Bonsoir, pourquoi le convexe doit être fermé dans le théorème de projection ? (Est ce que dû au théorème du graphe fermé qui va entrainer la continuité de l'application projecteur? )
Je vous remercie tout d’abord pour cette série de cours très utile. J’ai une question : à la minute 32:43, il est préférable d’écrire il existe un z dans K tel-que y=... plutôt que pour tout z non? (pour pouvoir remplacer y par l’expression donnée) Si ce n’est pas le cas, je ne comprends pas pourquoi cette proposition est vraie (quelque soit y dans K on peut l’écrire d’une telle manière pour n’importe quelle z de K). Merci.
Bonjour. L'idée est que lorsque vous prenez deux éléments quelconque d'un convexe K, vous pouvez former la combinaison convexe de ces deux éléments. Autrement dit, pour tout z dans K, étant donné que xc est aussi dans K, y=tz +(1-t)xc est dans K. Ce "y" particulier peut alors remplacer le "y" générique dans toute formule qui concerne un élément "y" dans K. C'est ce que je fais ensuite.
@@MathematicsAcademy_MA ah d’accord j’avais compris vous vouliez dire que la proposition est vraie pour tout y. Donc si j’ai bien compris : on prend un y qui peut s’écrire d’une telle façon ( y = tz+(1-t)k ) ‘’ ce qui est valable pour tous les y dans K ‘’, et on travaille toute la démonstration avec. C’est bien ça ?
Je dirai comme dans ma précédente réponse et comme dans le cours, à savoir, je considère une combinaison convexe entre un élément quelconque z de K et xc qui est aussi dans K, et j'applique à cette combinaison convexe toute propriété valable pour des éléments de K.
Bonjour à tous. S'il vous plaît, pourquoi il est nécessaire que l'ensemble soit convexe et fermé ? S'il n'est pas convexe, que se passe-t-il ? Et s'il n'est pas fermé ? Merci
Bonjour. J'arrive un peu tard dans la bataille, mais je me suis posé la même question. De ce que je comprends, la fermeture du sous-ensemble assure sa complétude, ce qui est nécessaire pour assurer l'existence et l'unicité du projeté. La démonstration n'est pas faite ici, mais elle fait intervenir le théorème des fermés emboîtés, lequel nécessite bien sûr la fermeture. La convexité quant-à elle, est utilisée dans la démonstration de l'inégalité qui démarre à 32:14.
La fermeture assure l'existence du projeté tandis que la convexité permet d'obtenir l'unicité (il suffit d'imaginer un fermé en forme d'étoile pour se rendre compte que sans convexité le projeté n'a pas de raison d'être unique).
Rebonjour professeur, au début(vers 12min50s), vous dites qu'il est évident que phi est définie. C' est facile dans C° ( l'intégrale d'une fonction positive non nulle et continue entraine qu'elle est non nulle sur un intervalle ouvert de longueur > 0 et donc l'intégrale est > 0,) mais pourquoi est-ce aussi facile avec une fonction dans L2? L'argument de continuité ne pouvant s'appliquer, quel argument utilisez-vous?
Si l'on prend f la fonction nulle sur [o,1] en dehors de 1/2 et valant par exemple 1 en 1/2 alors elle est de carré intégrable et dont l'intégrale du carré est nulle, pour tant, f n'est pas nulle. êtes -vous d'accord?
Bonjour à vous. Dans le cas où vous avez des fonctions dans L2 qui ne sont pas dans C° il faut faire appel à l'intégrale de Lebesgue dont l'une des propriétés de base conduit au résultat en question. C'est sûr que pour un public qui ne connait pas la théorie de l'intégration de Lebesgue, il manque un cycle de cours sur ce sujet. Peut-être à faire dans le futur...
@@pascalmathieu2442 C'est cela même. Lorsqu'on dit f=0, cela correspond à la classe de fonctions nulles presque partout. Autrement dit, ces fonctions sont égales à zéro sauf sur un ensemble de mesure nulle.
Bonsoir, iI me semble qu'il faudrait dire quelque soit x appartenant à H\K (H moins K, car K est inclus dans H) sinon xc n'est pas forcément unique pour un convexe fermé. Merci beaucoup !...
@@MathematicsAcademy_MA Merci pour votre réponse, ce qui m'a induit en erreur c'est la représentation géométrique, car lorsque x n'appartient pas à K il se projette en xc qui est sur la frontière de K (c'est la distance la plus courte entre x et K, ||x-xc|| est minimale), alors que lorsque x appartient à K il se projette sur lui même (||x-xc||=0 est donc minimale aussi) d'où xc=x. Un grand merci !...
@@sbitikhalid3562 C'est exactement cela. Désolé pour la représentation géométrique mais on ne sait guère mieux pour représenter l'infini (la dimension d'un espace de Hilbert quelconque) par le fini (celle du plan) !
Fantastique! Merci mille fois.
Avec grand plaisir !
merci infiniment monsieur.
est-ce que un sous espace vectoriel d'un Hilbert n'est-il pas nécessairement fermé ?
Bonsoir, pourquoi le convexe doit être fermé dans le théorème de projection ? (Est ce que dû au théorème du graphe fermé qui va entrainer la continuité de l'application projecteur? )
Omission d’un carré à la ligne écrite à 37:30. Brainstorming intéressant soit dit en passant
Merci pour votre vigilance. Je viens d'ajouter un sous-titre correctif sur place.
Au sujet de l’addendum : Ne suffisait-il pas de rappeler que la racine de phi donne bien la norme en question sur l’espace E ?
Par racine de phi, j’entends (phi(x,x))^1/2
Cela ne suffit pas pour garantir que phi satisfait les propriétés d'un produit scalaire, ce qui est l'enjeu de la démonstration.
Magnifique!
Je vous remercie tout d’abord pour cette série de cours très utile.
J’ai une question :
à la minute 32:43, il est préférable d’écrire il existe un z dans K tel-que y=... plutôt que pour tout z non? (pour pouvoir remplacer y par l’expression donnée)
Si ce n’est pas le cas, je ne comprends pas pourquoi cette proposition est vraie (quelque soit y dans K on peut l’écrire d’une telle manière pour n’importe quelle z de K).
Merci.
Bonjour. L'idée est que lorsque vous prenez deux éléments quelconque d'un convexe K, vous pouvez former la combinaison convexe de ces deux éléments. Autrement dit, pour tout z dans K, étant donné que xc est aussi dans K, y=tz +(1-t)xc est dans K. Ce "y" particulier peut alors remplacer le "y" générique dans toute formule qui concerne un élément "y" dans K. C'est ce que je fais ensuite.
@@MathematicsAcademy_MA ah d’accord j’avais compris vous vouliez dire que la proposition est vraie pour tout y.
Donc si j’ai bien compris : on prend un y qui peut s’écrire d’une telle façon ( y = tz+(1-t)k ) ‘’ ce qui est valable pour tous les y dans K ‘’, et on travaille toute la démonstration avec. C’est bien ça ?
Je dirai comme dans ma précédente réponse et comme dans le cours, à savoir, je considère une combinaison convexe entre un élément quelconque z de K et xc qui est aussi dans K, et j'applique à cette combinaison convexe toute propriété valable pour des éléments de K.
@@MathematicsAcademy_MA Merci beaucoup ! Très bien compris.
Super
Bonjour à tous.
S'il vous plaît, pourquoi il est nécessaire que l'ensemble soit convexe et fermé ?
S'il n'est pas convexe, que se passe-t-il ?
Et s'il n'est pas fermé ?
Merci
Bonjour. J'arrive un peu tard dans la bataille, mais je me suis posé la même question. De ce que je comprends, la fermeture du sous-ensemble assure sa complétude, ce qui est nécessaire pour assurer l'existence et l'unicité du projeté. La démonstration n'est pas faite ici, mais elle fait intervenir le théorème des fermés emboîtés, lequel nécessite bien sûr la fermeture. La convexité quant-à elle, est utilisée dans la démonstration de l'inégalité qui démarre à 32:14.
La fermeture assure l'existence du projeté tandis que la convexité permet d'obtenir l'unicité (il suffit d'imaginer un fermé en forme d'étoile pour se rendre compte que sans convexité le projeté n'a pas de raison d'être unique).
Rebonjour professeur, au début(vers 12min50s), vous dites qu'il est évident que phi est définie. C' est facile dans C° ( l'intégrale d'une fonction positive non nulle et continue entraine qu'elle est non nulle sur un intervalle ouvert de longueur > 0 et donc l'intégrale est > 0,) mais pourquoi est-ce aussi facile avec une fonction dans L2?
L'argument de continuité ne pouvant s'appliquer, quel argument utilisez-vous?
Si l'on prend f la fonction nulle sur [o,1] en dehors de 1/2 et valant par exemple 1 en 1/2 alors elle est de carré intégrable et dont l'intégrale du carré est nulle, pour tant, f n'est pas nulle.
êtes -vous d'accord?
Bonjour à vous. Dans le cas où vous avez des fonctions dans L2 qui ne sont pas dans C° il faut faire appel à l'intégrale de Lebesgue dont l'une des propriétés de base conduit au résultat en question.
C'est sûr que pour un public qui ne connait pas la théorie de l'intégration de Lebesgue, il manque un cycle de cours sur ce sujet. Peut-être à faire dans le futur...
@@MathematicsAcademy_MA En fait, si je me souvient, f est nulle presque partout, c'est ainsi qu'il faut l'entendre?
*souviens
@@pascalmathieu2442 C'est cela même. Lorsqu'on dit f=0, cela correspond à la classe de fonctions nulles presque partout. Autrement dit, ces fonctions sont égales à zéro sauf sur un ensemble de mesure nulle.
Bonsoir, iI me semble qu'il faudrait dire quelque soit x appartenant à H\K (H moins K, car K est inclus dans H) sinon xc n'est pas forcément unique pour un convexe fermé. Merci beaucoup !...
Bonjour. Je ne comprends pas votre question. Si x appartient à K alors xc=x ....donc unique également 😎
@@MathematicsAcademy_MA Merci pour votre réponse, ce qui m'a induit en erreur c'est la représentation géométrique, car lorsque x n'appartient pas à K il se projette en xc qui est sur la frontière de K (c'est la distance la plus courte entre x et K, ||x-xc|| est minimale), alors que lorsque x appartient à K il se projette sur lui même (||x-xc||=0 est donc minimale aussi) d'où xc=x. Un grand merci !...
@@sbitikhalid3562 C'est exactement cela. Désolé pour la représentation géométrique mais on ne sait guère mieux pour représenter l'infini (la dimension d'un espace de Hilbert quelconque) par le fini (celle du plan) !
Merci beaucoup
super merci beaucoup
Suppppper, Merci Bq