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〖通常のやり方〗 底は10 とする。 log3＝ 0.4771… log27¹⁰＝ log3³⁰＝ 30・log3＝ 14.313… これより、15桁 ■
普段、実務で複利計算遣ったり電卓やソロバン使ってる人は1024を絡めて評価するだろうし、それぞれ慣れたものさしを使えばいいとは思う。コメント欄の解答を大別すると、・log使・二項定理・5^2 と 6^2 を使って不等式で挟み撃ちのパターンが多そう。けれど小学生の感覚で解かせるなら以下がシンプルだと思う。これなら計算はほとんど不要。27^10 ↓(3x3x3)^10 ↓(3)^10 x (9)^10 ★ ↓(9)^5 x (9)^10 ＝ (9)^5 ★ ↓「9を15回掛けたら何桁か？」考えよう ↓その答え「■□□□□□□…□」が何桁か？ ↓順に計算していくとして、途中の計算は先頭の数字だけを見ればいい。9x9 = 819x9x9 = 7299x9x9x9 = 6561 ・ ・ ・おや？先頭の数字は減っていってるぞ！ ★桁数を考えるのだから先頭から2桁目以降の端数は考えなくてもいいな。「■□□□□□□…□」x 9 の計算は ■ にだけ注目しよう！9x9 = 81 …繰り上がる8x9 = 72 …繰り上がる7x9 = 63 …繰り上がる6x9 = 54 …繰り上がる5x9 = 45 …繰り上がる4x9 = 36 …繰り上がる3x9 = 27 …繰り上がる2x9 = 18 …繰り上がる1x9 = 9 …繰り上がらな…繰り上がる★（★なぜなら先頭が1になるのは前回の計算で 2x9 をしているから。 2□□…□x9 = 18□□…□ 18□□…□x9 もしくは 19□□…□x9 を計算するのだから繰り上がるはず）というわけで、「9を15回掛けたら何桁か？」＝9に9を14回掛けるので「14回繰り上がる」★こういう思考を経て、15桁という結論に達するはず。出題側は、logや1024、5^2と6^2で評価するといった生徒（もちろん優秀）より、思考力を持った生徒を欲しがっている。桁数を考えるのだから「27ではなくて9で考える」の発想ができるかどうかがキモではないか。そこに気づいた後も、所々★の部分でハードル（小さい注意・発想の転換）が設けられているのもこの問題の良い点だと思う。
9^15に変形したら楽そう
logで目星をつけた後、最初に見えたのが3^30=9^15
二項定理！！！9=10-1
(10-1)^15を二項展開
これめっちゃわかりやすい
まぁ、小学生でも解ける問題なだけでlogは使ってないからOKかな
数学わからないんですけど、その後どこを見て桁数を判断するんですか？
@@user-fansu 二項定理ではどこまで行っても桁数わからない気がする。それっぽいけどガセコメントでは？（いや、もう一ひねり二ひねり入れれば解けるのかも知れないけど、それなら二項定理に触らない方が速そう）
+1-1.5+1.05-0.455+0.1365=0.2315この辺りでもう桁数は動かなくなる予感はあるけれど、厳密に論じるにはやはり１捻り必要かと。
例えば8018×10^13=1.8×10^14729
原題は3^10=59049を用いてよいが書かれていますね。続いてlog_10 27の整数部分，小数第一位を求めよという設問があります。log の近似値が分からなくても10のべきで評価するを理解しておこうという意図のあるいい問題ですね
25^1010^20/10^6=10^14よって10^14
桁数求める問題でlog使えなかったら、不等式で挟むしかないもんなぁ
この動画を見て、なるほど求桁・不等式評価はこうやるのか～となった後に過去の札幌医科大問題の方（概要欄）を見ると、やっぱりあの問題難しいんですよね。こっちの方が基本・札幌医科大は応用くらいの差があると思います。
最終手段は27を10回かける
珠算高段者なら、それで暗算で秒殺でしょう。この場合、くれぐれも計算を間違わないように要注意。
最後に位どうし足して9になるかとかしとけばオールオッケー！
桁数だけで良いし、(27^2)^5とかにして概算すればすぐ終わりそう
リベンジ完了
3^10計算するのはいくらなんでもセンスなさすぎじゃないですか?
できるだけ不等式での絞り込みを細かく厳しい範囲内で行うことが有効なんですね(^^)
次のチャレンジ3^100のケタ数と最高ケタの数と一のケタの数困ったら、二項定理使いませんか？？
27^10を二項定理で厳密に解く方法がわからなかった。(10-1)^15ってコメントがあったので触ってみたら、５項目がまだ解の５割以上あって解の変動がまだ大きい。その５項目ですら、15*14*13*12*11/5/4/3/2/1 の計算が必要。６項目から急速に小さくなるけれど、結局右上がりでも左上がりでもないから厳密な評価には（何らかの素敵な工夫をしないと）使えない。むつかしい。
さすがにこの問題は解き方が色々あるでしょうね。とりあえず、コメント欄に書かれそうにないものを書いておきます。(※完全に数字マニア向けです)①a
他のコメントから着想を得て、「27^22 は何桁か？」という問題を作ってみた。どう解くのが良いだろう。
ちょっと周りくどいけど、まずざっくり、20^10と30^10の桁数を考える。20^10は、2^10*10^10=1024*10^10=1.024*10^13であり、14桁の数である。30^10は、3^10*10^10=59049*10^10=5.9049*10^14であり、15桁の数である。よって与えられた問題の答えは14か15桁であることは確定する。(この時点で何となく15桁かなと裏では考えている)そして、25^10の桁数も考える。25^2*25^2=625*625=390625なので（この計算はごり押しです）、25^10=25^4*25^4*25^2=390625*390625*25^2=3.90625*10^5*3.90625*10^5*25^2700*700*27-10^7 =49*27*10^4-10^7 =1323*10^4-10^7 ((50-1)*27=1350-27=1323と暗算できる) =1.323*10^3*10^4-1*10^7 =(1.323-1)*10^7よってB>0以上より、A=(正の数+正の数)*B＞０よって、27^10>10^14であり、27^10の桁数は15である。729*729>700*700とするのがかなり乱暴なので、たまたまできた感は正直否めませんし、3^10=59049まで行ったなら、動画のように5*10^4と6*10^4で挟みこむ方が明らかにエレガントと思いますが。
右側は27^10=9^15
こういう問題って、計算ミスさえしなければ愚直に10乗して、答えも合って提出したら満点になるのかな
log使わないのもちゃんと覚えておきたい
とりあえず、27^10＝3^30＝9^15 とおいて、「9の15乗だから15桁なんじゃないのかなー」とアタリをつけて聞いていました。
こんなもん10回かけたったらええやん
10なら頑張ればいける
3^10の評価まで思いついたのに，59000＜3^10＜59100で両辺3乗したら結構な計算量になってしまった。まぁ591*591*591程度なら，小学生でも計算できないことはないんだろうけど。
3^30=27^10 と、10^14=10×(10^3)^2×10^7
3^4 > 2^3 * 10^12^10 < 10^3の両方を触っていて、かつ、3^6 = 729 3^5 = 243とか魑魅魍魎な恐ろしい数を避けてたのは、このコメント以外に無かった。唯一無二。このアプローチが一番楽で心休まる。👍👍👍。
有識者に教えていただきたいのですが、この問題が記述式の試験で出たとして、仮に3^30を計算して答えとしたらどれほどの割合点数が当てられるのですか？
計算を間違えなければ満点でしょう。だってスマートでないだけですから。
確率の問題で樹形図を全て書き出した場合などでもそうですが、基本的に満点です。
そうなのですね。 導出過程が数学的でないから0点なのかと考えました。教えていただき、ありがとうございます。
ほえー時間無限であれば一橋の素数のあの問題解けるわ私すごくね
@@ああ-z3i2r すごくねえよ笑
いける
√使って良いなら楽勝じゃね？27の10乗＝10の10乗×2.7の10乗で、2.7は√７と√８の間だから√7の10乗と√8の10乗は両方5桁、よって答えは15桁。以上
3の30乗で9の15乗である9の乗数は15だと1桁下がるので10の14乗だから15桁ぐらい電卓で複利計算して遊んでいるような奴は勘でわかる
これ、絶対に対数取りたくなります。禁止となると、結構面倒くさいです。
27
27の10乗なら計算した方が早いや(小学生か)
桁数の公式の左の不等号って≦じゃなかったか？
裏とか逆とか待遇とか考えるときにどこかで殺されるような気がするから、初めから ≦ にしといた方が心が安らか。
3^30なんて脳死で計算しちゃえ！
結局logのやり方と根本的な考え方は同じ。意味も分からずにlog取る受験生にはかなり厳しい良問。
マジでそれ、logの本質が分かってないやつは大体桁数以降の問題間違える
最初の挨拶なんて言ってるかわかんない😂
3,486,784,401×59,049
3の30乗にして、30割2で15桁
27^10くらいなら色々思考してるより筆算した方が早そう
計算機で27^10は壊れる❗️でも人の頭では考えられるところがいい！
よし！logいらないな！（暴論
〖通常のやり方〗 底は10 とする。
log3＝ 0.4771…
log27¹⁰＝ log3³⁰＝ 30・log3＝ 14.313…
これより、15桁 ■
普段、実務で複利計算遣ったり電卓やソロバン使ってる人は
1024を絡めて評価するだろうし、それぞれ慣れたものさしを使えばいいとは思う。
コメント欄の解答を大別すると、
・log使
・二項定理
・5^2 と 6^2 を使って不等式で挟み撃ち
のパターンが多そう。
けれど小学生の感覚で解かせるなら以下がシンプルだと思う。
これなら計算はほとんど不要。
27^10
↓
(3x3x3)^10
↓
(3)^10 x (9)^10 ★
↓
(9)^5 x (9)^10 ＝ (9)^5 ★
↓
「9を15回掛けたら何桁か？」考えよう
↓
その答え「■□□□□□□…□」が何桁か？
↓
順に計算していくとして、途中の計算は先頭の数字だけを見ればいい。
9x9 = 81
9x9x9 = 729
9x9x9x9 = 6561
・
・
・
おや？先頭の数字は減っていってるぞ！ ★
桁数を考えるのだから先頭から2桁目以降の端数は考えなくてもいいな。
「■□□□□□□…□」x 9 の計算は ■ にだけ注目しよう！
9x9 = 81 …繰り上がる
8x9 = 72 …繰り上がる
7x9 = 63 …繰り上がる
6x9 = 54 …繰り上がる
5x9 = 45 …繰り上がる
4x9 = 36 …繰り上がる
3x9 = 27 …繰り上がる
2x9 = 18 …繰り上がる
1x9 = 9 …繰り上がらな…繰り上がる★
（★なぜなら先頭が1になるのは前回の計算で 2x9 をしているから。
2□□…□x9 = 18□□…□
18□□…□x9 もしくは 19□□…□x9 を計算するのだから繰り上がるはず）
というわけで、
「9を15回掛けたら何桁か？」
＝9に9を14回掛けるので「14回繰り上がる」★
こういう思考を経て、15桁という結論に達するはず。
出題側は、logや1024、5^2と6^2で評価するといった生徒（もちろん優秀）より、
思考力を持った生徒を欲しがっている。
桁数を考えるのだから「27ではなくて9で考える」の発想ができるかどうかがキモではないか。
そこに気づいた後も、所々★の部分でハードル（小さい注意・発想の転換）が
設けられているのもこの問題の良い点だと思う。
9^15に変形したら楽そう
logで目星をつけた後、最初に見えたのが3^30=9^15
二項定理！！！
9=10-1
(10-1)^15を二項展開
これめっちゃわかりやすい
まぁ、
小学生でも解ける問題なだけで
logは使ってないからOKかな
数学わからないんですけど、その後どこを見て桁数を判断するんですか？
@@user-fansu
二項定理ではどこまで行っても桁数わからない気がする。
それっぽいけどガセコメントでは？
（いや、もう一ひねり二ひねり入れれば解けるのかも知れないけど、それなら二項定理に触らない方が速そう）
+1
-1.5
+1.05
-0.455
+0.1365
=0.2315
この辺りでもう桁数は動かなくなる予感はあるけれど、厳密に論じるにはやはり１捻り必要かと。
例えば8018×10^13=1.8×10^14
729
原題は3^10=59049を用いてよいが書かれていますね。
続いてlog_10 27の整数部分，小数第一位を求めよという設問があります。log の近似値が分からなくても10のべきで評価するを理解しておこうという意図のあるいい問題ですね
25^1010^20/10^6=10^14
よって
10^14
桁数求める問題でlog使えなかったら、不等式で挟むしかないもんなぁ
この動画を見て、なるほど求桁・不等式評価はこうやるのか～となった後に過去の札幌医科大問題の方（概要欄）を見ると、やっぱりあの問題難しいんですよね。こっちの方が基本・札幌医科大は応用くらいの差があると思います。
最終手段は27を10回かける
珠算高段者なら、それで暗算で秒殺でしょう。この場合、くれぐれも計算を間違わないように要注意。
最後に位どうし足して9になるかとかしとけばオールオッケー！
桁数だけで良いし、(27^2)^5とかにして概算すればすぐ終わりそう
リベンジ完了
3^10計算するのはいくらなんでもセンスなさすぎじゃないですか?
できるだけ不等式での絞り込みを
細かく厳しい範囲内で行うことが有効
なんですね(^^)
次のチャレンジ
3^100のケタ数
と最高ケタの数と一のケタの数
困ったら、二項定理使いませんか？？
27^10を二項定理で厳密に解く方法がわからなかった。
(10-1)^15ってコメントがあったので触ってみたら、５項目がまだ解の５割以上あって解の変動がまだ大きい。その５項目ですら、15*14*13*12*11/5/4/3/2/1 の計算が必要。
６項目から急速に小さくなるけれど、結局右上がりでも左上がりでもないから厳密な評価には（何らかの素敵な工夫をしないと）使えない。
むつかしい。
さすがにこの問題は解き方が色々あるでしょうね。
とりあえず、コメント欄に書かれそうにないものを書いておきます。(※完全に数字マニア向けです)
①a
他のコメントから着想を得て、
「27^22 は何桁か？」
という問題を作ってみた。どう解くのが良いだろう。
ちょっと周りくどいけど、
まずざっくり、20^10と30^10の桁数を考える。
20^10は、
2^10*10^10=1024*10^10=1.024*10^13
であり、14桁の数である。
30^10は、
3^10*10^10=59049*10^10=5.9049*10^14
であり、15桁の数である。
よって与えられた問題の答えは14か15桁であることは確定する。
(この時点で何となく15桁かなと裏では考えている)
そして、25^10の桁数も考える。
25^2*25^2=625*625=390625なので（この計算はごり押しです）、
25^10
=25^4*25^4*25^2
=390625*390625*25^2
=3.90625*10^5*3.90625*10^5*25^2
700*700*27-10^7
=49*27*10^4-10^7
=1323*10^4-10^7 ((50-1)*27=1350-27=1323と暗算できる)
=1.323*10^3*10^4-1*10^7
=(1.323-1)*10^7
よってB>0
以上より、A=(正の数+正の数)*B＞０
よって、27^10>10^14であり、
27^10の桁数は15である。
729*729>700*700とするのがかなり乱暴なので、たまたまできた感は正直否めませんし、3^10=59049まで行ったなら、動画のように5*10^4と6*10^4で挟みこむ方が明らかにエレガントと思いますが。
右側は27^10=9^15
こういう問題って、計算ミスさえしなければ愚直に10乗して、答えも合って提出したら満点になるのかな
log使わないのもちゃんと覚えておきたい
とりあえず、27^10＝3^30＝9^15 とおいて、
「9の15乗だから15桁なんじゃないのかなー」
とアタリをつけて聞いていました。
こんなもん10回かけたったらええやん
10なら頑張ればいける
3^10の評価まで思いついたのに，59000＜3^10＜59100で両辺3乗したら結構な計算量になってしまった。
まぁ591*591*591程度なら，小学生でも計算できないことはないんだろうけど。
3^30=27^10 と、
10^14
=10×(10^3)^2×10^7
3^4 > 2^3 * 10^1
2^10 < 10^3
の両方を触っていて、かつ、
3^6 = 729
3^5 = 243
とか魑魅魍魎な恐ろしい数を避けてたのは、このコメント以外に無かった。唯一無二。
このアプローチが一番楽で心休まる。
👍👍👍。
有識者に教えていただきたいのですが、この問題が記述式の試験で出たとして、仮に3^30を計算して答えとしたらどれほどの割合点数が当てられるのですか？
計算を間違えなければ満点でしょう。だってスマートでないだけですから。
確率の問題で樹形図を全て書き出した場合などでもそうですが、基本的に満点です。
そうなのですね。 導出過程が数学的でないから0点なのかと考えました。教えていただき、ありがとうございます。
ほえー
時間無限であれば一橋の素数のあの問題解けるわ私すごくね
@@ああ-z3i2r すごくねえよ笑
いける
√使って良いなら楽勝じゃね？
27の10乗＝10の10乗×2.7の10乗で、2.7は√７と√８の間だから√7の10乗と√8の10乗は両方5桁、よって答えは15桁。以上
3の30乗で9の15乗である
9の乗数は15だと1桁下がるので
10の14乗
だから15桁ぐらい
電卓で複利計算して遊んでいるような奴は勘でわかる
これ、絶対に対数取りたくなります。禁止となると、結構面倒くさいです。
27
27の10乗なら計算した方が早いや(小学生か)
桁数の公式の左の不等号って
≦じゃなかったか？
裏とか逆とか待遇とか考えるときにどこかで殺されるような気がするから、初めから ≦ にしといた方が心が安らか。
3^30なんて脳死で計算しちゃえ！
結局logのやり方と根本的な考え方は同じ。意味も分からずにlog取る受験生にはかなり厳しい良問。
マジでそれ、logの本質が分かってないやつは大体桁数以降の問題間違える
最初の挨拶なんて言ってるかわかんない😂
3,486,784,401×
59,049
3の30乗にして、30割2で15桁
27^10くらいなら色々思考してるより筆算した方が早そう
計算機で27^10は壊れる❗️でも人の頭では考えられるところがいい！
よし！logいらないな！（暴論