Des intégrales chaudes pour l'été -- Oral de l'X
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- เผยแพร่เมื่อ 1 ส.ค. 2024
- Deux intégrales à calculer, une facile, une plus dure. Un peu comme dans la vie.
Time code :
00:00 Introduction qui ne sert pas à grand chose mais qui fait toujours plaisir
01:26 Générique
01:49 Premier exercice
05:00 Deuxième exercice
La musique d'intro est "Pretty Ballerina" de Robert Bruce (et j'ai payé les droits donc voilà quoi)
Pour l'énoncé d'oral Centrale (Spoilers) :
1)On peut déjà faire une division euclidienne pour avoir p plus petit que 2q
2)On peut faire autant d'IPP que nécessaire, en intégrant des t/(1+t^2)^q autant que l'on peut
3)On est conduit alors finalement à calculer l'intégrale de 1/(1+t^2)^r, où r est un entier, et on termine par un changement t=tan(u)
![[ไฮไลต์] แบดมินตันหญิง "เมย์ รัชนก" ไทย vs เบลเยี่ยม รอบแบ่งกลุ่ม | โอลิมปิก 2024](http://i.ytimg.com/vi/qfMROCoiKMY/mqdefault.jpg)
Bonheur cette petite vidéo ! Merci pour ça.
J'aurais aimé une petite propriété du roi pour conclure concernant J l'intégrale de cos²(u) sur le segment [0, pi/2] :(
Ainsi 2J vaut l'intégrale de cos²(u) + sin²(u) sur [0, pi/2], donc on intègre juste 1 entre 0 et pi/2. En résulte 2J = pi/2, donc J = pi/4 !
Le goat a parlé
Une de mes chaines de maths préférées...
Pour la première intégrale le changement de variable u = 1/t fonctionne très bien.
Cela nous donne intégrale sur R+ de u²/(1+u²)² du.
Puis par linéarité de l'intégrale, 2I = integrale sur R+ de 1/(1+u²) du.
On reconnaît l'arctan donc 2I = π/2 d'où I = π/4
Bonne vidéo. Toutefois, ne fallait-il démontrer que les changements de variables étaient bien des C1-diffémorphismes de ... sur ... dans un oral X ? Et l'inversion séries-intégrales, ne demanderait-il pas quelques explications supplémentaires, du genre convergence séries géométriques et je pense qu'il faudrait expliquer ce qu'il se passe en v=1(presque partout ou on joue sur [0;1[...) ou est ce que ces résultats sont considérés comme évident. Par contre , Fubini-Tonelli, je suppose avec mesure de comptage, ne serait-plutôt à Beppo-Levi que vous pensiez dans l'anecdocte ?
Très bonne vidéo. Néanmoins, petite question à l'exercice 2 : Pourquoi ne peut-on pas développer directement en série entière 1/u^2-1 avant de faire le cdv u=1/v ? Merci d'avance
Une que j'aime, c'est double intégrale sur [0,1]^2 dxdy/(1+xy)
Pour la seconde intégrale c'est un changement de variable important à connaître u=1/(1+x) qui permet de ramener l'intervalle d'intégration [0,infini] à [0,1]. Les changements de variable u=x/(1+x), u=x/(1-x) et surtout u=(1-x)/(1+x) sont, selon moi, indispensables à connaître. Le dernier changement de variable laisse invariant l'intervalle [0,1] et u=(1-x)/(1+x) implique x=(1-u)/(1+u).
Des techniques de calcul d'intégrales il en existe tellement que ce serait fastidieux d'en faire la liste et je pense qu'elle ne serait jamais exhaustive. Une technique usuelle qui n'est pas mentionnée dans votre vidéo mais très utilisée: l"introduction d'un paramètre.
Feynman trick comme les anglais
@@janisaiad9505 C'est une technique connue depuis très longtemps. Cela remonte au moins à Leibnitz
Pour la deuxième integrale, on pouvait poser 1+t = exp(u), puis faire apparaitre 1/(1-exp(-u)), que l'on développe en série entière, on intervertit la somme et l'integrale (on utilise les gros théorème d'analyse en spé), et on tombe sur le résultat plus rapidement.
Concernant l'intro de deux minutes, jsuis en prepa moi, t'as cru que j'avais le temps? 😂
Pour la deuxième intégrale, comme je n'aime pas manipuler des séries plus que nécessaire, je commence par remarquer que integrale de log(x)/(x^2-1),x=0,1 est égal à intégrale de log(x)/(x-1),x=0,1 moins integrale de x*log(x)/(x^2-1),x=0,1 dans la seconde intégrale on fait le changement de variable u=x^2, à la fin on se retrouve avec 3/4 fois integrale de log(x)/(x-1),x=0,1. Soit on sait que cette dernière intégrale vaut Pi^2/6 soit on se tape le développement en série entière pour montrer que cette intégrale est égale à zeta(2). Mais il faudra bien admettre une valeur à un moment donné.
Salut, on a un théorème de cours sur les intégrales impropres qui permet l’échange série intégrale (même avec une borne infinie), je ne comprends donc pas l’intérêt du changement de variable u=1/t. Peux-tu m’éclairer ?
La série ln(1+t) = ∑ (-1)^(k+1) t^k / k converge uniquement si |t|
le développement en série entière nécessite que |x|
Ok merci à vous
Pour la première intégrale, peut-on conclure directement grâce à une décomposition en élément simples ?
Je me posais la même question. On aurait un truc du genre (at+b)/(1+t²) + (ct+d)/(1+t²)² non ?
C'est le cas, la fraction rationnelle est un élément simple avec a=b=c=0, et d=1
Pour la deuxième intégrale votre justification de la continuité de l'intégrande en 0 est un peu fausse me semble-t-il. la fonction x->log(1+x)/x peut être prolongée continûment en 0 car la limite en 0 de cette expression est égale à un nombre dérivé (celui de la fonction x->log(1+x) en 0 c'est-à-dire que ce nombre dérivé est 1) et le facteur 1/sqrt(1+x) n'a pas de problème de continuité sur l'intervalle [0,infini]
Pour l'intégrale 1/(1+x^2)^2,x=0,infini, on commence par couper l'intégrale en deux, sur l'intervalle 0 à 1 et sur l'intervalle de 0 à l'infini dans la seconde intégrale on fait le changement de variable u=1/x, ce qui veut dire que la seconde intégrale vaut intégrale de u^2/(1+u^2)^2,u=0,1 et la première intégrale est égale à, intégrale de 1/(1+x^2),x=0,1 moins l'intégrale de x^2/(1+x^2)^2,x=0,1 ce qui veut dire que l'intégrale initiale est égale à intégrale de 1/(1+x^2),x=0,1 qui vaut Pi/4 par un calcul simple de primitive. La technique dans le début de mon message est ultra-classique dans ce domaine-là.
Merci mais pourquoi écrire en rouge
ftg