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解けました。自分の場合は2ΘとΘで同じ三角形の相似を利用しました。もっと言うなら2Θを挟む辺の比を利用しました。まずBからACに補助線を引いた時の交点をDとします(この時、角DBC=Θになるようにします)。そうすると△ABDは底角2Θの二等辺三角形で△DBCは底角Θの二等辺三角形となります。つまりAD=4、BD=DC=5となります。ここで角ABD(=2Θ)を二等分する線をACに向かって引き、その交点をEとします。角の二等分線の性質よりAE=16/9、ED=20/9となりEC=65/9となります。ここで△EDBと△EBCは相似なので各辺の比が等しいという事になります。つまりED:DB=20/9 : 5=4:9なのでEB:BCも4:9となります。ここでEB=4kとすると、BC=9kとなり後は4k:65/9=5:9kでkが5√13/18となります。よってBC=9×5√13/18=5√13/2となります。
こんにちわ。たいへん詳細なる解法ありがとうございます。なるほど、∠ABDの二等分線から角の二等分線の定理、相似な三角形を見つけ、相似比で答えを導く解法、補助線から、いろいろな定理の組み合わせで、面白い解法ですね。
最初はAからの補助線で考えていて、θを基準に区分けしていましたが解けずBからθで区切ればθの二等辺三角形、外角の定理で２θの二等辺三角形が作れると思いやってみたらなんとかなりました難しかったですね
こんにちわ。解法ありがとうございます。難しいですね。日本数オリの問題をアレンジしたものでした。
こんばんは😊やはり、先生の解法が模範解答ですなぁ😮私は、要らぬ苦労をしてしまいました😅補助線BDまでは、全く同じです。その後、△ABDの面積を求め、点BからACに下ろした垂線の長さを求めにかかってしまいました。その交点をEとします。すると、三平方の定理より、AH=7/8と出てきます。今度は、△BCHで三平方の定理を用いて、BC=5√13/2を求めることができました。説明すると簡単ですが、計算過程が半端ないです😅先生は、上手く比の値を利用されたものと感心いたします😊
こんにちわ。たいへん詳細なる解法ありがとうございます。面積から求めたのですね。かなり計算が大変だったことと思います。でも答えが一致するのは、面白いと思います。
さすがに、先生の解法は、すっきりとして分かりやすいですね。私は、∠Bの三等分線BDとBEを引き、角の二等分線の定理を2度使って、ED＝4×5/9＝20/9、EC＝20/9+5＝65/9、およびED∶DC＝20/9∶5＝4∶9からBE＝4/9 X (X＝BC)として△EBD∽△ECBより、EB∶EC＝ED∶EBすなわち4/9 X∶65/9＝ 20/9∶4/9 Xから 16X²＝20×65→ X²＝25×13/4→ X ＝(5√13)/2 (X>0)と求めましたが、ひじょうにややこしかったです。 (なお、cosθ＝t と置くとcos2θ＝2t²―1なので余弦定理の連立でX²＋5²―10Xt＝5² 、4²＋5²―40(2t²―1)＝4²これを解くとt＝√13/4、X＝10t＝(5√13 )/2が求まります。)
こんにちわ。たいへん詳細なる解法ありがとうございます。前半は、コメントさんの山中渉さんの考え方と同じですね。こういうふうに解けるのかと感心します。後半は、余弦定理の連立方程式、高校生ならやはり三角関数を使いたくなりますね。
試験場での普通の解法---三平方の定理をそのまま。BからACに垂線 その足をHDH=x AH=y BH=hx^2-y^2=5^2-4^2 x=25/8BC^2=h^2+CH^2=5^2-x^2+(x+5)^2=5^2-x^2+5^2+10x+x^2=50+10x=50+10*25/8=25*13/4/////計算なら4/sinθ=9/sin3θ(sinθ)^2=3/16(cosθ)^2=13/16BC=2*5*cosθ=5*√13/2
こんにちわ。たいへん詳細なる解法ありがとうございます。前半の解法は、意外な補助線からの三平方の定理をうまく使っていますね。ｘ²もうまく消えて、すっきりとしますね。後半の解法は、自分自身勉強不足で、三角関数をべ供しなおします。
複雑な式で申し訳ありません。訂正しました。
こんばんは！ 私は以下のように解きました。但し中学生の習う範囲かどうか分かりませんが。AC 上に点 P を、∠PBC = ∠PCB となるように、P を置くと、△PBCは二等辺三角形になり、∠APB = ∠ABP = ∠2θ、で、AP = 4 となる。また、PC = 5 = PB となる。次に、AB を延長し BQ = 5 となるような点 Q をその延長線上に置くと、□BQCP は等脚台形となる（証明は容易ゆえ省略）。そこで、トレミーの定理から、BP * QC + BQ * PC = x² ① QC は、△ABP ∽ △AQC から、45 / 4 と求められるので、これらを ① に代入し、x² = 25 * 13 / 4 となり、x = (5 √13) / 2 と出しました。
こんにちわ。たいへん詳細なる解法ありがとうございます。中学生でトレミーを知っている生徒は限られていると思いますが、この問題で、トレミーが使えるとは思いませんでした。相似な二等辺三角形と平行線と比の定理をうまく使ており、すごいな～思います。勉強になります。
こんばんは！ ご評価、有り難うございます。私が中学生になったのが、約70年前でしたので、今の中学生の数学知識のレベルが、皆目、分かりませんので、失礼いたしました。先生の解法は、さすが、中学生向きで、いろいろな問題に応用が利きそうどうですね。今回も勉強になりました。
@@高緒燦 昔と今では、かなり学習の範囲も変わっていますね。２０年前でもかなり変わっています。７０年前だと、かなりの内容が高校へ行っていますね。でも私が知らなかったことも、たくさん勉強させてもらっています。
Bを3等分させてみたり、BからACに長さ4で引いて二等辺三角形作ったりしてみたがわからずでした。(動画)なるほど、そこに手があったのか🐻
こんにちわ。考えていただいてありがとうございます。この問題は、日本数オリの問題をアレンジしたものです。難問ですね。
｢けっこう過ぎた｣問題でした(^^);。3θがポイントと思いBDを引き底角2θの2等辺△とDからの垂線までは進めましたが、その後はスタッグ。DM・EMの垂線から相似比・ピタ定理かあ、言われてみて納得。受験生がこんな問題にあたると困るだろうな。正解者も作題者も凄いなあ。
こんにちわ。考えていただいてありがとうございます。この問題は、日本数オリの問題をアレンジしたものでした。受験数学以上の発想を必要としますね。
※三角関数を利用した場合余弦定理より∠BACをαとして、5²=4²+4²-2×4×4cosαとなり、cosα=7/32辺BCをxとすると、x²=4²+9²-2×4×9×(7/32)=325/4 xについて解くと、x=(5√13)/2動画の解き方と共通するのは、BDの補助線が鍵だという事ですね。
こんにちわ。たいへん詳細なる解法ありがとうございます。余弦定理を使った解法、高校数学では、簡単に解けてしまいますね。でも、中学校数学を基礎として三角関数はできていますね。
BDとDMまではできたのですが、AEを見つけられず解けませんでした😢 精進します!
こんにちわ。考えていただいてありがとうございます。日本数オリのアレンジ問題です。かなりの難問でした。
AEの垂線が思い付かず、余弦定理を使わないと、残念ながら解けませんでした。
こんにちわ。高校生なら余弦定理を使いたくなる問題ですね。
点Dを動画の設定の通りに置く。DからBCに平行な線とABとの交点をFとすると、AB=AD=4DC=DB=9-4=5平行線の錯角であるから、角DBC=角FDB=θ、また、角ADF=2θ-θ=θ よって、DFは、角ADBの二等分線であるから、AF:FB=4:5AF=4×4/9=16/9FB=4×5/9=20/9角の二等分線の公式より、DF^2=AD×DB-AF×FB =4×5-16/9×20/9 =(1620-320)/81 =1300/81DF=10√(13)/9三角形AFDと三角形ABCは、相似で相似比は4:9であるから、BC=(9/4)DF =(9/4)×10√(13)/9 =5√(13)/2上記の角の二等分線の公式を中学で習うかどうかは、知りませんが。先生の補助線の引き方は、思い付きませんでした。
こんにちわ。たいへん詳細なる解法ありがとうございます。普通に角の二等分線の定理（これは、塾等で習っている生徒も多い）から、DF^2=AD×DB-AF×FBの公式を使うのは、思いつきませんでした。この公式は、ちょっと中学生は、ほとんど知らないとは思いますが（数Aで習いますね）、でもいろいろな定理を知っていると、解法の幅が広がりますね。
@@YUUU0123有り難うございます。動画のタイトル通り、難問でした。
７０爺です、出来ませんでした(涙)
こんにちわ。考えていただいてありがとうございます。私も初見では、できない問題でした。
![Kyoto University's famous integer problem [Instant kill with technique].](http://i.ytimg.com/vi/QZMmqpuufcg/mqdefault.jpg)
![Kyoto University's famous integer problem [Instant kill with technique].](/img/tr.png)
解けました。自分の場合は2ΘとΘで同じ三角形の相似を利用しました。もっと言うなら2Θを挟む辺の比を利用しました。
まずBからACに補助線を引いた時の交点をDとします(この時、角DBC=Θになるようにします)。そうすると△ABDは底角2Θの二等辺三角形で△DBCは底角Θの二等辺三角形となります。つまりAD=4、BD=DC=5となります。
ここで角ABD(=2Θ)を二等分する線をACに向かって引き、その交点をEとします。角の二等分線の性質よりAE=16/9、ED=20/9となりEC=65/9となります。
ここで△EDBと△EBCは相似なので各辺の比が等しいという事になります。つまりED:DB=20/9 : 5=4:9なのでEB:BCも4:9となります。
ここでEB=4kとすると、BC=9kとなり後は4k:65/9=5:9kでkが5√13/18となります。
よってBC=9×5√13/18=5√13/2となります。
こんにちわ。たいへん詳細なる解法ありがとうございます。なるほど、∠ABDの二等分線から角の二等分線の定理、相似な三角形を見つけ、相似比で答えを導く解法、補助線から、いろいろな定理の組み合わせで、面白い解法ですね。
最初はAからの補助線で考えていて、θを基準に区分けしていましたが解けず
Bからθで区切ればθの二等辺三角形、外角の定理で２θの二等辺三角形が作れると思いやってみたらなんとかなりました
難しかったですね
こんにちわ。解法ありがとうございます。難しいですね。日本数オリの問題をアレンジしたものでした。
こんばんは😊
やはり、先生の解法が模範解答ですなぁ😮
私は、要らぬ苦労をしてしまいました😅
補助線BDまでは、全く同じです。
その後、△ABDの面積を求め、点BからACに下ろした垂線の長さを求めにかかってしまいました。
その交点をEとします。
すると、三平方の定理より、AH=7/8と出てきます。
今度は、△BCHで三平方の定理を用いて、BC=5√13/2を求めることができました。
説明すると簡単ですが、計算過程が半端ないです😅
先生は、上手く比の値を利用されたものと感心いたします😊
こんにちわ。たいへん詳細なる解法ありがとうございます。面積から求めたのですね。かなり計算が大変だったことと思います。でも答えが一致するのは、面白いと思います。
さすがに、先生の解法は、すっきりとして分かりやすいですね。
私は、∠Bの三等分線BDとBEを引き、角の二等分線の定理を2度使って、ED＝4×5/9＝20/9、EC＝20/9+5＝65/9、および
ED∶DC＝20/9∶5＝4∶9
からBE＝4/9 X (X＝BC)として
△EBD∽△ECBより、
EB∶EC＝ED∶EBすなわち
4/9 X∶65/9＝
20/9∶4/9 X
から 16X²＝20×65
→ X²＝25×13/4
→ X ＝(5√13)/2 (X>0)
と求めましたが、ひじょうにややこしかったです。
(なお、cosθ＝t と置くとcos2θ＝2t²―1なので
余弦定理の連立で
X²＋5²―10Xt＝5² 、
4²＋5²―40(2t²―1)＝4²
これを解くと
t＝√13/4、
X＝10t＝(5√13 )/2
が求まります。)
こんにちわ。たいへん詳細なる解法ありがとうございます。前半は、コメントさんの山中渉さんの考え方と同じですね。こういうふうに解けるのかと感心します。後半は、余弦定理の連立方程式、高校生ならやはり三角関数を使いたくなりますね。
試験場での普通の解法---三平方の定理をそのまま。
BからACに垂線 その足をH
DH=x AH=y BH=h
x^2-y^2=5^2-4^2 x=25/8
BC^2=h^2+CH^2
=5^2-x^2+(x+5)^2
=5^2-x^2+5^2+10x+x^2
=50+10x=50+10*25/8=25*13/4
/////
計算なら
4/sinθ=9/sin3θ
(sinθ)^2=3/16
(cosθ)^2=13/16
BC=2*5*cosθ=5*√13/2
こんにちわ。たいへん詳細なる解法ありがとうございます。前半の解法は、意外な補助線からの三平方の定理をうまく使っていますね。ｘ²もうまく消えて、すっきりとしますね。後半の解法は、自分自身勉強不足で、三角関数をべ供しなおします。
複雑な式で申し訳ありません。訂正しました。
こんばんは！ 私は以下のように解きました。但し中学生の習う範囲かどうか分かりませんが。
AC 上に点 P を、∠PBC = ∠PCB となるように、P を置くと、△PBCは二等辺三角形になり、∠APB = ∠ABP = ∠2θ、で、AP = 4 となる。また、PC = 5 = PB となる。次に、AB を延長し BQ = 5 となるような点 Q をその延長線上に置くと、□BQCP は等脚台形となる（証明は容易ゆえ省略）。そこで、トレミーの定理から、BP * QC + BQ * PC = x² ① QC は、△ABP ∽ △AQC から、45 / 4 と求められるので、これらを ① に代入し、x² = 25 * 13 / 4 となり、x = (5 √13) / 2 と出しました。
こんにちわ。たいへん詳細なる解法ありがとうございます。中学生でトレミーを知っている生徒は限られていると思いますが、この問題で、トレミーが使えるとは思いませんでした。相似な二等辺三角形と平行線と比の定理をうまく使ており、すごいな～思います。勉強になります。
こんばんは！ ご評価、有り難うございます。私が中学生になったのが、約70年前でしたので、今の中学生の数学知識のレベルが、皆目、分かりませんので、失礼いたしました。先生の解法は、さすが、中学生向きで、いろいろな問題に応用が利きそうどうですね。今回も勉強になりました。
@@高緒燦 昔と今では、かなり学習の範囲も変わっていますね。２０年前でもかなり変わっています。７０年前だと、かなりの内容が高校へ行っていますね。でも私が知らなかったことも、たくさん勉強させてもらっています。
Bを3等分させてみたり、BからACに長さ4で引いて二等辺三角形作ったりしてみたがわからずでした。(動画)なるほど、そこに手があったのか🐻
こんにちわ。考えていただいてありがとうございます。この問題は、日本数オリの問題をアレンジしたものです。難問ですね。
｢けっこう過ぎた｣問題でした(^^);。3θがポイントと思いBDを引き底角2θの2等辺△とDからの垂線までは進めましたが、その後はスタッグ。DM・EMの垂線から相似比・ピタ定理かあ、言われてみて納得。受験生がこんな問題にあたると困るだろうな。正解者も作題者も凄いなあ。
こんにちわ。考えていただいてありがとうございます。この問題は、日本数オリの問題をアレンジしたものでした。受験数学以上の発想を必要としますね。
※三角関数を利用した場合
余弦定理より∠BACをαとして、5²=4²+4²-2×4×4cosαとなり、cosα=7/32
辺BCをxとすると、x²=4²+9²-2×4×9×(7/32)=325/4 xについて解くと、x=(5√13)/2
動画の解き方と共通するのは、BDの補助線が鍵だという事ですね。
こんにちわ。たいへん詳細なる解法ありがとうございます。余弦定理を使った解法、高校数学では、簡単に解けてしまいますね。でも、中学校数学を基礎として三角関数はできていますね。
BDとDMまではできたのですが、AEを見つけられず解けませんでした😢 精進します!
こんにちわ。考えていただいてありがとうございます。日本数オリのアレンジ問題です。かなりの難問でした。
AEの垂線が思い付かず、余弦定理を使わないと、残念ながら解けませんでした。
こんにちわ。高校生なら余弦定理を使いたくなる問題ですね。
点Dを動画の設定の通りに置く。
DからBCに平行な線とABとの
交点をFとすると、AB=AD=4
DC=DB=9-4=5
平行線の錯角であるから、
角DBC=角FDB=θ、また、
角ADF=2θ-θ=θ よって、
DFは、角ADBの二等分線
であるから、AF:FB=4:5
AF=4×4/9=16/9
FB=4×5/9=20/9
角の二等分線の公式より、
DF^2=AD×DB-AF×FB
=4×5-16/9×20/9
=(1620-320)/81
=1300/81
DF=10√(13)/9
三角形AFDと三角形ABCは、
相似で相似比は4:9であるから、BC=(9/4)DF
=(9/4)×10√(13)/9
=5√(13)/2
上記の角の二等分線の公式を
中学で習うかどうかは、
知りませんが。
先生の補助線の引き方は、
思い付きませんでした。
こんにちわ。たいへん詳細なる解法ありがとうございます。普通に角の二等分線の定理（これは、塾等で習っている生徒も多い）から、DF^2=AD×DB-AF×FBの公式を使うのは、思いつきませんでした。この公式は、ちょっと中学生は、ほとんど知らないとは思いますが（数Aで習いますね）、でもいろいろな定理を知っていると、解法の幅が広がりますね。
@@YUUU0123
有り難うございます。
動画のタイトル通り、難問
でした。
７０爺です、出来ませんでした(涙)
こんにちわ。考えていただいてありがとうございます。私も初見では、できない問題でした。