Grand merci Professeur pour ces explications qui nous ont rappelés des propriétés caractéristiques des espaces de banach mais surtout ils ont élucider certaines notions mal comprises en cours de licence et qui nous ont échapper
Enfin bien absorbé ce qu'est un espace de Banach! .. vous prenez le temps pour le faire... et après soixante ans après les derniers cours de taupe, je me sens revenir à jour.
Merci, monsieur, pour tout ce que vous partagez avec nous. Vos cours sont indispensables pour moi. J’ai une question sur l’exemple de l’espace des fonctions continues muni de la norme L1. Pourquoi avez-vous montré que la suite f_n est de Cauchy après avoir montré qu’elle est convergente ? Si j’ai bien compris, la suite f_n converge selon la norme L1, donc c’est une suite de Cauchy pour cette norme, n’est-ce pas ?
Bonjour et désolé de ne pas avoir pu vous répondre plus tôt car il y a des bugs sur TH-cam pour accéder à certains commentaires. Merci également pour votre appréciation. Pour le reste, oui vous avez raison, dès lors que l'on précise que les fonctions continues sont plongées dans L1([-1,+1]) qui est un espace métrique. Comme la limite discontinue est également dans L1([-1,+1]), c'est une suite de Cauchy pour la norme L1. Par contre, si vous considérez dans R^{barre} la suite numérique constitutée de la somme partielle de la série harmonique, S_{n} = 1 + 1/2 +...+ 1/n, elle converge dans R^{barre}, puisque sa limite vaut plus l'infini mais vous ne pouvez pas affirmer que c'est une suite de Cauchy, car R^{barre} n'est pas un espace métrique. D'ailleurs, on peut démontrer directement que ce n'est pas une suite de Cauchy en établissant que S_{2n} - S_{n} > 1/2. J'espère que tout cela vous aidera à fixer vos idées sur la question. Bonne continuation.
Impeccable. Juste un commentaire naïf : il peut être étrange de se dire que les fonctions continues sur un fermé borné ne sont pas un banach pour la norme L1.. car leur norme l1 est finie. Évidemment, il en faut d'autres pour former un banach. Super cours, vraiment agréable.
Merci pour votre commentaire. Il n'y a aucun rapport avec le caractère fini de la norme L1 pour de telles fonctions et le fait qu'il soit complet pour cette même norme. Il n'y a donc aucun étonnement en conséquence.
Monsieur à la minute 29:44 l'existance d'un entier N qui depend de epsilon . 1/epsilon n'est un entier en géneral je pense il faut prendre la partie entière
Bjr, j'aimerais bien savoir du coup la norme pour laquelle la fonction C 0-1 du contre exemple est un espace de Banach !!! Merci pour celui qui me répond.
Merci pour votre appréciation. Les espaces de Sobolev sont des espaces de fonctions qui généralisent ceux des fonctions m-fois dérivables sur Omega, notés C^{m}(Omega), par des fonctions dont toutes les dérivées successives jusqu'à l'ordre m ont leur puissance p-ième intégrables. Ils sont notés W^{m,p}(Omega). Par exemple, ûn cas particulier bien connu est celui des espaces de Sobolev H^{m}(Omega) constitué des fonctions dont les dérivées jusqu'à l'ordre m sont de carré intégrables. Autrement dit, H^{m}(Omega) = W^{m,2}(Omega). Je vous renvoie également au cours 19 du cycle AMEDP où j'initie sur le sujet.
Merci pour votre énorme travail ...je me replonge avec délectation dans toutes ces notions abordées il y a bien longtemps au cours de mes études. Jamais elles ne m'avaient été présentées avec autant de clarté, d'enthousiasme et d'humour...merci et bravo. J'ai une question sur le contre exemple...pourquoi vous sentez-vous vous obligé de démontrer que la suite fn est de Cauchy ? Juste avant, on démontre qu'elle converge...elle est donc forcément de Cauchy, non? Certes dans un espace différent mais elle est forcément de Cauchy dans un certain espace...je dois certainement dire une grosse bêtise mais merci d'éclairer ma lanterne. Très cordialement...
Merci à vous pour votre appréciation. Concernant votre question, j'y répondrai comme suit : En effet, lorsque je motive la construction de la suite fn, automatiquement celle-ci converge simplement vers f. Autrement dit, pour tout x0 fixé dans [-1,+1], fn(x0) converge vers f(x0) dans R. En suivant votre idée, on ne peut dire à ce stade que la suite fn(x0) est de Cauchy dans l'ensemble des nombre réels, (fn est une suite de Cauchy pour la convergence simple). Mais on ne peut pas dire en l'état que la suite fn est de Cauchy pour la norme L1. En fait, il faudrait montrer que la suite fn converge vers f pour la norme L1. Ceci pourrait être établi grâce au théorème de la convergence dominé que je n'évoque pas ici. Dès lors, vous auriez raison, fn serait automatiquement une suite de Cauchy pour la norme L1. J'espère que cela est plus clair à présent. Très cordialement.
@@MathematicsAcademy_MA au risque de paraître lourd je me permets d'insister en reprenant vos termes... "...En fait il faudrait montrer que la suite fn converge vers f au sens de norme L1..." Mais, n'est ce pas très exactement ce que vous venez de faire ? Merci encore...
@@jean-louisbertheas1370 Je viens de revoir la séquence concernée et vous avez totalement raison ! Je ne me souvenais plus que j'avais montré que la suite fn convergeait vers f en norme L1. Du coup, c'est nécessairement une suite de Cauchy pour cette norme et la suite de ma démonstration montre simplement comment établir directement que fn est une suite de Cauchy. J'ai certainement pensé à cela au moment de l'enregistrement. Mais vous avez raison, fondamentalement on peut totalement s'en passer. Merci pour votre commentaire.
je retire ma question. Google me dit que si elle est convergente alors elle est bornee alors que l'inverse n'est pas vrai. Un peu de lecture me fera du bien...
J'ai du mal à saisir votre question. Une manière de définir R est de le considérer comme le complété de Q. Du coup, il contient Q ainsi que toutes les limites des suites de Cauchy de Q qui ne convergent pas dans Q. Rien de plus !
La preuve classique repose sur les séries convergentes dans Lp et le théorème de la convergence monotone que je n'ai pas abordé dans ce cours. Vous en trouverez facilement une version sur le Net.
Salut mon grand maître, j'aime vous appeler ainsi ! Je voudrais savoir la différence entre les intégrales de Riemann et de Lebesgue. Est-il possible de définir un espace de Sobolev dans un environnement flou ?ce engendrerait les espaces de Lebesgue Flous, de Banach Flous,de Hilbert flous et de distribution flous... C'est votre disciple grâce Nkwese licencié en maths pures en République Dominicaine République Passez une exceptionnelle journée mathématiquement
merci de cette vidéo éclairante sur les Banach. Seule la dernière démonstration me laisse un peu perplexe et me semble "tautologique" puisque que l'on définit un ensemble fermé comme contenant les limites de toutes ses suites convergentes (et donc de Cauchy aussi ...). Bon, j'ai dû louper quelque chose. Cordialement.
Dans un sous-ensemble F d'un Banach E, au lieu de considérer toutes les suites convergentes de F et de montrer que leurs limites restent dans F, il suffit de considérer les suites de Cauchy de F qui vont donc converger dans E qui est un Banach (ce qui n'est pas le cas si E n'est pas un Banach) et de montrer que leurs limites restent dans F. J'espère que c'est plus clair à présent.
Il n'est pas nécessaire d'avoir une fonction continue pour avoir le droit d'évaluer sa norme 1 car de nombreuses fonctions discontinues sont Riemann intégrable et à plus forte raison Lebesgue intégrable. Il suffit, pour être simple, qu'elles aient un nombre fini de points de discontinuité.
Vos explications sont claires, et vous êtes facile et agréable à suivre, bravo et merci.
Merci pour votre appréciation.
Grand merci Professeur pour ces explications qui nous ont rappelés des propriétés caractéristiques des espaces de banach mais surtout ils ont élucider certaines notions mal comprises en cours de licence et qui nous ont échapper
Je vous remercie énormément grâce à vous que je pourrai avoir une bonne note aux examens prochains 🥰
C'est vraiment très satisfaisant de savoir que ces cours puissent rendre le service que vous décrivez.
Excellente continuation
Enfin bien absorbé ce qu'est un espace de Banach! .. vous prenez le temps pour le faire... et après soixante ans après les derniers cours de taupe, je me sens revenir à jour.
J'en suis ravi !
Merci, monsieur, pour tout ce que vous partagez avec nous. Vos cours sont indispensables pour moi. J’ai une question sur l’exemple de l’espace des fonctions continues muni de la norme L1. Pourquoi avez-vous montré que la suite f_n est de Cauchy après avoir montré qu’elle est convergente ? Si j’ai bien compris, la suite f_n converge selon la norme L1, donc c’est une suite de Cauchy pour cette norme, n’est-ce pas ?
Bonjour et désolé de ne pas avoir pu vous répondre plus tôt car il y a des bugs sur TH-cam pour accéder à certains commentaires.
Merci également pour votre appréciation.
Pour le reste, oui vous avez raison, dès lors que l'on précise que les fonctions continues sont plongées dans L1([-1,+1]) qui est un espace métrique. Comme la limite discontinue est également dans L1([-1,+1]), c'est une suite de Cauchy pour la norme L1.
Par contre, si vous considérez dans R^{barre} la suite numérique constitutée de la somme partielle de la série harmonique, S_{n} = 1 + 1/2 +...+ 1/n, elle converge dans R^{barre}, puisque sa limite vaut plus l'infini mais vous ne pouvez pas affirmer que c'est une suite de Cauchy, car R^{barre} n'est pas un espace métrique. D'ailleurs, on peut démontrer directement que ce n'est pas une suite de Cauchy en établissant que S_{2n} - S_{n} > 1/2.
J'espère que tout cela vous aidera à fixer vos idées sur la question.
Bonne continuation.
Excellente approche et un cours très clair. Merci
Merci. J'en suis ravi pour vous !
Impeccable. Juste un commentaire naïf : il peut être étrange de se dire que les fonctions continues sur un fermé borné ne sont pas un banach pour la norme L1.. car leur norme l1 est finie. Évidemment, il en faut d'autres pour former un banach.
Super cours, vraiment agréable.
Merci pour votre commentaire.
Il n'y a aucun rapport avec le caractère fini de la norme L1 pour de telles fonctions et le fait qu'il soit complet pour cette même norme. Il n'y a donc aucun étonnement en conséquence.
comment montrer que la suite un que vous avez utilisé au début est de Cauchy svp
Monsieur à la minute 29:44 l'existance d'un entier N qui depend de epsilon . 1/epsilon n'est un entier en géneral je pense il faut prendre la partie entière
Merci des exemples d'Espace de Banach qui sont des exemples d'espace vectoriel normé complet
Bjr, j'aimerais bien savoir du coup la norme pour laquelle la fonction C 0-1 du contre exemple est un espace de Banach !!! Merci pour celui qui me répond.
Merci pour les explications
Avec plaisir !
Mrc ❤
Cest quoi espace de sobolev??
Merci pour votre appréciation.
Les espaces de Sobolev sont des espaces de fonctions qui généralisent ceux des fonctions m-fois dérivables sur Omega, notés C^{m}(Omega), par des fonctions dont toutes les dérivées successives jusqu'à l'ordre m ont leur puissance p-ième intégrables. Ils sont notés W^{m,p}(Omega).
Par exemple, ûn cas particulier bien connu est celui des espaces de Sobolev H^{m}(Omega) constitué des fonctions dont les dérivées jusqu'à l'ordre m sont de carré intégrables. Autrement dit, H^{m}(Omega) = W^{m,2}(Omega).
Je vous renvoie également au cours 19 du cycle AMEDP où j'initie sur le sujet.
vous êtes trop fort!
Merci pour votre appréciation. J'espère que cela vous rend service.
Superbe leçon, merci.
Merci beaucoup !
Merci pour votre énorme travail ...je me replonge avec délectation dans toutes ces notions abordées il y a bien longtemps au cours de mes études.
Jamais elles ne m'avaient été présentées avec autant de clarté, d'enthousiasme et d'humour...merci et bravo.
J'ai une question sur le contre exemple...pourquoi vous sentez-vous vous obligé de démontrer que la suite fn est de Cauchy ? Juste avant, on démontre qu'elle converge...elle est donc forcément de Cauchy, non? Certes dans un espace différent mais elle est forcément de Cauchy dans un certain espace...je dois certainement dire une grosse bêtise mais merci d'éclairer ma lanterne.
Très cordialement...
Merci à vous pour votre appréciation.
Concernant votre question, j'y répondrai comme suit :
En effet, lorsque je motive la construction de la suite fn, automatiquement celle-ci converge simplement vers f. Autrement dit, pour tout x0 fixé dans [-1,+1], fn(x0) converge vers f(x0) dans R. En suivant votre idée, on ne peut dire à ce stade que la suite fn(x0) est de Cauchy dans l'ensemble des nombre réels, (fn est une suite de Cauchy pour la convergence simple). Mais on ne peut pas dire en l'état que la suite fn est de Cauchy pour la norme L1.
En fait, il faudrait montrer que la suite fn converge vers f pour la norme L1. Ceci pourrait être établi grâce au théorème de la convergence dominé que je n'évoque pas ici. Dès lors, vous auriez raison, fn serait automatiquement une suite de Cauchy pour la norme L1.
J'espère que cela est plus clair à présent.
Très cordialement.
@@MathematicsAcademy_MA au risque de paraître lourd je me permets d'insister en reprenant vos termes...
"...En fait il faudrait montrer que la suite fn converge vers f au sens de norme L1..."
Mais, n'est ce pas très exactement ce que vous venez de faire ?
Merci encore...
@@jean-louisbertheas1370 Je viens de revoir la séquence concernée et vous avez totalement raison ! Je ne me souvenais plus que j'avais montré que la suite fn convergeait vers f en norme L1. Du coup, c'est nécessairement une suite de Cauchy pour cette norme et la suite de ma démonstration montre simplement comment établir directement que fn est une suite de Cauchy. J'ai certainement pensé à cela au moment de l'enregistrement.
Mais vous avez raison, fondamentalement on peut totalement s'en passer.
Merci pour votre commentaire.
7:40 covergente et bornee c est pas pareil ?
je retire ma question. Google me dit que si elle est convergente alors elle est bornee alors que l'inverse n'est pas vrai. Un peu de lecture me fera du bien...
Absolument !
Cest quoi un espaces fonctionnelle svp?
C'est un espace vectoriel dont les éléments, (les vecteurs), sont des fonctions
Merci beaucoup svp comment calculer la norme dun operateur
R ne contient-il rien d'autre que le bord Cauchien de Q ? R est-il vraiment entièrement et complètement définit par cette construction ?
J'ai du mal à saisir votre question. Une manière de définir R est de le considérer comme le complété de Q. Du coup, il contient Q ainsi que toutes les limites des suites de Cauchy de Q qui ne convergent pas dans Q. Rien de plus !
merci
comment démontrer que l'espace L^p est complet ?
La preuve classique repose sur les séries convergentes dans Lp et le théorème de la convergence monotone que je n'ai pas abordé dans ce cours.
Vous en trouverez facilement une version sur le Net.
Comment montrer toute ( k^n ||.|| ) est espace de banach ?????
Désolé mais je ne comprends pas votre question. Reformulez la svp
Tout les e.v.n dim finie ==> est un espace de banach
@@abdesslamsoubane4247 Pour des raisons inconnues, TH-cam ne me donnait pas la main pour vous répondre.
Oui tout e.v.n de dimension finie est complet.
@@MathematicsAcademy_MA ok
Salut mon grand maître, j'aime vous appeler ainsi !
Je voudrais savoir la différence entre les intégrales de Riemann et de Lebesgue.
Est-il possible de définir un espace de Sobolev dans un environnement flou ?ce engendrerait les espaces de Lebesgue Flous, de Banach Flous,de Hilbert flous et de distribution flous...
C'est votre disciple grâce Nkwese licencié en maths pures en République Dominicaine République
Passez une exceptionnelle journée mathématiquement
Je ne connais pas la notion d'environnement flou 🙁.
Merci pour votre appréciation et bonne journée
Merci infiniment
Avec plaisir !
merci de cette vidéo éclairante sur les Banach. Seule la dernière démonstration me laisse un peu perplexe et me semble "tautologique" puisque que l'on définit un ensemble fermé comme contenant les limites de toutes ses suites convergentes (et donc de Cauchy aussi ...). Bon, j'ai dû louper quelque chose. Cordialement.
Dans un sous-ensemble F d'un Banach E, au lieu de considérer toutes les suites convergentes de F et de montrer que leurs limites restent dans F, il suffit de considérer les suites de Cauchy de F qui vont donc converger dans E qui est un Banach (ce qui n'est pas le cas si E n'est pas un Banach) et de montrer que leurs limites restent dans F.
J'espère que c'est plus clair à présent.
@@MathematicsAcademy_MA Effectivement, je vois maintenant la subtilité de cette démonstration. Bien cordialement.
Comment avez vous le droit d' ecrire norme 1 de f_n -f où f n'est pas continues !!!!!!!!!!!!!!
Il n'est pas nécessaire d'avoir une fonction continue pour avoir le droit d'évaluer sa norme 1 car de nombreuses fonctions discontinues sont Riemann intégrable et à plus forte raison Lebesgue intégrable. Il suffit, pour être simple, qu'elles aient un nombre fini de points de discontinuité.
R est complet mais ce n'est pas un espace vectoriel.
Euh. Il y a un bug... R est l'espace vectoriel par excellence !!!
Pourquoi ne le voyez vous pas comme un e.v ?
Est- qu'ont ne peut pas dire qu'un fermé dans un complet est complet !
Oui si c'est un sous-espace vectoriel fermé