ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 11 ก.ย. 2023
- В этом видео будем находить неопределенный интеграл с вложенными радикалами. Применим изящное преобразование радикалов, чтобы упростить выражение с корнями.
похожий интеграл с двумя вложенными радикалами, но решен абсолютно другим способом: • Определенный интеграл ...
интеграл от корня (1+x^2) найден здесь: • А как бы вы находили э...
интеграл от корня (1-x^2) найден здесь: • Неопределенный интегра...
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911
Как я раньше жил без этого канала
Как до этого канала
С кайфом))
как всегда неповторимое сочетание красоты математики и безупречной подачи материала!!! большое спасибо Автору!!!
Изящно и просто. Респект.
Очень красивое решение. И самое главное - универсальное. Сначала казалось, что не выйдет нормально формула преобразования подкоренного выражения (останутся все равно корни и там тоже), но все вышло! Отдельная благодарность и за ссылки на др. видео. Даже сами формулы тут, на этом видео, записаны не "от руки", а красивы шрифтом. Сами формулы и задачка - сами по себе красивые тут.
Только не понял насчет гиперболического синуса в конце - похоже это др. вариант одного из интергралов тут. Надо бы разобраться как-нибудь с этим. Спасибо еще раз. Всего хорошего.
Оригинальное, красивое решение. Спасибо.
Это просто волшебство какое то
Прекрасный канал будет время на днях пересмотрю ВСЕ Видео.
Было интересно). Спасибо
Собственно путем нехитрых алгебраических преобразований (по сути выделение полного квадрата, только наоборот) и тригонометрических подстановок решается довольно сложный интеграл. Гениально!
very nice question
Такой трюк был в одном из интегралов на последнем IntegrationBee, одну из задач которого тоже разбирали на этом канале.
да, я сначала хотел именно оттуда пример разобрать, но он оказался сильно муторный с огромными выражениями. Подумал, что тут такой же прием, но решение не такое громоздкое :)
И вправду изящное преобразование! Как Вы до такого идеи пришли? Был ли где-то такой трюк раньше?
прочитал :) большая часть трюков перенимается от других людей :)
Это частный случай формулы сложного радикала: √[a±√b] = 1/√2·(√[a+√d]±√[a−√d]), где d = a²−b. Закорючками выглядит страшновато, хотя по сути корень из полусуммы a и √d ± корень из полуразности a и √d.
@@Hmath со школьной скамьи влюблен в математику, благодаря вашим роликам не перестаю восхищаться ее красотой! Спасибо!
Обожаю, прям насыщение мозгов👍
@artcom4307 матан
Самое интересное, что интеграл от одного только внутреннего корня не выражается в элементарных функциях (эллиптический). И вообще выражения с корнями часто трудно интегрировать аналитически (отсюда проблемы с нахождением длин многих достаточно простых кривых). Интегрируемость сложного радикала в элементарных функциях выглядит настоящим чудом.
так просто совпало
Доброго времени суток, Алексей! Как обычно, оргазм мозгов от преобразований) Я тут баловался в экселе с бесконечными суммами и обнаружил необычное выражение, которое имеет "два предела". В латехе можно записать как \sqrt{...\sqrt{\sqrt{\sqrt{1}+1}-1}+1} (знаки + и - чередуются). Встречали раньше? Есть ли какой-нибудь способ выразить эти пределы, избавляясь от бесконечности (как с золотым сечением)?
Если кратко, то у вас последовательность можно разбить на две подпоследовательности. Одна будет с четными индексами, другая с нечетными. По аналогии с золотым сечением находите уравнения для каждой подпоследовательности (которые будут кубическими) и сводите их решения к формуле Кардано
я не особо понимаю эту запись (может неправильно её трактую), но если там (-1) под корнем и мы будем составлять последовательность из таких вложенных корней, то что будет подразумеваться под sqrt(-1)? это же комплексное число +/-i. И соответственно дальше тоже будут корни из комплексных чисел и каждый раз их несколько штук. Какой подразумевается брать?
@@Hmath я это понял так:
a_0 = 1, a_(2n+1) = sqrt(a_(2n) + 1),
a_(2n) = sqrt(a_(2n-1) - 1)
При таком раскладе несложно понять, что все элементы с нечетными индексами будут больше 1, а с четными - больше 0
@@alexsokolov8009 , ваш совет про две подпоследовательности помог, оба значения предела математически обосновались! Теперь могу спать спокойно)
Предположу, что почерпнули идею интеграла с канала maths 505?) только там был был плюс вместо минуса во вложенном радикале, и определённый интеграл
нет :) Тут ниже уже писали, что похожий был в MIT integration bee 2023 и тогда где-то в интернетах находил посты с разборами задач. Вот там была такая идея, что корень можно преобразовать: попробовал сам и получилось действительно :)
@@Hmath кстати, было бы неплохо увидеть разборы с MIT. Видел несколько задач, по ощущениям, вышли бы неплохие сюжеты
ну 2 видео с такими интегралами на канале есть :)
Учили мы в школе "формула сложного радикала".
хорошая школа :) меня не учили вроде :)
@@Hmath , но в Гугле я её не нашел. Если у Вас sqrt(a+sqrt(a^2-b^2)) = 1/sqrt(2)*[sqrt(a+b)+ sqrt(a-b)]
То там было именно преобразование
sqrt(a+sqrt(b)) = "сумма 2 таких же сложных радикалов". Но в конкретных примерах выражение упрощалось.
В 2:10 там должно быть 4q^2-4a*q-a^2+b^2=0 (или я ошибаюсь)
ошибку не нашел.
на 2:28 ошибка: a^2 - b^2 перенесли без изменения знака
или это я что-то не понял?
это потому, что a^2 - b^2 никуда не переносил. Переносил наоборот всё остальное.
попробуйте самостоятельно на листике сделать, если так трудно следить.
Хорошее преобразование для задачки ЕГЭ.
Теперешняя школота не осилит.