ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 28 ก.ย. 2024
- В этом видео будем исследовать на сходимость ряд. Для этого будем использовать признак сходимости Раабе. Он обычно применяется, когда признак Даламбера не дал ответа о сходимости.
В этом видео исследуется сходимость ряда по признаку Даламбера от навороченной дроби: • Сходимость ряда: везде...
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911
регулярная поддержка: boosty.to/hmath
Признак сходимости Раабе используется редко. Спасибо за серьёзное видео по этой теме.
Интересно было бы узнать про остальные признаки сходимости для сложных рядов: Бертрана, Куммера (и как на его основе свои признаки выводить), ну и самый главный, который всё решает: Гаусса.
Признак Коши соло)
Мы когда проходили эту тему, нам тот же самый пример дали 😂
Признак Раабе для гармонического ряда:
a_n = 1/n; a_{n+1} = 1/(n+1)
n(a_n/a_{n+1} - 1) = n((n+1)/n - 1) = 1
Гармонический ряд расходится
Верно ли, что если lim (n*(a_n/a_{n+1} - 1)) = 1, то ряд расходится?
Если да, то какие есть примеры, нарушающие это утверждение?
Эм. А если признак Раабе не даёт сведений о сходимости? У меня недавно произошло такое. Я был мягко говоря удивлён. Что тогда?
посмотрите в Википедии, ещё другие есть. Гаусса, например
@@Hmath Ну радикальный признак Коши например ничего не дал. Но идея хорошая. Спасибо.
Задрали Стирлинги и олимпиадники в комментариях. Не для вас видео. Идите лесом. Решайте дальше свои задачки и не сдавайте ЕГЭ.
А можно просто воспользоваться формулой стирлинга для факториала, и почти сразу сказать, что член ряда a_n ~ 1/sqrt(n) => ряд расходится)
Excellent convergence property
Задачка такая хорошая, что даже Даламбер облажался. 🙂
Здесь, по-моему, проще воспользоваться эквивалентностью (все знакоположительно). Представить факториал через формулу Стирлинга и сразу увидеть, что общий член эквивалентен 1/sqrt(2pi*n), а это ряд, очевидно, расходящийся
Тоже сразу пришло в голову такой решение.
зато так можно рассказать про не очень популярный признак сходимости. Но да, ваше решение мне тоже нравится :) А для моего не нужно знать формулу Стирлинга :)
Если последовательно строить теорию, то формулу Стирлинга доказать не проще, чем этот признак - та еще штучка. А вообще они из разных областей, просто в этой задаче и то и то годится.
@@pskv20 Ну, формула Стирлинга необходима, чтобы хоть что-то понимать про асимптотику гамма функции.
@@xfom4008 Так я о чём. Гамма-функция и числовые ряды - это всё-таки несколько разные вещи. Хотя в математике всё может неожиданно оказаться взаимосвязанным.
Забавно, только вчера ведь на самостоятельной использовал Раабе. Хорошо, что смотрел старый роилк с этим признаком. Почему то в университете на рассказывают, хотя признак довольно легкий, однокурсникам пришлось помучаться
Классное видео с неожиданным результатом, спасибо!:)
Спасибо очень интересные
Спасибо за хорошее детство :)
Та ну. Формулу Стирлинга знает продвинутый шеольник. N!=sqr(2 pi N)* (N/e)^N *(1+1/12N +...) Расходимость очевидна.
успели пока горит спичка? :)
@@Hmath с запасом.
Спасибо, очень-очень доходчиво!!
Очень ждём задачи на среднее расстояние.
Я просто вспомнил формулу стирлинга, всё подставил, сократил и получил 1/(√(2πn) + O(1/n)). Раз полученный ряд расходится, то и изначальный тоже
Из-за формулы Стирлинга иногда получается неправильный ответ. Так как в полной формуле используется добавление некоторой константы, которая нейтрализует разность между настоящий значением и вычисленным
Есть признак Гаусса:
a_n / a_{n+1} = 1 + L / n + o(1/n)
Если L
Спасибо!
Лучшее оформление!
На мой взгляд, задачу можно было бы решить проще. По формуле Стирлинга a_n ~ 1/( 2 pi sqrt(n)). Исходный ряд - знакопостоянный, ряд обратных корней расходится ( доказывается это просто). Значит и исходный ряд расходится по признаку сравнения.
Хороший пример для понимания как работает признак Раабе. Рассмотрите ещё, пожалуйста, пример на признак Гаусса
Не понял, почему в появившемся на 5:19 пределе в знаменателе представили (1 + 1/n)ⁿ как e, а в числителе нет?
Ведь тогда скобка в числителе и, соответственно, весь числитель и вся дробь сразу обращается в 0, предел от которого тоже равен нулю и, разумеется, меньше 1.
Нельзя переходить к пределу в отдельных слагаемых.
А вот в множителях можно. (Следует из факта, что lim(fg)=limf*limg при условии существования обоих пределов
@@viganadziratel1962, из ролика понятно, что "нельзя", но не поясняется, почему? Тем более что в данном случае ответ был бы одинаковый (не численно, а вообще), хоть и "нельзя".
@@boderaner потому что это очевидно. То, что я написал проходят буквально в первую неделю обучения в вузе.
А то, что вы написали, что ответ бы не поменялся, это сущий бред. Если ответ верный это не значит, что решение верное
Однако, вовремя, послезавтра матан сдавать..)
было бы интересно послушать про признак Гауса или Жаме
Не знал, что Макс Раабе еще и математик)
Стоит и схему Куммера напомнить.
Доброй ночи! Хотел у вас спросить, сколько вы тратите время на решение того, или иного задания. Взять самое распространённое - средней сложности ДУ, или решение среднего по сложности интеграла сколько вы тратите время, перед тем как записать видео?
Если вы говорите именно про задания к видео, то я никогда не измерял время. Да и это не имеет смысла: больше времени тратится на то, чтобы придумать задание :) Или выбрать из большой кучи то, что было бы на мой взгляд интересным. Дальше еще время на то, чтобы написать решение коротко, но понятно: какие действия стоит расписывать, какие наоборот можно и нужно опустить, где формулы будут появляться, что оставлять на экране, а что убивать (на экране слишком мало места на самом деле, или нужно сильно мельче шрифт делать). А так у меня уже много решенных есть, особенно с интегралами - сотни разных :) Кто-то кроссворды исписывает или детективы читает, чтобы время скоротать, а я интегралы решаю в такие моменты :)
5:24 - почему мы в знаменателе дроби заметили и подставили 2-й замечательный предел, а в числителе стали мудрить в бесконечно малыми? Пчм нельзя сразу взять n*(e-e)/e=0
ну если вы до конца досмотрели, то предел не равен нулю, он равен 1/2. В знаменателе в пределе получается конечное число (е), поэтому предел от знаменателя и можно отдельно найти, а в числителе неопределенность вида бесконечность*ноль.
Пришла в голову идея, но нет времени проверить. Сформулируем каскад признаков:
1) lim a_{n}/a_{n+1} < 1 - расх. VS lim a_{n}/a_{n+1} > 1 - сход. VS lim a_{n}/a_{n+1} = 1, тогда
2) lim (a_{n}/a_{n+1} - 1)*n < 1 - расх. VS lim (a_{n}/a_{n+1} - 1)*n > 1 - сход. VS lim (a_{n}/a_{n+1} - 1)*n = 1, тогда
3) lim ((a_{n}/a_{n+1} - 1)*n - 1)*n < 1 - расх. VS lim ((a_{n}/a_{n+1} - 1)*n - 1)*n > 1 - сход. VS lim ((a_{n}/a_{n+1} - 1)*n - 1)*n = 1, тогда
4) И т.д. отнимаем единицу от предыдущего подлимитного выражения и умножаем на n, и снова сравниваем с единицей...
5)...
Мне кажется, что такое бы рассказывали на матане, но я не помню. У кого есть время, где у меня ошибка? может там не на n умножать, например.
Есть признак Гаусса, у него нет случая когда признак не дает ответа
Здравствуйте, я старшеклассник и хочу побольше узнать о рядах, а точнее про введение в эту тему, с производными и интегралами я знаком, а с рядами совсем чуть чуть. Посоветуйте, пожалуйста литературу хорошую по жтой теме. Спасибо.
Конкретно по рядам ничего не посоветую, но можно почитать книжки по анализу. Например Зорича или Фихтенгольца. Может кто зайдет и других авторов еще понаписывает. Можно зайти с более практической стороны и заглянуть в какой-нибудь задачник, например Демидовича. Вроде забил Демидович ряды и выдает в первой же строке задачник в свобоном доступе и там в пятом отделе ряды.
@@epsilon.sw_ Спасибо большое!!!!
Попробуйте посмотреть учебник Е.А. Власовой "Ряды". Может понравится.
а нельзя было сразу решить через необходимый признак, посчитать предел An и он будет равен бесконечности, следовательно ряд расходится
предел an не равен бесконечности, он равен нулю
www.wolframalpha.com/input?i=lim+n%5En%2F%28e%5En*n%21%29+n-%3Einf
@@Hmath а разве n^n на бесконечности не обгонит произведение n! и e^n или я чего-то не понимаю..
просто я читал, что n^n растёт на бесконечности быстрее, чем показательная степень и факториал
а значит n^n будет расти быстрее, чем произведение функций, которые растут на бесконечности медленнее, чем n^n
или же это так не работает?
@user-ky2rt1kf3y как видите, предел равен нулю. Значит в данном случае не так. Посмотрите на показательную функцию в знаменателе. Всё от нее будет зависеть. При 2^n, например, предел действительно будет равен бесконечности
@@Hmath я уже перепроверил через формулу стирлинга, там предел равен нулю
все равно спасибо, что ответили
а можно было как-то подлбным образом решать? Многие уважающие себя олимпиадники знают такое неравенство: n!>(n/3)^n доказывается оно по индукции и я подумал, какую лучшую оценку мы можем получить (изменяя число 3 в меньшую сторону) по индукции, предварительно забив на базу и заменив 3 на k, получаем k>(1+1/n)^n, что очевидно из 2го замечательного предела, но база индукции прстрадала, а значит будет выполняться только при гигантских n, что и дает нам n!≈(n/e)^n при n->inf, значит и в нашем ряду при стремлении к бесконечности где-то в конце буддут в основном единицы, а это значит ряд расходится
Формула Стирлинга говорит, что не единицы. Общий член стремится к нулю, но недостаточно быстро для сходимости, пропорционально 1/√n.
@@pskv20 да, вы правы, если взять мое неравенство, прологарифмировать и перенести в 1 сторону, получим разность, которая(как я предположил) должна уменьшаться, а она увеличивается
Решил по формуле Пика за 3.14 секунд без использования гетеросексуального логарифма!😎
Банановый баян. Не устал еще херню писать?
5:23 кто-то может описать почему мы можем отдельно считать предел, там лучше просто везде по Тейлору разложить и посмотреть что получится. Ход как по мне не корректный, ну или не тривиальный, это ещё доказать надо, что так можно
Сверху получается неопределенность беск*0, а снизу конкретное число - как вариант такой ответ
Спасибо!