AÃŊe, aÃŊe, aÃŊe, c'est toujours la mÊme chose. Quand je ne prends pas le temps de tout dÃĐvelopper, je fais une erreur ! Merci de l'avoir remarquÃĐ si vite !
âââ@@m.a.t.a.m belle attitude ... alors je peux te dire qu'3:22 ce serait plutÃīt "... que tout le monde comprenne!", dans le cas oÃđ c'est un souhait de ta part, sinon comprend peut se dire.
TrÃĻs belle intÃĐgrale et un surprenant rÃĐsultat qui fait rÃĐfÃĐrence au fameux problÃĻme de BÃĒle, reliant ainsi cette intÃĐgrale à la thÃĐorie des nombres. Euler devrait pousser des grimaces là oÃđ il est. C'est ça la magie des mathÃĐmatiques.
Une autre mÃĐthode, que je trouve personnellement plus simple, est d'effectuer le changement de variable u=1/x qui est un C1 diffÃĐomorphisme ]0,+inf[ sur ]0,+inf[. On a dx=-1/u^2 du. L'intÃĐgrale devient alors : I = - int(entre 1 et +inf)(floor(u)/u^3)). Maintenant, on subdivise l'intervalle [1,+inf[ en [k,k+1[. Je trouve que c'est plus simple à manipuler. Certes, celà revient à la mÊme chose, mais je toruve que c'est plus intuitif que de subdiviser comme vous l'avez fait.
J'ai essayÃĐ de rendre cette intÃĐgrale la plus accessible possible, mais le changement de variable n'est, je crois, pas au programme de terminale (le symbole sigma non plus, mais bon...). Donc, je me voyais mal faire un changement de variable sur une fonction aussi """"bizarre""""" (bornes et cpm).
â@@juliencarbone01Dans la vie de tous les jours, à rien de spÃĐcial, mais pourquoi cette question ? Heureusement que l'on ne fait pas que des trucs purement pour "la vie de tous les jours", la vie serait bien fade sinon ! Ãa a la mÊme utilitÃĐ dans la vie de tous les jours que l'histoire, la littÃĐrature, regarder des films ou des sÃĐries, faire des sudoku, jouer à des jeux : pour le plaisir, pour s'entraÃŪner intellectuellement, etc. De plus les scientifiques s'en servent pour faire avancer les sciences et donc fatalement ça se rÃĐpercute sur les technologies et techniques du quotidien.
calcul d'une intÃĐgrale trÃĻs instructif (pour l'existence malheureusement certains commentaires mettent en ÃĐvidence que la preuve est faillible) en admettant l'existence, une autre astuce pour le calcul est d'ÃĐcrire le k en facteur comme une somme d'unitÃĐs et d'intervertir les deux symboles sigma (tout est positif tu fais ce que tu veux), et ça se simplifie assez vite
Bravo pour ce petit bijou !! Je ferai cependant deux remarques : 1 - la figure reprÃĐsentant la fonction f(x) = x [1/x] nâest pas exacteâĶ Les segments (une fois prolongÃĐs) passent par lâorigine, ce qui ne correspond pas à votre graphique. Plus prÃĐcisÃĐment, le segment correspondant à x ⎠]1/(k+1), 1/k ] joint les points Mk (1/(k+1), k/(k+1)) et Nk (1/k, 1). Ces deux points sont sur la droite y = k x, et les Mk sont alignÃĐs sur la droite x + y = 1, et les Nk sur la droite y = 1. NB : Le segment Mk Nk est ouvert en Mk. NB2 : tous les segments sont inclus dans le carrÃĐ [0, 1] x [0, 1]. 2 - on peut sâinspirer du graphe pour une approche gÃĐomÃĐtrique du calcul, en constatant que lâintÃĐgrale sur [0, 1] de f est aussi la somme infinie des trapÃĻzes dÃĐfinis par les segment Mk Nk et leurs projections sur Ox, à savoir les segments ]1/(k+1), 1/k ]. Si on appelle Ak lâaire du trapÃĻze dâordre k, alors Ak est le produit de la base par la demi-somme des hauteurs, et donc (en calculant 2 Ak) : 2 Ak = (1/k - 1/(k+1)) (1 + k/(k+1)) En dÃĐveloppant (audace !) : 2 Ak = 1/k - 1/(k+1) + 1/(k+1)^2 En sommant pour k ⎠N*, on retrouve le tÃĐlescopage, et aussi la somme zÊta (2). Merci pour vos intÃĐressantes videos !
@@Toonix11 Oui, bien sÃŧr... mais le graphe exact donne aussi une mÃĐthode efficace de calcul de l'intÃĐgrale, c'est pour cela que j'ai essayÃĐ d'approfondir. Merci pour votre remarque.
Si on nâÃĐtudie pas le graphe, on peut aussi rÃĐsoudre analytiquement : En posant t = 1/x, et dx = -1/t^2 dt, on obtient I = âŦ [t] / t^3 dt sur [1, +â [ Comme [t] / t^3 ~ 1/t^2 lorsque t -> â, lâintÃĐgrale est convergente. En sÃĐparant lâintervalle : I = â Jn pour n ⎠N*, avec Jn = âŦ [t] / t^3 dt sur [n, n+1[ Ou encore Jn = âŦ n / t^3 dt sur [n, n+1[. En intÃĐgrant : Jn = n/2 [1/n^2 - 1/(n+1)^2] On retrouve les mÊmes termes que dans la video (normal !) et on finit le calcul de la mÊme façon, avec pour rÃĐsultat Ï^2 / 12. NB : le changement de variable permet de simplifier les calculs, et aussi de prouver facilement la convergence.
La justification exacte, me semble-t-il, est que la somme infinie est absolument convergente. Concept qu'on n'abordait dÃĐjà pas en terminale de mon temps (annÃĐes 80) et qui conduisait parfois à des dÃĐmonstrations bancales. En mÊme temps j'ai lu dans un autre commentaire que le symbole sigma ne serait plus au programme de terminale ?
7:38 la reprÃĐsentation graphique de la fonction x partie entiÃĻre de 1/x est incorrecte. Elle est majorÃĐe par 1, et composÃĐe de segments de droites passant par l'origine dont la pente est de plus en plus grande quand x s'approche de 0.
Oui, c'est exact. En fait, pour rÃĐaliser cette vidÃĐo, je me suis dit qu'incorporer le graphe ÃĐtait une bonne maniÃĻre d'avoir une approche simple et intuitive. Cependant, le graphe sur GeoGebra ne me semblait pas trÃĻs clair au voisinage de 0, j'ai donc pris l'initiative d'en faire une approximation qui permet de comprendre l'idÃĐe. Je le prÃĐcise heureusement dans la vidÃĐo !
j'ai pas regardÃĐ la vidÃĐo mais a priori c'est pas comme ça que vous faites. chgt de var u = 1/x, on dÃĐcoupe trivialement puis on est à une transformation d'abel de zeta(2). bcp plus simple que de s'emebeter avec des 1/x pour x
Mais elle n'est pas du tout continue par morceau, par dÃĐfinition c'est un nombre FINI de points de discontinuitÃĐ... Sinon l'indicatrice de Q serai intÃĐgrable sur un segment (elle à un nombre dÃĐnombrable de points à changer pour la rendre continue) mais pourtant elle n'est pas intÃĐgrable avec l'int de Riemann (seulement avec lesbegue)
@@m.a.t.a.m non, l'indicatrice de Q n'est pas intÃĐgrable meme sur un intervalle fermÃĐ comme contre exemple. Je te laisse voir la dÃĐfinition de continuitÃĐ par morceau sur bibmath ou wikipedia. C'est qu'il existe des sous-division, et cela en nombre FINI, qui est trÃĻs trÃĻs important.
@Cypooos Ok. D'aprÃĻs BibMath, "Si maintenant ð est dÃĐfinie sur un intervalle ðž de ð qui n'est plus nÃĐcessairement un segment, alors on dit que ð est de classe ðķ ð par morceaux sur ðž si elle est continue par morceaux sur tout segment inclus dans ðž." Tu prends ðâð*, sur ]1/ð,1/(ð+1)] la fonction est CPM. Rien de plus.
@@m.a.t.a.m my bad, absolument dÃĐsolÃĐe. Maintenant je n'ai plus de problÃĻmes avec la vidÃĐo, mais j'en ai un avec la def qui rend non continue par morceau une fonction si on rajoute littÃĐralement 1 point... Genre la fonction qui vaux x*floor(1/x) en x>0 et 0 en 0 n'est pas continue par morceau, mais si on la prend sur ]0;1] elle l'est... J'avais jamais vu cette particularitÃĐ perso, c'est hyper bizarre que on utilise cette def et j'avais toujours assumer une def plus """""raisonnable""""" ou f est c.p.m. d'un A dans R si A se dÃĐcompose en une union fini d'intervalle ouvert ou les restrictions sont continue et admettent un prolongement par continuitÃĐ Ã chaque bord et que A privÃĐ de l'union ÃĐtait fini. Je sais pas si y'a des problÃĻmes avec cette def pour tout les thÃĐorÃĻmes usuels, mais au minimum elle me paraissait consistente (rajouter un nombre fini de points ne change pas le cotÃĐ c.p.m de la fonction)... Bref je m'excuse pour tout ça btw !
@@Cypooos Aucun problÃĻme, au contraire, je me plante comme tout le monde et heureusement que des gens sont là parfois pour remettre en question ce que je dis dans mes vidÃĐos.
Intuitivement le pi, on peut se dire que le fait que les segment pivote dangle en fonction de la valeur entiÃĻre de 1/x, en allant vers 0 ça devient continue, un peu circulaire, ya une vibe
Salut ! Je voulais juste savoir si il existait vraiment un thÃĐorÃĻme qui permettait de subdiviser de maniÃĻre infinie les intÃĐgrales par la relation de chasles, car je sors de sup et j'ai encore jamais vu ça
JâÃĐtais arrivÃĐ jusquâà la somme mais jâavais pas vu lâastuce du k+1-1 malheureusement, donc jâÃĐtais bloquÃĐ, et mÊme si je mâÃĐtais dÃĐbrouillÃĐ pour faire apparaÃŪtre la somme des inverses des carrÃĐs jâavais une autre somme que je savais pas calculerâĶ je pense que jâaurais pu la faire avec une grosse astuce consistant à transformer le 1/k en intÃĐgrale et en permutant les symboles mais ça partait loin mdr
Ãa me semble Être faisable pour u niveau dâune premiÃĻre annÃĐe de prÃĐpa mpsi, peut Être deuxiÃĻme annÃĐe MP Ãdit : jâai surestimÃĐ le programme, câest dÃĐjà passÃĐ Ã lâoral des mines
La fonction que tu intÃĻgres nâest absolument pas continue par morceaux (tu nâas pas un nombre de discontinuitÃĐs fini). Ton raisonnement est faux dans la mesure oÃđ tu ne montres pas que f est Riemann intÃĐgrable et la justification de lâexistence de lâintÃĐgrale est fausse (en rÃĐalitÃĐ elle est Riemann intÃĐgrable car lâensemble des points de discontinuitÃĐ de cette fonction est dÃĐnombrable mais câest pas du tout trivial ce thÃĐorÃĻme). Ton dÃĐcoupage de lâintÃĐgrale de dÃĐpart en une somme infinie dâintÃĐgrales nâest absolument pas justifiÃĐ de la bonne maniÃĻre. Il faudrait fixer un epsilon>0 et ensuite passer à la limite.
D'aprÃĻs BibMath, "Si maintenant ð est dÃĐfinie sur un intervalle ðž de ð qui n'est plus nÃĐcessairement un segment, alors on dit que ð est de classe ðķ ð par morceaux sur ðž si elle est continue par morceaux sur tout segment inclus dans ðž." Tu prends ðâð*, sur ]1/ð,1/(ð+1)] la fonction est CPM. Rien de plus. Les inÃĐgalitÃĐs sont (trÃĻs) mal redigÃĐ j'admet.
Super exercice! Petite remarque: si je ne me trompe pas, en effectuant le changement de variable y = x^2, on obtient une equivalence avec l'intÃĐgrale int_0^1 [ 1/ (2 * sqrt(y))] dy. L'aire sous la courbe est directement (la moitiÃĐ de) la somme des inverses des carrÃĐs des nombres entiers (les bandes horizontales sont des rectangles d'aire 1/n^2), et on ÃĐvite tout l'argument avec le tÃĐlÃĐscopage.
En fait, je ne connais pas les ÃĐnoncÃĐs des changements de variable avec des fonctions CPM. DÃĐjà qu'il y a des subtilitÃĐs d'injectivitÃĐ dans le thÃĐorÃĻme classique alors là . Mais, a priori, si tu obtiens le bon rÃĐsultat, c'est que les hypothÃĻses sont vÃĐrifiÃĐes (ou alors tu as beaucoup de chance).
La "preuve" de l'existence de l'intÃĐgrale n'est pas correcte du tout. 1) EDIT : Confusion de ma part entre fonction CPM sur ]0,1] et sur [0,1] 2) Il y a des petites erreurs dans les inÃĐgalitÃĐs, et faudrait justifier les ÃĐquivalences, mais à la limite ça c'est pas bien grave. 3) Pour montrer que l'intÃĐgrale existe, tu utilises cette mÊme intÃĐgrale... c'est un raisonnement circulaire, ça peut pas marcher. Et puis je vois pas pourquoi l'encadrement final permettrait de conclure. Ici c'est beaucoup plus simple que ça : la fonction est rÃĐglÃĐe donc elle est intÃĐgrable au sens de Riemann, mais malheureusement ça c'est plus au programme de prÃĐpa
Je pense qu'on peut s'en sortir avec le fait que f tende vers 1 en 0. Ainsi, elle est intÃĐgrable au voisinage de 0, puis elle est intÃĐgrable sur tout intervalle [a,1] a>0 puisque continue par morceaux
l'intÃĐgrale de Riemann est abordÃĐe en prÃĐpa, mÊme dans les petites, et accessible au lycÃĐe sinon c'est parfaitement possible de montrer qu'elle converge : on ne somme que du positif, et c'est majorÃĐ par une fonction intÃĐgrable, c'est nickel
Super, en plus c'est une intÃĐgrale qui peut faire peur mais qu'on peut calculer sans avoir un niveau de fou. Je le mets dans ma liste d exos
Je crois quâil y a une erreur à 2:23 sur les inÃĐgalitÃĐs strictes et larges puisque ça serait plutÃīt X-1 < [X]
AÃŊe, aÃŊe, aÃŊe, c'est toujours la mÊme chose. Quand je ne prends pas le temps de tout dÃĐvelopper, je fais une erreur ! Merci de l'avoir remarquÃĐ si vite !
@@m.a.t.a.m la vidÃĐo est top en tout cas ð
âââ@@m.a.t.a.m belle attitude ... alors je peux te dire qu'3:22 ce serait plutÃīt "... que tout le monde comprenne!", dans le cas oÃđ c'est un souhait de ta part, sinon comprend peut se dire.
Merci, j'allais faire la mÊme remarque.
TrÃĻs belle intÃĐgrale et un surprenant rÃĐsultat qui fait rÃĐfÃĐrence au fameux problÃĻme de BÃĒle, reliant ainsi cette intÃĐgrale à la thÃĐorie des nombres. Euler devrait pousser des grimaces là oÃđ il est.
C'est ça la magie des mathÃĐmatiques.
Absolument d'accord !!!!
C est magnifique
Une autre mÃĐthode, que je trouve personnellement plus simple, est d'effectuer le changement de variable u=1/x qui est un C1 diffÃĐomorphisme ]0,+inf[ sur ]0,+inf[. On a dx=-1/u^2 du.
L'intÃĐgrale devient alors : I = - int(entre 1 et +inf)(floor(u)/u^3)).
Maintenant, on subdivise l'intervalle [1,+inf[ en [k,k+1[. Je trouve que c'est plus simple à manipuler. Certes, celà revient à la mÊme chose, mais je toruve que c'est plus intuitif que de subdiviser comme vous l'avez fait.
J'ai essayÃĐ de rendre cette intÃĐgrale la plus accessible possible, mais le changement de variable n'est, je crois, pas au programme de terminale (le symbole sigma non plus, mais bon...). Donc, je me voyais mal faire un changement de variable sur une fonction aussi """"bizarre""""" (bornes et cpm).
Merci beaucoup pour ce contenu de haute qualitÃĐ et trÃĻs agrÃĐable à regarder
Continue comme ça ðŠðŠ
Merci à toi ð
Non suelement la solution est magnifique mais en plus... ON A ENFIN TROUVÃ UNE UTILITÃ Ã LA RELATION DE CHASLES
Et la mÃĐthode des rectangles alors?
En vrai ça sert à quoi ce truc dans la vie de tous les jours
C bien une rÃĐponse de toquards ça... Vas voir "Les maths ne servent à rien" d'Axel Arno, t'auras ta rÃĐponse â@@juliencarbone01
â@@juliencarbone01Dans la vie de tous les jours, Ã rien de spÃĐcial, mais pourquoi cette question ? Heureusement que l'on ne fait pas que des trucs purement pour "la vie de tous les jours", la vie serait bien fade sinon !
Ãa a la mÊme utilitÃĐ dans la vie de tous les jours que l'histoire, la littÃĐrature, regarder des films ou des sÃĐries, faire des sudoku, jouer à des jeux : pour le plaisir, pour s'entraÃŪner intellectuellement, etc.
De plus les scientifiques s'en servent pour faire avancer les sciences et donc fatalement ça se rÃĐpercute sur les technologies et techniques du quotidien.
â@@DanielBWilliamsJe n'aurais pas rÃĐpondu mieux
rÃĐsultat fascinant et trÃĻs belle prÃĐsentation merci
Merci !
calcul d'une intÃĐgrale trÃĻs instructif
(pour l'existence malheureusement certains commentaires mettent en ÃĐvidence que la preuve est faillible)
en admettant l'existence, une autre astuce pour le calcul est d'ÃĐcrire le k en facteur comme une somme d'unitÃĐs et d'intervertir les deux symboles sigma (tout est positif tu fais ce que tu veux), et ça se simplifie assez vite
Magnifique vidÃĐo !! Un bijou, en effet !
Merci beaucoup ð
Bravo pour ce petit bijou !!
Je ferai cependant deux remarques :
1 - la figure reprÃĐsentant la fonction f(x) = x [1/x] nâest pas exacteâĶ Les segments (une fois prolongÃĐs) passent par lâorigine, ce qui ne correspond pas à votre graphique. Plus prÃĐcisÃĐment, le segment correspondant à x ⎠]1/(k+1), 1/k ] joint les points Mk (1/(k+1), k/(k+1)) et Nk (1/k, 1). Ces deux points sont sur la droite y = k x, et les Mk sont alignÃĐs sur la droite x + y = 1, et les Nk sur la droite y = 1.
NB : Le segment Mk Nk est ouvert en Mk.
NB2 : tous les segments sont inclus dans le carrÃĐ [0, 1] x [0, 1].
2 - on peut sâinspirer du graphe pour une approche gÃĐomÃĐtrique du calcul, en constatant que lâintÃĐgrale sur [0, 1] de f est aussi la somme infinie des trapÃĻzes dÃĐfinis par les segment Mk Nk et leurs projections sur Ox, Ã savoir les segments ]1/(k+1), 1/k ].
Si on appelle Ak lâaire du trapÃĻze dâordre k, alors Ak est le produit de la base par la demi-somme des hauteurs, et donc (en calculant 2 Ak) :
2 Ak = (1/k - 1/(k+1)) (1 + k/(k+1))
En dÃĐveloppant (audace !) :
2 Ak = 1/k - 1/(k+1) + 1/(k+1)^2
En sommant pour k ⎠N*, on retrouve le tÃĐlescopage, et aussi la somme zÊta (2).
Merci pour vos intÃĐressantes videos !
Il a dit que câÃĐtait pas un graphe exact, simplement un moyen de ce donner des idÃĐes
@@Toonix11 Oui, bien sÃŧr... mais le graphe exact donne aussi une mÃĐthode efficace de calcul de l'intÃĐgrale, c'est pour cela que j'ai essayÃĐ d'approfondir. Merci pour votre remarque.
Si on nâÃĐtudie pas le graphe, on peut aussi rÃĐsoudre analytiquement :
En posant t = 1/x, et dx = -1/t^2 dt, on obtient I = âŦ [t] / t^3 dt sur [1, +â [
Comme [t] / t^3 ~ 1/t^2 lorsque t -> â, lâintÃĐgrale est convergente.
En sÃĐparant lâintervalle : I = â Jn pour n ⎠N*, avec Jn = âŦ [t] / t^3 dt sur [n, n+1[
Ou encore Jn = âŦ n / t^3 dt sur [n, n+1[.
En intÃĐgrant : Jn = n/2 [1/n^2 - 1/(n+1)^2]
On retrouve les mÊmes termes que dans la video (normal !) et on finit le calcul de la mÊme façon, avec pour rÃĐsultat Ï^2 / 12.
NB : le changement de variable permet de simplifier les calculs, et aussi de prouver facilement la convergence.
Merci pour vos retours rÃĐguliers sous mes vidÃĐos jp !
@@m.a.t.a.m You're welcome !!
Bonjour et merci. à 15:00 il manque tout de mÊme une justification pour scinder la somme en deux...
Elle converge puisque lâintegrale converge
Il faut justifier la convergence des deux sommes
Vous avez raison, parfois compliquÃĐ de savoir ce qu'il faut justifier ou non...
La justification exacte, me semble-t-il, est que la somme infinie est absolument convergente. Concept qu'on n'abordait dÃĐjà pas en terminale de mon temps (annÃĐes 80) et qui conduisait parfois à des dÃĐmonstrations bancales.
En mÊme temps j'ai lu dans un autre commentaire que le symbole sigma ne serait plus au programme de terminale ?
pas mal pas mal, bravo pour la vidÃĐo
Merci beaucoup !
Nice mais juste une petite coquille à 6:42 La partie entiÃĻre de 1/2 n'est pas ÃĐgale à 1.
Non
je pense qu'il voulait dire 1 et demi
La partie entiÃĻre infÃĐrieure de x est supÃĐrieure stricte à x-1 et infÃĐrieure ou ÃĐgale à x
Magnifique merci
Avec plaisir
7:38 la reprÃĐsentation graphique de la fonction x partie entiÃĻre de 1/x est incorrecte. Elle est majorÃĐe par 1, et composÃĐe de segments de droites passant par l'origine dont la pente est de plus en plus grande quand x s'approche de 0.
Oui, c'est exact. En fait, pour rÃĐaliser cette vidÃĐo, je me suis dit qu'incorporer le graphe ÃĐtait une bonne maniÃĻre d'avoir une approche simple et intuitive. Cependant, le graphe sur GeoGebra ne me semblait pas trÃĻs clair au voisinage de 0, j'ai donc pris l'initiative d'en faire une approximation qui permet de comprendre l'idÃĐe. Je le prÃĐcise heureusement dans la vidÃĐo !
@@m.a.t.a.m Merci de cette rÃĐponse.
Il aurait ÃĐtÃĐ souhaitable de modifier l'image pour ne pas troubler des apprenants curieux.
@@YannCogan J'y penserai à deux fois pour la prochaine fois !
Super vidÃĐo, magnifique intÃĐgrale et magnifique solution ! Quel filtre graphique appliques-tu et (avec quel logiciel) sur tes ÃĐquations ?
Latex et Illustrator !
Comment ça peut s'expliquer gÃĐomÃĐtriquement, le lien avec pi ?
j'ai pas regardÃĐ la vidÃĐo mais a priori c'est pas comme ça que vous faites.
chgt de var u = 1/x, on dÃĐcoupe trivialement puis on est à une transformation d'abel de zeta(2).
bcp plus simple que de s'emebeter avec des 1/x pour x
Plus simple, mais pas plus accessible. Je dois choisir entre les deux :/
Mais elle n'est pas du tout continue par morceau, par dÃĐfinition c'est un nombre FINI de points de discontinuitÃĐ... Sinon l'indicatrice de Q serai intÃĐgrable sur un segment (elle à un nombre dÃĐnombrable de points à changer pour la rendre continue) mais pourtant elle n'est pas intÃĐgrable avec l'int de Riemann (seulement avec lesbegue)
Ta dÃĐfinition est vraie sur un intervalle fermÃĐ,
@@m.a.t.a.m non, l'indicatrice de Q n'est pas intÃĐgrable meme sur un intervalle fermÃĐ comme contre exemple. Je te laisse voir la dÃĐfinition de continuitÃĐ par morceau sur bibmath ou wikipedia. C'est qu'il existe des sous-division, et cela en nombre FINI, qui est trÃĻs trÃĻs important.
@Cypooos Ok.
D'aprÃĻs BibMath, "Si maintenant ð est dÃĐfinie sur un intervalle
ðž de ð qui n'est plus nÃĐcessairement un segment, alors on dit que ð est de classe ðķ
ð par morceaux sur ðž si elle est continue par morceaux sur tout segment inclus dans ðž."
Tu prends ðâð*, sur ]1/ð,1/(ð+1)] la fonction est CPM. Rien de plus.
@@m.a.t.a.m my bad, absolument dÃĐsolÃĐe. Maintenant je n'ai plus de problÃĻmes avec la vidÃĐo, mais j'en ai un avec la def qui rend non continue par morceau une fonction si on rajoute littÃĐralement 1 point...
Genre la fonction qui vaux x*floor(1/x) en x>0 et 0 en 0 n'est pas continue par morceau, mais si on la prend sur ]0;1] elle l'est... J'avais jamais vu cette particularitÃĐ perso, c'est hyper bizarre que on utilise cette def et j'avais toujours assumer une def plus """""raisonnable""""" ou f est c.p.m. d'un A dans R si A se dÃĐcompose en une union fini d'intervalle ouvert ou les restrictions sont continue et admettent un prolongement par continuitÃĐ Ã chaque bord et que A privÃĐ de l'union ÃĐtait fini. Je sais pas si y'a des problÃĻmes avec cette def pour tout les thÃĐorÃĻmes usuels, mais au minimum elle me paraissait consistente (rajouter un nombre fini de points ne change pas le cotÃĐ c.p.m de la fonction)...
Bref je m'excuse pour tout ça btw !
@@Cypooos Aucun problÃĻme, au contraire, je me plante comme tout le monde et heureusement que des gens sont là parfois pour remettre en question ce que je dis dans mes vidÃĐos.
sublime
Intuitivement le pi, on peut se dire que le fait que les segment pivote dangle en fonction de la valeur entiÃĻre de 1/x, en allant vers 0 ça devient continue, un peu circulaire, ya une vibe
Euh, ouais ? Pas sÃŧr d'avoir compris.
wow bluffant ce rÃĐsultat
Oui c'est beau
c'est beau, merci trÃĻs bonne vidÃĐo !
Merci à vous pour votre commentaire (et votre magnifique photo de profil !)
C'est vrai que les partie entiÃĻre on en voit pas souvent dans les exos.
Oui, ça change, c'est cool (mÊme si ça peut faire peur).
Une masterclass...Tout simplement.
Merci beaucoup !
En effet c'est tres beau
L'existence de l'intÃĐgrale est en soit intÃĐressante je parie que beaucoup je justifieraient pas correctement
Salut ! Je voulais juste savoir si il existait vraiment un thÃĐorÃĻme qui permettait de subdiviser de maniÃĻre infinie les intÃĐgrales par la relation de chasles, car je sors de sup et j'ai encore jamais vu ça
Bah comme on passe à la limite via les sÃĐries, ça pose pas particuliÃĻrement de problÃĻme.
Claire, concis, efficace
meRci
Merci à vous
Superbe vidÃĐo !
Merci bien ð
Magnifique.
Oui !
JâÃĐtais arrivÃĐ jusquâà la somme mais jâavais pas vu lâastuce du k+1-1 malheureusement, donc jâÃĐtais bloquÃĐ, et mÊme si je mâÃĐtais dÃĐbrouillÃĐ pour faire apparaÃŪtre la somme des inverses des carrÃĐs jâavais une autre somme que je savais pas calculerâĶ je pense que jâaurais pu la faire avec une grosse astuce consistant à transformer le 1/k en intÃĐgrale et en permutant les symboles mais ça partait loin mdr
Ce n'est pas trop grave. On peut se dÃĐbrouiller avec une DES, mais la technique belge est tellement rapide ici !
super video, je trouve ca accessible meme pour moi qui rentre en prepa
Bon courage et merci !
je me garde ce poulet de cÃītÃĐ
C'est quel niveau,
Bac +....?
Juste pour savoir,
J'ai quittÃĐ l'ÃĐcole à 16 ans,
Mais là science m'intrigue..!
Ãa me semble Être faisable pour u niveau dâune premiÃĻre annÃĐe de prÃĐpa mpsi, peut Être deuxiÃĻme annÃĐe MP
Ãdit : jâai surestimÃĐ le programme, câest dÃĐjà passÃĐ Ã lâoral des mines
Merci.
Merci à vous
Aller pouf, un abonnÃĐ de gagnÃĐ.
Ahah merci !
il m'as perdu quand un PI au carrÃĐ est apparu
La fonction que tu intÃĻgres nâest absolument pas continue par morceaux (tu nâas pas un nombre de discontinuitÃĐs fini). Ton raisonnement est faux dans la mesure oÃđ tu ne montres pas que f est Riemann intÃĐgrable et la justification de lâexistence de lâintÃĐgrale est fausse (en rÃĐalitÃĐ elle est Riemann intÃĐgrable car lâensemble des points de discontinuitÃĐ de cette fonction est dÃĐnombrable mais câest pas du tout trivial ce thÃĐorÃĻme). Ton dÃĐcoupage de lâintÃĐgrale de dÃĐpart en une somme infinie dâintÃĐgrales nâest absolument pas justifiÃĐ de la bonne maniÃĻre. Il faudrait fixer un epsilon>0 et ensuite passer à la limite.
D'aprÃĻs BibMath, "Si maintenant ð est dÃĐfinie sur un intervalle ðž de ð qui n'est plus nÃĐcessairement un segment, alors on dit que ð est de classe ðķ
ð par morceaux sur ðž si elle est continue par morceaux sur tout segment inclus dans ðž."
Tu prends ðâð*, sur ]1/ð,1/(ð+1)] la fonction est CPM. Rien de plus.
Les inÃĐgalitÃĐs sont (trÃĻs) mal redigÃĐ j'admet.
Super exercice! Petite remarque: si je ne me trompe pas, en effectuant le changement de variable y = x^2, on obtient une equivalence avec l'intÃĐgrale int_0^1 [ 1/ (2 * sqrt(y))] dy. L'aire sous la courbe est directement (la moitiÃĐ de) la somme des inverses des carrÃĐs des nombres entiers (les bandes horizontales sont des rectangles d'aire 1/n^2), et on ÃĐvite tout l'argument avec le tÃĐlÃĐscopage.
En fait, je ne connais pas les ÃĐnoncÃĐs des changements de variable avec des fonctions CPM. DÃĐjà qu'il y a des subtilitÃĐs d'injectivitÃĐ dans le thÃĐorÃĻme classique alors là . Mais, a priori, si tu obtiens le bon rÃĐsultat, c'est que les hypothÃĻses sont vÃĐrifiÃĐes (ou alors tu as beaucoup de chance).
La "preuve" de l'existence de l'intÃĐgrale n'est pas correcte du tout.
1) EDIT : Confusion de ma part entre fonction CPM sur ]0,1] et sur [0,1]
2) Il y a des petites erreurs dans les inÃĐgalitÃĐs, et faudrait justifier les ÃĐquivalences, mais à la limite ça c'est pas bien grave.
3) Pour montrer que l'intÃĐgrale existe, tu utilises cette mÊme intÃĐgrale... c'est un raisonnement circulaire, ça peut pas marcher. Et puis je vois pas pourquoi l'encadrement final permettrait de conclure.
Ici c'est beaucoup plus simple que ça : la fonction est rÃĐglÃĐe donc elle est intÃĐgrable au sens de Riemann, mais malheureusement ça c'est plus au programme de prÃĐpa
Je pense qu'on peut s'en sortir avec le fait que f tende vers 1 en 0. Ainsi, elle est intÃĐgrable au voisinage de 0, puis elle est intÃĐgrable sur tout intervalle [a,1] a>0 puisque continue par morceaux
Tu connais la dÃĐfinition dâune fonction continue par morceaux sur un intervalle ? Tu me sembles un peu perduâĶ
l'intÃĐgrale de Riemann est abordÃĐe en prÃĐpa, mÊme dans les petites, et accessible au lycÃĐe
sinon c'est parfaitement possible de montrer qu'elle converge : on ne somme que du positif, et c'est majorÃĐ par une fonction intÃĐgrable, c'est nickel
@@pom737 ouais, il est totalement à lâouest lâautre ð
â@@clement4512 Oui, c'est vrai qu'on peut se servir des intÃĐgrales gÃĐnÃĐralisÃĐes pour faire illusion. Mais bon c'est pas trÃĻs ÃĐlÃĐgant
Sans manquer de respect pour moi ce que tu racontes c'est de l'hÃĐbreu
TrÃĻs beau problÃĻme je suis dans l'obligation de m'abonner.
Merci et bienvenue !
Plus qu'à refaire la vidÃĐo en corrigeant notamment toutes les erreurs repÃĐrÃĐes dans les commentaires. Mais elle est dÃĐjà trÃĻs bien. ;-)