ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 17 พ.ค. 2022
- В этом видео рассмотрим алгоритм решения однородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами на примере уравнения четвертого порядка. Найдем общее решение дифференциального уравнения, а потом найдем частное решение, удовлетворяющее начальным условиям (решение задачи Коши).
Про метод Гаусса для решения систем линейных уравнений в этом видео: • Система уравнений мето...
Здесь еще одна сумма ряда с числами Фибоначчи: • Сумма ряда с числами Ф...
Если у вас есть возможность, поддержите канал материально,
карта Тинькофф: 5536 9140 7597 3911
![ความรักไม่ได้น่ากลัวขนาดนั้น (TRUST ME) - LYKN [ OFFICIAL MV ]](http://i.ytimg.com/vi/9np-lAtCRpQ/mqdefault.jpg)
Нужное, полезное видео. Интересная тема. Студентам часто приходится решать дифференциальные уравнения. Большое Спасибо за великолепную лекцию.
Элементарщина. Ждём поверхностных интегралов, криволинейных, обоих родов, их практическое применение, дифуров в частных производных, гиперболических и параболических, в разных системах координат, разностных дифуров и разностных функциональных уравнений. Ну и хитрые обычные но НЕлинейные дифуры - там тоже много чего красивого, функции Эйри, гипергеометрические функции. Поднимайте уровень смело!
Хорошее методическое видео! Можно смело выдавать студентам!
Юху, первое видео на канале, тему которого я хорошо знаю!!! Даже так, это очень интересно смотреть)
Классное видео, очень интересно! Вы делаете контент, ориентированный скорее на математиков, чем на обычную публику, поэтому большинству, вероятно, гораздо привычнее будет слышать "комплЕксные числа" нежели "кОмплексные", хотя ударение - дело субъективное
P.S. Буду очень рад слышать от Вас первый вариант :)
Хе, мне тоже прививали такое ударение, когда я учился. Но в русском языке уже есть слово "кОмплексный" (состоящий из частей), именно с таким ударением его и используют. И в применении к числам "комплексный" как раз это и означает - число состоит из 2х частей.
Этот "комлЕксный" - какой-то закос под французский язык (в нем как раз такое ударение), пережиток царско-гусарских времен :)
В разных языках ударение на разные слоги, в английском, например, на первый слог. Но я что-то сильно сомневаюсь, что в каком-то языке еще пытаются сделать 2 разных слова "комплексный": для чисел с одним ударением, и для всего остального с другим :)
@@Hmath Это не закос под французский язык и тем более не пережиток прошлого. Смещение ударения к концу слова очень часто наблюдается в "профессиональных" терминах. Например, кОмпас -> компАс, шпрИцы -> шприцЫ и так далее. В математической среде слово кОмплексный, сказанное по отношению к комплЕксным числам, режет слух
Не хочу показаться грубым или навязывающим своё мнение - ведь я тоже человек и могу ошибаться - всё же, вероятно, было бы правильно использовать "математический" вариант слова вместо "общепринятого". По-моему подобное разнообразие нисколько не портит русский язык, скорее даже вносит в него разнообразие
@@Hmath В общем и целом (кроме пункта про ударение) мне очень нравится контент, который Вы делаете, и искренне жаль, что он остаётся столь непопулярным
Желаю продолжать в том же духе! :)
@@nobugsnohugs60408 лет работаю врачом, шпрИцы никогда не слышал
Перед тем как углубляться в алгебру, тоило бы объяснить _каким образом_ появляется "характеристическое уравнение" для линейных однородных уравнений.
Идея на самом деле очень простая. Мы ищем решение при помощи подстановки y(x) = C• exp(k•x), где С и k - константы.
Производная y(x) по x любого порядка вычисляется просто
y'(x) = k• C•exp(k•x) = k•y(x)
y''(x) = k²•y(x)
y'''(x) = k³•y(x)
и т.д.
при подстановке в исходное уравнения и приведения подобных получается алгебраическое уравнение (вместо дифференциального)
(k⁴-1)•y(x)=0
при решении которого и получается четыре различных значений k и соответственно четыре линейно независимых функции y(x)
прикольно. А все ли решения которые вообще подходят под уравнение должны соответствовать y(x) = C*exp(k*x)? тоесть, как доказать что иных решений нет, а все можно найти сразу таким предположением, что y(x) = C*exp(k*x)?
@@purwic
//прикольно. А все ли решения...?//
На этот вопрос даёт ответ целая наука (подраздел высшей математики) - теория дифференциальных уравнений ("диффуры").
Там рассматривается общий случай линейных дифференциальных уравнений и доказывается что количество линейно независимых решений этого уравнений равно его степени.ю
В нашем случае степень равна 4, количество корней характеристического многочлена тоже 4, так что других решений нет.
@@Hobbitangle ясно, просто лень лекции смотреть) а так спасибо за ответ.
@@purwic
"ясно, просто лень лекции смотреть"
😀😀😀 Тогда загляни в Википедию, там то же самое написано, но чуть в более развернутом виде.
Мы же изучали диффуры в институте и неполохо изучали, если помним "лекции" по сю пору. В смысле не лекции конечно, а основные положения теории.
Но к сожалению то время уже давно ушло, а уровень преподавания математики заметно поник.
Воспоминания детства. Такие решения на скорость в сонном и голодном виде в количестве 20 штук без права на ошибку за 45 минут. Так и не понял зачем.
Да да. Это еще считалось легким уравнением )
@@alexselivanchik3775 дело не столько в уравнении. МГУ был нищебродным бомжеватником с дико переполненными общагами и двухчасовыми очередями в столовых. Требования к студентам на фоне такой нищеты были ярким доказательством бесполезности МГУ как такового-зачем всё это если даже поспать и поесть самой дешевой пищи без часовой очереди нельзя, а война 35 лет как закончилась?
Я как то задал такой вопрос -и был лишен повышенной стипендии за " недостойные комсомольца взгляды".
После этого математику возненавидел. Хотя был отличником и одним из лучших студентов на курсе.
Я решил , пользуясь LT ( Laplace transformations ).
Здравствуйте! А какой Вы вуз окончили,если не секрет и какая степень ?
👍
Привет, ты очень крут😉
У меня вопросец: возможно ли тебе отправить какое-либо занимательное задание, чтобы ты его рассмотрел и возможно разобрал на видео? Из мат.анализа или ТФКП🤔
есть здесь ссылка на контакт, можете туда отправить. Только вряд ли видео такое появится в ближайшее время :) долго ждать придется :)
Благодарю)
Класс!
Сделать можем замену u=y''-y, получаем u''+u=0, общее решение - синус и косинус, потом решаем y''-y=Asin(x) + Bcos(x) (можно было б сразу найти A и B из задачи Коши, но тут этого делать не будем). Далее нужно частное решение (общее, это шинус-чосинус) ищем его в виде Csin(x)+Dcos(x) (почему бы и нет?) и из уравнения находим что -2C=A, -2D=B сложим с общим решением уравнения y''-y = 0 и потом подставляем в условия задачи Коши...
Ладно, правильный подход вариабельнее
Спасибо за ваше видео, понятные и разборчивые обьяснения
Не могли бы вы пояснить как решить подобное уравнение вида y^(4) + y =0?
аналогично тому, как в видео.
ответ можно посмотреть:
www.wolframalpha.com/input?i=y%27%27%27%27+%2B+y+%3D0
@@Hmath Спасибо. Вся загвоздка в корне четвертой степени от минус единицы.
4 комплексных корня:
www.wolframalpha.com/input?i=k%5E4%2B1%3D0
12:55 c₁ и c₂ могут быть любыми тоже, главное одинаковыми
система из 4х уравнений имеет там единственное решение: с1=1/4, с2=1/4, с3=1/2, с4=0
@@Hmath Это да, но если вы подставите в уравнение, не матницу/систему_4ех_уравнкний, то вы во всех производных получите норм результаты.
всё равно непонятно, что вы имеете в виду. Если говорить про общее решение диф. уравнения, то все 4 константы могут иметь любые значения и полученная функция будет удовлетворять уравнению.
А если говорить про частное решение с заданными начальными условиями, то каждая из констант может иметь только одно определенное значение и эти значения как раз и найдены. Других там не получится, нет никакой свободы в выборе этих констант при заданных начальных условиях.
@@Hmathпонял
Здравствуйте, спасибо вам за видео. А вы знаете чему будет точно равна сумма ряда Σ[-∞; 0]Г(х-1/2) ?
wolframalpha знает :)
www.wolframalpha.com/input?i=sum+gamma%28x-1%2F2%29+from+-inf+to+0
@@Hmath оо, круто, спасибо)
Хотелось бы увидеть алгоритм решения дифф уравнения через отображения по Лапласу. В универе этой теме почти не уделяли внимания, просто приняли как факт, что характеристическое уравнение - следствие такого преобразования. А хотелось бы поподробнее эту тему!
да, надеюсь, когда-нибудь сделаю. преобразование Лапласа - крутая тема: всё откладываю, жду когда больше мотивации будет и времени.
Решить уравнение y'-y=0 можно 5ю различными способами, а уравнение с 4й производной можно только одним?
думаю, пара способов из тех пяти тут тоже применима :)
Ее на 44 секуде после выхода
63
Если честно, то это видео вызывает больше вопросов, для тех кто помнит вышку это тривиально, а для тех кто не помнит, бесполезно, в итоге так себе
сделайте так, как считаете нужным. Мне кажется наоборот: тем, кто не знает, как решить - быстрый ответ, готовый алгоритм действий в самой компактной форме.
@@Hmath Я во про что что: 4 производная от Y минус Y в моём представлении в характеристическом уравнении должна стать k в четвёртой минус k в первой, и как только я этого не понял, то сразу появилось ощущение, что это видео для уже прошаренных ( но до того момента было очень интересно
@@Hmath и да, спасибо за канал, приятно вспомнить то время, когда я мог интегралы считать, и немного освежить память
Вот теперь в 5:50 Вы не пытаетесь показать, почему решения уравнения будут именно такие.
нет, не пытаюсь. Назвал видео "алгоритм решения", и рассказываю какие шаги нужно сделать. Можно самостоятельно убедиться, что это является решением, подставив его в уравнение.
@@Hmath , я не помню, у Вас было видео которое я комментировал, или не у Вас.
Что можно в линейном уравнении типа Эйлера брать [x^lambda]*ln(x) при кратных корнях. Там это доказывали через замену t = ln(x), а я считал очевидным (нам давали такой алгоритм).
да вроде у меня писали там такой комментарий
7:57 - путаница с нумерацией решений. у1 и у4 правильно соотнесены, а вот у2 и у3 перепутаны (не соответствуют к2 и у3).
Вот никогда не понимал, почему у нас в решении получается сумма функций.
Ведь мы делаем замену y = c*e^(kx), и если вот брать уравнение из видео, то получаем, что 4 производная с*k⁴*e^(kx). Подставляем, получаем, что: с*k⁴*e^(kx) - c*e^(kx) = 0 Сокращаем на то, что можно, получим характеристическое уравнение, находим k = 1, подставляем обратно, получим c*e^x. Но это не совсем решение...
это одно из частных решений. Грубо говоря, не учитываются все возможные случаи.
т.е вот y=e^(-x) тоже будет решением уравнения, а у вас такое не получилось :)
полученное же в видео общее решение при разных значениях констант С учитывает все возможные частные решения.
Попробую объяснить. Рассмотрим уравнение y'' - y = 0. Получив характеристическое уравнение и решив его, получаем k = {-1; 1}. Заметь, ищем мы в виде y = e^(k*x), а не y = c * e^(k * x). Далее подставим k и получим следующие функции:
y1 = e^x; y2 = e^(-x).
Теперь размышляем. Если подставить каждую из этих функций в уравнение, получим правильное равенство. Но ведь (c1 * y1(x) + c2 * y2(x))' = c1 * y1'(x) + c2 * y2'(x). Также со второй производной. Теперь подставим в наше уравнение y = c1 * y1(x) + c2 * y2(x):
c1 * y1''(x) + c2 * y''2(x) - c1 * y1(x) - c2 * y2(x) = c1 * (y1''(x) - y1(x)) + c2 * (y2''(x) - y2(x)).
Но y1(x), y2(x) удовлетворяет начальному уравнению, следовательно выражения в скобках равны нулю и равенство верное.
Ага, вот теперь стало более-менее понятно. А то всегда без понятия писал так, как научили. Спасибо
Более четкое понимание этого явления появляется, если обратиться к теории линейных операторов. Линейный оператор образует линейное пространство, базисом которого являются его собственные векторы. Операция дифференцирования обладает свойством линейности, тогда линейное дифференциальное уравнение можно рассматривать как результат действия линейного дифференциального оператора на функцию y. Такой оператор тоже имеет собственные векторы, которыми и являются функции, которые находил автор (а корни характеристического уравнения являются собственными значениями оператора), причем эти функции линейно независимы, следовательно образуют базис. И общее решение ЛНДУ по сути является разложением функции по полученному базису, как любой вектор раскладывается по ортам. А конкретные "координаты" этого разложения находятся из начальных условий, если поставлена задача Коши
!
А зачем это решать? Функция, равная своей четвертой производной - это синус😅
а может косинус?