот что действительно нужно - это статистика, вероятность, множества, теория чисел да векторы с тензорами. А их в школе почти не преподают. Эти видео смотрю для удовольствия.
Математика для идеалистов. Вон, эппл и гугл в смартфонах уже давно не используют рисованные иконки, а используют формулу суперэллипсов для задания форм (квадраты со скругленными углами).
Плюс ко всему, статистика - надстройка над этой самой математикой и без нее она бы не существовала. Фундамент высотных строений мы тоже не видим, но он есть)
Температура (как физическое понятие) тоже является всего лишь статистической надстройкой над усредненным значением энергий всех взаимодействующих частиц из которых состоит вещество обладающее "температурой". Интересный факт: температура чего угодно не может быть абсолютным нулем изначально и по определению (и это говорит математика, а не физика) ))
Так же решал, только производную брал сразу от f(x)=x^x. Ну, скажем прямо, что метод подходит только для халявы - когда подбором целых чисел (в данном случае - в знаменатель) можно найти недостающие корни:)
Мне кажется, что в рассуждении - ошибка. Наличие нуля в 1/2 и перегиба в 1/е ещё не доказывает наличия второго нуля. Функция может теоретически не успеть вырасти обратно до нуля на своей области определения.
Мы нашли второй корень методом подбора, предположив, что график функции (в силу её убывания) пересекает ось абсцисс слева от точки минимума. То есть, уже по факту второй корень есть. Вот если бы нам не удалось найти второй корень, то тогда пришлось бы исследовать функцию слева от точки минимума более подробно.
Потратив час і перечитав усі коментарі... Здається, не всі зрозуміли, що це був приклад того, яка небезпека очікує при розв`язуванні "Незвичних" рівнянь та може призвести до втрати коренів!!! Я думаю, це головне, а не спосіб знаходження самих коренів. Конкретно рівняння цього загального виду не мають аналітичного розв`язку. Корені з певною точністю можна знайти, використовуючи, наприклад, метод хорд тощо. Але спочатку потрібно з`ясувати чи є корені і скільки їх. Це ми робимо, наприклад, при розв`зуванні навіть рівнянь другої степені, знаходячи дискримінант! а вже потім самі корені... По суті, коли ми кажемо, що х=пі, то це також наближене значення з певною точністю.
Вопрос звучит: «Решите уравнение». При такой постановке вопроса ответ 1/2 верный, так как уравнение решено. Если бы вопрос звучал: «Найдите все корни уравнения», то ответ 1/2 уже не являлся бы верным. Ставьте правильные вопросы.
щоб похідні простіше були. можна логарифм по будь-якій основі використати -- буде те саме, тільки з додатковими коефіцієнтами, які ні на що не вплинуть... то нахіба ускладнювати?
Корень х=1/4 найден подбором, это не может называться решением уравнения в привычном смысле. Нужно аналитическое решение, а не подбор, поэтому я считаю, что задача не решена.
Почему же? Мы нашли корни уравнения, убедились, что они обращают уравнение в верное равенство, и доказали, что других вещественных корней нет - это вполне соответствует определению решения уравнения. Аналитическое решение выходит далеко за рамки школьной программы.
@@allozovsky Формально вы правы. Я хотел подчеркнуть, что не найдено аналитическое решение , т.е. замкнутой формы, по которой корень может быть вычислен за конечное число операций.
@@DrGirsh Аналитическая форма существует и имеет общий вид exp(W(ln(a))), где W(z) - комплекснозначная W-функция Ламберта, имеющая множество ветвей, но это скорее уровень продвинутых курсов спецфакультетов, а не школьников или даже первокурсников. Сама функция известна ещё со времён Эйлера и как раз и применяется для аналитического решения уравнений подобного вида.
Доказательство не полное, потому что, если я не ошибаюсь (что вполне может быть), возможен случай, когда функция убывает слева от минимума, но не пересекает ось ОХ. Найдя асимптоты функции, можно было бы доказать, что уравнение асимптоты не равно х=0. + чисто, в теории, функция слева может уменьшаться и под осью ОХ, что тоже требует доказательства пересечение ею оси. Опять же, я могу ошибаться, и да, то что она пересекает ось два раза очевидно, но не доказано в ролике, как по мне. Спасибо!
Ничего доказывать не нужно. Мы нашли второй корень методом подбора, предположив, что график функции (в силу её убывания) пересекает ось абсцисс слева от точки минимума. То есть, уже по факту второй корень есть. Вот если бы нам не удалось найти второй корень, то тогда пришлось бы исследовать функцию слева от точки минимума более подробно.
Не зря говорят решить интеграл или уравнение всегда легко, а попробуйте к задаче с текстовым условием подобрать ну почти, что такое же уравнение, а вот это не так то просто
По тому, что было бы очень странно решать уравнение исходя из определения степени "гениальных" школьников из интернетов, а не из его реального определения.
Спасибо за разбор! Есть пара вопросов: 1) почему убывание функции на (0; 1/е) говорит о наличии второго корня? Теоретически же предел к +0 может быть меньше ноля? 2) можно как-то без подбора решить?
1) Данное исследование не говорит, что есть ровно два корня, оно говорит, что есть МАКСИМУМ ДВА корня. С учётом того, что мы можем непосредственно предъявить два корня делается вывод, что их таки два и таки вот они. 2) С помощью W-функции Ламберта. Метод в видео более универсальный. W-функция - решение "в лоб", но только для уравнений сводимых к x*exp(x).
Мы нашли второй корень методом подбора, предположив, что график функции (в силу её убывания) пересекает ось абсцисс слева от точки минимума. То есть, уже по факту второй корень есть. Вот если бы нам не удалось найти второй корень, то тогда пришлось бы исследовать функцию слева от точки минимума более подробно.
![🔴 ฟุตบอลแชมป์กีฬา 7HD แชมเปียน คัพ 2024 [รอบ 8 ทีมสุดท้าย] - ช่วงบ่าย](http://i.ytimg.com/vi/M0S_ReCIkxg/mqdefault.jpg)
![โอ้เธอช่าง... - บี้เดอะสกา ft. ต๋อง เทวัญ (Prod. by ป๋าเพชร) [Official MV]](http://i.ytimg.com/vi/zbWhiLFmVL0/mqdefault.jpg)
Как набрать МИЛЛИАРД ★ Геометрическая прогрессия на шахматной доске ★ Теория шести рукопожатий ★ th-cam.com/video/UJHQ0CRmqT4/w-d-xo.html
Давайте вместе проведём эксперимент - наберём 1000000000 просмотров! Поделитесь этим видео th-cam.com/video/UJHQ0CRmqT4/w-d-xo.html со всеми своими знакомыми. Напишите им и предложите поучаствовать в этом эксперименте. Проверим вместе как работает геометрическая прогрессия. Напишите в комментариях свои прогнозы: получится или нет?
решите плз. (х^4)^4=4
@@КлимСамгин-р6х x^16=4 значит, х=16√4. Можно,если нужно, посчитать на калькуляторе сколько это примерно.
Не упрощайте задачу. Пусть x^x не функция, а действие. Возводите в степень по формуле Муавра. Но ищем только действительные корни уравнения.
1/8 в степени 1/8=1/2 в степени 1/2
Метод подбора - это когда посмотрел правильный ответ в конце учебника, а как решить не знаешь.
Тоже не понял прикола. Реальная жизнь далека от таких "подарков"))
Скоро это определение начнут учить в школах
Потому что по хорошему надо юзать функцию Ламберта
Может вы и в пасхальный огонь не верите?
@@alexeyn5380 Огонь, как огонь, такой же, как и в газовой зажигалке, что в нём особенного? 😊
"Методом подбора" 😂
Вот это самое сильное место в решении🤣🤣🤣
Да уж!
По-другому не получится.
он же не перебирает все числа от 0 до бесконечности, он сначала максимально ограничил возможный диапазон вариантов
Да, есть такой метод в решении уравнений. Если ты знаешь точное число корней, то ты их можешь из воздуха взять и это будет правильным решением.
строиш функцию на милиметровки, смотриш знечение x примерное, и делаешь проверку
Главное смотреть с умным видом как будто всё понимаешь)))
и кивать
Как будто там что то сложное. Ну хотя алкашам сложновато
@@afganezz как будто что-то плохое.
@@afganezz почему сразу алкашам?
А что тут "как будто"?
В доказательстве существования второго корня есть логический пробел: то, что функция в минимуме отрицательна, а слева от минимума убывает, ещё не гарантирует, что она прошла через 0. Она могла бы, например, при движении вдоль оси влево стремиться к 0. Надо хотя бы показать, что где-то слева от минимума функция была больше 0. Это в какой-то мере компенсируется потом подбором второго корня (и его наличием), но всё-таки.
може в подачі є пробіл, але не в підході. Правильніше казати "коренів не більше 2х". Відповідно, якщо показали 2 кореня, то це обгрунтовує, що далі шукати не треба
Чел есть лиш один случай когда эта функция могла не проходить через 0 а лиш приближаться к нему и тогда точка 1/е не была бы точкой минимума и была бы 2 точка экстремума…
Ну да, есть такая проблема с его логикой.
Из того, что функция убывает на отрезке (0,1/e] и имеет отрицательное минимальное значение в точке 1/e, не следует сразу же, что она пересекает на этом отрезке ось абсцисс, это нужно проверять.
Вы правы, но в решении то фактически проверенно, непосредственной подстановкой.
Кроме того можно говорить: есть максимум два решения, а следовательно если мы их натурно предоставим, то таки есть ровно два решения.
При х стремящемся к нулю функция стремится к 1/2*ln2>0 Значит график где-то пересекает ось абсцисс между 0 и 1/е.
@@ВикторИванов-ю7ю тогда сначала нужно получить два решения, а потом доказать, что других нет.
@@TheElSonador
Два решения получены подбором их верность установлена непосредственной подстановкой (1)
С помощью исследования функции доказано, что у данного уравнения МАКСИМУМ ДВА решения (2)
(1) и (2) => что данные решение - это ВСЕ корни уравнения.
Как это не следует? Еще как следует!
Вариант решения за рамками школьной программы, но для любых чисел стоящих справа, а не специально подогнанных:
x^x = a
ln(x^x) = ln(a)
x * ln(x) = ln(a)
e^(ln(x)) * ln(x) = ln(a)
W(e^(ln(x)) * ln(x)) = W(ln(a))
ln(x) = W(ln(a))
x = e^W(ln(a))
Где W - это W функция ламберта
Если отбросить мнимые значения то, W от ln(1/2 ^ 1/2) для нашего примера принимает 2 значения при возведении Е в степень которых получается 1/2 и 1/4.
Такие уравнения, если применять только школьную программу (и даже институтскую в некоторых вузах), включая дифференцирование, интегрирование, не решаются никак кроме как подбором. Поэтому маловато толку в таких примерах
Ну хоть кто то решил по человечески
Но увы да, без Ламберта не решить кроме как подбором
А потому разборы таких уравнений бесмысленны
5-я строчка лишняя и сбивающая с толку, lnx = W(lnA) следует непосредственно из 4-й по определению ф-ии W.
@@ncrean66 ну это типа как в забугорских вузах принято. мы сразу мысленно сокращаем, а они на обечасти применяют сначала функцию. типа если a=b то и W(a) = W(b). ну то есть разжевано. так-то да, понятно что сразу видно что слева обратная операция сокращается.
только без калькулятора хорошего онлайн, Вы ответ не посчитаете с W
@@РоРо-ш8ч а в чем разница W и скажем ln ?)
Ну например уравнение е^х = 2, вы записываете ответ х = ln 2
Вас же не тянет посчитать приближенное значение, вы оставляете ответ так.
такие же значки для описания точного ответа, который не может быть выражен иначе в общем случае. Ln вы также без калькулятора не посчитаете) разница только в том, что к ln вы привыкли и он есть в каждом калькуляторе и вы воспринимаете его как чтото нормальное, но W ничем не отличается, такая же обратная функция.
И при желании W можно посчитать без калькулятора, она также в бесконечные ряды раскладывается, например в бесконечную дробь.
Гениально. Никогда бы не подумал, что возможно a^a=b^b
а чем вам не понравилось x^x = y^y ?)) Обозначение переменных или параметров - всего лишь условность ;)
Добавлю объяснение к своему предыдущему комменту, так как может быть не понятно, к чему он вообще:
"Гениально. Никогда бы не подумал, что возможно x^x=y^y" - вот так изначально выглядел коммент ))
@@s1ng23m4n Где говорил что мне "не понравилось"?
@@ouTube20 да ладно вам, не придирайтесь к словам) Если хотите, то подправлю свой коммент, но я не вижу в этом никакой необходимости)
Наличие второго корня же не доказано, например слева от 1/ e график мог не успеть пересечь ось Икс на ОДЗ или асимптотически мог слева стримиться к какому-то числу, например к единице
Понравилось применение исследования функции к решению уравнения. Люблю этот приём. Хороший выпуск.) Спасибо.
Ну, если в комплексных числах решать, то наверное использовать W-функцию Ламберта. Для этого после логарифмирования обеих частей уравнения представим x*ln(x) = ln(x)*e^(ln(x)). Тогда после взятия функции Ламберта получим ln(x) = W(1/2*ln(1/2)) => ln(x) = W(-0.5ln2) => x = e^(W[i, (-0.5ln2)]), где i € Z. Получаем все комплексные решения уравнения. Действительные значения 1/2 и 1/4 получаются при i = 0 и i = -1 соответственно.
Угу, всё так:
k exp(Wₖ(-ln(2)/2))
-2 0.017 - 𝕚⋅0.039
-1 0.25
0 0.50
1 0.017 + 𝕚⋅0.039
2 0.006 + 𝕚⋅0.023
Действительные решения (если они существуют) всегда лежат на ветвях W₀ и W₋₁.
Ламберт это ведьмак школы Волка
Спасибо, Валерий !! Эту задачу сегодня решил похожим методом. Взял производную от х^х. Она берётся неявно через логарифмирование : y" = х^x *( ln(x) + 1). Далее получил промежутки возрастания и убывания и две точки пересечения ( не обязательно даже их знать ) с горизонтом y = sqrt(2)/2
Всё верно, но два замечания:
1. надо проверить на то, что функция на исследуемом участке всюду дифференцируема
2. "Метод подбора".... извините, несколько странен для математики. Это хорошо ещё, что вы свели всё к целочисленной задаче, а если бы там полезли трансцендентные или хотя бы иррациональные числа? Вы уверены что во всех случаях надо вести подбор исключительно среди натуральных чисел?
Наверное основываются исходя от точек перехода (min,max) и пересечения графиков.🤔
@@sepium662don А что такое в математическом смысле "пересечение графиков", кроме как... корней соответствующих уравнений? Как Вы определяете, не решая уравнения - где графики пересекаются?
Для задач из задачников - вероятно, да.
@@QwDragon Правда? Это откуда такое следует?
@@MarkBoldyrev из того, что во-первых, туда обычно кладут задачи с красивыми ответами, а во-вторых, если способ решения не давали, значит должно подбираться. Как с полиномами 3й или 4й степени - один корень угадываем, а дальше - по формуле.
Валера! Как всегда замечательно! Копал огород, устал -- думать не хотелось. Дай, -- думаю, -- посмотрю, как там решаются такие сложные задачи?... Легко! Даже стыдно теперь, что не стал напрягаться и сразу посмотрел ответ.
Можно просто использовать производную (x^x)' = (x^x)(ln x + 1), а при её нахождении сослаться на соответствующее предыдущее видео. То, как устроена эта производная, быстро поможет понять, что корней на самом деле два.
В общем случае у уравнения x^x = a есть:
- два корня, если (1/e)^(1/e) < a < 1;
- один корень, если a ⩾ 1 или a = (1/e)^(1/e);
- нет корней, если a < (1/e)^(1/e).
@@Alexander-- Возможно, вам это тоже покажется удивительным, но авторы некоторых учебников по алгебре (например, Колягин, 2011) для уравнений вида f(x)ᵍ⁽ˣ⁾ = a допускают решения и с отрицательным основанием: «т.к. неизвестное x содержится и в основании, и в показателе степени, необходимо рассмотреть также случай g(x) = n, n ∈ ℤ, f(x)ⁿ = a при f(x) < 0» - тогда уравнение xˣ = -1 будет иметь корень x = -1 (т.к. (-1)⁻¹ = -1), а уравнение xˣ = 1/4 будет иметь корень x = -2 (т.к. (-2)⁻² = 1/4). Хотя мне такой подход представляется довольно странным (тем не менее, он изложен в учебнике, рекомендованном Министерством образования).
@@allozovsky Меня это ничуть не удивляет. Об этом говорил ещё Трушин: есть две операции, одинаковые по форме и обозначению, но разные по смыслу и содержанию: возведение в целую степень и возведение в действительную степень. В зависимости от того, какую операцию Вы имеете в виду, такой набор корней и получите.
@@Alexander-- Удивительно, что позиция школьных учебников по этому вопросу не согласована (хотя все они получают заключения в академии наук и академии образования).
@@Alexander-- Зачем открьівать велосипед, когда можно просто сослаться на уже давно известньій любителям математики график рассматриваемой функции,
Когда рисовали график справа налево: т.к. функция имеет корни справа от точки 1/е, и функция была возрастающая, то логично, что она пересекает ось абсцисс, но до точки 1/е откуда взялась уверенность, что там точно будет пересечение? Данный факт не очевиден. Функция (когда ее рисовали справа налево) могла постоянно расти постоянно приближаясь к 0, но могла и не пересечь ось абсцисс (т.е. быть ограниченной сверху).
Надо дополнительно брать любую точку левее 1/4, подставлять в функцию и показывать, там значение больше нуля, а значит от этой точки до точки 1/е точно будет ещё один корень в виду непрерывности функции.
Мы нашли второй корень методом подбора, предположив, что график функции (в силу её убывания) пересекает ось абсцисс слева от точки минимума. То есть, уже по факту второй корень есть. Вот если бы нам не удалось найти второй корень, то тогда пришлось бы исследовать функцию слева от точки минимума более подробно.
@@ValeryVolkov а что мешает графику функции до точки 1/e вести себя как при асимптотическом стремлении к нулю? Т.е. до точки 1/e функция конечно убывает, но пересечения с нулем все же нет?
@@brinza888 потому что при 1/2 функция x^x - 1/2^1/2 = 0, при больших значениях функция положительна, при меньших - отрицательна
@@lasxtirien2761 я и говорю, что после точки минимума 1/e, где функция возрастает, есть пересечение с осью Ох - точка 1/2. Но до 1/е, где функция убывает, с чего должно взяться пересечение?
@@brinza888 при 1/5 функция положительна. но вообще я сам не очень понимаю аргументацию "а давайте найдем корень методом подбора". Скорее нужно было найти предел функции при x --> 0 и посмотреть знак функции при x близком к нулю, там будет порядка 0.3
На мой взгляд, даже несмотря на то что минимум f(x) лежит ниже оси абсцисс, ни разу не очевидно, что слева от точки минимума на области определения график обязательно пересечёт ось абсцисс. Если уж совсем строго рассуждать, необходимо посчитать предел функции при х->+0 и убедиться, что он больше нуля. И вот тогда пересечение будет очевидным.
Мы нашли второй корень методом подбора, предположив, что график функции (в силу её убывания) пересекает ось абсцисс слева от точки минимума. То есть, уже по факту второй корень есть. Вот если бы нам не удалось найти второй корень, то тогда пришлось бы исследовать функцию слева от точки минимума более подробно.
Из всего решения я понял только как доказывается, что корня два. Первый корень находится на отрезке (1/e; бесконечность) и второй на отрезке (0; 1/e). А дальше начинаются чудеса! Первый корень 1/2 нашли каким то непонятным способом, который автор назвал "просматривается корень" :D. Второй корень 1/4 нашли вообще каким то сакральным способом :D. На интервале от 0 до 1/e находится бесконечное множество точек, а не только "1/3, 1/4 и т.д". Например, 4/13 и 3/11. Таким образом, получается, что второй корень был найден способом "тыкнуть пальцем в небо" и чудесным образом на второй попытке (из бесконечного множества) нашли нужный. Вы действительно считаете, что "просматривается корень" и "тыкнуть пальцем в небо" - это способы решения задачи?
Попробуйте решить уравнение x^x=3. Интересно узнать как там просматривается корень и сколько раз будете пальцем в небо тыкать))
Если бы уравнение было x^x=3^3, то один корень там очевиден - это 3. Тоже самое касается и 1/2. Или даже с математикой класса 5го совсем туго?
@@biggamburgerbg3711 Похоже у кого то со зрением совсем туго. Еще раз читай по букофкам: x^x=3
@@alexnx4278 Какое отношение x^x=3 имеет к представленному примеру, если ты просишь "просмотреть" корень? В случае x^x=1/2^1/2, почему-то тебя удивляет подбор корня. Я тебе в это и ткнул - в любых подобных уравнениях один корень очевиден. Тебя же это удивляет) Ах, как так, очевиден? Ах, как так подобрали? Вот и разъяснил. Твое же уравнение никакого отношения к рассматриваемому уравнению отношения не имеет и его нужно решать уже "как положено". С исследованиями, определениями интервалов и т.п. Так понятно?
Ну на счёт видимого корня все верно, учитывая что слева что справа одинаковая функция только одна с переменной а другая с константой
То очевидно что когда переменная будет равна константе, то и значения будут равны
То есть рил надо доказывать что 1/2^1/2=1/2^1/2?
А х^х=3 уже разные функции
x^x=3
x=ln3/W(ln3) только один корень
Метод подбора можно упростить.
y½ = кв. корень y.
Всё, что нам остается - найти одно единственное число, удовлетворяющее следующий запрос:
y² = y * 2 = y + y, что легко сводится к 2.
Исследование функций прямо-таки облагораживает и заставляет мыслить
Можно еще прологарифмировать по основанию 2 log2(x) = -1/(2x), а потом просто стоить график, одна точка 1/2, следующая 1/4 - только ее и удобно считать. она и есть второе решение.
Есть неточность. Если функция меньше нуля и увеличивается при уменьшении аргумента это не значит что она станет положительной. Нужно было поставить например 1/10 и убедиться что значение положительное. Вот тогда можно уже утверждать что есть второй корень. Но решение супер. Спасибо!!
Мы нашли второй корень методом подбора, предположив, что график функции (в силу её убывания) пересекает ось абсцисс слева от точки минимума. То есть, уже по факту второй корень есть. Вот если бы нам не удалось найти второй корень, то тогда пришлось бы исследовать функцию слева от точки минимума более подробно.
Доказано что других корней нет, все ответы найдены, уравнение решено. Спасибо за решение.
Есть небольшая логическая ошибка: Функция возрастает, но она может не успеть достичь оси ОХ, т.е. возрастание функции не гарантирует наличие второго корня. Нужно добавить исследование предела справа от 0.
Мы нашли второй корень методом подбора, предположив, что график функции (в силу её убывания) пересекает ось абсцисс слева от точки минимума. То есть, уже по факту второй корень есть. Вот если бы нам не удалось найти второй корень, то тогда пришлось бы исследовать функцию слева от точки минимума более подробно.
@@ValeryVolkov 4:37 нет доказательства, что пересекает ось абсцисс. Подбор уже после этой фразы. Логическая ошибка.
@@elja6750 читать умеем? "предположим" слово ни о чем не говорит?
@@magitrop5336 пересмотри видео и подумай ещё
@@magitrop5336предположить пальцем в небо можно всё что угодно, случайное попадание ни о чем не говорит действительно
подбором? Не, так не честно!
Не понравилось решение в конце методом подбора. А если бы вторым корнем была бы сложная дробь, мы бы так просто не подобрали
значит был бы применён метод посложнее. хватит глупости писать
@@TheSnos15 Ну так примените метод посложнее раз вы глупости не пишите. Я о том, что должно быть более универсальное решение, чем просто метод подбора.
@@Nikita-hr6ss это школьная задачка, дурачок. не должно ЗДЕСЬ быть ничего. а то так и для третьего класса можно тройные интегралы будет вводить
facepalm, udachki tebe.
у меня всё хорошо, в отличие от тебя
Какой оказался наполненный пример (как айсберг, всего себя, кроме верхушки, скрывал под водой). Второй корень существует благодаря особенному свойству числа "2", 2+2=4, 2*2=4...?
Спасибо Вам, Валерий! Счастливого Рождества!
Он был бы и без этого, просто он был бы не красивый
Я не понял, а почему мы сразу отбросили 1/3 как корень и сразу взяли 1/4?
Как я понимаю, исходя из вида самого уравнения мы пытаемся подобрать корень вида 1/x на промежутке (0;1/e), тогда в качестве x мы можем пробовать натуральные числа больше, чем е=2.7..., т.е 3,4,5 и т.д. Но 3 не подходит, т.к. (1/3)^(1/3) не равно (1/2)^(1/2), и мы никак это не преобразуем. Дальше берём 4, и, как видно, оно подходит. Дальше числа не пробуем, т.к. 1/4 - единственный корень функции f(x) на промежутке (0;1/e).
Наша задача угадать. Можем угадываем - не можем не угадываем. А если Вы решили перебором искать, то удачи Вам не видать, ибо почему не взяли 1/3 спрашиваете, а почему не взяли 1/3,1; 1/3,2; 1/3,3 и т.д. до бесконечности?
Это он сказал, что сразу угадал, а на самом деле пробовал и 1/10, и 1/9, и ... ))
@@ЕленаЛь смысл пробовать числа, которые очевидно не являются и не могут являться решениями?
Это чувство, когда нашёл второй корень 1/4 просто размышляя о том, какими другие корни могут быть
да да, так и было
Крутой крутой
Здо́рово! Никак не ожидал. Убедился, воспользовавшись графопостроителем Grapher для Android y=(x^x)-(½^½).
На 4:37 логическая ошибка. То, что функция убывает, не означает, что она пересекала точку 0. Она могла убывать, например, начиная скажем c -1/N на области определения. Для правильности подхода, надо было подставить какую-то точку (скажем 1/10) и убедиться, что в ней функция больше нуля
Кстати, почему x>0, а не x>=0 изначально? 0**0 = 1. Хотя, конечно, можно было подставить и убедиться, что он не корень, после чего выкинуть.
@@QwDragon объективно 0^0 - это неопределенность (так как нулевая степень - это деление числа на себя, то есть 0/0 ) и существует как предел x^x при x->+0. В данном вопроса автор прав.
Ну-и-ну..... Это действительно интересно!
Мое решение x^x=(1/2)^(1/2). Это можно переписать как x^x = √(1/2) = x^2x = 1/2. Замечаем, что x должен быть равен (1/2)^2 = 1/4.
First, see LHS. x power x we cant isolate x so we Lambert W function. Second, we power Both sides with (1/x). It becomes x= (1/√2)^(1/x). Now to use Lambert i.e W(xe^x) =x, we exponentially raise 1/√2 as e^(.5ln.5*(1/x)). Thus x= e^(.5ln.5/x). Now we multiply .5ln.5/x on both sides to utilize the Lambert function. Now .5ln.5 = ue^u which if we Lambert W both sides.
We get X= (.5ln.5)/W(.5ln.5)
Please Correct me If I am Wrong. :)
For solving W(x) I would prefer the continual fraction formula or the indefinite integral formula.
@@saimohnishmuralidharan5440 The solution itself is correct, but evaluating (.5ln.5)/W(.5ln.5) will again give you the .5 you started with - to get the answer we are looking for you have to use the W₋₁ branch, that is (.5ln.5)/W₋₁(.5ln.5) = .25 (Wolfram Mathematica might be of help here). Also you may simply put it as
exp(W₀(.5ln.5)) = .5
exp(W₋₁(.5ln.5)) = .25
Очень красивое уравнение! Спасибо за Ваш труд)
Строим график y=xlnx и y=1/2ln1/2 на калькуляторе находим координаты пересечения этих функции это 1/2 и 1/4 для проверки подставим эти значения xlnx=1/2ln1/2 и получаем верное равенство. Это значит x1=1/2 а x2=1/4
Данное видео хорошо показывает, что решений в уравнении 2.
Но вот нахождение второго корня, точнее его подбор...
Хотелось бы узнать возможность нахождения второго корня для более общего уравнения, где "1/2" заменяется на "1/a", получится функция x*ln(x)-1/a*ln(1/a).
Все начальные выкладки данного видео сохраняются: 1/e - min функции, только при a>2 =3,4,5... второй корень будет находится правее 1/e, даже можно оценить, в интервале (1/e; 1). Т.к. уже при x=1 функция x*ln(x)-1/a*ln(1/a) будет иметь положительное значение.
Почему логарифмировали именно натуральным логорифмом?
Показательно как человек усложняет себе жизнь,не только в абстрактном плане.
Валерий, строго говоря, вы не доказали, что есть второй корень. Если функция убывает на (0;1/e], то убывать может по-разному. Важно, что при х -> 0+0 предел функции равен + бесконечности, тогда в силу разных знаков (при х, близких к 0 и в точке 1/e) график пересечёт ось х внутри интервала (0;1/e)
А вот то, что корней не более 2-х, следует из исследования на монотонность
Спасибо за задачу!
П.С. Угадать 1/4 - тоже не очевидно, как...
Мы нашли второй корень методом подбора, предположив, что график функции (в силу её убывания) пересекает ось абсцисс слева от точки минимума. То есть, уже по факту второй корень есть. Вот если бы нам не удалось найти второй корень, то тогда пришлось бы исследовать функцию слева от точки минимума более подробно.
при х стремящемся к 0+ предел функции х*ln(х) равен 0, а предел функции х^х равен 1, а не + бесконечности ---элементарная задачка из курса мат. анализа.
Свежая задача. Интересная.
Редкий случай,когда не хочется смотреть до конца.
Почему-то не первый уже раз не начинаете с одз. Можно найти экстремум,а затем проводим прямую у=√0.5. Четко видео ,что две точки пересечения, т.к. самая нижняя точка (экстремум) функции y=√x в степени √х ниже ,чем √0.5.
Такие уравнения лучше всего решать графическим способом. Это и просто, наглядно, и доступно. Да и на глаз видно,что ответы 0.25 и 0.5.
Не надо неполному ответу придавать статус неверного. 1/2 - верный ответ, но не полный. Даже если вы догадались и назвали правильный ответ, в строгой математике к вам нет претензий. Подставили, проверили, верно, ответ принят. Если пропустили корень на экзамене, минус баллы. За неполный ответ.
насколько я помню, решить задачу значит найти ВСЕ ответы, или доказать что их нет.
На самом деле из монотонного убывания функции на интервале (0; 1/е) вовсе не следует, что она имеет на нём нуль. Она могла монотонно убывать от 0 или любого отрицательного числа, больше f(1/e). Нужно было показать, что функция меняет знак на интервале (0, 1/e). Ну, а решение уравнения методом подбора - это вообще песня...
1) Данное исследование не говорит, что есть ровно два корня, оно говорит, что есть МАКСИМУМ ДВА корня. С учётом того, что мы можем непосредственно предъявить два корня делается вывод, что их таки два и таки вот они.
2) "решение уравнения методом подбора - это вообще песня..." - доказательство о макс. возможном кол-ве корней + их непосредственное предъявление (в макс. количестве) есть математически строгое решение.
Мы нашли второй корень методом подбора, предположив, что график функции (в силу её убывания) пересекает ось абсцисс слева от точки минимума. То есть, уже по факту второй корень есть. Вот если бы нам не удалось найти второй корень, то тогда пришлось бы исследовать функцию слева от точки минимума более подробно.
Если x .это не числовой знаменатель, то он является просто значимым уровнителем на вторичной декаде 1 и ..2.. Где корень определения суммарных чисел является знак = = равенства!
Ура ! Ура ! Ура!
1:4 - есть ещё корень
сам догадался?
@@СергейКраснов-й4в нет, где-то видел в математической энциклопедии
Видео посмотрел😄👍
ф-ция x^x имеет экстремум (минимум), а потому пересечение ее с горизонталью 0,5^0,5 происходит в 2-х точках: x=0,25 и 0,5
Автор лукавит, так как в начале задачи не оговорил, что x^x это функция и поэтому x>0. А если не принимать эти ограничения, то можно найти ещё корни этого уравнения. Мы же умеем возводить в степень отрицательные числа на примере функции x^n. Кроме того, следует учитывать, что (1/2)^(1/2)=±1/√2 по формуле Муавра
Тогда уж решите пример "Х = 1/2".
Тоже много авриантов))))
х=1/2
х=cos(π/3)
Вот это интересно. Мне понравилось. Но буду думать, бо х^х - это интересно. Семейные проблемы и алкоголь - голова и так на пределе.
Ну, те, кто не знает, что такое логарифмы, не умеет обращаться с функциями, 1/2 - это и есть 1 корень.
Это для 9-11 классников 2 корня.
Красиво! Спасибо **
Спасибо, было интересно!
Однозначно лайк!!!
Гениально! Очевидное не всегда является единственным.
x^x=(1/2)^(1/2)
x1=1/2
Для нахождения второго корня возводим правую часть в квадрат и извлекаем квадратный корень
x^x=(1/4)^1/4
x2=1/4
Разве Ламберта не существует?
Можно использовать и функцию Ламберта.
W(ze^z)=z
xlnx=(1/2)ln(1/2)
W(lnxe^lnx)=W((1/2)ln(1/2))
lnx=W((1/2)ln(1/2))
W((1/2)ln(1/2))=W(-0,3465736)
W1=-0,693
W2=-1,3863
x1=e^(-0,693)=0,5
x2=e^(-1,3863)=0,25
волшебно. х=1/4 никак не просматривался
4:38 - с чего это мы решили, что функция второй раз пересчёт Ох?)
В стац.точке f < 0 (приблиз.= - 0,02). А при х -> 0, f -> (ln2)/2, и значит больше 0.
@@HomoMathematicus. х*ln(x), при стремлении х к 0, равен 0?
@@pufick925
Конечно: при x → 0
lim [x ln(x) = ln(x)/(1/x)
= |∞/∞| = ln'(x)/(1/x)'
= (1/x)/(-1/x²) = -x] = 0
К сожалению если функция возрастает, это ещё не значит, что она где-то обратится в ноль, так что мы доказали не наличие двух корней, а то что их не более двух)
хохма в логарифмировании. Лог по другому основанию дает точку минимума в 1/основание - и таких точек минимума будет бесконечное множество в зависимости от выбранного основания логарифма. Причем дальнейшие рассуждения все будут верны и для логарифма по любому основанию, вот только точки пересечения слева от точек мин. (бесконечных в перечислении по вариации основания лог-ма) также ВСЕ будут бесконечно разные.... т.е. ур-е имеет бесконечное число решений...
Не очень очевидно, почему подбор второго корня производили среди чисел вида 1/n. Почему б 2/7 или 13/125 не проверить сначала?
Очень классно! Спасибо за ролик!
Very good and very educative.
Thank you very much.
And although I understand Russian very good (I studied in USSR in MEI) I am sorry for writing in English coz I don’t have Russian keyboard.
I follow all your clips.
Keep the good work.
🌺
Thank you! I'm glad that you understand my videos.
На мой взгляд, второй корень находится, если представить, что х=(1/2)^n. Тогда легко показать, что n = 1 или 2. С учетом выкладок по производной оказывается, что ответа только 2.
Можно сделать замену x = 1/t > 0 и перейти к уравнению
(1/t)¹ᐟᵗ = (1/2)¹ᐟ²,
откуда
t¹ᐟᵗ = 2¹ᐟ²,
t² = 2ᵗ - пересечение параболы и показательной функции, имеющей два очевидных положительных корня, которые легко находятся графически: 2 и 4.
Никогда нельзя решать уравнение подбором (как в данном случае), не доказав, что корень уравнения единственный
или их 2, 3, или сколько там надо. Сначала ищем количество корней (графически например), а дальше хоть подбором, хоть программу на компьютере пишите)) Только вряд ли школьника пустят на экзамен с компьютером)))
А можно найти второй корень аналитически через дубль-вэ функцию Ламберта. Правда, ответ будет страшненький, но это всё та же 1/4 . Именно этот второй корень через дубль-вэ функцию отображает Вольфрам Альфа. И вот тут в пору задуматься, а всегда ли рационально использовать аналитический метод...
Ну, не такой уж и страшненький: exp(W₀(-ln(2)/2)) = 1/2 и exp(W₋₁(-ln(2)/2)) = 1/4. Разве что ни на калькуляторе, ни "уголком" W-функцию не посчитаешь. Но стоит чуть пошевелить левую часть (например, xˣ = (1/3)¹ᐟ³), и кроме как аналитически или численно уже не решить.
Конечно, лайк. Но как это все сложно. Неужели наши школьники решают такие уравнения? Уважаю таких умников.
Это не школьники, а уже почти студенты
Поверь, в этом нет абсолютно ничего сверхтяжёлого. А вот школьники которые решают Всероссийскую олимпиаду в 11 классе, становятся призёрами и победителями - да, их можно с уверенностью назвать умниками
Вы диффуры ещё не видели.
Это ещё детский лепет
Боже, какое счастье, что я закончи школу, да и вуз уже почти 10 лет назад, и забыл математику, которую там знал почти на отлично. Как мне жаль тех, кто мучается с этой недонаукой
Супер! Численное значение 0.5^0.5=0.7071 и если написать "решите уравнение х^х=0,7071, то я уверен что два корня нашли-бы процентов 90. А так просто конфетка.
Решений, вообще-то, много больше, если расширить поле корней на комплексное множество. Проще говоря, если искать ещё и комплексные корни. Два решения только среди множества действительный чисел R.
К тому же куда проще было решить это уравнение графически, поскольку оно и так трансцендентное. Стало быть не имеет аналитической формы записи в виде простой формулы-ответа. Опять же - поиск производной есть одна из ступеней построения геометрического образа степенно-показательной функции (графика)
1/4^1^4=x
Sqrt4(1/4)=x
Sqrt4(1)/sqrt4(4)=x
1/sqrt4(4)=x
1/sqrt(4)=x²
1/2=x²
1/sqrt(2)=x
1/2^1/2=x
Sqrt(1/2)=x
Sqrt(1)/sqrt(2)=x
1/sqrt(2)=x
Лайк поставил после слов " приблизительно равен два и семь" . Вспомнился анекдот про штурмана и логарифмическую линейку.
Очень интересная интуитивно-недогадливая ситуация))
Вопрос про математику. Сам учился в физмат лицее. Любил математику (была 5 за экзамен, в то время так называемый "спецпакет"). Но никогда не понимал зачем нужны задачи по математике. Сейчас работаю инженером и не понимаю еще больше. В реальной жизни ни чего из этих задач не встречается. Может кто в курсе. Не бывает в обычной жизни уравнений которые решаются аналитически. Только численно (МКЭ, CFD, интегрирование в Excell). Максимум, что пригодилось - это посчитать окупаемость газового оборудования на авто. А вот что действительно нужно - это статистика, вероятность, множества, теория чисел да векторы с тензорами. А их в школе почти не преподают. Эти видео смотрю для удовольствия.
Математика для идеалистов. Вон, эппл и гугл в смартфонах уже давно не используют рисованные иконки, а используют формулу суперэллипсов для задания форм (квадраты со скругленными углами).
Плюс ко всему, статистика - надстройка над этой самой математикой и без нее она бы не существовала. Фундамент высотных строений мы тоже не видим, но он есть)
Температура (как физическое понятие) тоже является всего лишь статистической надстройкой над усредненным значением энергий всех взаимодействующих частиц из которых состоит вещество обладающее "температурой". Интересный факт: температура чего угодно не может быть абсолютным нулем изначально и по определению (и это говорит математика, а не физика) ))
@UC3BiHk8CoKd76FjWdeb9K3g шахматы тоже для удовольствия.
Привет из
Баку.
Спасибо за нахождение второго корня.
Когда я буду думать, что я достаточно умен. Буду включать это видео.
Хорошая задача
а почему логарифмируете по основанию е? а если по другому основанию?
можно по какому хочешь, просто запись натурального логарифма более удобна
Лгарифмируем по е потому, что потом будет легче брать производную от f(x).
Так удобнее. Можно логарифмировать по какому хотите основанию (если интересно попробовать, прологарифмируйте по основанию i, где i^2 = -1).
@@s1ng23m4n а почему удобнее
@@s1ng23m4n наверно часто ходите в школу, в первый класс, где можете проявить "настоящий класс".
Красивое интриговевидео
Благодарю
Как решать данную задачу, если метод подбора не работает? Можно ли решить равенство, содержащее x^x (икс в степени икс) аналитически?
Так же решал, только производную брал сразу от f(x)=x^x. Ну, скажем прямо, что метод подходит только для халявы - когда подбором целых чисел (в данном случае - в знаменатель) можно найти недостающие корни:)
Но ведь сразу можно заметить, что (1/2) в 1/2 равна (1/4) в 1/4 - простая арифметика. Доказательство, что других корней нет, не отменяется, конечно.
Мне кажется, что в рассуждении - ошибка. Наличие нуля в 1/2 и перегиба в 1/е ещё не доказывает наличия второго нуля. Функция может теоретически не успеть вырасти обратно до нуля на своей области определения.
Мы нашли второй корень методом подбора, предположив, что график функции (в силу её убывания) пересекает ось абсцисс слева от точки минимума. То есть, уже по факту второй корень есть. Вот если бы нам не удалось найти второй корень, то тогда пришлось бы исследовать функцию слева от точки минимума более подробно.
Потратив час і перечитав усі коментарі...
Здається, не всі зрозуміли, що це був приклад того, яка небезпека очікує при розв`язуванні "Незвичних" рівнянь та може призвести до втрати коренів!!! Я думаю, це головне, а не спосіб знаходження самих коренів. Конкретно рівняння цього загального виду не мають аналітичного розв`язку. Корені з певною точністю можна знайти, використовуючи, наприклад, метод хорд тощо. Але спочатку потрібно з`ясувати чи є корені і скільки їх. Це ми робимо, наприклад, при розв`зуванні навіть рівнянь другої степені, знаходячи дискримінант! а вже потім самі корені...
По суті, коли ми кажемо, що х=пі, то це також наближене значення з певною точністю.
Ещё одно доказательство того что для того чтобы быть хорошим математиком нужно сомневаться во всём и любить докапываться до истины
Вопрос звучит: «Решите уравнение». При такой постановке вопроса ответ 1/2 верный, так как уравнение решено. Если бы вопрос звучал: «Найдите все корни уравнения», то ответ 1/2 уже не являлся бы верным. Ставьте правильные вопросы.
Вопрос поставлен правильно, решить уравнение-значит найти все возможные корни либо доказать их отсутствие
Чистая подгонка ответа. Откуда взялся натуральный логарифм, а не скажем логарифм по основанию 2 или 10?
щоб похідні простіше були. можна логарифм по будь-якій основі використати -- буде те саме, тільки з додатковими коефіцієнтами, які ні на що не вплинуть... то нахіба ускладнювати?
Прикольный анекдот, ничего не понятно но очень смешно. Смешалось все иксы, логарифмы, точки, осьобцыс, корни, побеги, лошади, люди...
Для каждого подбора должно быть обоснование. Здесь его нет.
Красивый корень. Я думал, во втором корне вылезет натуральный логарифм или что-то подобное.
Корень х=1/4 найден подбором, это не может называться решением уравнения в привычном смысле. Нужно аналитическое решение, а не подбор, поэтому я считаю, что задача не решена.
Почему же? Мы нашли корни уравнения, убедились, что они обращают уравнение в верное равенство, и доказали, что других вещественных корней нет - это вполне соответствует определению решения уравнения. Аналитическое решение выходит далеко за рамки школьной программы.
@@allozovsky Формально вы правы. Я хотел подчеркнуть, что не найдено аналитическое решение , т.е. замкнутой формы, по которой корень может быть вычислен за конечное число операций.
@@DrGirsh Аналитическая форма существует и имеет общий вид exp(W(ln(a))), где W(z) - комплекснозначная W-функция Ламберта, имеющая множество ветвей, но это скорее уровень продвинутых курсов спецфакультетов, а не школьников или даже первокурсников. Сама функция известна ещё со времён Эйлера и как раз и применяется для аналитического решения уравнений подобного вида.
Доказательство не полное, потому что, если я не ошибаюсь (что вполне может быть), возможен случай, когда функция убывает слева от минимума, но не пересекает ось ОХ. Найдя асимптоты функции, можно было бы доказать, что уравнение асимптоты не равно х=0.
+ чисто, в теории, функция слева может уменьшаться и под осью ОХ, что тоже требует доказательства пересечение ею оси.
Опять же, я могу ошибаться, и да, то что она пересекает ось два раза очевидно, но не доказано в ролике, как по мне. Спасибо!
Ничего доказывать не нужно. Мы нашли второй корень методом подбора, предположив, что график функции (в силу её убывания) пересекает ось абсцисс слева от точки минимума. То есть, уже по факту второй корень есть. Вот если бы нам не удалось найти второй корень, то тогда пришлось бы исследовать функцию слева от точки минимума более подробно.
даже не пробуя, я вижу, что без вас я это не решу
Если бы была не 2 , а 3, таким методом не решить. А так, конечно, (1/2)^(2(1/4)=(1/4)^(1/4)) , волшебное число 2)
У меня даже калькулятор ошиблась, а я ему так доверял...😏
А с каких пор калькуляторы решают уравнения?
Очень интересно хоть я ничо не понимаю (в 6 классе), заслуживает лайка.
Увидев дробную степень сразу понял, что ответов будет как минимум два потому, что сложные корни "разных" выражений бывают одни и те же числа.
Не зря говорят решить интеграл или уравнение всегда легко, а попробуйте к задаче с текстовым условием подобрать ну почти, что такое же уравнение, а вот это не так то просто
0:33 Потому что забыли перевести в десятичную дробь 😂😂😂
Почему мы не рассматриваем случай x < 0 и x - чётное? Тогда x^x > 0, и мы также можем иметь корни.
По тому, что было бы очень странно решать уравнение исходя из определения степени "гениальных" школьников из интернетов, а не из его реального определения.
Вообще говоря, сперва нужно было проверить, какое значение принимает функция в пределе 0+, а уже потом искать корень.
Спасибо за разбор! Есть пара вопросов:
1) почему убывание функции на (0; 1/е) говорит о наличии второго корня? Теоретически же предел к +0 может быть меньше ноля?
2) можно как-то без подбора решить?
1) Данное исследование не говорит, что есть ровно два корня, оно говорит, что есть МАКСИМУМ ДВА корня. С учётом того, что мы можем непосредственно предъявить два корня делается вывод, что их таки два и таки вот они.
2) С помощью W-функции Ламберта.
Метод в видео более универсальный. W-функция - решение "в лоб", но только для уравнений сводимых к x*exp(x).
@@ВикторИванов-ю7ю спасибо!
Мы нашли второй корень методом подбора, предположив, что график функции (в силу её убывания) пересекает ось абсцисс слева от точки минимума. То есть, уже по факту второй корень есть. Вот если бы нам не удалось найти второй корень, то тогда пришлось бы исследовать функцию слева от точки минимума более подробно.
@@ValeryVolkov спасибо!
@@ValeryVolkov Но в самом ролике было категорически заявлено о доказательстве существования второго корня до его нахождения.