Geometria - Problema 22
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- เผยแพร่เมื่อ 17 ส.ค. 2022
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Bello come sempre! Io l'ho risolto con le similitudini.
Mi è venuta la curiosità di vedere come calcolare il raggio r, dati generici cateti a e b (a al posto di 6 e b al posto di 3).
L'area del triangolo è ab/2. La si può vedere come somma delle aree del triangolo rettangolo di cateti a-r e r (triangolo azzurro del minuto 1:34), col quadrato di lato r e del triangolo rettangolo di cateti r e b-r (triangolo azzurro del minuto 2:49). Si ha
ab/2=(a-r)r/r+r^2+(b-r)r/2, svolgendo i calcoli si ottiene ab=(a+b)r, cioè r=(prodotto cateti):(somma cateti). Nel caso nostro infatti r=18:9=2.
L'ho trovato carino e te ne faccio partecipe. Ciao!
👍👍👍
Bello, lo "pinno"
Fatto esattamente la stessa cosa, ma è ovviamente più lunghetta come strada, ma già sapevo che l'avrei fatta così ... ;)
si avevo parametrizzato anche io i cateti ... è un risultato molto elegante .
Bellissimo il terzo svolgimento, non ci avevo proprio pensato...
Come sempre ciò che è appassionante sono le diverse visioni. GRAZIE!
Problema molto simpatico. Io l'ho risolto subito seguendo la prima strada da lei esposta. Interessante anche la terza modalità di soluzione... non ci avevo pensato.
anche io ho fatto lo svolgimento 1, ottima spiegazione, veramente bravo. Meriteresti milioni di visualizzazioni
Una volta tanto ho fatto a mente, utilizzando il secondo metodo. Problemi sempre molto interessanti!
Molto interessante
Grazie 👍😁
👏
ciao Valerio, io ho usato il primo metodo. Grazie per i tuoi video, Pasquale
Spettacolo. Questi video ti aprono la mente come un martello apre una zucca.
Grazie mille, bellissima spiegazione
Ottimo video, grazie
Bello 🤩
Ho utilizzato la prima similitudine per trovare il raggio. 👏
Salve professore, dopo aver osservato un attimo l'enigma, si comprende senza fare calcoli che per similitudine il triangolo di sx inscritto ha la base pari al doppio dell'altezza e pertanto vale 2r e siccome la restante parte non può che essere pari a r viene da sé che r=2. Trovato r il gioco è fatto perché la circonferenza è ovviamente una semicirconferenza.
Simpatico 👍
Ottimo. Esposizione molto chiara. Se interessa, una curiosità: mia nonna sosteneva che un problema con simili caratteristiche fosse assegnato agli studenti di quinta elementare. Con un paio di calcoli ulteriori (acquisto di un barattolo di vernice e spesa complessiva). La scuola di un tempo (120 - 130 anni fa) era selettiva, ma di certo enormemente più impegnativa.
Io ho utilizzato le rette:
a->y=x1/2+0
b->y=x(-1)+6
la retta a si riesce a trovare semplicemente usando i cateti, invece la retta b ho creato una retta immaginaria con il punto del angolo retto ed il centro del cerchio
In fine si calcola l’itersezione con coordinate P(4;2).
Py=r
4º metodo per complicarsi la vita ahaha
Ho applicato un metodo analogo allo svolgimento 3, ho considerato che l'area totale è uguale all'area del triangolo di base 6-r + l'area del quadrato r^2 + l'area del triangolo di base 3-r. Semplificando l'espressione si arriva allo stesso risultato cioè 9/2 r = 18
Io ho specchiato il triangolo rettangolo
sull'ipotenusa ottenendo un quadrilatero con inscritta una circonferenza. Poi uguagliando l'area del quadrilatero ( pari a 2 volte l'area del triangolo) all'area del quadrilatero calcolata come perimetro per il raggio diviso 2, ho trovato il raggio pari a 2
Bellissimo modo, io ho fatto diversamente ho usato la simmetria assiale per creare una figura con la circonferenza inscritta. Poi ho detto che la sua area è uguale al doppio dell'area del triangolo rettangolo e quindi è uguale a 18. Ma la sua area è anche congruente a p×a= 9r e quindi r=2 e così via
Ottimo
scusa cosa sarebbe pxa ?
@@renzoguida2984 semiperimetro per apotema (raggio inscritto)
@@renzoguida2984 (formula dell'area dei poligoni circoscritti facilmente dimostrabile)
@@robertofilippelli7365 ma è valida anche per i poligoni irregolari ? se ho ben capito hai aggiunto l'immagine speculare sull' ipotenusa formando un quadrilatero a forma di aquilone con inscritta la circonferenza intera.(?)
Io ho posto l'area del triangolo grande (9) = area del trapezio (3+r)r:2+area del triangolo piccolo (6-r)r:2.
Si ottiene r=2
👏👏👏👍
Una volta trovato "r" con il metodo dei triangoli simili, puoi anche trovare l' area totale aggiungendo l' area del trapezio rettangolo [ base maggiore = 3 ; altezza, lato minore, base minore = r ] all' area del triangolo rettangolo con cateto minore r e cateto maggiore 6-r ... e poi sottrarre l' area del semicerchio di raggio r, per trovare l' area richiesta.
Io ho utilizzato un ragionamento (inutilmente) contorto (causa mie lacune di geometria, palesemente xD): ho immaginato il triangolo disegnato su piano cartesiano ed ho chiamato A, B e C i vertici del triangolo, O il centro del cerchio, E ed F i punti sui cateti in cui la circonferenza li tange, ho calcolato l'equazione della retta passante per l'ipotenusa (formula della retta passante per 2 punti, A e C), dopodiché ho ragionato per trovare il centro per cerchio: ho messo a sistema l'equazione della retta e l'uguaglianza tra la distanza tra il punto O ed E e la distanza tra O ed F (essendo il raggio, deve essere uguale). Dalla risoluzione del sistema ho trovato x è y, coordinate di O, il centro del cerchio, da lì il raggio, l'area del cerchio e per differenza il risultato finale. Un giro niente male, eh? xD
La geometria analitica vale 👍👍👍
Bellissimo ilterzo metodo
Per ricavare il raggio ho espresso sia l'area del triangolo blu che del trapezio affianco in funzione di r e l'ho eguagliato al valore totale (6x3)/2=9. Si ricava una equazione lineare di primo grado in r di facile risoluzione
👍
Il problema mi è piaciuto ed io l'ho risolto da solo col suo primo metodo. L'area verde è 2,72
Dal terzo svolgimento si può fare la stessa cosa, considerando il triangolo rettangolo di cateti (6-r) e r, e il trapezio rettangolo con base minore e altezza uguale ad r, mentre la base maggiore è pari a 3. Pertanto abbiamo:
A(triangolo totale)=A(triangolo piccolo)+A(trapezio rettangolo)
9=[(6-r)*r/2]+[(r+3)*r/2]
Moltiplichiamo ambo i membri per 2 e abbiamo
18=[(6-r)*r]+[(r+3)*r]
Prendiamo in evidenza r al secondo membro e abbiamo
18=r*(6-r+r+3)=9r
Dividiamo entrambi i membri per 9 e quindi si ha: r=2
FANTASTICO... ecco perche' prendevo 4 a scuola... perchè non ragionavo !
Nella soluzione 3 , l'area del triangolo 1 non mi è chiara (base x altezza /2) ma 6 non sarebbe l'ipotenusa del triangolo 1? Come determino che TI e T2 sono anch'essi triangoli rettangoli?
Infatti T1 e T2 non sono triangoli rettangoli. Dividendo in questo modo si trovano 2 triangoli scaleni, ma la cosa importante è che entrambi, prendendo le giuste basi, hanno come altezza r. L altezza è la proiezione ortogonale del vertice sul lato opposto. Se consideri come basi i lati da 6 e da 3 rispettivamente vedi subito che r è l altezza, permettendoti di usare la formula base x altezza / 2, che è generale per qualsiasi triangolo. Sei sicuro che gli angoli nei punti di tangenza siano retti per una proprietà della circonferenza, la quale dice che il raggio è sempre perpendicolare alla tangente nel punto di intersezione.
Non sono convinto della coincidenza del punto tangente sul lato 3 con quello della parallela al 6 passante per il centro. Questo mi ha impedito di pensare ai triangoli simili. Come si può sapere che il punto di tangenza congiunto col centro costruisca un triangolo rettangolo ?
È un noto teorema della circonferenza, il raggio è sempre perpendicolare alla tangente.
Avrei dovuto sottolinearlo nel video.
il raggio è sempre perpendicolare alla tangente nel punto di tangenza
io l'ho svolto usando la geometria analitica
ho osservato che può essere scritto come y=3/6x+3 e poi ho scritto che y = -x, questo perchè nel caso la sopra c'è un solo punto dove 2 coordinate che passano per la retta sono uguali
il meno perchè si svolge nel secondo quadrante dove le coordinate x sono negative e le coordinate y positive
ho risolto l'equazione e ho trovato x=2 quindi r=2
e poi ho fatto Area(t)-Area(1/2C) e ho trovato la parte verde
Problema davvero carino. Quello che non mi spiego è che problemi di questo tipo se proposti in classe non riscuotono di solito molto gradimento dagli studenti. Capita anche a te?
Forse perché nelle verifiche danno meno sicurezza di un esercizio con procedure standard.
Mi sfugge una cosa, da cosa si determina che siamo in presenza di un semicerchio?
Perché l'ipotenusa passa per il centro del cerchio. Lo si capisce perché indico il raggio.
Stesso tuo metodo 1. Complementi Valerio per la chiarezza delle tue spiegazioni.
Ho pensato ad una funzione y=(1/2)x quindi avendo coeff. angolare=1/2 allora( r/(6-r))=1/2 quindi r=2
Quarto metodo. Ho posto il triangolo su un piano cartesiano con il angolo più piccolo all' origine. L' equazione della retta che coincide con l' ipotenusa risulta essere y=x/2. Visto che il cerchio é tangente con i due cateti il centro del cerchio deve essere sulla bisettrice dell' angolo retto. L' equazione della bisettrice risulta essere y=6-x
Le due rette si incrociano in x/2=6-x →x=4 →y=2→r=2
Area triangolo A=b∙h/2 =9
Area semicerchio = π∙r²/2=2∙π
Area verde= 9-2∙π
👍👍👍
assunto all'U.C.A.S. (ufficio complicazioni affari semplici) 🤣
Io ho usato la tangente dell'angolo a sinistra per 6-r
Io ho scoperto una cosa riguardante l area. Che si può approssimare bene al numero di nepero "e". Ho infatti calcolato la differenza dell' area verde con il numero di nepero e mi e venuto un numero molto vicino a 0
In effetti 9-6,28=2,72.
Curiosa coincidenza
Non ho capito come si denota il quadrato di lato r
Ho seguito subito il primo metodo ... pensando fosse il solo ah ah
Sarà semplice ma vorrei vedere le risposte su Facebook 😁
È un post vecchio a cui avevo fatto una foto. Vallo a ritrovare...
Io ho usato il metodo 2.
Metodo 1 forse il meno brillante...ma stasera niente di meglio
Quello che non ho capito è il fatto che sia esattamente un semicerchio inscritto (quindi non un po’ di più o di meno di un semicerchio) è un’informazione data ?
Dati che l'ipotenusa passa per il centro del cerchio è per forza un semicerchio
@@ValerioPattaro mi mancava una banalità: l’unica altezza pari a R è quella che passa per il centro del cerchio da cui il semicerchio inscritto.
Io ho usato il secondo metodo
L'ho risolto con il metodo 1. Senza cercare altre maniere...
Troppo semplice .. .prof . ci ha abituato meglio !
Ce n'è per tutti i gusti 👍
La prima parte sarebbe dimostrare che dentro il triangolo c'è effettivamente una semicirconferenza tangente ai due cateti
Sono i dati del problema
Wow c'è poco da fare , c'è chi ha talento per fare un mestiere e c'è chi no, non servono concorsi o master o abilitazioni del cavolo, ecco perché in Germania Inghilterra ecc tutto funziona, chi ha i titoli viene messo alla prova, se è abile va avanti altrimenti cambia lavoro... in Italia uno continua creando solo danni.
Però abilitazioni e concorsi servono per mettere alla prova chi ha i titoli.
@@ValerioPattaro le prove per i titoli sono già state superate, nel lavoro serve valutare se si è capaci di applicarle e adatti al mestiere nel lato concreto. La Germania funziona, linghilterra anche , Danimarca e Svizzera non ne parliamo, ecc, l'Italia? Fallita in tutto, dimostrato dai fatti e dalle statistiche, ignoranti imbarazzanti e analfabeti funzionali compresi i laureati , tutto nero su bianco eh non lo dico io.
Direi di cambiare tutto e farla finirà con le scemenze, siamo I pagliacci nel mondo, persino peggio dei Paesi più trogloditi, almeno questi hanno delle giustificazioni e una dignità.