Ho l'impressione che i ragazzini siano stati mandati in crisi dalla palese mancaza di proporzione fra il segmento lungo 4 e quello lungo 2: magari molti si fossilizzano su questa incongruenza (non essendo abituati ad astrarre), e vanno in confuzione alla ricerca di chissà quale esotica soluzione che vada a risolvere il problema.
Forse agli alunni era richiesta una cosa più semplice, tipo: se la somma dei due segmenti AK e BH vale 6, come la distanza HK, si può intuire una possibile congruenza dei triangoli OKA e OHB, da cui la soluzione immediata (OK=BH e OH=AK).
Fatto bene il disegno, si può risolvere anche col teorema di Pitagora, applicato una prima volta per trovare il segmento AB, ipotenusa del triangolo con base 6 ed altezza data dalla differenza dei due segmenti paralleli di 4 e 2, e riapplicando Pitagora con incognita X sui due raggi che sono cateti del triangolo AOB. RISULRATO 4,47….
Alla fine della terza media si arriva con fatica alla soluzione delle equazioni di primo grado e a malapena ad alcuni semplici problemi risolvibili con equazioni di primo grado. É un esercizio un po' al di sopra dei traguardi delle competenze al termine del I Ciclo.
Il fatto che il disegno non sia perfetto lo ritengo uno stimolo all'astrazione, che poi è un un obbiettivo importante Anche perché rende espone gli studenti al rischio di bloccarsi quando il disegno gli viene male. Aggiungo che vedere un paio di x al quadrato può aver intimorito qualche studente, mentre invece " ci voleva fede" che si sarebbero annullate.
Per ottenere, con Pitagora, in entrambi i triangoli il medesimo risultato (lunghezza del raggio), necessariamente i cateti devono essere a due a due congruenti: 4 e 2; 2 e 4. Difatti la loro somma è 6. Conseguentemente, è un normale quesito da prova Invalsi di terza media (tranne, che, probabilmente, avrebbero usato una terna).
Com'è cambiata la scuola in 35 anni. Io alle medie non facevo queste cose. Il massimo della Geometria era risolvere i solidi. Ovviamente in alucni casi chiedevano il volume, in altri casi altre misure. In altre situazioni c'erano solidi appoggiati su altri solidi.
C'è da dire che la circonferenza è il primo argomento che si fa ad inizio anno, mentre il quadrato del binomio è le equazioni si fanno molto più avanti. Non so quando sia stato proposto il problema, ma forse non tutti avevano gli strumenti necessari a disposizione.
grazie per aiutarmi a rimuovere un po' di ruggine dai neuroni |||| ti faccio appunto solo per la grafica che non mostra correttamente AK= cm 4 e BH = AK/2 = cm 2 sembrando alla vista BK troppo lungo rispetto ad AK, ma è superfluo, ovviamente, sempre che ai ragazzi non fosse mostrato lo stesso disegno sproporzionato !
Qualche mio alunno di seconda superiore ha osservato che il trapezio rettangolo AKHB è inscritto in una semicirconferenza e che AOB è un triangolo rettangolo isoscele, dove il quadrato dell'ipotenusa vale 40, per cui il quadrato di ciascun cateto vale 20. Non penso, però, che questo tipo di approccio sia alla portata di uno studente di terza media.
Ma perché il triangolo AOB (che è sicuramente isoscele) è anche rettangolo? È evidente che è anche rettangolo, dato che il quadrato della ipotenusa è pari alla somma dei quadrati dei cateti, ma è dovuto al caso oppure lo è per costruzione o proprietà?
Oltre al teorema di Pitagora (che conferma l'angolo retto in O) si potrebbero considerare le rette AO e BO come bisettrici degli angoli in A e B del trapezio rettangolo AKHB (angoli supplementari per costruzione, essendo AB il lato obliquo di detto trapezio). Gli angoli dati dalle bisettrici di angoli supplementari sono, evidentemente, complementari.
Non so dove di trova "questa" terza media in cui 3 studenti sono riusciti a risolvere questo problema ma, da quello che ho potuto verificare in prima superiore, difficilmente uno studente di 14 anni riuscirebbe ad impostare quella equazione e a risolverla correttamente se non "guidato".
esatto, questo è fondamentalmente un sistema di 2 equazioni con 2 incognite , anzi , in partenza sono 3 equazioni con 3 incognite KO, HO, AO (=BO) . Non lo credo a livello di scuola media.
Le uniche radici che mi ricordo alle medie sono quelle cacciate da un qualche tubero o leguminosa che la prof di scienze ci fece portare in classe per fare un esperimento. Non ricordo nessun Pitagora.
Carissimi il problema è di una semplicità disarmante. Ci siamo dimenticati di uno dei criteri di uguaglianza dei triangoli!!! Due triangoli che abbiano un lato e l'angolo opposto uguali sono uguali, non simili o congruenti, ma uguali!!! I due triangoli rettangoli rappresentati hanno i due cateti noti (4, 2) chiamiamo Pitagora e abbiamo fatto! Senza equazioni, senza prodotti notevoli e altre pipe mentali. Le tabelline!!! 2×2=4, 4×4=16. 16+4=20 Questa è la superficie del quadrato costruito sull'ipotenusa (raggio del semicerchio). Quindi il raggio vale la radice quadrata di 20. E un problema adatto ad alunni di terza media a cui abbiano insegnato a pensare. Cosa che la Scuola in Italia non fa più da troppi anni !!
Secondo me il disegno e fatto male. Xchè ? Xchè se faremo una linea parallela dal punto B verso KA quell' segmento non si divide in due parti uguali. Almeno come e fatto il disegno. Per il resto soluzione e perfetto. Un' disegno se non e fatto bene mette in difficoltà qualunque.
Esatto.Hanno tutti e tre i lati congruenti. L’angolo BOH è la metà dell’angolo AOK in quanto al lato AK che misura 4 corrisponde angolo doppio del lato BH che misura 2 (che è la metà di 4) e pertanto i due triangoli rettangoli sono congruenti per il III criterio di congruenza. AK=OH= 4 e BH=OK = 2. Infatti poi OK+OH = 4+2=6 Con il TdP si trova facilmente che OB=OA = SQR(20) = circa 4,5
@@andreapolert7180quanto hai detto è intuitivo ma non è una dimostrazione geometrica bensì qualcosa che ricorda la trigonometria. Ricorda in quanto non è che a lato doppio corrisponda angolo doppio.
Io non ricordo mica di aver fatto robe così alle medie. Però oggia ho ragionato in altra maniera, forse sbagliata: una volta definito che il raggio è l'ipotenusa di due triangoli rettangoli e ho di ciascuno un cateto, conseguentemente non ho immediatamente anche l'altro di ciascuno dei due? E quindi ricavo l'ipotenusa che è il raggio del cerchio.
Un problema di geometria deve essere risolvibile anche con strumenti da disegno geometrico, in quanto tale. Porre un quesito geometrico con un disegno sproporzionato è da incompetenti.
è un sistema di equazioni, nemmeno lineari per giunta, con il metodo del confornto da te usato per risolverlo, ce la si può facilmente cavare perchè le incognite di secondo grado si elidono a vicenda, e una volta trovata la x, basta sostituirla nelle equazioni delle ipotenuse, e trovarle senza sforzi, evitando quindi di disturbare il buon pitagora. Credo proprio che i ragazzi non siano riusciti a risolverlo perchè pensavano di dover affrontare un problema di geometria piana, e invece, hanno avuto un assaggio di geometria analitica. Credo proprio che un mestierante sarebbe riuscito ad inventare il disegnino partendo dal sistema...
@@matteocitro9373 Una volta era come dici tu, oggi la programmazione prevede di saper fare semplici prodotti notevoli, come quadrato e cubo di binomio, somma di 2 termini uguali per la loro differenza. Almeno questi ci sono nel programma. Poi se in alcune classi non si arriva a farli, questo è un altro discorso. Di certo se li hanno assegnati, sicuramente li avranno spiegati. Non credo che qualcuno assegni esercizi su cose non spiegate.
@@schematism Assolutamente no. È l'esatto contrario. Prima si fanno i prodotti notevoli, poi la fattorizzazione dei polinomi. In tutte le scuole la programmazione prevede prima il calcolo polinomiale insieme ai prodotti notevoli. Dopo si inizia la fattorizzazione dei polinomi. Ho girato ben 13 scuole da precario. Inoltre il calcolò polinomiale di base e prodotti notevoli fondamentali si fanno già in terza media (quadrato di binomio, cubo di binomio e somma di due termini uguali per la loro differenza). Poi alle superiori si fanno in modo più approfondito, ovviamente...
In geometria la prima regola da rispettare per un docente dovrebbe essere quella di riportare la figura geometrica fedele e proporzionale alle misure indicate. Altrimenti diventa fuorviante. Non mi pare che le rette di 4 e 2 cm lo siano.
in terza media queste cose mai viste neanche da lontano , un po complicate da spiegare a ragazzini di 13 anni , meglio fare cose più semplici ed impegnarsi meno possibile in attesa del 28 del mese ....vero professor Tapparo che ormai sarai in pensione .
![Problemi di geometria, SVELATO IL METODO per PRIMA, SECONDA e TERZA media [Anteprima per genitori]](/img/n.gif)
Stimolante questo problema! Grazie 😊
Ho l'impressione che i ragazzini siano stati mandati in crisi dalla palese mancaza di proporzione fra il segmento lungo 4 e quello lungo 2: magari molti si fossilizzano su questa incongruenza (non essendo abituati ad astrarre), e vanno in confuzione alla ricerca di chissà quale esotica soluzione che vada a risolvere il problema.
Se il disegno esatto risolve metà del problema, va detto che i segmenti verticali di 4 e 2 cm sono tracciati incongruentemente.
E' la prima cosa che ho notato...Incompetenti!
....e quotati peggio... ( Lo dico da disegnatore CAD).
Forse agli alunni era richiesta una cosa più semplice, tipo: se la somma dei due segmenti AK e BH vale 6, come la distanza HK, si può intuire una possibile congruenza dei triangoli OKA e OHB, da cui la soluzione immediata (OK=BH e OH=AK).
si può anche porre il raggio =x e risolvere col teorema di pitagora e il prodotto notevole (a-b)(a+b) stesso risultato
Fatto bene il disegno, si può risolvere anche col teorema di Pitagora, applicato una prima volta per trovare il segmento AB, ipotenusa del triangolo con base 6 ed altezza data dalla differenza dei due segmenti paralleli di 4 e 2, e riapplicando Pitagora con incognita X sui due raggi che sono cateti del triangolo AOB. RISULRATO 4,47….
Alla fine della terza media si arriva con fatica alla soluzione delle equazioni di primo grado e a malapena ad alcuni semplici problemi risolvibili con equazioni di primo grado. É un esercizio un po' al di sopra dei traguardi delle competenze al termine del I Ciclo.
Il fatto che il disegno non sia perfetto lo ritengo uno stimolo all'astrazione, che poi è un un obbiettivo importante
Anche perché rende espone gli studenti al rischio di bloccarsi quando il disegno gli viene male.
Aggiungo che vedere un paio di x al quadrato può aver intimorito qualche studente, mentre invece " ci voleva fede" che si sarebbero annullate.
Per ottenere, con Pitagora, in entrambi i triangoli il medesimo risultato (lunghezza del raggio), necessariamente i cateti devono essere a due a due congruenti: 4 e 2; 2 e 4. Difatti la loro somma è 6. Conseguentemente, è un normale quesito da prova Invalsi di terza media (tranne, che, probabilmente, avrebbero usato una terna).
Com'è cambiata la scuola in 35 anni. Io alle medie non facevo queste cose. Il massimo della Geometria era risolvere i solidi. Ovviamente in alucni casi chiedevano il volume, in altri casi altre misure. In altre situazioni c'erano solidi appoggiati su altri solidi.
C'è da dire che la circonferenza è il primo argomento che si fa ad inizio anno, mentre il quadrato del binomio è le equazioni si fanno molto più avanti. Non so quando sia stato proposto il problema, ma forse non tutti avevano gli strumenti necessari a disposizione.
@@robertamazzucco è stato fatto nel mese di maggio a ragazzi di terza media
@fotimath Allora, sì, potevano risolverlo. Non facile, comunque.
Non è un problema da terza media, che abbiano fatto o meno i prodotti notevoli.
grazie per aiutarmi a rimuovere un po' di ruggine dai neuroni |||| ti faccio appunto solo per la grafica che non mostra correttamente AK= cm 4 e BH = AK/2 = cm 2 sembrando alla vista BK troppo lungo rispetto ad AK, ma è superfluo, ovviamente, sempre che ai ragazzi non fosse mostrato lo stesso disegno sproporzionato !
Meglio se sproporzionato, se fosse in proporzione si verrebbe più facilmente ingannati
Qualche mio alunno di seconda superiore ha osservato che il trapezio rettangolo AKHB è inscritto in una semicirconferenza e che AOB è un triangolo rettangolo isoscele, dove il quadrato dell'ipotenusa vale 40, per cui il quadrato di ciascun cateto vale 20. Non penso, però, che questo tipo di approccio sia alla portata di uno studente di terza media.
Ma perché il triangolo AOB (che è sicuramente isoscele) è anche rettangolo? È evidente che è anche rettangolo, dato che il quadrato della ipotenusa è pari alla somma dei quadrati dei cateti, ma è dovuto al caso oppure lo è per costruzione o proprietà?
Oltre al teorema di Pitagora (che conferma l'angolo retto in O) si potrebbero considerare le rette AO e BO come bisettrici degli angoli in A e B del trapezio rettangolo AKHB (angoli supplementari per costruzione, essendo AB il lato obliquo di detto trapezio). Gli angoli dati dalle bisettrici di angoli supplementari sono, evidentemente, complementari.
Non so dove di trova "questa" terza media in cui 3 studenti sono riusciti a risolvere questo problema ma, da quello che ho potuto verificare in prima superiore, difficilmente uno studente di 14 anni riuscirebbe ad impostare quella equazione e a risolverla correttamente se non "guidato".
Il problema è che i prodotti notevoli si studiano il primo anno!
@@schematism si possono fare come semplici moltiplicazioni.
Forse quei tre ragazzi hanno frequentato un corso di potenziamento.
@@Johanbetter2332, non mi ricordo cosa facemmo alle medie, ormai sono passati 25 anni, ma un'operazione del genere sarebbe stata impensabile.
esatto, questo è fondamentalmente un sistema di 2 equazioni con 2 incognite , anzi , in partenza sono 3 equazioni con 3 incognite KO, HO, AO (=BO) . Non lo credo a livello di scuola media.
Le uniche radici che mi ricordo alle medie sono quelle cacciate da un qualche tubero o leguminosa che la prof di scienze ci fece portare in classe per fare un esperimento.
Non ricordo nessun Pitagora.
Carissimi il problema è di una semplicità disarmante.
Ci siamo dimenticati di uno dei criteri di uguaglianza dei triangoli!!!
Due triangoli che abbiano un lato e l'angolo opposto uguali sono uguali, non simili o congruenti, ma uguali!!!
I due triangoli rettangoli rappresentati hanno i due cateti noti (4, 2) chiamiamo Pitagora e abbiamo fatto!
Senza equazioni, senza prodotti notevoli e altre pipe mentali.
Le tabelline!!!
2×2=4, 4×4=16.
16+4=20
Questa è la superficie del quadrato costruito sull'ipotenusa (raggio del semicerchio).
Quindi il raggio vale la radice quadrata di 20.
E un problema adatto ad alunni di terza media a cui abbiano insegnato a pensare.
Cosa che la Scuola in Italia non fa più da troppi anni !!
Secondo me il disegno e fatto male. Xchè ? Xchè se faremo una linea parallela dal punto B verso KA quell' segmento non si divide in due parti uguali. Almeno come e fatto il disegno. Per il resto soluzione e perfetto. Un' disegno se non e fatto bene mette in difficoltà qualunque.
Un po' difficile per le scuole medie. Più adatto al primo biennio scuole superiori
addirittura......facciamoli fare all'Università'. Ma dai.....
Io ho fatto le medie una cinquantina di anni fa e sicuramente sarei riuscito a risolverlo.
Adesso non ho idea di cosa facciano i ragazzi a scuola.
Secondo me era richiesta una soluzione per via geometrica dato che i due triangoli sono congruenti
Esatto.Hanno tutti e tre i lati congruenti. L’angolo BOH è la metà dell’angolo AOK in quanto al lato AK che misura 4 corrisponde angolo doppio del lato BH che misura 2 (che è la metà di 4) e pertanto i due triangoli rettangoli sono congruenti per il III criterio di congruenza. AK=OH= 4 e BH=OK = 2. Infatti poi OK+OH = 4+2=6 Con il TdP si trova facilmente che OB=OA = SQR(20) = circa 4,5
@@andreapolert7180quanto hai detto è intuitivo ma non è una dimostrazione geometrica bensì qualcosa che ricorda la trigonometria. Ricorda in quanto non è che a lato doppio corrisponda angolo doppio.
Probabilmente con i teoremi sulle corde si poteva risolvere con una proporzione e la proprietà associativa
Io non ricordo mica di aver fatto robe così alle medie. Però oggia ho ragionato in altra maniera, forse sbagliata: una volta definito che il raggio è l'ipotenusa di due triangoli rettangoli e ho di ciascuno un cateto, conseguentemente non ho immediatamente anche l'altro di ciascuno dei due?
E quindi ricavo l'ipotenusa che è il raggio del cerchio.
Un problema di geometria deve essere risolvibile anche con strumenti da disegno geometrico, in quanto tale. Porre un quesito geometrico con un disegno sproporzionato è da incompetenti.
Dio santo, ma il secondo teorema di Euclide?
Alle scuole medie non studiano i teoremi di Euclide. Solo Pitagora
@fotimath Male.
Bello.
è un sistema di equazioni, nemmeno lineari per giunta, con il metodo del confornto da te usato per risolverlo, ce la si può facilmente cavare perchè le incognite di secondo grado si elidono a vicenda, e una volta trovata la x, basta sostituirla nelle equazioni delle ipotenuse, e trovarle senza sforzi, evitando quindi di disturbare il buon pitagora.
Credo proprio che i ragazzi non siano riusciti a risolverlo perchè pensavano di dover affrontare un problema di geometria piana, e invece, hanno avuto un assaggio di geometria analitica.
Credo proprio che un mestierante sarebbe riuscito ad inventare il disegnino partendo dal sistema...
Chat GPT conferma 😂 ~4,47cm?
Congratulations
Dopo 3 minuti ancora devi partire
Caro prof Foti stavolta credo che non hai detto bene, perché i ragazzi di III media non sanno fare il quadrato del binomio.
@@matteocitro9373 Una volta era come dici tu, oggi la programmazione prevede di saper fare semplici prodotti notevoli, come quadrato e cubo di binomio, somma di 2 termini uguali per la loro differenza. Almeno questi ci sono nel programma. Poi se in alcune classi non si arriva a farli, questo è un altro discorso. Di certo se li hanno assegnati, sicuramente li avranno spiegati. Non credo che qualcuno assegni esercizi su cose non spiegate.
Per le medie è un quesito troppo complesso
Sarebbe abbastanza facile per la terza media?? 😂
Problema di più facile soluzione, se fosse stato posto in modo più preciso
Scusate, ma in terza media fanno i prodotti notevoli?
Oggi, si.
@fotimath , deve essere da questi ultimi tre anni, perché la fattorizzazione dei polinomi è un argomento del primo anno.
@schematism qua non serve la fattorizzazione dei polinomi, ma solo lo sviluppo di un semplice prodotto notevole, ovvero il quadrato del binomio
@@fotimath, sì, lo so. Ma, i prodotti notevoli sono introdotti nel biennio dopo la fattorizzazione in polinomi, siccome sono un caso particolare.
@@schematism Assolutamente no. È l'esatto contrario. Prima si fanno i prodotti notevoli, poi la fattorizzazione dei polinomi. In tutte le scuole la programmazione prevede prima il calcolo polinomiale insieme ai prodotti notevoli. Dopo si inizia la fattorizzazione dei polinomi. Ho girato ben 13 scuole da precario. Inoltre il calcolò polinomiale di base e prodotti notevoli fondamentali si fanno già in terza media (quadrato di binomio, cubo di binomio e somma di due termini uguali per la loro differenza). Poi alle superiori si fanno in modo più approfondito, ovviamente...
😴
Gentile Prof. Un disegno sbagliato. Non conforme alle misure date confode edisorienta
Sono andati in crisi i ragazzi, non la scuola media (secondaria inferiore). Impara l'italiano
In geometria la prima regola da rispettare per un docente dovrebbe essere quella di riportare la figura geometrica fedele e proporzionale alle misure indicate. Altrimenti diventa fuorviante.
Non mi pare che le rette di 4 e 2 cm lo siano.
in terza media tali esercizi di geometria si dovrebbero saper fare ad occhi chiusi.
6 : 2 + 6 : 4 = 4.5
in terza media queste cose mai viste neanche da lontano , un po complicate da spiegare a ragazzini di 13 anni , meglio fare cose più semplici ed impegnarsi meno possibile in attesa del 28 del mese ....vero professor Tapparo che ormai sarai in pensione .