Oui c'est vrai que l'astuce consiste bien, comme on le dit souvent, à sortir du cadre. Mais là, c'est une magnifique démonstration de ce principe (obtenir un polynôme en lamda^2 puis jouer avec le discriminant). A montrer dans tous les cours ou les séminaires où l'on parle d'innovation...Cdt.
Merci pour ces explications: Si E et F sont des espaces de Banach, est ce qu'on peut affirmer que le résultat: L(E,F) est un espace de Banach est une conséquence d'un corollaire du théorème de Banach Steinhaus à savoir: Soit E un espace de Banach et F un espace normé. Soit (T_n) une suite dans L(E,F) tel que T_n(x) cv vers T(x) Alors, sup||T_n|| est fini et T dans L(E,F).
Bonjour. Afin d’établir que L(E,F) est un Banach, il n’est pas nécessaire d’imposer à E d’être lui-même un Banach. Ce qui est le cas dans le corollaire du théorème de Banach-Steinhaus. Autrement dit, vous considérez un sous-espace de L(E,F) en éliminant de facto toutes les applications linéaires continues d’un e.v normé E non complet à valeurs dans un Banach F. Pour autant, dans ce cadre restrictif, si vous reprenez ma démonstration avec votre hypothèse que E est également un Banach, en considérant une suite de Cauchy d’applications linéaires Tn dans L(E,F), on a établi que la suite (Tn(x)) est de Cauchy dans F, donc convergente vers T(x). Par application du corollaire précité, vous concluez que la suite Tn converge donc vers T qui appartient à L(E,F). Pour conclure, faut-il encore montrer que cette convergence a lieu pour la norme des applications linéaires continues de E dans F, à savoir : lim |||Tn-T||| =0.
Bonjour professeur et merci pour cette superbe vidéo. Je n'arrivais pas à m'empêcher pour signaler une erreur de "frappe". Dans II.2) il fallait écrire Inégalité de Cauchy-Schwarz, et pas Cauchy-Scwhartz (sans t), car il s'agit du mathématicien allemand : Hermann Amandus Schwarz et pas du mathématicien français Laurent Scwhartz. Merci et bonne continuation, vos cours sont au top !!!!
Merci infiniment monsieur.
Merci pour ces explications
Avec plaisir !
Magnifique
Merci !
Merci !
Oui c'est vrai que l'astuce consiste bien, comme on le dit souvent, à sortir du cadre. Mais là, c'est une magnifique démonstration de ce principe (obtenir un polynôme en lamda^2 puis jouer avec le discriminant). A montrer dans tous les cours ou les séminaires où l'on parle d'innovation...Cdt.
Merci à vous 😊
Merci pour ces explications: Si E et F sont des espaces de Banach, est ce qu'on peut affirmer que le résultat: L(E,F) est un espace de Banach est une conséquence d'un corollaire du théorème de Banach Steinhaus à savoir: Soit E un espace de Banach et F un espace normé. Soit (T_n) une suite dans L(E,F) tel que T_n(x) cv vers T(x) Alors, sup||T_n|| est fini et T dans L(E,F).
Bonjour. Afin d’établir que L(E,F) est un Banach, il n’est pas nécessaire d’imposer à E d’être lui-même un Banach. Ce qui est le cas dans le corollaire du théorème de Banach-Steinhaus. Autrement dit, vous considérez un sous-espace de L(E,F) en éliminant de facto toutes les applications linéaires continues d’un e.v normé E non complet à valeurs dans un Banach F.
Pour autant, dans ce cadre restrictif, si vous reprenez ma démonstration avec votre hypothèse que E est également un Banach, en considérant une suite de Cauchy d’applications linéaires Tn dans L(E,F), on a établi que la suite (Tn(x)) est de Cauchy dans F, donc convergente vers T(x). Par application du corollaire précité, vous concluez que la suite Tn converge donc vers T qui appartient à L(E,F). Pour conclure, faut-il encore montrer que cette convergence a lieu pour la norme des applications linéaires continues de E dans F, à savoir : lim |||Tn-T||| =0.
@@MathematicsAcademy_MA OK un grand merci
Bonjour professeur et merci pour cette superbe vidéo. Je n'arrivais pas à m'empêcher pour signaler une erreur de "frappe". Dans II.2) il fallait écrire Inégalité de Cauchy-Schwarz, et pas Cauchy-Scwhartz (sans t), car il s'agit du mathématicien allemand : Hermann Amandus Schwarz et pas du mathématicien français Laurent Scwhartz. Merci et bonne continuation, vos cours sont au top !!!!
Merci pour votre message.
Pour l'orthographe, vous avez parfaitement raison !
Au passage, il s'agit de Laurent Schwartz et non de Scwhartz....
Merci bq