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両辺logを取って何やかんやしてn/2＞(logn)/(log2)すなわちn/2＞log₂n自然数nを実数xに拡張して両辺をそれぞれy=x/2,y=log₂xとするこれをグラフに表すと交点はx=2,4の点なのでn=1,n≧5
やっぱ指数と底を入れ替えた数の大小関係だとf(x)=(logx)/xのグラフの概形から考えるよねw
差を取って微分してからの単調増加で示したい
あぁ、k秒の遅刻が許される時k+1の遅刻は許されて、1秒の遅刻は許されるから遅刻は何秒でも許されるってことね
天才
k=2,3,4が許されてないからダメだぞ()
@@Double_O-ss9pf k秒の遅刻が許される時の話だぞ
これあれか、k+2秒がダメだから成り立たない的なパラドックスだ。確か
(秒数は自然数しか保証されず、0.1秒の狂いも許されない)
おはようございます。24日目！私は理系なのに帰納法しか思いつきませんでした…対数とってグラフで解く方法もやってみます。
実験の重要性とキーワードから使える道具を推測することの大切さが分かりました。自分は、(n+1)^2をn^2で割るとnが3以上の時は2より小さくなるからn≧3で一つ2^nの方が大きい地点があればそれ以降はずっと2^nの方が大きくなるって感じで考えました。
別解12^n=(1+1)^n=1+nC1+nC2+...>nC3また, 6nC3-6n^2=n(n-1)(n-2)-6n^2=n(n^2-9n+2)=n{(n-9/2)^2-73/4}n>0 なので, (n-9/2)^2-73/4 >0 ならば n^2 0 が言えれば 2^n-n^2 は単調増加⇒2^n-n^2>2^5-5^2>0 より 2^n>n^2 が示せる.そこで両辺をもう1回微分すると左辺が (log2)^2*2^n, 右辺が212^(n-2) なので, 5≦n のとき (log2)^2*2^n > 2^(n-2) > 2^3 > 2よって 5≦n で log2*2^n - 2n は単調増加⇒ log2*2^n - 2n > log2*2^5 -10 > 2^4-10 > 0以上から, log2*2^n - 2n > 0 であることが言えたので 5≦n で 2^n>n^2よって答えは n=1 or 5≦n のとき.
懐かしい。難関大の整数問題の練習に30年前もこの問題出てきたｗ私は理系だけど当時は帰納法で解きましたわ。
ええ問題やね
関数の最大最小ってグラフにして考えると楽そうですね。。。
文系には無理ですよね。
どっちも思いつきました！！
logは数値の概算が面倒だから数学的帰納法の方が良いですね。
増分（差分？）2回とって実質2回微分みたいなことしたらわりと簡単にいったな
黄チャでやったような気がする
教科書にも載ってそうな良問やね。
俺はlog派かなーf(x)=logx/xとすると、f'(x)=(1-logx)/x x ...e...f'(x) ↗0↘f(x) 1/ef(2)と同じになる値がx>eで一か所存在し、f(2)=f(4)であることがわかる。x
同じく
やんね
コメント増減表技能検定2級持ってそうな増減表のうまさ
@@user-uj8ok6wc7n 上手くできてよかったです笑
@@user-uj8ok6wc7n ちょっと微妙で草
ｋ≧5の時，（ｋの2乗）－2ｋ－1＞0を示すには，ｋ×（ｋ－2）－1≧5×3－1＝14＞0で終わりでは？［（ｋの2乗）－2ｋ－1はｋ≧5の時，単調増加！］
logでもいいし、帰納法でもいいし、両辺をどっちかの式で割って割った後と1との評価で微分して導いてもいい。なんでもありだな
休み時間15分くらいで解けたぜ！！
n≧5ならば、2^n≧nC0＋nC1＋nC2＋nC(n-2)＋nC(n-1)＋nCn＝2(nC0＋nC1＋nC2)＝2(1＋n＋n(n-1)/2)＝n^2＋n＋2＞n^2.n＝1,2,3,4は直接計算して確かめる。
ちょうど帰納法習ったから解けた
それな笑
かわいい
僕なら両辺をそれぞれ関数で置いて2,4で共有点を持つこととそれぞれの関数の微分を使って示すと思う
N自然数だからx^2と2^Xのグラフ（X>0）書いて上下しらべたら、ほぼ終わりじゃないかな？格子点は整数部分にしかないわけだし。
素朴に、両辺をn乗根したらいかんのか？
対数をしなくても解ける両辺に(1/2n)乗したら？
指数関数と二次関数だから「見るからに」一回追い抜かれたらもう二次関数に勝ち目がないなって直感的にわかるけど示すのはちょっと大変なんだなー
これ、実数nだとすると解けますか？解けるのならそれはどんな場合ですか？俺の答えは ?
k>=5のとき (k-1)^2-2>0 は証明しなくてよいのか気になりました。今までは自明と思っていましたが、だったら元の問題もそうだと言える気がしてきてしまいます。どこまでが出題者に暗黙の了解として通じるのかルールはあるのでしょうか。
さすが京大
差分を取れば解ける！
どっかで聞いたことあるな…
f(n)に対して、f(n)の差分はΔf(n)=f(n+1)-f(n)ですね。本問はf(n)=2^n-n^2と置いてΔf(n)の符号変化を見ていけばわかりますね
@@sw108o7 青木先生しか出てこん‥
@@su3861 その通りです笑 はじめて知った時めちゃくちゃ感動しましたw
備忘録70G" 通常【 y＝ 2^x vs. y＝ x² のグラフの想起、 n＝ 1, 2, 3, ･･･の実験が第1歩 】⑴ n＝ 1 ･･･① ( 実験で示す ), ⑵ 5 ≦ n ･･･② ( 数学的帰納法で示す ) 〖 二項定理は 苦しい 〗
〖 別解 〗技巧的なやり方x ∈正の実数 のとき、2^x ＝ x² とおくと、logx／x ＝ log2／2 ここで、f(x)＝ logx／x ( x > 0 ) とおいて、グラフへ･･･f(2)＝f(4) に注意して、 2^n > n² ⇔ f(n) < f(2) ⇔ n＝1, 5 ≦ n ■
受験生ではないけど初見な感じしなかったからやっぱ色んな旧帝の過去問に触れておくのは大事だなと思った
ツイッターなので高評価
平方根の定理がよくわからない。忘れ切ってもう解らないよ。教えてくれたら、全部一回で理解できる。学生の時以来勉強してないから、全部忘れた。前に言ってた必要と思わないと覚えない。必要のない人生だったから全部忘れた。頭だけ切れると自分みたいに知らないのに難問を解く不思議な状態になる。国語英語数学が、一番ダメだったんだけどね。理科社会は暗記だけすればいい。何も考えなくていい。
グラフ使うのダメなんですか？
微分して単調増加になるからはだめでしょうか？
同じ単調増加関数の間ではもう一個交点を持つ可能性自体はあるので、それだけではダメと思います。
？？？
そうですね。定数分離だと行けますね。対数をとっても良さそうですね。凸の向きが同じ関数でグラフの議論をするのは結構危ないみたいです。
@@user-changchang なるほどー！考えが甘かったです💦
π^eとe^πに似てると思ったから即logとった
差分でやってみました
学校でやったところだ！！2^n=(1+1)^nと考えて二項定理を使っても解けますね
既に書いている人がいた…
まじ！！？二項定理でできるの！！？俺、理系だけど、微分と帰納法しか思いつかなかったぜ！
遊んでから帰納法使えば良さげとぱっと見の感想
論述力を含む文章力が証明では必須なんだって話やね。帰納法の考え方ならば、高校受験生にでも理解できそうだからな。いちばん基本的なやり方って感じがする
駿台でやったやつだ！
logとってnは自然数だから両辺2nで割ってn log nのグラフで比較するのかとおもた
nに1を代入すると条件を満たす…①2,3は条件を満たさない…②4は条件を満たす…③ここからが本題である。(n+1)/nはnが大きくなるほど1に近づくのでn>5において再び√2より大きくはならない。故に左辺>右辺がn>5で成り立つならn+1においても成り立つ…④
n→∞のとき1に収束するから〜は記述としては0点では。極値を複数個もつ場合√2より大きくなりえます。
あと（n+1）/nがどこから出てきたのか教えて欲しいです
@@user-tokotoko334 nにm=n+1を代入してから両辺の平方根を取ると、左辺が√2倍、右辺が(n+1)/n倍になると考えました。(n+1)/n=1+(1/n)なので極値が複数はない(直観的には、分子の1がnに比べて相対的に小さくなる)が、答案としては詳しく書かないと零点になりますか。
@@岸辺緑 mは帰納法の仮定で出てくる文字だとすると、m+1を考えた時に両辺平方根付ける（つまり1/2乗ずる）と左辺は√2・2^（1/2m）となるので、√2倍されるわけでは無いですね。極地に関しても、導関数を書いておかないと。limを根拠にした話は全て偽なので･･･
比率としての増加量を測ってるわけですね。なかなか面白いと思います。
これメジアンにあった気がする
nが3以上なら、nが1増えるごとに左辺は2倍、右辺は2倍には足りない(2n²>(n+1)²)どっかで追い越したらおしまい。
うおお横市の小問
高校の時、何かの公式について「どうやって証明する？」って数学担当の先生（学年主任の小煩い小男）がクラスでも順番に当てていって、誰も答えられない中、俺が「数学的帰納法（ビシッ！）」と答えたのが、今思い返せば人生のピークだったなぁ、というそんなガラスのメモリー。
些細なことなのですが、2^5＞5^2と書くより 2^5＝32かつ5^2=25よって2^5＞5^2 と書いたほうがいいのではないでしょうか？
詳しく書くならそうだけど、ここまで来たら単なる数字だからそのまま比較しちゃっても良いと思うまあ3^10とかでかい数字でやったら勿論ダメだけど
論文、受験においては不要。進学塾の授業でも不要。学習塾の授業ならあったほうが親切かな〜程度。
普通にlog(x)/xで解いたわ
類題です。｢2^(n+1)≧n^3をみたす正の整数nをもとめよ。｣
グラフで考えて暗算で行けた
グラフで考えるのはダメですか？
ありです
帰納法で余裕
解いてないけど方針あってた
2^k>k^2ならk>3のとき2^(k+1)>2(k^2)>k^2+3k>k^2+2k+1=(k+1)^2 ではだめなのだろうか？
s^tとt^sを見たら反射的にf(x)=logx/xを考えたくなる
ln n / nのグラフ考えたけど文系の問題だった。
やってみれば京大もこんなもんかって思うよね。
やった、今回は解き方同じだ
2回差分でおわり
二項定理より
黄チャBに似た問題あった！
xが1以上におけるf(x)=2^x/x^2>1の範囲と同値だと考えてf’=0となるxがあってfが最小値を持つことになるから、あとはx=1～5を入れれば解が出たで、動画見たら両辺対数とって式変形すれば良いのか、おっさんは感心したよ
自然数nじゃなくて実数xに拡張してから微分して考えるとよい．2^(1/2) > x^(1/x)
帰納法が最初に思いついたからこれかな
全然微分しようとした
帰納法しか勝たん！
二項定理使って解けそうだなって言うのが最初の印象だったe^πとπ^eの大小比較の形よく見てたのに関数使って解くやり方出てこなかったのは反省
なんかの問題集（先生のプリントかも）で解いた思い出...(from大学生
高校卒業して40年経つけどこれぐらいなら簡単に解ける．試験だから一番早く解ける数学的帰納法を使う．京大の文系の問題ってこんなに簡単なの？ 理系の問題はきっともう（絶対に）解けない．ｗｗ
よーしパパ、両辺を1/(2n)乗してy=x^(1/x)の増減を調べちゃうぞー。logを取るのとなんら変わらないという。
これ教科書の問題に数学的帰納法の問題であった
確率の問題でも数学的帰納法は使うな
この問題パスラボでも見たような、気のせいかなw
現在高1こんなのも再来年解くと思うと…((((；ﾟДﾟ))))ｶﾞｸｶﾞｸﾌﾞﾙﾌﾞﾙ
n=3で二項定理で簡単に求められる。数学5年やってないけどセンスは鈍ってないな
両辺logを取って
何やかんやしてn/2＞(logn)/(log2)
すなわちn/2＞log₂n
自然数nを実数xに拡張して両辺をそれぞれy=x/2,y=log₂xとする
これをグラフに表すと交点はx=2,4の点なのでn=1,n≧5
やっぱ指数と底を入れ替えた数の大小関係だと
f(x)=(logx)/xのグラフの概形から考えるよねw
差を取って微分してからの単調増加で示したい
あぁ、k秒の遅刻が許される時k+1の遅刻は許されて、1秒の遅刻は許されるから遅刻は何秒でも許されるってことね
天才
k=2,3,4が許されてないからダメだぞ()
@@Double_O-ss9pf
k秒の遅刻が許される時の話だぞ
これあれか、k+2秒がダメだから成り立たない的なパラドックスだ。確か
(秒数は自然数しか保証されず、0.1秒の狂いも許されない)
おはようございます。24日目！
私は理系なのに帰納法しか思いつきませんでした…対数とってグラフで解く方法もやってみます。
実験の重要性とキーワードから使える道具を推測することの大切さが分かりました。
自分は、(n+1)^2をn^2で割るとnが3以上の時は2より小さくなるからn≧3で一つ2^nの方が大きい地点があればそれ以降は
ずっと2^nの方が大きくなるって感じで考えました。
別解1
2^n=(1+1)^n=1+nC1+nC2+...>nC3
また, 6nC3-6n^2=n(n-1)(n-2)-6n^2=n(n^2-9n+2)=n{(n-9/2)^2-73/4}
n>0 なので, (n-9/2)^2-73/4 >0 ならば n^2 0 が言えれば 2^n-n^2 は単調増加⇒2^n-n^2>2^5-5^2>0 より 2^n>n^2 が示せる.
そこで両辺をもう1回微分すると左辺が (log2)^2*2^n, 右辺が2
12^(n-2) なので, 5≦n のとき (log2)^2*2^n > 2^(n-2) > 2^3 > 2
よって 5≦n で log2*2^n - 2n は単調増加⇒ log2*2^n - 2n > log2*2^5 -10 > 2^4-10 > 0
以上から, log2*2^n - 2n > 0 であることが言えたので 5≦n で 2^n>n^2
よって答えは n=1 or 5≦n のとき.
懐かしい。難関大の整数問題の練習に30年前もこの問題出てきたｗ
私は理系だけど当時は帰納法で解きましたわ。
ええ問題やね
関数の最大最小って
グラフにして考えると
楽そうですね。。。
文系には無理ですよね。
どっちも思いつきました！！
logは数値の概算が面倒だから数学的帰納法の方が良いですね。
増分（差分？）2回とって実質2回微分みたいなことしたらわりと簡単にいったな
黄チャでやったような気がする
教科書にも載ってそうな良問やね。
俺はlog派かなー
f(x)=logx/xとすると、f'(x)=(1-logx)/x
x ...e...
f'(x) ↗0↘
f(x) 1/e
f(2)と同じになる値がx>eで一か所存在し、f(2)=f(4)であることがわかる。
x
同じく
やんね
コメント増減表技能検定2級持ってそうな増減表のうまさ
@@user-uj8ok6wc7n 上手くできてよかったです笑
@@user-uj8ok6wc7n ちょっと微妙で草
ｋ≧5の時，（ｋの2乗）－2ｋ－1＞0を示すには，ｋ×（ｋ－2）－1≧5×3－1＝14＞0で終わりでは？［（ｋの2乗）－2ｋ－1はｋ≧5の時，単調増加！］
logでもいいし、帰納法でもいいし、両辺をどっちかの式で割って割った後と1との評価で微分して導いてもいい。なんでもありだな
休み時間15分くらいで解けたぜ！！
n≧5ならば、
2^n
≧nC0＋nC1＋nC2＋nC(n-2)＋nC(n-1)＋nCn
＝2(nC0＋nC1＋nC2)
＝2(1＋n＋n(n-1)/2)
＝n^2＋n＋2
＞n^2.
n＝1,2,3,4は直接計算して確かめる。
ちょうど帰納法習ったから解けた
それな笑
かわいい
僕なら両辺をそれぞれ関数で置いて2,4で共有点を持つこととそれぞれの関数の微分を使って示すと思う
N自然数だからx^2と2^Xのグラフ（X>0）書いて上下しらべたら、ほぼ終わりじゃないかな？
格子点は整数部分にしかないわけだし。
素朴に、両辺をn乗根したらいかんのか？
対数をしなくても解ける
両辺に(1/2n)乗したら？
指数関数と二次関数だから「見るからに」一回追い抜かれたらもう二次関数に勝ち目がないなって直感的にわかるけど
示すのはちょっと大変なんだなー
これ、実数nだとすると解けますか？解けるのならそれはどんな場合ですか？
俺の答えは ?
k>=5のとき (k-1)^2-2>0 は証明しなくてよいのか気になりました。今までは自明と思っていましたが、だったら元の問題もそうだと言える気がしてきてしまいます。どこまでが出題者に暗黙の了解として通じるのかルールはあるのでしょうか。
さすが京大
差分を取れば解ける！
どっかで聞いたことあるな…
f(n)に対して、f(n)の差分はΔf(n)=f(n+1)-f(n)ですね。本問はf(n)=2^n-n^2と置いてΔf(n)の符号変化を見ていけばわかりますね
@@sw108o7 青木先生しか出てこん‥
@@su3861 その通りです笑 はじめて知った時めちゃくちゃ感動しましたw
備忘録70G" 通常
【 y＝ 2^x vs. y＝ x² のグラフの想起、 n＝ 1, 2, 3, ･･･の実験が第1歩 】
⑴ n＝ 1 ･･･① ( 実験で示す ),
⑵ 5 ≦ n ･･･② ( 数学的帰納法で示す )
〖 二項定理は 苦しい 〗
〖 別解 〗技巧的なやり方
x ∈正の実数 のとき、2^x ＝ x² とおくと、
logx／x ＝ log2／2
ここで、f(x)＝ logx／x ( x > 0 ) とおいて、グラフへ･･･
f(2)＝f(4) に注意して、 2^n > n² ⇔ f(n) < f(2)
⇔ n＝1, 5 ≦ n ■
受験生ではないけど初見な感じしなかったからやっぱ色んな旧帝の過去問に触れておくのは大事だなと思った
ツイッターなので高評価
平方根の定理がよくわからない。忘れ切ってもう解らないよ。教えてくれたら、全部一回で理解できる。
学生の時以来勉強してないから、全部忘れた。前に言ってた必要と思わないと覚えない。必要のない人生だったから全部忘れた。
頭だけ切れると自分みたいに知らないのに難問を解く不思議な状態になる。
国語英語数学が、一番ダメだったんだけどね。理科社会は暗記だけすればいい。何も考えなくていい。
グラフ使うのダメなんですか？
微分して単調増加になるからはだめでしょうか？
同じ単調増加関数の間ではもう一個交点を持つ可能性自体はあるので、それだけではダメと思います。
？？？
そうですね。定数分離だと行けますね。対数をとっても良さそうですね。
凸の向きが同じ関数でグラフの議論をするのは結構危ないみたいです。
@@user-changchang なるほどー！考えが甘かったです💦
π^eとe^πに似てると思ったから即logとった
差分でやってみました
学校でやったところだ！！
2^n=(1+1)^nと考えて二項定理を使っても解けますね
既に書いている人がいた…
まじ！！？二項定理でできるの！！？俺、理系だけど、微分と帰納法しか思いつかなかったぜ！
遊んでから帰納法使えば良さげとぱっと見の感想
論述力を含む文章力が証明では必須なんだって話やね。
帰納法の考え方ならば、高校受験生にでも理解できそうだからな。
いちばん基本的なやり方って感じがする
駿台でやったやつだ！
logとってnは自然数だから両辺2nで割ってn log nのグラフで比較するのかとおもた
nに1を代入すると条件を満たす…①
2,3は条件を満たさない…②
4は条件を満たす…③
ここからが本題である。
(n+1)/nはnが大きくなるほど1に近づくのでn>5において再び√2より大きくはならない。
故に左辺>右辺がn>5で成り立つならn+1においても成り立つ…④
n→∞のとき1に収束するから〜は記述としては0点では。
極値を複数個もつ場合√2より大きくなりえます。
あと（n+1）/nがどこから出てきたのか教えて欲しいです
@@user-tokotoko334 nにm=n+1を代入してから両辺の平方根を取ると、左辺が√2倍、右辺が(n+1)/n倍になると考えました。
(n+1)/n=1+(1/n)なので極値が複数はない(直観的には、分子の1がnに比べて相対的に小さくなる)が、答案としては詳しく書かないと零点になりますか。
@@岸辺緑 mは帰納法の仮定で出てくる文字だとすると、m+1を考えた時に両辺平方根付ける（つまり1/2乗ずる）と左辺は√2・2^（1/2m）となるので、√2倍されるわけでは無いですね。
極地に関しても、導関数を書いておかないと。limを根拠にした話は全て偽なので･･･
比率としての増加量を測ってるわけですね。
なかなか面白いと思います。
これメジアンにあった気がする
nが3以上なら、nが1増えるごとに左辺は2倍、右辺は2倍には足りない(2n²>(n+1)²)
どっかで追い越したらおしまい。
うおお横市の小問
高校の時、何かの公式について「どうやって証明する？」って数学担当の先生（学年主任の小煩い小男）がクラスでも順番に当てていって、誰も答えられない中、俺が「数学的帰納法（ビシッ！）」と答えたのが、今思い返せば人生のピークだったなぁ、というそんなガラスのメモリー。
些細なことなのですが、2^5＞5^2と書くより 2^5＝32かつ5^2=25よって2^5＞5^2 と書いたほうがいいのではないでしょうか？
詳しく書くならそうだけど、ここまで来たら単なる数字だからそのまま比較しちゃっても良いと思う
まあ3^10とかでかい数字でやったら勿論ダメだけど
論文、受験においては不要。
進学塾の授業でも不要。
学習塾の授業ならあったほうが親切かな〜程度。
普通にlog(x)/xで解いたわ
類題です。｢2^(n+1)≧n^3をみたす正の整数nをもとめよ。｣
グラフで考えて暗算で行けた
グラフで考えるのはダメですか？
ありです
帰納法で余裕
解いてないけど方針あってた
2^k>k^2ならk>3のとき2^(k+1)>2(k^2)>k^2+3k>k^2+2k+1=(k+1)^2 ではだめなのだろうか？
s^tとt^sを見たら反射的にf(x)=logx/xを考えたくなる
ln n / nのグラフ考えたけど文系の問題だった。
やってみれば京大もこんなもんかって思うよね。
やった、今回は解き方同じだ
2回差分でおわり
二項定理より
黄チャBに似た問題あった！
xが1以上におけるf(x)=2^x/x^2>1の範囲と同値だと考えて
f’=0となるxがあってfが最小値を持つことになるから、あとはx=1～5を入れれば解が出た
で、動画見たら両辺対数とって式変形すれば良いのか、おっさんは感心したよ
自然数nじゃなくて実数xに拡張してから微分して考えるとよい．
2^(1/2) > x^(1/x)
帰納法が最初に思いついたからこれかな
全然微分しようとした
帰納法しか勝たん！
二項定理使って解けそうだなって言うのが最初の印象だった
e^πとπ^eの大小比較の形よく見てたのに関数使って解くやり方出てこなかったのは反省
なんかの問題集（先生のプリントかも）で解いた思い出...(from大学生
高校卒業して40年経つけどこれぐらいなら簡単に解ける．試験だから一番早く解ける数学的帰納法を使う．
京大の文系の問題ってこんなに簡単なの？ 理系の問題はきっともう（絶対に）解けない．ｗｗ
よーしパパ、両辺を1/(2n)乗してy=x^(1/x)の増減を調べちゃうぞー。logを取るのとなんら変わらないという。
これ教科書の問題に数学的帰納法の問題であった
確率の問題でも数学的帰納法は使うな
この問題パスラボでも見たような、気のせいかなw
現在高1こんなのも再来年解くと思うと…((((；ﾟДﾟ))))ｶﾞｸｶﾞｸﾌﾞﾙﾌﾞﾙ
n=3で二項定理で簡単に求められる。
数学5年やってないけどセンスは鈍ってないな