一橋大学 図形＋整数問題＋証明【落とし穴注意】
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- เผยแพร่เมื่อ 2 ก.พ. 2025
- 一橋大学も典型パターンの良問です。
ただmod4で考える場合、忘れずに！
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a,bの偶奇が異なる場合、aを偶数、bを奇数とすると
a=4m+2の場合(m：自然数)
mod8で考えると簡単に矛盾が導けます。
a^2≡4、b^2≡1、c≡1 （mod8)
日常でんがんでも扱われてましたね！
やっぱ一橋は面白い問題だすな〜
a2=4(l+k+1)(l-k)の時でも証明できてるのでは？
l+k+1とl-kの偶奇性は必ず違う。どっちかが偶数なのでa2は8の倍数
その後は先生と同じ理屈で説明できます
トゥイッターで初っ端から笑ってしまった笑笑
ひろゆかない
ヒロゆかない
aは整数、という大前提がある、のでa^2を素因数分解した際の各素数の指数はすべて(0乗も含む)偶数であり、そのことから、a^2が2を少なくとも3個持つ、場合にはa^2は2を少なくとも4個持つ(4個以上の偶数個持つ)(持たざるを得ない)(でないと｢aが整数｣という大前提に反する)、ということから、aは4の倍数、となります。(が、個人的にはそもそもmod8を使う方のがシンプルのよう、にも思います。)
個人的な印象だけど、8なんてmodが重用されているところにニュートラルにいって変化を感じますね。
少なくとも、25年前は東京最高峰(当時)のSEGでもそんな話しなかったですよ。
ふつーにmod4使えば示せるっていう
超分かりやすい！ありがとう！
証明なしで「n^2 が 8 の倍数ならば n は 4 の倍数である」を使っていいのかな？ もしかしたらこれが本当の落とし穴
ピタゴラス数に関する証明は既約ピタゴラス数で証明するのがテクニック
n≡0,1,2,3 (mod 4) に対して n^2≡0,1 (mod 4) ですが， n^2≡0,1,4 (mod 8) が使える。
a,b がともに 4 の倍数でないと仮定すると，a , b が互いに素であるから
a,b の一方が 4m±1 で，他方は 4n±1 ，あるいは一方が 4m±1 で他方は 4n+2 だから
a^2+b^2≡2,5 (mod 8) これは c^2≡0,1,4 (mod 8) に矛盾する
①の『a,bどちらかが3の倍数』の証明って、
a²+b²=c² より
a²+b²≡c²(mod 3)
平方数のmod3の値は0か1
[1]c²≡0(mod3)のとき
a²≡b²≡0である。
平方数のmod3の値が0になるのは、元の数が3の倍数のとき。
よってa,bは共に3の倍数。
[2]c²≡1(mod3)のとき
(a²,b²)≡(0,1)または(1,0)である。
よってa,bのどちらかは3の倍数
[1][2]より、a,bのどちらかは必ず3の倍数
って示しても大丈夫ですか？
おはようございます！20日目〜
ついこの間日常でんがんでやってた問題だ〜！
15:13 aが4の倍数であるためには、a^2が8以上の倍数である必要があるのは違うと思います。 aが4の倍数ならa=4nとして a^2=16n^2になるから、
平方数は素因数を偶数個ずつ持つので、8の倍数すなわち素因数2が3個ということがわかれば、必ずもう1つ素因数に2を持ちます。逆算的な感じです。
備忘録70G" 〖 ピタゴラス数の性質 〗【 目標設定力テスト 】
a, b, c ∈自然数 a²＋b²＝ c² ･･･☆
⑴ a, b の 少なくとも一つは 3 の倍数 である。
⑵ a, b の 少なくとも一つは 4 の倍数 である。
(参) a, b, c の 少なくとも一つは 5 の倍数 である。
( 例 ) 3²＋4²＝ 5², 5²＋12²＝ 13², 7²＋24²＝ 25²
最後のaが四の倍数を示す際について、
c^2-b^2を因数分解してもいけません？
l+k偶数ならl-k偶数。
l+k奇数ならl+k+1偶数。
よって、八の倍数が示てます。
自分の覚えてるピタゴラス数の直角三角形の面積が全部6の倍数だったことに震えてる
って思ったらコメント欄頭良くてこんなコメントするのが申し訳なくなる
やさしい理系数学だと場合分けせずにmod16でaまたはbが4の倍数を示していました
やさしい理系数学は優しくない。
ハイレベル理系数学は化け物揃いと聞いたことがある。解答者が問題に食べられるw
自然数nに対し、
(i) n^2 ≡ 0または1 (mod 3) （n^2 ≡ 0 ⇔ nが3の倍数）
(ii) n^2 ≡ 0または1 (mod 4) （n^2 ≡ 0 ⇔ nが偶数）
(iii) n^2 ≡ 0または1または4 (mod 8) （n^2 ≡ 0 ⇔ nは4の倍数、n^2 ≡ 1 ⇔ nは奇数、n^2 ≡ 4 ⇔ nは4の倍数でない偶数）
を覚えておくと、こういう問題で見通しを立てるのに便利です。
この問題はピタゴラスと(i)よりmod 3で(a^2, b^2, c^2) ≡ (0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1)の何れかとなりaとbの少なくともひとつは3の倍数、同様にピタゴラスと(iii)よりmod 8で(a^2, b^2, c^2) ≡ (0, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (4, 4, 0)の何れかとなり、aとbのどちらかが4の倍数または両方偶数。なので面積は6の倍数。
日常でんがんの上級問題精巧のやつやん
原始ピタゴラス数の性質の話は一回は聞いとくべき。今回の問題も解きやすくなるし。
問題１、一辺がNの正方形の中に面積がNの正方形は最大いくつ入るか。
(入る判定は例を参考にせよ)
例:N＝1の時、最大一個入る。
問題２、一辺がxの立方体の中に入る、体積xの立方体の個数の最大値をｙとする。ｙをxの関数で表せ。
１の答えは暫定で[√N]^2
反例どころかまともな証明が出来てないです。誰か助けて。
1はそれでいいと思う
2も同じように考えればできるかと
優しい理系数学で例題として同様の証明があったので、すぐ解けましたねぇ。
しかしこれを本番でいきなり見たら、どう手を付ければいいか悩んでしまいますねぇ。
今年の月間大数に、似た考え方を使った問題ありましたね...!
a=u^2-v^2, b=2uvとおいて，S=uv(u-v)(u+v)だから6の倍数．というのは減点されるんだろうな…
ピタゴラス数が一意に書けることを言わないとダメそうですね(2年前のコメントに失礼します)
14:30 l + k と l - k の偶奇は一致しますから、l + k + 1 と l - k の偶奇は一致しません。 よって l + k + 1 と l - k のいずれかが偶数ですので、この変形の仕方でも a^2 が 8 の倍数であることが言えますね
あと3の倍数のところばc≡1のとき、a≡0.1、b≡0.1よりどちらかがさんの倍数、C≡0のとき、a、bのどちらも3の倍数って示したけど良いんかな
つい最近でんがんがやってたぞ
4(l+k+1)(l-k)は8の倍数であることを示せると思いますけど？
もし(l-k)が偶数であれば8の倍数。(l-k)が奇数なら(l-k)+2kも奇数なので(l+k)も奇数なので(l+k+1)は偶数。
斜辺をc,他の辺をa,bと置く
a,bのいずれかが3の倍数(①)と
いずれかが4の倍数または両方偶数(②)を証明すればよい
平方数は(3以上の整数の倍数−1)にならないから①は容易だが
②が案外厄介。
(両方偶数の場合は自明として)a,bのいずれかが奇数として、それを2n+1、cを2m+1として
平方の差は4(m^2-n^2)−4(m−n)
m-nが奇でも偶でもこれが8の倍数(平方数なれば16の倍数)となるから
その平方根は4の倍数となる、ことを
紙数と時間に配慮しつつ厳密に書かなければならない。
落とし穴としては、a,bとも偶を見落とすことだろうか？
今回の大事なポイントといいmod8で解くやり方といい最終的には8で割った余りを意識する必要があるのね。
a.bのどっちかが4の倍数であることを示せば早いと思った
7:57ビビッドきた
いーや、この前でんがんがやってたけど、別に同じ問題を解説してくれることに悪いことは何もないっ！（ぺこぱ）
mod 24 使って全ての組み合わせを試しました。
平方数なら 0, 1, 4, 9, 12, 16 の 6つだけが出来るので、そんなに多くはありません。
時間があんまり掛かったが、発想が上手く付かない場合は、むしろこの方が速いかも知れないんですね。
(￣▽￣)
k,lの偶奇4通り試すだけなのに落とし穴とは？
実質2パターンしかないし、式の形が簡単だから頭の中だけでできるぞ。
a^2が8の倍数からaが4の倍数になる流れが分かりませんでした。どなたか教えていただけますと嬉しいです。
aが整数のとき、a^2が8=2^3の倍数になるには、aに3/2個以上の2の素因数がなければいけません。実際にはaは整数ですから、これはaに2個以上の2の素因数があることになりますね。つまり、aは4の倍数です。
平方数 a^2 を素因数分解すると、でてくる素因数の指数は必ず偶数になります。
eg) 16=2^4
25=5^2
36=2^2 × 3^2
全部指数が偶数ですよね。a^2 はそもそも二乗してんだから指数法則から当たり前だろ！って話ですが(a≠1)。
今回、a^2 = 8k = 2^3 × k となってるわけですが、指数は偶数になるはずなので、kは少なくとも一つは２を因数に持ち、k=2sとでもすれば
a^2 = 2^4 × s = 16 × s → a は４の倍数
となります。
色々言ったけど感覚でわかった方が良さそうなので、もう少しだけ。
a^2 が８の倍数なら、a は偶数だなーとは思えますよね。a が２を１つだけ因数にもっても、二乗して８の倍数にはならんなーってのも感覚でわかると思います。
例えば６は２を一つだけ因数に持ちますが、二乗しても４の倍数となるだけで８の倍数とはなりません。
a^2 = 8k、二乗して２を三つ因数に持つなら、a は最低二つは２を因数に持つなーって感覚で思えると、a が４の倍数ってのは上でごちゃごちゃ言ってたの思い出せなくてもわかるかと、、！
なんでa^2は16の倍数であることの証明をしないのか、8の倍数の証明だけで事足りてるのかってことですよね。
lとkに任意を値を入れてもa^2はすべて平方数になるとは限らず、有名どころだとa=4,b=3,c=5つまりl＝2,k=1を代入するとa^2は8の倍数かつ平方数となります。
a^2が平方数となるlとkを代入するという前提があり、そういうlとkを代入するとa^2は2の偶数乗という因数を持たざるを得ないから2^3を持つなら2^4は持ってないと平方数にならないよねってことなんだと思います。
正直自分もこれで証明になってるのかよくわかってないですが、プロがそうやってるんだから過不足なく証明できてるんだと思います。
皆様、丁寧な回答ありがとうございました！なるほどa^2が8の倍数ということを示せば、平方数となるには必然的に16の倍数にならざるを得ない、という感じなのですね。納得しました。勉強になりましたm(_ _)m
a^2+b^2=c^2を(a+b+c)(a+b-c)=2ab
と因数分解したのですがそこから出来ますか？
ヘロンに叩き込んで終わりかな
日常でんがんでやってた問題！
7:03
aが素数でc+b=a^2 c-b=1の組み合わせしかなくて
b=(a+1)(a-1)/2
の分子がaが3より大きい素数の時に12の倍数と示したんだけど、実際はめっちゃ簡単だったわ
△DGA
ピタゴラス数の類題は山ほどあるね！
3:55 細かいですが、どっちかが奇数というのはいえません。まあその後の解答に支障はないですが。
その前にどちらも偶数の場合考えてるから大丈夫と思ったんですが、どうでしょうか
一般性を失わないのでこの過程を説明すれば使っても問題ないっすよー
@@nh3129 それで間違いないと思います。
@@nh3129 確かにそうですね。ありがとうございます。
3:05 mod深堀りしていきましょう
二乗した数が2(mod3)でないって自明？
あっ普通に直前の計算で示されてたわ😅
上級問題精巧にあった
2条数のmod4が0,1,0,1…ってなるのはしょうめいてきなことしなくていいんですか？
合同式の定義なので証明はできないと思います。
f(n)≡f(n+p)(≡m)(modp)と言ってしまえば、一周期分書くだけで良いらしいです。(昨日先生に質問した)
逆に書かないと減点対象だと思いますよ。
「これ一橋で出とったわ」
マイキーがさ一橋の赤本くれたんだよ卍
ついこの前、でん○んがやってたなー。
やってた！
a^2が8の倍数ならaは2√2になって4の倍数じゃなくないですか？
aは整数です！
@@mathlabo 答案に記述する際も、その点さらっと流していいのでしょうか？
変数の範囲をよく把握しましょう。
とはいえ、その捉え方は代数学をガチで学ぶ人には必要な捉え方なんで、個人的には好きだな(笑)。
aが2の倍数でかつ4の倍数でないなら、a^2は4の倍数ですが8の倍数になることはありません。
aが4の倍数であれば、a^2は16の倍数ですが、8の倍数でもあります。
よって、aが4の倍数であることを証明したければ、a^2が16の倍数であることを証明しなくても、
8の倍数であることを証明すれば足りることになります。
@@Natsume_jp この説明まじでわかりやすい！ありがとうございます！
今日は6時半だった！
でんがんのおかげでいい復習になった
日常でんがんでやってた！
4時間整数解法解説の２３問目とほぼ同じ問題です
l+k+1とl-kはどっちか偶数やん
sorehasou
これを文系が解くん？えぐ
でん○んさんも解いてたね
スーツ似合わねぇwww
でんがん〜
でんがんさんが解いてましたね
上級問題精巧に載ってたやつだw
でんがんさんやってたよねw
でんがんやんw