伝説の東北大入試 整数の超有名問題【減点注意】
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- เผยแพร่เมื่อ 19 ก.ค. 2021
- 惚れます。感動します。伝説級の東北大の整数問題（良問）
数学良問の旅、東北地方最後に難易度Cを持ってきました！
もはや整数問題の全パターンやPASSLABOの整数を
もう１度、そして何度もみたくなるはず・・・！！
整数問題の全パターン解説はこちら
• 【整数問題】入試頻出解法を”４時間で”全パタ...
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【追記】(2)はaが奇数と仮定して矛盾を示す背理法としてシンプルに考えて大丈夫です。
(その場合aが偶数の時に成り立つかの確認は不要です！)
ご指摘いただいた方ありがとうございます。
誘導なしで解いたキムは化け物
なんか見たことある問題だなと思ったら現役の時これ本番で解きましたww
この年数学がめちゃむずくて多分これが唯一完答出来た大問だと思います
数学壊滅したけど今は当大学の工学部4年です、ダメだと思っても以外といけたりするんで受験生の皆さんは頑張ってください！！
(2) b>1のとき、bは整数よりb≧2
よって2^bは4の倍数である。
従って3^a=2^b+1≡0+1(mod4)
ここで3^a≡(-1)^a(mod4)より(-1)^a≡1(mod4)
よってaは偶数である。
とした人は僕だけじゃないはず...
これが一番シンプルで好きです
数の成り立ちを正確に追う為に何を知っていて何を使うかを問われる問題だなぁ
まさに国語
サムネからチャレンジしてみました。
（解）
a>0のとき3^aは自然数であり、a
(1),(2)解けて成長を感じました！（3）は解答見て色々吸収できたのでめちゃくちゃ楽しかったです！！
解けました！ありがとうございます😊
演習でこれ出て、なんでこんな考え方するの！？って思ってました。
でもこの動画で一気に解消されて、超気持ちいいです。根本的な考え方の復習にもなったので、次このような問題が出されても、自分から解法を掘っていくことができると思います。感謝！！
2^nや3^nが出てきたらmod3,4だけじゃなくて、二項定理からのアプローチも考えると意外と簡単に解ける気がします。
解いてないけどこれもいけそうかも？
楽しかったです
(2)は対偶使っても良さそうですね、aが奇数の時、mod4で2になりますから、b=1のときだけになります
3の累乗と2の累乗は無限に存在しているのに、引いたら1になる組み合わせが2つしかないのって不思議～
3番、良い問題すぎるね。
いつも楽しく拝見しています。
社会人のおじさんですが、passlaboの動画をきっかけに、かつて苦手だった整数問題がわかるようになってきて、また数学を勉強したいと思うようになりました。
これからも宜しく頼みます👌🏼
オジサンでも分かり易い動画だと思います。１つのメディアです。文章発声の抑揚があり過ぎて、語尾が肯定なのか否定なのか？分かりづらい箇所が全体に見られます。音量調節が困難です〜学び直し動画が大好きなので、これからも配信楽しみにしています。頑張ってください！
これたっつーときむさん誘導なしで解いてたな笑
すみませんなんの動画かわかりますか、？
@@narahararara タイトルは忘れてしまったのですが、キムが天才すぎるから凡人3人で対決してみたって感じのものです！
たっつーさんって文転したのに圧倒的に理系能力高いですよね
@@shom.8128 あの企画ヤラセなんで😂
阪大生の中じゃ有名ww
@@kyongmp おくすりの時間だよ〜＾＾
13:34ぐらいからノーヒントですって言われたから自力で解いたらできた！！😂😂😂解説わかりやすい！
今日も楽しかったです😊
すごい
サムネ見て誘導なしだと思いました💦
a,b>0は動画と同じ方法で示しました。
3^a-1=2^bでaが素因数pをもつ場合、左辺が3^p-1で割り切れ、
3^p-1=2×｛3^(p-1)+…+1｝=2×(p個の正の奇数の和)
となり、これが2以外の素因数をもたないのでaは2以外の素因数をもたない。
さらにqをaの約数とすると、3^a-1は3^q-1(>1)で割り切れるので3^q-1が2以外の素因数をもてば3^a-1も2以外の素因数をもつ。
(a,b)=(1,1)(2,3)のときは条件を満たす。
a=4のとき、3^a-1=80は2以外の素因数(5)をもつので不適。
a>4かつaが2の累乗のとき、3^a-1は5を素因数にもつので不適。
よって、条件を満たすのは(a,b)=(1,1)(2,3)
良問の旅とか青チャートとかなにかしらのくくりで再生リスト作って欲しいです！
先生の他の整数問題見てたので（３）だけでできました。。（２）をMODを使わずにやるんでないか思い、みてました。
むずかしぃぃぃ
1を3-2として考えて因数分解して解くのはありですか?
おはようございます！43日目！
だんだん数学が楽しくなってきた〜
初見で出来ました！✌️キモティー
医学部受験頑張ります
(2)について、b>1ならばaが偶数っていうのは、b>1の範囲でaが自然数であるときはaが偶数であることを示せってこと？？
3^a-1が4の倍数となるときaが偶数になることに気づけば瞬殺の良問ですね
いや、これはおもろい
(3)の密度が濃い
パスラボとかゲンゲンのやつとかその他ネットに流れてきた整数問題全部やってたらこういうの誘導なしで出来るようになってたｗ未着用の参考書が泣いてる
解けた時気持ちよかったです、良問をありがとうございます
これ、mod5でbが3以上のとき存在しないってことでも良くね？
4を法とすると
3^a-1≡(-1)^a-1
∴ aは偶数
こっちの方がややスマートですね
もちろんどっちでも正解ですが！
すごい端折ったので細かい指摘は許してくださいm(*_ _)m
僕もこれで行きました
誘導なしで行けた〜
高一ですが、先生がこれを夏休みの課題に出してきました
整数おもろいなあ
地元の方は、たいていここの大学の事は、トンペイって読んでますけどね。理工系の学部だけ、街の中心部からかなり離れた所にある大学です。ただ、今は新しい地下鉄があってアクセスは向上したかも知れませんが。
歴史と伝統のある大学であります。
地下鉄はできましたが、地上に出るまで10分かかりますw
パスラボのおかげで整数問題解けるようになったけど、本番がちがちに緊張してる中で解け！って言われても無理なんだろうなぁ
本番解ける人すごい！
(3)解けなかったの悔しい...
因数分解を考えられてなかったな
最後十分性を確認することを忘れずに！
一瞬で（1,1）（2,3）に絞れました 感覚ですね
東北大数学は旧帝なのに簡単だからすらすら解けて楽しい
サムネ見て解けなくてめっさ萎えてたけど誘導あるんかい
これカタラン予想って使ったらダメなんでしょうかね。
(2)、二項定理で解く方が楽じゃないですか
(1,1),と(2,3)を発見した後に、無理矢理帰納法をつかってそれ以降は解がない事をいいました
具体的には|3^a-2^b|>2となることを帰納法でいいました
範囲を絞る。指数の正の説明。実験は５分以内。mod3,4,5,6,7,8
modの射影を考えている 引き出しって少ないよ アルゴリズム化できるね。a=1,b=1が成り立つ。a=2,b=3.が成り立つ。
a=3はbは整数でない。 aが４以上２b乗＝３a乗−１＝（ax乗+1)(ay乗-1)→(ay乗-1)は１だけ。後は詰まらない説明。
カタラン予想かと思った……
問題文からぎゃくにたどって実験して4の倍数→偶数
一瞬はじめしゃちょーに見える
1つの文字に注目
指数 mod3 mod4
指数>0 因数分解
中3なんですけど、
aが偶数→3^2lになるから2乗-2乗の形になって、A+Bは正だからA-Bのほうから攻めれないかな〜とか思ってたらほんとにその方針で進めてて感動(逆にそれしかわからない)
自分は(3^k+1)、(3^k-1)が同時に4の倍数にならない事を示して、3^k-1が4以上の時絶対にどちらかは素因数に2以外を持ってしまうのでk＜2からk=1のみである事を示して最終的にa,b=(1、1)(2、3)を証明しました。細かい所は大分省きましたが、大体他は分かると思います。
去年の京大実戦に似てる
答えだけなら30秒で分かるね。
あとはそうなるように誘導に従えば簡単な問題だね。
数検準1でこれに絶対値つけたやつが出て記述が全然分からんくて答えしか書きませんでした笑
(2)の解説少しおかしくないですか？
これってbが2以上の整数の時aが偶数になるということを示せって問題なんですよね。aが4の時ってbの値は整数にならないし、そもそも4で割れるからと言ってbが整数になる保証はない気がするんですけど。もしかしたら自分がなにか勘違いしてるかも知れないので誰か教えてください
このmodの示し方だとaが偶数の時にbが2以上の整数となる可能性があるとしか示せていない気がするんですけどそれでも大丈夫なんでしょうか。
@@user-fb5wz4lh4j 十分性を満たしているので大丈夫だと思いますよ
b≧2→aが偶数を示すだけであって
aが偶数→b≧2ではないので
コメント部分については以下の通りかと。
元々が整数（a,b）の話で、
整数（a,b）の中で、b>1（b>=2）のとき、aは偶数を示しているだけですね。
b=1のときは別で考えてね、2以上の場合はaは偶数になるよ、a=4のときbは整数じゃないけれどそれは前提が両方整数ということと外れるから答えじゃないよね、っていうことなんじゃないかなと思います。
後半部分についてもbが整数なのは前提条件なので4で割れる割れないがそもそも無視していいんじゃないかと思います。
レス部分について、上述からそれぞれ整数は確定。
問題文(2)の前提：b>1のとき、
動画からaが奇数のとき、2^b=3^a-1≡2(mod4)
b=1という凡例がある為、「b>1のときaは奇数にならない」
偶数のとき、2^b=3^a-1≡0(mod4)
2^bについて、（bが整数を満たした上で、）4の倍数になるにはbが2以上、つまり「b>1のときaは偶数」
意味的には前半（b>1のときaは奇数にならない）だけでaは偶数といえるけれど最後までするよ、って感じじゃないかと思いますが如何でしょうか？
私自身久しぶりに数学問題を解いた為、おかしな部分・わかりにくい部分等あると思いますが、その場合レス頂ければと思います。
（1）解けない人はどうしたらいいのーーーーー。。。
誘導無しで解いたで
誘導があるとだいぶ解きやすくなる！
センター型の誘導はめっちゃ嫌いだけど笑
積サーでやってた
(2)はb>1ならaは偶数でも奇数でも成り立つんじゃないの？
2018はマジでやばい
なんか急にオススメに出てきたから視聴してみたけど、modっていうのをそもそも初めて聞いたから、理屈が分からなかった。
元々、数学は得意じゃなかったけど、modていうのは割と知ってるのが普通なのかな？
高校卒業したのが結構昔ではあるけど、習ってないのは間違いないから、そんなのあるのかとビックリした。
難関高校とか難関大学の対策してるような塾とかだと教えてるのかな。
すごすぎる、
78歳、昭和38年の数3受験です。某旧帝大理系合格。この問題(a=1,b=1)、（a=2,b=3)は見た瞬間頭の中に浮かびますが、これ以外の解ががないことを証明できないのが微積までしかしていない世代のつらさ。確率も、整数論も範囲外だった。
14:14のとこから3のけー乗が整数なので連続する偶数で2しか約数に持たないペアは2と4だけだから的な記述でフィニィシュあり？
それ、東進の過去問講座の開設授業で言ってたけど、時間ないなら仕方ないっていう感じの解答らしい。
あ、理系のやつ見てた…
指数を消すか👍👏👏👏
私のこの問題の初見での印象は「こんなの(1,1)と(2,3)以外あるの？」でした。
解法とは関係なく、問題を見た瞬間に上のような数学的感覚がどの程度、かつある程度は正確に働くかは、整数問題では大切な気がします。特に誘導がない場合、その気付きがヒントになることが多いからね。
どういう経緯でその2種類に絞ったのか教えて頂けませんか？？
@@gina-sv6dk さん
感覚的な話になりますが、
2^mは、2、4、8、16、32、64、…と増大し、3^nは3、9、27、81、243、729、…と増大しますよね？
このような増大を指数関数的増大といいますが、こいつの特徴は指数が自然数である時にとる値がとにかく「スカスカ」だということです。
なのにその差が1丁度になるなんていう都合のいいことはそんなには起こらないんです。
その一方で指数が負の整数の場合はそもそも2^mや3^nは(0,1)間の値にしかなからないのでやはり不適です。
だから正の小さな自然数解しか「感覚的には」あり得ないのです。
だからこういう問題は、周期性のmodを使わずとも、範囲から不適とする解法がどこかにあるべきなんです。それが無いのがむしろ不思議です。
@@smbspoon-me-baby
成る程。丁寧にありがとうございます
こういったゆわゆる、感覚というやつは問題を解いていくうちに慣れていくしかないですかね？
@smb2019 spoon-me-baby
「周期性のmodを使わずとも、範囲から不適とする解法」
の線で考えてみました．スッキリとまではいきませんが，modも含めて
整数問題らしいことは何もせず，大きさの評価だけです．
(1)の a, b ≧1は既知とします．
aとbはあまり離れられないことを示します．
① b≧aでなければならない．
∵) もし a>b ならば，3^a-2^b>3^b-2^b>0．
3^b-2^bは整数だから3^b-2^b≧1 よって3^a-2^b>1となり3^a-2^b=1にはなり得ない．■
② a+1≧bかa≦4でなければならない．
∵) もし b>a+1 すなわち b≧a+2ならば，3^a-1=2^b≦2^(a+2)でなければならないが，3^a-1≦2^(a+2)を満たすaは有限個しかない．実際 a≧5ならば
3^a-1=(2+1)^a-1=2^a+a2^(a-1)+a(a-1)/2・2^(a-2)+・・・+1-1
≧2^a+5*2^(a-1)+10a^(a-1)=24*2^(a-2)>16*2^(a-2)=2^(a+2)．
したがってa+1≧bかまたはもしa+12^a+1だから，
a=1しか可能性はなく，実際満たす．このときb=1．
・b=a+1の場合も3^a=2^(a+1)+1を満たすaは有限個しかなく，a≧3のとき,
3^a=(2+1)^a=2^a+a*2^(a-1)+[a(a-1)/2]*2^(a-2)+・・・+1
>2^a+3*2^(a-1)+3*2^(a-2)+1=13*2^(a-2)+1>8*2^(a-2)+1=2^(a+1)+1だから，a=1, 2しか可能性はなく，実際にa=2が満たす．このときb=3.
以上より解は(a,b)=(1,2),(2,3) (終)
aを操作 何で聴きたくないのだろう！
mod 3 4 のたるの！ ３０分で解けるかなあ
３の階乗関数２の階乗関数 27以上なら
脳の感知能力って興味深いなあ
前提が30分で解ける
１）2)はa bが整数で解けるか！
mod 4は辿れる
2kが忽か 消えるなあ！
２と３の寓意か？
ちょっと全体図が見難いなあ！
問題を作る人の普段が見えるなあ？
ちょっと操作を整理する側に立ちたいね。
mod8だとかなりらく
文系かと思ったら理系か、練習にはちょうどいい問題かもしれないですね
これやってたから京大本レの整数出来た
mod1088をとるとb>=6では解が存在しないことがわかる。なのでb=6ではmod64でaが16の倍数、mod17で解無しが言えるというだけです
64を考えたのはは1ずれの63が9の倍数だからとったので自然な発想かなと思います
0:16 呼ばれない山形
泣いた from山形
声が工藤新一に似ている
連続する三つの数の1番目と3番目がともに、2の倍数だからで、一発じゃね。知らんけど
とりあえず、山大忘れられてるの草
個人的に整数問題ではkを使って置き換えることが重要だと思う
余力のある方は、3^a-2^b=-1の整数解はどうなるかも考えてみるといいと思います。
おそらくこれも(0,1)と(1,2)しかないとは思いますが、私は頭がバグって論証不完全に陥りました。
2^b-3^a=1
(aかbが負の整数の場合は議論するまでも無いのでOKとして)
ほとんどの場合3^aは3の倍数なので2^b≡1(mod3)となり、bは偶数
改めて4^b-3^a=1の自然数解を考える
3^a=(2^b+1)(2^b-1)
右辺の括弧2つはどちらも自然数(0だとすると3^a=0となり不適)なのでどちらも3の非負整数乗になるはずだがその差は2なので少なくとも1つは3の倍数でない、すなわち2^b+1と2^b-1のどちらかは1である
(以下省略)
で解けそうですが、どこか違っていたら教えてください
@@overcapacitywhale さん
ありがとうございます。
@@gj8076 さん
さすがです。
奇数の因数に注目した解法、興味深かったです。
これ積サーで誘導なしでやってた問題だー。
東北大を25年前に卒業したけど、解けなかった
あそ
誰も聞いてなくて草
@@user-fr5ji4we5y あの、僕が聞いてたんで猿は帰ってください(^_^;)
@@user-hl2or2dt3z
人の自慢が大好きなんだね‼️
いいと思うよ‼️👍
@@user-fr5ji4we5y なんか、開き直ってるけどどした～🤣🤣🤣🤣 ノリノリで煽ったのに口挟まれてくやちーねー😆😆😆😆
本番でこの問題出たけど(1)しかできなかったっけ
なんか中田敦彦みたいな話し方してるね
誘導無しで解けました。入試本番を意識して記述するとなるとどう解答するだろうか。
追記
(1)はグラフ書いて考えました。
積サーで見たやつ！
整数問題いつも記号多くて求めるところ忘れちゃう😓😓
(2)ってこれで正解？？？
題意が示せていないような...
p＋q=3が成立することでもできそう
積〇サークルの誘導なし二次試験の2回目この問題やったな
⑵a奇数⇒b＞1不適
a偶数⇒b＞1成り立つ
はわかるんですけどこれが十分であるという理屈が理解出来てません。誰か教えていただけないでしょうか
@@gj8076 めちゃくちゃ分かりやすい丁寧な説明ありがとうございました👍
[大事なことは十分条件であることではない]ことを見落としていました。
ありがとうございました🙇
これ基礎なんか、
1番のaはなんで1も含まれるん？
aが1より大きいのではなく3^aが1より大きいからです。ａは整数なのでaが1以上で3^aが1より大きくなります
@@user-sk4em5zn7s ありがとうございます！
整数はパターン認識しないと無理、
これ積サーが誘導無しでやってたなw解説知りたかったよかった
サムネ見て「自然数範囲なのは自明なのに証明させるとか意地悪な問題だなー」って思ったけど誘導だったとは。
mod以外にあったんだってなった笑笑