Méthode très sympa et pour tous ceux qui disent Stirling ou autre série de Taylor c'est peut-être plus rapide mais bien moins élégant car vous devez admettre beaucoup plus de résultats, à moins que vous ne les redémontriez mais là ce n'est plus rapide du tout.
@@nadimnajjar650 Le théorème des croissances comparées permet de comparer les monômes et l'exponentiel/logarithme, la factorielle n'intervient pas dans ce théorème. Cf : fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_croissances_compar%C3%A9es
La méthode est originale, mais c'est plus simple de revenir à la définition. Comme a/n tend vers 0, il existe un rang k à partir duquel on a |a/n| < 1/2 pour tout entier n > k. Donc en remarquant l'égalité a^n/n! = a^k/k! * a/(k+1) * a/(k+2) * ... * a/n on conclut que |a^n/n!| < |a^k/k!| * (1/2)^{n-k} tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
Ça demande pas de prouver que si une série converge, alors la suite de ses termes tend vers zéro ? Et pour prouver ça, il ne faut pas utiliser ce résultat sur les croissances comparées ?
@@amarasa2567 ... Je sais pas ce que tu racontes: le fait qu'une série converge implique que le terme général tende vers 0, c'est une condition nécessaire et un résultat connu.
Je suis parti de la formule de Sterling et un peu de calculs donne a^n/n equivalent à (a×e/n)^n / √(2πn) ce qui tend visiblement vers 0 puisque tous les n sont au dénominateur.
Oui effectivement, je l'ai dis dans l'introduction de la vidéo, toutefois, utiliser une formule aussi complexe pour un exercice aussi simple ça manque d'élégance je trouve, après ça fonctionne donc bien joué !
Oui effectivement, je l'ai dis dans l'introduction de la vidéo, toutefois, utiliser une formule aussi complexe pour un exercice aussi simple ça manque d'élégance je trouve, après ça fonctionne donc bien joué !
J'ai pas fait le calcul, j'ai juste reconnu que la somme des termes de la suite (ΣUₙ) était égal à l'exponentielle de a. Donc nécessairement, la série converge donc la suite tend vers 0.
@@dans.o.s.d.s6971a^n/ n! est le terme général d’une série convergente (l’exponentielle) . Or le terme général d’une série convergente tend nécessairement vers 0. Ce qui donne le résultat
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Méthode très sympa et pour tous ceux qui disent Stirling ou autre série de Taylor c'est peut-être plus rapide mais bien moins élégant car vous devez admettre beaucoup plus de résultats, à moins que vous ne les redémontriez mais là ce n'est plus rapide du tout.
Merci vous avez tout dit 😌
en vrai on pourrait dire plus rapidement par croissance comparé car la factorielle est plus forte qu'une puissance exponentielle...
@@nadimnajjar650 Le théorème des croissances comparées permet de comparer les monômes et l'exponentiel/logarithme, la factorielle n'intervient pas dans ce théorème. Cf : fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_des_croissances_compar%C3%A9es
La méthode est originale, mais c'est plus simple de revenir à la définition. Comme a/n tend vers 0, il existe un rang k à partir duquel on a |a/n| < 1/2 pour tout entier n > k. Donc en remarquant l'égalité
a^n/n! = a^k/k! * a/(k+1) * a/(k+2) * ... * a/n
on conclut que
|a^n/n!| < |a^k/k!| * (1/2)^{n-k}
tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
M9awd❤❤❤
Excellente vidéo !
Un grand merci !
C'était pas suffisant de dire que c'est un des termes de la série convergente qui vaut exp(a) et donc que c'est un terme qui converge vers 0?
Si clairement, après je pense que l'auteur a voulu donner une méthode faisable en Terminale
Ça demande pas de prouver que si une série converge, alors la suite de ses termes tend vers zéro ?
Et pour prouver ça, il ne faut pas utiliser ce résultat sur les croissances comparées ?
Comment tu fais pour montrer que la somme c'est exp(a)?
@@watouat1013 C'est un développement en série entière qui est connu.
@@amarasa2567 ... Je sais pas ce que tu racontes: le fait qu'une série converge implique que le terme général tende vers 0, c'est une condition nécessaire et un résultat connu.
Masterclass bg continue comme ça
Merci beaucoup ahah !
Je suis parti de la formule de Sterling et un peu de calculs donne a^n/n equivalent à (a×e/n)^n / √(2πn) ce qui tend visiblement vers 0 puisque tous les n sont au dénominateur.
Oui effectivement, je l'ai dis dans l'introduction de la vidéo, toutefois, utiliser une formule aussi complexe pour un exercice aussi simple ça manque d'élégance je trouve, après ça fonctionne donc bien joué !
Ouais c un peu miteux de faire comme ça
qu'en est-il de lim n-->+inf n^n/(n!)^2
Je pense pas que le carré soit particulièrement utile, je note cependant l'idée merci !
excellent
Merci beaucoup !
Merci
Je t'en prie ahaha !
Stirling...
Oui effectivement, je l'ai dis dans l'introduction de la vidéo, toutefois, utiliser une formule aussi complexe pour un exercice aussi simple ça manque d'élégance je trouve, après ça fonctionne donc bien joué !
Equivalent de stirling
Oui tu peux ça fonctionne.
Ça me semble incomplet si a> certaines valeurs, le numérateur peut être supérieur au dénominateur.
Si n est grand Ça peut s'inverser effectivement
On s'intéresse à la limite quand n tend vers +infini et c'est bien 0 indépendamment de la valeur de a.
J'ai pas fait le calcul, j'ai juste reconnu que la somme des termes de la suite (ΣUₙ) était égal à l'exponentielle de a. Donc nécessairement, la série converge donc la suite tend vers 0.
Oui c'est pas con dutout ça ahahah, si j'y avais pensé je pense que je n'aurais peut-être même pas fait la vidéo 😭
@@m.a.t.a.m bah c'est bien que t'y aies pas pensé alors 😅😅😅😅😅
vous pouvez expliquer votre idee en plus détail svp ? Ça apparaît vachement intéressante
@@dans.o.s.d.s6971a^n/ n! est le terme général d’une série convergente (l’exponentielle) . Or le terme général d’une série convergente tend nécessairement vers 0. Ce qui donne le résultat
🎉Lim x-> +oo a^x / x!
= Lim (2.a + x) -> +oo. a^(2.a+x) / (2a+x)! N/D
D = (2a+x)! = 1.2...a. . (a+1)...2a. (2a+1)....(2a+x)
Or. 1.2...a = a!
Et. (a+1)...(2a) > a^a
Et. (2a+1)...(2a+x) > (2a)^x
Donc D > a! . a^a . (2a)^x
Si L =. lim (a^(2.a+x) / (2a+x)! )
0 < L < a^(2.a+x) / (a! . a^a . (2.a)^x )
0 < L < 1/2^x. . a^a / a!
Donc si x-> +oo , L -> 0
Les encadrements fonctionnent bien ici et la plupart des vidéos youtube font comme ça c'est je pense une des manières les plus simples, bien joué !