0,9 periodico è minore di 1?
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- เผยแพร่เมื่อ 28 ส.ค. 2024
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A me sembra un paradosso anche se da un punto di vista puramente matematico ci sta. Se avessimo una barra lunga un metro, misurata con un apparecchio ultrapreciso e una lama laser ipoteticamente utraprecisa, che ti taglia anche le molecole, e dovessimo dividerlo in tre parti, le tre barre risultanti quanto misurerebbero ognuna? Una sarebbe 0,333333....ma le altre due per forza di cose dovrebbero misurare una 0,333....ma alla fine ci sarebbe un 4, mentre l'altra un 2. Qui si va sulla metafisica, perchè come supponiamo un infinito a crescere, cioè verso il grande, allora abbiamo anche un infinito verso il piccolo. Che sarà piccolo in un modo a noi inimmaginabile, ma avrà sempre un "qualcosa" più piccolo di lui. Cioè questa dimostrazione matematica si direbbe convenzionale, in fin dei conti, perchè non possiamo, con la nostra mente, immaginare diversamente.
😂😂😂😂😂
Ho sempre detto che i famosi 9,99 del supermercato sono 10 euro e ora ne ho la conferma 😂😂😂
Quelli del supermercato non sono infiniti... Comunque simpatico.
@Acheron Fossae 😂
🤣😂😂😂😂🤣🤣🤣
we have a winner!
9.99 non è periodico quindi non è 10. Devono tornare l'un centesimo, che puntualmente non prenderai mai e loro avranno a fine giornata un disavanzo di cassa tale da correggere e compensare delle perdite durante il giorno (se c'è la possibilità ovviamente)
Ci sarebbe anche un'ulteriore dimostrazione che si rifà ad una proprietà dei numeri razionali (e, dunque, valida anche per i reali): per farla breve, presi comunque due numeri razionali distinti, sappiamo che esisterà certamente un terzo numero fra essi compreso. Ma dato che non esiste alcun numero compreso fra 0,9 periodico ed 1, possiamo solamente concludere che essi siano lo stesso identico numero.
Permettimi di correggerti...stai citando una proprieta di Q...vabbè ovviamente è anche una prop. di R...l'assioma di completezza non c'entra
@@alexveri4166 grazie per la correzione
@@alexveri4166 si, si dice che Q è denso in sè cioè ogni qual volta prendo due elementi distinti dell’insieme trovo un elemento tra i due
che poi è il metodo più semplice, veloce ed intuitivo per dimostrarlo
Che cavolate !
Una delle cose toste da accettare. Bellissima e rigorosa la spiegazione. Ho affrontato il problema lo scorso anno con le frazioni generatrici di numeri periodici. 👏👏👏👏👏👏
Un altro modo per dimostrarlo potrebbe essere che 1/3=0.3̅, e se lo moltiplicassimo per 3 dovremmo ottenere per forza 1 (perché 1/3*3=1), quindi sappiamo che chiamarlo 0.9̅ o 1 non fa differenza.
Ho appena scritto la stessa cosa e per me è una dimostrazione altrettanto rigorosa ma più semplice dell'equazione
Questa mi è piaciuta molto. Elegante.
Si ma chi l'ha detto che 1/3 = 0,3 periodico?
Peccato che 1/3 non faccia 0.3 periodico ma come sia in realtà semplicemente arrotondato a questo numero essendo il più vicino al risultato
Non è vero, se tu tagli una torta in 3 parti e poi le rimetti assieme, non otterrai esattamente la stessa quantità di torta, perché un po' rimarrà sul coltello
Un' ulteriore dimostrazione per confermare ciò che hai detto nel video, è semplicemente trasformare lo 0,9 periodico in un a frazione con la sua regola, semplificando il numeratore e il denominatore il risultato verrà 1.
E no, poiché una regola non è una dimostrazione, bensì soltanto la fase successiva alla seconda dimostrazione che lui ha fatto quando parlava che 10x = 9,99999......
Numeri naturali
1. Espressioni con numeri naturali
th-cam.com/video/q1Vh-fB02t0/w-d-xo.html
2. Proprietà delle potenze
th-cam.com/video/KttXXe5BMDU/w-d-xo.html
th-cam.com/video/S5KImYQscoA/w-d-xo.html
3. Scomposizione in fattori primi e MCD
th-cam.com/video/w3ZpydEr5mQ/w-d-xo.html
4. Scomposizione in fattori primi e mcm
th-cam.com/video/EJgn-345QO4/w-d-xo.html
Numeri interi relativi
5. Espressioni con numeri relativi (senza potenze)
th-cam.com/video/_cT4g6TblEg/w-d-xo.html
6. Espressioni con numeri relativi (con potenze)
th-cam.com/video/Gj3wgvPseEo/w-d-xo.html
th-cam.com/video/2hzDhoXs3Ag/w-d-xo.html
th-cam.com/video/Sp4vVphnaGQ/w-d-xo.html
7. Espressioni con numeri relativi (con valori assoluti)
th-cam.com/video/oZ3WfJCpOKA/w-d-xo.html
Numeri razionali
8. Trasformare una frazione in numero decimale (senza calcolatrice)
th-cam.com/video/q5LuebtZWk4/w-d-xo.html
9. Trasformare un numero decimale in frazione
th-cam.com/video/oCSSqUOYaq8/w-d-xo.html
10. Sommare e sottrarre frazioni
th-cam.com/video/-Vdw7yp5tB4/w-d-xo.html
11. Percentuali
th-cam.com/video/aeDqJU6qEKo/w-d-xo.html
th-cam.com/video/JHIV83VU70A/w-d-xo.html
th-cam.com/video/GFoQxIF84mw/w-d-xo.html
12. Espressioni con frazioni (senza potenze)
13. Espressioni con frazioni (e potenze)
th-cam.com/video/nvPIkNvuDdM/w-d-xo.html
14. Espressioni con frazioni (e potenze con esponenti negativi)
th-cam.com/video/XKQbeFKka6Y/w-d-xo.html
15. Espressioni con numeri decimali e frazioni
th-cam.com/video/D7WSXPSgxQc/w-d-xo.html
16. Espressioni con frazioni a castello
th-cam.com/video/_jHvIkFJERw/w-d-xo.html
17. Notazione scientifica
th-cam.com/video/Nr2iSAeKXck/w-d-xo.html
18. Proporzioni
th-cam.com/video/zA5BogUQmbI/w-d-xo.html
th-cam.com/video/mB_puqqewnI/w-d-xo.html
th-cam.com/video/VTxmJgCiHls/w-d-xo.html
Monomi e polinomi
19. Espressioni polinomiali (senza prodotti notevoli).
th-cam.com/video/q2z-XWNu_lw/w-d-xo.html
20. Prodotti notevoli
th-cam.com/video/siNPLVNmEnc/w-d-xo.html
th-cam.com/video/THg0YysbE0M/w-d-xo.html
th-cam.com/video/bOfWJmI9oBA/w-d-xo.html
21. Espressioni polinomiali (con prodotti notevoli).
th-cam.com/video/WLq411hRVQA/w-d-xo.html
22. Divisione con resto tra polinomi
th-cam.com/video/3g_IfmP56SU/w-d-xo.html
23. Fattorizzazione dei polinomi
th-cam.com/video/nZ1aQ66dC0Y/w-d-xo.html (teorema del resto)
th-cam.com/video/EW6SAi20Kno/w-d-xo.html (riconoscimento p. notevoli)
th-cam.com/video/Paf14cWR5HI/w-d-xo.html (trinomio speciale)
th-cam.com/video/6V3hfZykqzk/w-d-xo.html (trinomio speciale)
th-cam.com/video/uP1BFfaFev8/w-d-xo.html
th-cam.com/video/iWrVlFlCTJs/w-d-xo.html
th-cam.com/video/uP0Y6veYNiw/w-d-xo.html (scomp peruviana)
Frazioni Algebriche
24. Somma e sottrazione di frazioni algebriche
th-cam.com/video/e39T-4-20w0/w-d-xo.html
25. Moltiplicazione, divisione e potenze di frazioni algebriche
th-cam.com/video/jO8Mscc_3T8/w-d-xo.html
26. Espressioni con frazioni algebriche
th-cam.com/video/HWCEM16M8LY/w-d-xo.html
Equazioni di primo grado (o ad esse riconducibili)
Extra: storia delle equazioni
th-cam.com/video/5u8kAP8K0nw/w-d-xo.html
27. Equazioni di primo grado a coefficienti interi
th-cam.com/video/dRZL9Q2hhJE/w-d-xo.html
28. Equazioni di primo grado a coefficienti frazionari
th-cam.com/video/v1PaznEBabY/w-d-xo.html
29. Equazioni riconducibili al primo grado tramite legge di annullamento del prodotto
th-cam.com/video/fiesaCxBJag/w-d-xo.html
30. Equazioni frazionarie riconducibili al primo grado
th-cam.com/video/BW1QU_atVgg/w-d-xo.html
31. Equazioni di primo grado letterali
Disequazioni di primo grado (o ad essi riconducibili)
32. Disequazioni di primo grado.
th-cam.com/video/LshJLaNzzFg/w-d-xo.html
33. Disequazioni riconducibili al primo grado tramite regola dei segni
th-cam.com/video/2Ul3Tk-tZR8/w-d-xo.html
34. Disequazioni frazionarie di primo grado
th-cam.com/video/x6IznP_y-V8/w-d-xo.html
35. Disequazioni di primo grado parametriche
Sistemi di equazioni e di disequazioni di primo grado
36. Sistemi lineari, metodo di sostituzione
th-cam.com/video/D2ei8sITwIQ/w-d-xo.html
37. Sistemi lineari, metodo del confronto
th-cam.com/video/SgrSNVO_LE0/w-d-xo.html
38. Sistemi lineari, metodo di riduzione
th-cam.com/video/fOPMS2vl77I/w-d-xo.html
39. Sistemi lineari, metodo di Cramer
th-cam.com/video/qBf5SiNlQVU/w-d-xo.html
40. Sistemi lineari Parametrici
41. Sistemi di disequazioni lineari
th-cam.com/video/qygmLTdXC0c/w-d-xo.html
Radicali
42. Prodotti e divisioni con radicali numerici (anche con indici diversi)
th-cam.com/video/UUgmFsfJ2WY/w-d-xo.html
43. Prodotti e divisioni con radicali letterali (anche con indici diversi)
th-cam.com/video/iBvOW2L4AB8/w-d-xo.html
44. Espressioni con radicali letterali e condizioni di esistenza
th-cam.com/video/T29JNZkUK2s/w-d-xo.html
45. Portare dentro e fuori dal segno di radice
th-cam.com/video/95ytYKGg3zw/w-d-xo.html
46. Potenze e radici di radicali
th-cam.com/video/2-xOLciaCrA/w-d-xo.html
47. Razionalizzare il denominatore di un radicale
th-cam.com/video/sOgQ2Q8A4js/w-d-xo.html
48. Espressioni con radicali (senza prodotti notevoli)
th-cam.com/video/sOgQ2Q8A4js/w-d-xo.html
th-cam.com/video/xEGEygAjRdA/w-d-xo.html
49. Espressioni con radicali (con prodotti notevoli)
th-cam.com/video/jLZlTvHjl6U/w-d-xo.html
50. Espressioni con radicali (con radicali doppi)
th-cam.com/video/Mr0-IokII6Y/w-d-xo.html
51. Equazioni e sistemi lineari con i radicali
th-cam.com/video/xE_CCdBYTH4/w-d-xo.html
52. Potenze con esponente razionale
th-cam.com/video/0LGplVIVRzs/w-d-xo.html
Equazioni e sistemi di secondo grado (o ad esse riconducibili)
53. Equazioni di secondo grado
th-cam.com/video/mzEyabWASvo/w-d-xo.html
th-cam.com/video/AxPHI0f2Yog/w-d-xo.html
th-cam.com/video/GetpsTrLKZM/w-d-xo.html
54. Equazioni frazionarie riconducibili al secondo grado
th-cam.com/video/lBl4QlDIW8w/w-d-xo.html
55. Equazioni di secondo grado letterali
th-cam.com/video/dc_oV-9Ex2c/w-d-xo.html
56. Somma e prodotto delle soluzioni di un’equazione di secondo grado
th-cam.com/video/032vEtuJB94/w-d-xo.html
th-cam.com/video/B2Z3Qrjb37M/w-d-xo.html
57. Scomporre un trinomio usando l’equazione di secondo grado
58. Sistemi di secondo grado
59. Equazioni di grado superiore riconducibili al secondo grado
th-cam.com/video/GQYuZJLKYAI/w-d-xo.html (binomie)
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Disequazioni e sistemi di secondo grado (o ad essi riconducibili)
60. Disequazioni di secondo grado
th-cam.com/video/dvHO_iV0-S0/w-d-xo.html
61. Disequazioni di grado superiore al secondo
62. Disequazioni fratte
th-cam.com/video/QwkmLNUAbFk/w-d-xo.html
th-cam.com/video/6u9UdjNtmnE/w-d-xo.html
th-cam.com/video/5oMXXEJDhw4/w-d-xo.html
63. Disequazioni letterali
64. Sistemi di disequazioni
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th-cam.com/video/mxVmvmUYgY0/w-d-xo.html
Equazioni e disequazioni irrazionali e con valori assoluti
65. Equazioni con valori assoluti
th-cam.com/video/LO_90Y_TFuA/w-d-xo.html
66. Disequazioni con valori assoluti
th-cam.com/video/qdRSLVBvojI/w-d-xo.html
th-cam.com/video/8xuXCGJiHV0/w-d-xo.html
67. Equazioni irrazionali
th-cam.com/video/UWtnCzOeWZ8/w-d-xo.html
68. Disequazioni irrazionali
Calcoli a mente in modo rapido
th-cam.com/video/_i67fFJCD-Y/w-d-xo.html
th-cam.com/video/nvSYIapDl3g/w-d-xo.html
th-cam.com/video/84h16r42tDE/w-d-xo.html
th-cam.com/video/ZbZqk--YIxM/w-d-xo.html
th-cam.com/video/g4KcFZZiKWQ/w-d-xo.html (logaritmi)
Ci può essere un altro ragionamento che può aiutare a comprendere questa stramba uguaglianza:
Se dovessimo dividere 1 per 3 si ha 0.3 periodico.
Moltiplicando per 3 tale valore si otterrà 0.9 periodico.
Mettendo insieme le due operazioni abbiamo semplicemente fatto 1/3*3=1.
Dunque 0.9 periodico = 1
Ok, ci può stare. ma allora perché la calcolatrice di Windows mi dice 1/3 = 0,3 periodico, ma 0,3 periodico x 3 = 1? Dovrebbe dare 0,9 periodico in base al tuo ragionamento. Comunque grazie 👍
Da 1 perché 0,9periodico è uguale a 1 e quindi il 9 periodico diventa superfluo.
@@alessandrocoopman9135 a questo dó io una risposta, qualsiasi programma non può avere niente di infinito, quindi non può avere infiniti 9 dopo la virgola e, dato che altrimenti dà errore, il programmatore ha approssimato direttamente a 1 😎
@@alessandrocoopman9135 perché molti fanno un ragionamento di approssimazione, quindi questo video non è vero riguardo calcoli perfetti
Secondo me in matematica le operazioni al limite sono una cosa diversa. Non si possono fare degli arrotondamenti senza specificare se no ci si fa un'altra matematica per conto proprio. Nella matematica ufficiale il calcolo al limite è da intendersi come un'approssimazione
Si può dimostrare anche con le frazioni: 1/3+1/3+1/3=1
1/3=0,3periodico*3=0,9 periodico
0,9periodico=1
Anche questo è argomento molto "intrigante", di solito gli allievi iniziano a discutere animatamente sul fatto che quel numero sia o meno uguale a 1. Io credo che l'intuizione sia "difettosa" in questo caso, e deve cedere il passo al rigore. Solo una piccola precisazione: proprio per evitare che ci siano diverse rappresentazioni decimali dello stesso numero reale la scrittura col 9 periodico non è ammessa. Per il resto ottimo video.
Non è ammessa da chi?
@@gdaaps nella definizione di rappresentazione decimale di un numero reale si esclude la scrittura col 9 periodico: è una scelta dei matematici per fare sì che la rappresentazione decimale sia unica
Effettivamente ci sono ambiti in cui è necessario costruire funzioni iniettive partendo dall'insieme delle rappresentazioni decimali, nel qual caso bisogna scegliere se considerare come rappresentazione dei numeri con un finito numero di cifre decimali diverse da 0 o la rappresentazione classica (es. 0,455) o la rappresentazione periodica (0,4549999...) che rappresentano lo stesso elemento di R.
La cosa interessante è che questo è un problema strettamente di rappresentazione, infatti si ripropone nella stessa misura anche prendendo una base diversa da 10 per rappresentare gli elementi di R. Ad esempio in base 3, 1=0.2222222...
Non ho capito perchè non dovrebbe essere ammessa la scrittura col 9 periodico... se rappresentano lo stesso numero io posso utilizzare la rappresentazione che voglio.
@@matteoZattera puoi usare una o l'altra scrittura, ma non entrambe, perché assegnerrsti due volte un'immagine allo stesso oggetto. Scegliere solo una delle due semplifica tutto, tagliando di netto il rischio di contare due volte la stessa cosa
Si ma anche provando a scrivere 0,999999999... come frazione otterremo che 0,99999999...=1. Ovvero abbiamo 0,9 periodico e scriviamo al numeratore le cifre del numero indistintamente se siano prima o dopo la virgola e sottraiamo le cifre delle unità; cioè al numeratore: 09 - 0 = 9. Al denominatore scriviamo tanti 9 quante sono le cifre periodiche; in questo caso una sola, quindi scriviamo 9 al denominatore. Quindi 0,99999999... = 9/9 = 1.
Comunque bel video: semplice e chiaro per i miscredenti ;)
Oppure ancora utilizzando la definizione di rappresentazione decimale di un numero:
0.(9) = 9/10 + 9/10² + 9/10³ + ...
= 9(1/10 + 1/10² + 1/10³ + ...)
Che è una serie geometrica. Ricordiamo infatti che
1 + x + x² + x³ + x⁴ + ...
= 1/(1 - x),
Perlomeno se |x| < 1. Quindi
La somma di tali numeri è
9 • [1/(1 - 1/10) - 1] =
= 9 • 1/9 = 1.
Ci avevo pensato anch’io, è una dimostrazione molto rigorosa ma non adatta a studenti di primo/secondo superiore
Sto scoprendo un mondo affascinante. Esponi in modo sublime e riesci a far comprendere i concetti alnche agli ignorantoni come me. Credo che andrò a recuperare i vecchi testi di scuola per reimpossessarmi delle basi perchè vedo che la matematica è molto interessante. Grazie
Seguo sempre con piacere il tuo canale perchè è un'occasione per allenare la mente. Ora, la prima dimostrazione mica mi ha convinto per la ragione che stai utilizzando il concetto di infinito e quindi se nell'ambito di un limite e non di un Reale. La seconda per come l'hai messa è tautologica: se parti dall'equazione 10x = 9.9 (periodico) allora il passo logico per la scrittura seguente è 10x - x = 9.9 (periodico) - x; da cui x = 0.9 periodico.
Coerente con l'impostazione iniziale ;)
Link alla playlist "Aritmetica e Algebra":
th-cam.com/play/PLM3M-5ytwzzMMaMPZT4VUtzzcectZE6DN.html
Secondo me il modo più semplice di dimostrarlo è utilizzare la rappresentazione in frazione dei numeri periodici. Io l'ho scoperto proprio così.
0,9 periodico = 9/9 = 1
2,9 periodico = (29-2) /9 = 3
1.9 non ti piaceva? 😂
Ma 0.9 è 9/10, perchè 0.9periodico dovrebbe essere 9/9 se la base è sempre decimale? 😭😭😭😭 Odio sta roba ma mi intriga conoscere le spiegazioni, che però puntualmente mi convincono sempre meno 🤯😭
@@Feredino28 Perché per trovare un numero decimale periodico, bisogna dividerlo per 9, è la regola. 1/9 fa 0,1 periodico, 2/9 fa 0,2 periodico, 3/9 fa 0,3 periodico, quindi 9/9 fa 0,9 periodico, però 9/9 fa anche 1... quindi questo ridimostra che sono la stessa cosa.
Steve Lace avevo ragionato anch'io così che 9/9 = 1
infatti la seconda dimostrazione sfrutta ciò che hai detto te, se cerchi su internet la dimostrazione di come scrivere i periodici in frazione e perchè si faccia così, ti viene fuori la stessa dimostrazione del video generalizzata
Sono sempre stato affascinato dal "comportamento" dei numeri quando si parla di "infinito"... c'e' secondo me un difetto di fondo, molto filosofico, ossia che consideriamo e diamo per buona l'ipotesi che i numeri "all'infinito" si comportino come quelli finiti, il che e' molto discutibile. Argomento in ogni caso molto affascinante e pieno di sfaccettature!! Grazie Valerio!!
conconrdo in pieno. Infatti mi ponevo qualche dubbio sulla validità della sottrazione tra 9,9 periodico e 0,9 periodico, essendo due numeri con decimali che vanno all'infinito
@@valeriominopoli3440 Ho pensato la stessa cosa. Anzi, aggiungo che questa potrebbe, per assurdo, essere la dimstrazione che l' "infinito" non esiste ma è solo un artificio matematico. Non sono il solo a pensarlo.
Dimostrazione rigorosa, ma altrettanto semplice 1/3 =0,3 periodico... Quindi 1/3 +1/3 +1/3 = 3/3 =1
oppure calcolando la frazione generatrice di 0,(9)
0,(9) = (9-0)/9
@@giuseppebutti8101 frazione generatrice? Wut
peccato che uno diviso 3 non è 0,3 periodico
@@nobo00000 e cosa scusi? 0,3333333333333333333
@@nobo00000 e cosa sarebbe allora?
La limitatezza dell'essere umano non ci permette di comprendere l'illimitatezza dell'infinito - non possiamo immaginarcelo e quando usiamo l'intuizione lo "Limitiamo" a priori :)
Probabilmente non sarà rigorosa, ma esiste una terza dimostrazione: 1/3*3.
Posso risolvere questo conto in ordine, ottenendo quindi 0,3... periodico *3 =0,9 periodico
Oppure posso risolverlo come 1*3/3, dove 3 e 3 si semplificano. E rimane 1
sarebbe un errore, perchè quando elimini le decine periodiche è come dire infinito - infinito, il che in matematica è una forma di indecisione, quindi non si può fare. sarebbe più giusto dire che il limite per (x-->0,9periodico) di x =1
Va forse però anche notato che qui non sono in essere funzioni con valori di tendenza sottoposti a gerarchie variabili con relative indecisioni bensì entità scalari pure, assolutamente uguali nel loro estendersi identicamente ricorsivo in passaggi operativivi formalmente adeguati.
1. non si sta parlando di limiti, ma di equazioni, che significa che si sta calcolando una quantità esatta
2. un numero periodico non è infinito. un numero con infinite cifre non è infinitamente grande (che è il senso di infinito da usare nei limiti), infatti basta pensare a un qualsiasi numero irrazionale come π, che ha infinite cifre ma non è infinito
@@vorteex0_623π non è infinito?
@@FaunadiEdiacara π ha un numero infinito di cifre, ma è un valore finito, come lo sono tutti i numeri reali.
@@vorteex0_623 ok
Un’altra spiegazione si può ottenere dalla trasformazione di un numero periodico in frazione:
0,99999 = 9/9
9/9=1
Ehm non proprio... La frazione avrebbe come numeratore infiniti 9 e denominatore idem. Alla fine cmq torna sempre 1 pk due numeri uguali divisi fanno 1
@@mishabs no, perché si tratta di frazione generatrice. Dunque al numeratore ci vanno tanti nove quante sono le cifre periodiche e al numeratore il numero. Viene 9/9 che semplificato è 1/1=1
Al denominatore*
Complimenti per aver trattato il problema del 0,9periodico = 1. Se posso, secondo me all'inizio quando dici che 1 - 0.9periodico distano 0.0000.....001 rompi la dimostrazione. Nel senso che, come infatti è successo nei commenti, ti possono dire che quello non è 0, perché un 1 c'è, anche se all'infinito. Una correzione potrebbe essere questa: hai dimostrato che 1 e 0.9periodico hanno distanza piccola a piacere. Quindi la loro distanza deve essere nulla, cioè sono uguali. Il nocciolo è che questa uguaglianza è, almeno per chi è alle prime armi con la matematica, molto poco intuitiva. Quindi è difficile controbattere questo con una "dimostrazione intuitiva". Una opzione quindi è provare una dimostrazione rigorosa. Peccato che questa necessità di varie cose tra cui
Definizione di limite
Definizione di cosa intendiamo con scrittura decimale infinita. O come serie, e qui serve tutta la teoria delle serie, o tramite intervalli incapsulati e teorema di Bolzsno-Weistrass. Tutto questo però non è certamente per chi è alle prime armi con la matematica.
Complimenti per il video comunque, personalmente non so se riuscirei a convivere una persona di questa uguaglianza
Buonasera professore.
Io mi ero dato una dimostrazione un po' differente:
1/3= 0,3 periodico
3 * 1/3 = 0,9 periodico
Ma 3 * 1/3 =1 pertanto 1 = 0,9 periodico.
Le sembra errata?
Secondo me è giustissima. La trovo più intuitiva dell'applicazione della regola, e completamente incontestabile.
Saluti.
Non so se possa considerarsi corretta, ma mi è piaciuta molto come spiegazione.
La stessa che ho dato io , bravo, è corretta!
Ottimo video Professore e ben spiegato, a sfatare un modo errato di definire un evento «quasi» sicuro e dire "sicuro al 99,9 periodico%", quando dicendo così si dichiara un evento certo! Mi perdoni ma la prima dimostrazione non la farei con gli increduli, perché potrebbero obiettare che togliere l'"1" dopo infinito è pur sempre un'approssimazione, cosa che non è affatto ma con chi è digiuno di matematica forse non è l'approccio migliore. Ottima e chiara invece la seconda, comprensibile veramente da chiunque e quindi fortemente divulgativa.
Io ne ho una mia (ma dubito di averne la paternità), che consiste nel calcolare il valore numerico della frazione 1/3 = 0,3 periodico, e moltiplicarlo per 3, ottenendo 0,9 periodico. Ora fare la stessa cosa moltiplicando la frazione 1/3 per 3: otteniamo 1, e non c'è nessuna approssimazione nel dire che 3/3 è 1. Ma 3/3 è pure 0,3 periodico x 3 ossia 0,9 periodico, che quindi è coincidente con 1. Pertanto dire 0,9 periodico e dire semplicemente 1 sono due modi di esprimere l'unità.-
1 diviso 3 non è 0,3 periodico
@@nobo00000 e che cosa sarebbe?
Scusate non sono un professore, ma questo significa che una funzione può incontrare l'asintoto?
no
Devo dire la verità, la prima dimostrazione (quella intuitiva) non mi aveva convinto, poi la seconda non mi ha più lasciato alcun dubbio
Grazie professore
idem
un altro esempio potrebbe essere quello di trovare la frazione generatrice di 0,9 periodico, osservando che 9-0=9 e c’è una sola cifra del periodo e quindi si aggiunge un solo 9 al denominatore ottenendo 9/9 che è uguale a 1
Questa è solo una regola, non la dimostrazione
Sarebbe curioso rispondere sul perché l'intuizione (che sempre è stata uno strumento con cui affrontiamo la matematica) c suggerisce che sia minore.
Premessa, ho istruzione universitaria in materie scientifiche, ma non sono un matematico.
Cerco comunque di fare le pulci a questa uguaglianza.
Le dimostrazioni presentate (come tante altre), hanno un punto debole: assumono che quel numero esista.
Facciamo due paralleli:
Primo parallelo:
S = somma di tutti i numeri interi positivi si può "dimostrare" uguale a -1/12 (o altri valori con metodi diversi).
L'errore nelle dimostrazioni è alla partenza, ovvero si assume che S esista e si fanno operazioni matematiche su di esso. Non esistendo, le operazioni non hanno senso.
Secondo parallelo:
Quando si calcola il valore di una frazione continua, si trova il risultato sostituendo in modo opportuno un simbolo, al pari dell'esempio della somma di tutti i numeri interi positivi.
Qualunque sia il risultato trovato, non va però preso come necessariamente soluzione, ma va prima dimostrato che la frazione continua converga e che lo faccia in modo univoco indipendentemente da eventuali "semi" (il seme è ciò che si nasconde alla fine dei "..." che indicano la sequenza infinita).
Se si dimostra ciò il risultato è la soluzione (esattamente come succede per una serie convergente).
Ora può sembra ovvio che un numero come 0,99... esista, ma in effetti per quel che so (e qui partono i miei dubbi) non è un numero reale (cioè dell'insieme R).
Esiste infatti l'insieme dei numeri iper-reali (detto R*) definito in modo rigoroso al pari di quello di R che ne è un sotto-insieme.
In questo insieme esiste epsilon infinitesimale (che al contrario non esiste in R).
Ora, 0,99... è proprio 1-epsilon ed è ben definito in R*.
Se 1-epsilon sta in R* ma non in R, allora non può essere uguale a 1, visto che 1 sta sia in R* che in R. Altrimenti avremmo un numero che contemporaneamente sta in R e non sta in R ;)
Argomentazione interessante, ma 0,9 periodico è dimostrato essere un numero reale. Ed è quindi parte della retta reale ed equivale a 1 non solo con la dimostrazione del professore, che effettivamente deve basarsi su cose che il professore non ha indicato (d'altronde che il buon ramanujan avesse ragione di credere che la somma dei naturali sia -1/12 è piuttosto assurdo).
Ma ci sono tanti modi di giungere a questa dimostrazione, partendo dal fatto ad esempio che 0,9 periodico = 1/3*3, o, una volta acclarato essere un numero reale, dimostrare che 1-0,9 periodico =0, e, con una dimostrazione più rigorosa di quella proposta intuitivamente dal professore, usando la discesa infinita di euclide, concludere che la differenza fra i due numeri NON può essere positiva, ma è proprio 0
Poi certo, ci si può anche addentrare nei numeri iperreali, ma allora deve cadere l'assioma di completezza di R, che è un assunto fondamentale per tutta la teoria analitica costruita a posteriori su di esso.
vuoi un esempio dove stai sbagliando il tuo metodo di calcolo? peso specofoc e peso assistito o vincolo massa, viene calcolato in base al numero astratto o proprietà di comparazione, quindi NON COMMUTATIVE, l'esempio di 09 periodico è centilli il sale negli alimenti? il periodico non riguarda solo numeri interi . è un sistema vario e fuori controllo il periodico .
Ecco un'altra dimostrazione:
1/3 = 0,333333333...
2/3 = 0,666666666...
3/3 = 0,999999999...
Quindi abbiamo concluso che
3/3 = 0,9999999
ma 3/3 è anche uguale a 1
Quindi in altre parole
0,9999999 = 3/3 = 1
Anche se arrivo qua dopo 2 anni o più, ho sempre interpretato 10/3 come una divisione senza un risultato vero e proprio, perché non esiste un numero decimale o intero che moltiplicato per 3 dia 10 (ovviamente vale anche per tutte le potenze di 10).
0,3 periodico è la cosa più vicina al risultato perché moltiplicarli per 3 dà 0,9.
(10:3)x3 ≠ 1
Secondo me 0,9999... è semplicemente un altro tipo di numero che non può essere assimilato a ciò che intendiamo con il numero 1. Esprime infatti l'idea di un infinito potenziale (= si può sempre aggiungere un altro 9) e non è lecito trattarlo come un numero cardinale finito rispetto al quale si può fare ad esempio una operazione di moltiplicazione per 10.
Non sono esperto di matematica, ma mi sembrano due costrutti differenti e non assimilabili logicamente.
peccato che non ci sia spazio per i secondo me, a meno che non si discuta su quale set di assiomi adottare. una volta d’accordo sugli assiomi, le opinioni sono finite a parte per le cose non ancora dimostrate o quelle di cui è dimostrata l’indimostrabilità e questo non è certamente il caso
E' infatti una questione controintuitiva ma comunque dimostrata e quindi matematicamente vera.
secondo me l'errore di fondo di questa dimostrazione è pensare che 9,99 periodico - 0,99 periodico faccia 9. Sottrarre qualcosa ad un numero infinito e pensare che infinito - qualcosa (sia esso anche un meno infinito)= numero finito dimostra come l'uomo sia solo una scimmia arrogante e presuntuosa.
Sempre ammesso che l'infinito esista davvero, che l'interpretazione matematica che diamo ad infinito sia quella corretta e che ciò che chiamiamo infinito non sia soltanto un numero uguale ad ogni altro ma talmente grande che il nostro cervello limitato non riesce a comprendere.
In sostanza questa dimostrazione non può essere materialmente provata scrivendo infiniti 9 quindi è una dimostrazione non valida, inutile teoricamente e praticamente
No 9,9 periodico - 0,9 periodico fa effettivamente 9, infatti 9,9 periodico è uguale a 10 e 0,9 periodico è uguale a 1 quindi 10 - 1 = 9. Poi dici che 9,9 periodico e 0,9 periodico sono numeri infiniti e infinito - qualcosa = numero finito, che significa? Si è vero, i numeri periodici hanno infinite cifre ma sono sempre numeri quindi indicano una quantità ben precisa, infinito invece è un concetto non un numero quindi la tua associazione 9,9 periodico = infinito non ha nessun significato. Tutto il resto non centra nulla con il discorso, i concetti matematici non hanno "vita propria" sono costruiti dai matematici per dare una descrizione della realtà, non hanno esistenza propria ne tanto meno possono essere provati sperimentalmente, infatti la matematica non è una scienza, è soltanto logica
@@samueleberdusco7675 infatti dici che infinito non centra nulla con 9,9 periodico ma 9,9 periodico e per definizione un numero con infiniti 9 quindi dov'è la logica nell'applicare al concetto d'infinito definizioni diverse in base a quella che sul momento ci fa più comodo? Inoltre non sempre la logica è sinonimo di esattezza e si potrebbero fare "infiniti" esempi a riguardo.
Marco, nelle serie assolutamente convergenti puoi sommare i termini a 2 a 2.
Ancora una volta sono bastate poche parole per farmi capire cose che non accettavo ma dovevo usare.
Grazie alla spiegazione priva di rigore, si riesce a spiegare il rigore.
Vero! Non ci avevo mai pensato.
Infatti pochi giorni fa mi era capitato di fare 0,99999... + 1 e veniva 2.
Sembra che il video sia comparso apposta😂
Non so se può valere quest'altra dimostrazione: se due numeri sono diversi, deve esserci fra loro un numero intermedio; poiché tra 0,9 periodico e 1 non è possibile trovare alcun punto intermedio, ne deriva che i due numeri sono identici.
Carina questa
Scritta più rigorosamente può valere, nella misura in cui, essendo R completo, due elementi sono uguali se e solo se la loro differenza è 0. Quindi si può costruire una dimostrazione per assurdo, assumendo che 1-0,9 periodico = y, con y>0. Con un metodo analogo alla discesa infinita di euclide si giunge a dimostrare che y non può essere un numero positivo, ed è quindi pari a 0, contro l'ipotesi che 1 e 0,9 periodico siano due numeri distinti
Video interessante, ma purtroppo la dimostrazione non ha senso, se avesse senso potremmo dire che la famosa differenza tra [+∞-∞] faccia 0 ma come tutti sappiamo non è così. Ora vi spiego la mia "antidimostrazione dell'argomento trattato in questo video". Come tutti sappiamo quando un numero in questo caso (il 9) della cifra 0.9, ha un trattino sopra, significa periodico, ovvero che si ripete tale all'infinito (dopo la virgola). Perfetto, piccola pausa per assorbire bene il concetto. Benissimo. In entrambe le dimostrazioni presentate nel video siamo costretti a sottrarre "infiniti 9" da "infiniti 0" oppure "infiniti 9" da "infiniti 9", quindi non siamo certi faccia 0 perché stiamo parlando di entità infinite non di numeri reali !!! Se queste dimostrazioni fossero prese per buone allora vorrebbe dire che la famosissima forma indeterminata [+∞-∞], non sarebbe presa come tale e che di conseguenza potremmo dire faccia 0. Ma come tutti noi sappiamo NON È COSÌ !
Poiché è assurdo che 1=0,9periodico, vuol dire che anche se parliamo di infinito, quando moltiplichiamo per 10 il termine con il 9periodico viene decalato verso sinistra lasciando un posto vuoto (o zero) alla fine. Il che dimostra che i due termini non sono uguali, como in effetti non lo sono. Salve.
ci sono numerosi dimostrazioni che affermano ciò invece, un esempio è, oltre a ciò che viene detto nel video, anche sfruttando la serie geometrica, perciò si, 0,9 periodico e 1 sono uguali, ed è un dato di fatto
Santo ma cosa dici? Se un decimale finito come 9,999●10= *99,99* , allora anche in un decimale periodico come 4,9999999999999999......9 ● 10 = *49,999999999999.........9* ovvio no? Moltiplicare ●10 significa che la VIRGOLA si sposta di 1 posizione verso destra, se moltiplichi ●1000 è ovvio che la virgola si sposti di 3 posizioni verso destra, e visto che il PERIODO è firmato da soli *NUMERI 9* ...... qualsiasi sarà la moltiplicazione di *10^n* , la virgola si attesterà dinanzi a un *9* ! LA LOGICA È LOGICA IN MATEMATICA. Quindi come fai a dedurre certe cose che non sia vero? E poi se parliamo di una sequenza di *9 infiniti* da dove esce che dopo aver moltiplicato ●10 alla fine della sequenza INFINITA si aggiunga uno ZERO?? Oh my god. Secondo il tuo ragionamento allora se dovessimo moltiplicare un decimale FINITO(e non parlo di periodico), ossia ad es. *28* ,3729135●10 è = a *283* ,729135 si o no? E qui dove lo vedi lo ZERO aggiuntosi alla fine? Quindi SANTO quando affermi una cosa, è meglio che la *dimostri* prima.
Nonostante si ammetta l'esistenza di una cifra infinitesimamente piccola dopo una serie arbitraria di 9 decimali dopo la virgola, essa viene annullata. Per quanti 9 uno possa inserire dopo la virgola, se finiti definiranno un numero minore di 1, e nell'esempio mostrato vien fatto vedere che dopo una serie infinita di zeri esiste un 1 che la chiude (anche se ciò è paradossale). Quindi in matematica non sempre i valori e le entità sono ben definite e differenziate tra di loro, anche qualcosa di molto vicino a qualcos'altro rischia di essere la stessa cosa.
Dissento, qualcosa di "molto vicino a qualcos'altro" non è qualcos'altro. L'unico modo per cui due cose abbiano distanza 0, è che siano lo stesso elemento (nella classe di equivalenza). E sulla retta reale 0,9 periodico e 1 sono due etichette dello stesso oggetto. Dire che 0,9 periodico e 1 sono "molto vicino" è analogo a dire che 3/3 e 1 siano molto vicini!
@@albertoclocchiatti1510 Letto quello che ho scritto? non sembra.
@@finmat95 sì, ed è falso
@@finmat95 qualcosa di "molto vicino a qualcos'altro " non è uguale a qualcos'altro a meno che questa distanza non sia 0. Per quello ho precisato.
La prima parte è ineccepibile, ma nella seconda hai detto qualcosa che ho ritenuto impreciso
@@finmat95 poi mi scuso se nella prima riposta ho dato l'impressione di aver inteso tu sostenessi che i due numeri sono distinti, ma era un modo per sottolineare come l'argomento sulla "vicinanza" mi trovasse in disaccordo. Mi sa che mi sono espresso male
Buona sera Professore, seguo con vivo interesse tutte le sue lezioni.
Complimenti è molto chiaro e aggiungo che ha un timbro di voce accattivante.
Buona Pasqua.
Grazie Franco
@@ValerioPattaro Non mi è mai andata a genio la matematica ma capire il funzionamento delle cose mi ha sempre affascinato e questo video mi è piaciuto molto. Davvero molto bravo nella spiegazione. Una domanda vorrei farti: la fascia ha trovato un modo per viaggiare nel passato? Nel futuro è semplice, vai a velocità luce e ti ritrovi con il tempo sulla Terra dilatato
Non si può andare nel passato
Mi permetto umilmente da ignorante quale sono in matematica il mio pensiero: credo che i due esempi dimostrativi riportati peccano di due errori di base. Nel primo caso trovo errato dire che considero infiniti zeri e per questo trascuro l'unità che li accompagna, essa unità c'è ma è fatta sparire come per magia; un solo atomo nell'infinito numero di atomi che vi sono nell'universo è sempre comune reale. Nel secondo caso 10 meno 0,999 periodico sarà sempre diverso da zero, quindi l'errore è far entrare l'equazione in cui la parte decimale viene fatta sparire.
ma infatti nella seconda dimostrazione viene 9,9 periodico - 0,9 periodico, sapendo che le cifre decimali sono le stesse, allora possiamo sottrarle e rimane così il 9
@@NeriBriganti Infatti come dicevo nella mia affermazione l'errore a mio modesto parere è impostare un'equazione siffatta dal momento che il vero problema è sottrarre un valore periodico all'unità dalla stessa. In questo caso la differenza darà sempre un valore per quanto piccolissimo e infinitesimo reale. Se invece sottraggo valori periodici inferiori all'unità a un numero non intero e maggiore di zero il risultato non potrà mai essere uguale. Posso sbagliarmi ma questo intuitivamente è evidente e palese a mio modesto parere. Mi piacerebbe fosse il professore a darmi una esaustiva risposta di merito.
Gentile prof. Pattaro, lei deve essere clonato. Complimenti vivissimi.
Fantastico. Grazie
grazie queste cose le dovrebbero spiegare anche a scuola ,bel modo di spiegare semplice e chiardo grazie
Quello 0,000...1 è un infinitesimale, ci sono infiniti 0 prima, quindi teoricamente l'1 non c'è mai, ma virtualmente c'è... mentre 0,9999... si avvicina infinitesimamente a 1, ma non lo raggiunge mai: si può quindi concludere che 0,9999... tende a 1 e che 0,000..1 tende a 0.
Lavorando in algebra con numeri reali è normale scadere in errori come questo, sono approssimazioni che si possono fare, ma se vogliamo essere pignoli e trattare questi numeri per come sono, ovvero infinitesimali... si possono comportare da numeri reali se li si considera tali e quindi la tesi portata in questo video è valida, se invece li si considera per ciò che sono... mi di spiace ma sono 7 minuti e 37 secondi di fiato sprecato...
mi dispiace ma sei tu che non ci hai capito un cazzo xD
Sono lo stesso numero. La spiegazione nel video è terribile però, lo ammetto.
Per provare questo fatto basta dare un'occhiata a un paio di frazioni. Per ottenere la frazione corrispondente a 0.9999... si scrive il numero per intero senza virgola (tralasciando le infinite cifre dopo il primo 9) e si sottrae la parte intera e l'antiperiodo (qui assenti). Poi si divide per tanti nove quante le cifre diverse di periodo seguiti da tanti zeri quante le cifre dell'antiperiodo. Per cui 9/9 è uguale a 0.9999... ma, guarda caso, 9/9 è innegabilmente uguale anche a 1. Per cui si deduce che 0.9999... e 1 siano lo stesso numero.
@@mThund3R_ ma che provi a spiegare sta roba a uno che scrive “tende a 1” parlando di una cosa che non è una funzione? tempo perso. ha capito male il concetto di limite e pensa di dare lezioni. è in preda all’effetto dunning kruger senza scampo. se rispondesse che ha ragione lui e basta o non rispondesse affatto non mi sorprenderebbe.
ho riletto il commento è incredibile quanto non capisci un cazzo di matematica. pensi che i numeri siano quantità variabili che possono tendere a un altro numero, pensi che i numeri reali siano appannaggio dell’analisi e che l’algebra non possa occuparsene… ma ti posso chiedere cosa hai studiato, visto che non sai nulla e vieni a fare il maestrino del cazzo?
MThund, quella che ho fatto è la dimostrazione di ciò che dici
Fantastico, veramente fantastico!
In realtá c é un’altra dimostrazione ancora piu pulita. 1 diviso 3 é 1/3 ed é 0,3333. Moltiplica per 3 e hai 1=0.99999
no
@@nobo00000 che?
Ottimo video👏🏻👏🏻
Ma qui 3:47 non possiamo applicare lo stesso ragionamento a 0,K(dove K è qualsiasi numero) periodico?
Perché se con 0,000000 infinito e poi ci metti il numero periodico allora questo ragionamento vale sempre
P.S. la spiegazione dimostrativa è qualcosa di assurdo haha complimenti
No, prova a fare i conti. Con altre cifre (in base 10) questo ragionamento NON funziona. Puoi provare tu stesso, con carta e penna, e vedrai che solo 0,9 periodico ha questa proprietà, ed è una proprietà intrinseca al sistema di rappresentazione.
Lo stesso argomento si ripropone per altre cifre, sì, ma in base diverse da 10. Ad esempio in base 5 non c'è alcuna specificazione da fare per 0.1 0.2 e 0.3 periodico, ma 0.4 periodico è equivalente a 1 (base 5)
0,7 periodico = x
10x =7,7...= 7+x
9x=7
x=7/9.
E infatti 7/9 è proprio 0.7 periodico!
@@albertoclocchiatti1510 non è 0,7 periodico il risultato!
@@nobo00000 Ah no? E 7/9 quanto fa secondo te?
Gentile professore con riferimento al video in questione mi pare che la dimostrazione duplice fornita sebbene ineccepibile porti ad una contraddizione. Infatti vengono paragonati due elementi di insiemi diversi. Un numero razionale periodico con unonaturale. Inoltre il numero 0,9 periodico non può essere considerato elemento neutro del prodotto come lo è il umero uno
Si giunge così a un paradosso perché si dimostra che sonouguali quando invece no lo sono perché hanno proprietà diverse. Io la seguo sempre con 8nteresse. Saluti
Anche di 1,0periodico potremmo dire la stessa cosa.
La prima dimostrazione mi ha fatto sorridere, ma la seconda mi ha veramente divertito. Grazie.
La prima volta che mi diverto con la matematica. NICE
Dai ricordi di Analisi 1 mi pare che la dimostrazione formale sia che non esiste alcun numero reale compreso tra 0.99999... e 1.
Anche se facendo la differenza uscirebbe un numero con infiniti zeri sappiamo sempre che ci sarà un 1 dopo questi ( anche se non sapremo quando metterlo, ma ci sarà comunque). Quindi 1>0,999...
Se non si calcolerebbe anche quell'1 dopo gli zeri è sbagliato: non è che non mettiamo una cosa perché non sappiamo dove metterla, ci sarà sempre, anche se non sappiamo dove.
sono i trucchetti della matematica, scienza esatta, le cose che non riesci a spiegare le devi accettare, la matematica è dogmatica. 0 elevato a 0 non si definisce perché ha due risultati. Devi accettare e basta. Io sono d'accordo con te.
@@enzopallotti9669??? Se non vi convince la prima spiegazione guardate la seconda.. Poi la matematica è rigorosa, non dogmatica, e tra l'altro esiste un modo di definire un sistema in cui 0,9999 è diverso da 1, non mi ricordo esattamente che particolarità ha ma esiste
@@tidios_97 ma noi sappiamo che c'è sempre l'1 anche se non sappiamo dove metterlo. Non è che se non vedi e non sai dove sta una cosa vuol dire che non esiste. Se facciamo sto ragionamento ritorneremmo al 1650
Cito il tuo commento:"Uscirebbe un numero con infiniti zeri ma sappiamo sempre che ci sarà un 1 dopo questo". Non so se non te ne sei accorto ma questa è una contraddizione: se ci sono infiniti 0 dove lo metti l'1? E se ci fosse l'1 dopo gli zeri allora non sono infiniti perché dopo un po' hanno una fine. È come dire il tetto di un palazzo con infiniti piani, se c'è il tetto allora i piani non sono infiniti e viceversa se i piani sono infiniti non può esserci un tetto. Non c'è niente di strano nell'avere un numero che si può scrivere in tanti modi, per esempio posso scrivere 2 come 4/2 ma anche come 8/4 eccetera. Ogni numero può avere infinite rappresentazioni
@@samueleberdusco7675 ma noi sappiamo che ci sarà sempre un uno, non è che se non vedi una cosa vuol dire che non esiste. Altrimenti la maggior parte delle cose che sappiamo oggi sarebbero nulle. cmq rappresentandolo a cifre esce così, poi ci dono altre rappresentazioni che però scritte in altro modo creano questo contrasto. Quindi chi vuole può credere che non c'è differenza o credere che c'è. Poi vabbè stanno altri metodi che vanno oltre la matematica ma questo è un altro argomento.
Se la conclusione a 6:35 fosse corretta, il sistema non dovrebbe funzionare anche moltiplicando x per 8 o 9 o qualsiasi altro numero? Mi pare che invece funzioni solo quando moltiplichiamo per 10. È come dire che questo metodo porta a quel risultato solo 1 volta su 10.
(ho potuto seguire il video solo senza audio, non so se mi sono perso qualcosa)
Incredibile!!! Da questo canale non si finisce mai di imparare.
Io l’ho capito da solo durante una normale giornata di lavoro…stavo eseguendo qualche query su db e pensai “ma 1 e 0,9 periodico sono esattamente lo stesso numero” poi scrissi un’altra dimostrazione che pubblicai su wikipedia, da li a poco tempo quella dimostrazione fu aggiornata con altre curiosità e la mia dimostrazione anche se non fu rivista diventò il 10% della pagina 🙂
Bel video e bei ragionamenti ma la questione fondamentale è che, a essere rigorosi, 0,9 periodico non è un numero come 1, 3 o 4,5 . Questo numero è in effetti una serie numerica di potenze di 10 i cui esponenti sono i numeri interi negativi. La serie è convergente e il suo limite è 1
E' anche un numero
No, è questo il punto. 0,9 periodico E' anche un numero, ed è ESATTAMENTE 1, non è vicino a 1, non è un limite che tende a 1. E' esattamente il numero 1.
Se immagini l'insieme dei numeri reali senza ancora darvi delle etichette, ogni singolo elemento di questo insieme può essere rappresentato in molti modi, ma la sua posizione è univocamente determinata. I numeri periodici sono a tutti gli effetti dei numeri Reali, non sono serie di potenze, e l'etichetta 0,9 periodico non può che essere apposta all'elemento che ammette anche 1 come rappresentazione, o 2/2, 3/3, Radice quadrata di 1 e così via.
A essere rigorosi 0,9 periodico è ESATTAMENTE un numero reale, e questo numero è l'1
non puoi dire Comunque che è una serie, puoi dire che è la *somma* di una serie, che è diverso, ed è un numero, come tutte le somme di serie finite
@@albertoclocchiatti1510 attenzione che il signore qui non sta dicendo che sia un’approssimazione. prima di tutto una serie converge quando la somma è *uguale* al limite. nessun “tende a”. non ho capito il punto quale sia ma non sta dicendo che sia un’approssimazione. sta dicendo che tecnicamente vale 1 ma non è un numero, non ho capito bene il perché ma comunque hai capito male
@@uncopino il punto è proprio che è un numero, ed è il numero 1. Non è una serie, non """vale""" 1. È 1
Non sono mai stato molto daccordo su questa cosa; da un punto di vista pratico siamo daccordo, non vi è alcuna differenza, ma in realtà sono rappresentazioni di due concetti diversi tra loro, 1 è l'intero perfetto al quale non manca nulla, lo 0,9 periodico rappresenta un valore che è "quasi 1". 0.9 periodico ci permette di rappresentare un numero che è in misura infinitesimale diverso da 1. Se non esistesse, come vorresti rappresentarlo? E se in futuro dovesse trovare una applicazione pratica?
In un mondo dove non si capisce mai dove sia la verità, la matematica è sempre un rifugio sicuro.
Tutti i numeri trascendenti vanno trattati con i limiti, altrimenti si giunge a conclusioni errate.
Ma 0,9 periodico non è un numero trascendente, anzi si può scrivere come frazione quindi si deduce facilmente che è un numero algebrico
@@samueleberdusco7675 come frazione ? cioè ?
@@renzoguida2984 Applicando le regole per scrivere i numeri decimali in frazioni si trova che 0.9 periodico = 9/9 e, guarda caso, 9/9 = 1. Un'altra conferma che l'uguaglianza 0.9 periodico = 1 è corretta
@@samueleberdusco7675 prova a fare la dimostrazione nel video con 0,2 periodico. Ti sembra che sia pari a 1? Se fosse così abbiamo dimostrato che i numeri periodici non esistono. Si devono usare i limiti, quando moltiplichi per 10 il limite delle cifre periodiche “si sposta”.
0,2 periodico è uguale a 2/9.
Lo ricavi con la dimostrazione del video
Molto interessante, mi sorge però una domanda: dal momento che le due quantità sono uguali, è corretto definire 0.9 periodico come numero Naturale?
Si, il tuo ragionamento è corretto, 0,9 periodico è un numero naturale
Si, è corretto, ma nella pratica si evita di usare i numeri periodici che terminano con 9 poiché inutili
Essendo pari a 1, è il primo dei naturali
Io avevo pensato ad (1/3)•3 che ovviamente è uguale ad 1, ma dato che 1/3=0.333... allora (1/3)•3=(0.333...)•3=0.999... e quindi 1=0.999...
Esatto!
CAVOLO, al primo minuto nel tentativo di *smentirti* ho fatto un calcolo grezzo e ti ho dovuto dare ragione!!!
Il calcolo è:
Se 7/9 = 0,7 periodico e 8/9 = 0,8 periodico e 10/9 = 1,1 periodico... allora 9/9 fa 0,9 periodico. Ma noi sappiamo che 9/9 fa 1. Quindi 0,9 periodico è esattamente uguale a 1.
A Genova da sempre alla mattina dal panificio chiediamo 0.9 periodico euro di focaccia 😂
E cosa ti danno di resto?
Interessante affermazione, analizzando questo numero 0.9periodico, però ci accorgiamo che non esiste una frazione che da questo numero ed è per questo che è uguale a 1, perché è 0.3periodico 1/3 per 3, quindi non è una frazione per così dire naturale, ma il prodotto di una frazione moltiplicata per il suo denominatore. È un caso molto particolare, davvero interessante!!! Bello grazie
Mi stupisce ogni volta come con una semplicità sconcertante riesci a farmi scoprire una marea di cose insospettabili
Quindi se in una qualsiasi espressione trovo 0,9 periodico posso tranquillamente sostituirlo con 1...
Complimenti bella lezione, con un'eloquente spiegazione e una bella grafica video.
Le posso chiedere che editing usa per prepararle, per caso sono preparabili con PowerPoint o altro? Grazie anticipatamente.
La grafica è tutto tranne che bella🤣
Non mi hai convinto per niente.
Se esiste l'infinito, esiste anche un infinitesimale.
Così qualcosa che è inferiore a zero, potrà essere infinitesimalmemte vicino allo zero, ma non lo raggiungerà mai.
Quindi zero virgola (0,9999999 etc.), sarà sempre inferiore ad 1.
il procedimento porta a quel risultato solo se moltiplichiamo X per 10, 100, 1000 ecc. Prova a moltiplicare per 9 e salta tutto ;)
Possiamo dire che un procedimento che porta ad un determinato risultato solo 1 volta su 10 "funzioni"? Per me no.
La verità è che è sbagliato a prescindere il voler imbrigliare l'infinito. Si finisce in paradossi logici come questo.
Beh un altro modo per dimostrarlo per esempio potrebbe essere quello di ragionare sulla frazione 1/3, che il risultato in decimali è 0,3 periodico. Tutti sappiamo che in teoria se si moltiplica il risultato di una divisione per il divisore, tornerà il dividendo, ma moltiplicando 0,3 periodico per 3, ecco qui che esce 0,9 periodico, che dovrebbe essere il numeratore della frazione e quindi 1.
Buongiorno Valerio, volevo chiedere una cosa visto che il periodo è un simbolismo matematico che si introduce per scrivere in forma decimale il risultato di una frazione e che non esiste alcuna frazione propria che mi restituisce 0,9 periodico (e più in generale un nove periodico), non sarebbe corretto usare la stessa dimostrazione per concludere che non ha senso parlare di 0,9 periodico perché risulterebbe uguale ad 1? (tipo mettiamo per assurdo che esista 0,9 periodico arriviamo a dimostrare che se esistesse sarebbe uguale a 1 quindi non ha senso parlare di 0,9 periodico) La dimostrazione ovviamente credo sia corretta perché funziona con gli altri numeri periodici facendoci trovare le frazioni generatrici. Gradirei sapere se c'è un errore logico o formale in quello che ho detto. Grazie mille.
0,9 periodico in frazione diventa 9/9 che è uguale a 1
All’inizio hai definito che X = 0.9¯
Ma anche alla fine X dev’essere = 0.9¯, perché non è una variabile.
Quindi avrai che 9X = 9x0.9¯ = 8.9¯; 9X 9; 1 0.9¯
Quindi non puoi chiedere alla fine qual è il valore di X, perché l’hai definito all’inizio in 0.9¯, utilizzando quel valore di X prima per moltiplicare per poi trasformarlo in una incognita.
In tutti i modi l’infinito non è confrontabile, perché è un valore indefinito, nemmeno 0.9¯ è uguale a 0.9¯ se non per convenzione, come fosse un valore finito, implicitamente arrotondato. Quindi 0.9¯ - 0.9¯ non dovrebbe restituire 0, perché è come dire infinito diviso infinito. Ma anche le moltiplicazioni con valori infiniti non avrebbero senso e i risultati naturalmente considerano questi valori infiniti implicitamente finiti. L’infinito resta sempre indefinito, incommensurabile.
Basterebbe scrivere la frazione generatrice del numero periodico, secondo questa definizione: "La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice è una frazione avente: - al numeratore la differenza tra l'intero numero scritto senza la virgola e la parte intera; - al denominatore tanti nove quante sono le cifre che compongono il periodo". Ossia: 9-0/9 =1
Si puó dimostrare anche attraverso la notazione di un numero decimale periodico in frazione: si scrive il numero senza virgola né periodo (09), si sottrae tutto ció che precede il periodo (0) e si pone al denominatore un numero di 9 pari al numero di cifre del periodo (in questo caso una sola, 9 periodico) e a seguire un numero di 0 pari al numero di cifre dell'antiperiodo (in questo caso nessuna). Otteniamo (9-0)/9, cioè 9/9, cioè 1
Spettacolo!
Grazie mille ☺️
Non fermarti 👍🏻
Sei il Top del Top!!! Ho studiato Finanza pressi U.S.I. di Lugano e tu ne sai più della matematica STESSA
Si potrebbe scoprire una matematica completamente diversa se si accettasse l'ipotesi che 1-0,9 periodico= variabile infinitesimale. È la "matematica dei numeri finiti" F
Senza dilungarmi troppo in dimostrazioni che il testo non permetterebbe (bel paraculo che sono), si scoprirebbe che:
- infinito e zero non esistono, ma sono dei valori puramente asintotici che non fanno parte dell'insieme F
- il valore che si assegna a questa variabile crea un insieme di numeri finiti dettata dall'inverso della costante infinitesimale
FANTASTICO GRANDISSIMO
Boh... si può sommare un segmento ad una retta per definizione infinita? E di conseguenza si può moltiplicare per 10 un valore infinito?
Ciao Valerio, mi sorge un dubbio che spero tu mi riesca a risolvere: con la dimostrazione più "scientifica" che hai proposto, ovvero la seconda, il ragionamento che hai fatto ponendo i dati in quel modo varrebbe anche se applichi il tutto a 0,9 (non periodico), ovvero se usi 0,9 nei vari passaggi al posto di 0,9(periodico)... dov'è l'inghippo?
Non viene uguale
@@ValerioPattaro ciao.. perdonami, mi spiegheresti come?
Ho seguito gli stessi passaggi che hai mostrato nel video:
x=0,9 10x=9,9
quindi
10x-x = 9,9-0,9
9x = 9
x = 9/9 = 1
e siamo partiti dal presupposto che x=0,9
Dov'è l'inghippo?
10x=9
@@ValerioPattaro ahhh giusto! Grazie!
GRAZIE PROFF, SEGUO SEMPRE LE SUE CHIARISSIME SPIEGAZIONI:SONO UNA MAESTRA ELEMENTARE, DAL 1966 AL 2006, SON DUNQUE IN PENSIONE. INSEGNAVO, NEGLI ULTIMI 18 ANNI, MATEMATICA E GEOMETRIA. HO SEMPRE
CERCATO DI SPIEGARE CON LA LOGICA E NON MNEMONICAMENTE, RICEVENDO PARECCHIE CRITICHE DA COLLEGHI "PERCHÉ PERDEVO TEMPO!!!!" ORA LA SEGUO PERCHÉ HO UNA NIPOTINA IN 5°ELEMENTARE, LA MAESTRA "USA" IL METODO MECCANICO. DEVO SEGUIRLA, CON LA LOGICA, PERCHÉ NON HA(HANNO) CAPITO NULLA DI TUTTO. CONTA CON LE DITA!!! GRAZIE PER IL GRANDE AIUTO .
Io alle medie avevo visto la dimostrazione che utilizza 1/3 (0.3 periodico) , 2/3 (0.6 periodico) e 3/3 (0.9 periodico, ma essendo un numero diviso per se stesso da anche 1 come risultato, quindi sono uguali)
Il numero 0.9 periodico e un numero indeterminato quindi non possiamo fare la differenza tra due numeri indeterminati ( 9.9 periodico - 0.9 periodico), quindi non trovo giusto l' equazione qua sopra. Per questo motivo non possono mai essere uguali 1 con 0.9 periodico. Esempio : Se da un sasso ( unità ) togliamo una quantità infinitamente piccola allora la parte rimanente e sempre più piccola che il sasso intero.
Sono sicuro che sia tutto corretto ma è effettivamente controintuitivo. In particolare mi fa strano andare ad "estrarre" una cifra dall'infinito del periodo, invalidando così (almeno intuitivamente) la convenzione che è il periodo stesso. Personalmente trovo più intuitivo l'esempio 1/3 = 0,333... => 3(0,333...)=0,999...=1
Molto interessante, grazie
Complimenti per la spiegazione esaustiva, iscritto e like aggiunto.
Mi sembra assurdo come ci siano delle persone nella sezione commenti che riescano ad avere dubbi e a non “credere” in una dimostrazione matematica!
In realtà penso che non siano uguali, teoricamente 0,9 periodico è tendente a 1, è vicinissimo a 1, con una distanza che va a diminuire all'infinito, ma non lo tocca. Però matematicamente i risultati delle operazioni con i due numeri sono uguali, si potrebbe anche definire 1 preso da sinistra, lo ho imparato a scuola con i limiti e ho provato ad andare ad intuizione con questa ipotesi quindi non so se è giusto
0,9periodico non è un limite di funzione ma è un numero. È il numero 1 scritto in un altro modo.
Io c'ero arrivato con questo ragionamento che non so se si possa considerare una dimostrazione:
10 / 3 = 3.333....
(10 / 3) • 3 = 10
3.333.. • 3 = 9.999...
(10 / 3) • 3 = 3.333... • 3
10 = 9.999...
Ovviamente il cellulare non mi consente una grafica precisa ma spero si capisca.
Bel video!! Mio figlio delle medie mi aveva posto il problema di come rappresentare il più piccolo numero positivo che appunto sarebbe stato "0.000...1". Gli ho detto che non avevo una risposta ma ora ce l'ho: 1 - 0.999... Dovrò però anche deluderlo dicendogli che equivale a zero!!!
Ma se 1-0.99 come risultato da un numero diverso da zero, non basta a confermare che 0.9 periodico è minore di 1? Se devi comprare 1000 litri di benzina ed un distributore la vende 1 centesimo di meno, da chi vai?
Ma la stessa regola è valida anche x i numeri negativi?
Mi stupisce il fatto che le videolezioni, sempre ottimamente condotte, vengano seguite prevalentemente da esperti di matematica e da adulti che, come me, hanno fatto della matematica un hobby. Sui siti di altri Paesi gli studenti, tutti prossimi a sostenere i test finali o di accesso all'università, partecipano attivamente,chiedono spiegazioni ad altri utenti, supplicano i prof di risolvere qualche test assegnato negli anni precedenti.. Qui gli studenti tacciono. Dove sono? Credono di preparare un test di ammissione univ. in un mese?
Boomer time
è il motivo per cui 1|3+1|3+1|3 è =3|3 cioè 1, 1|3 è 0.3 periodico ma 0,3 periodico x 3 è = 0.9 periodico perciò apparentemente in contraddizione con l'uguaglianza iniziale ?
Bel canale! Una domanda, X dovrebbe essere un razionale per poter generare un periodico e applicare 10X-X giusto? ma siamo sicuri che esista? Cioè dovrebbe essere simile a 9999.../100000..?ma a sto punto abbiamo infinito/infinito?... Fa 1? Boh.. deve sempre esistere un razionale per qualsiasi periodico? Io sinceramente ci metterei un limite a 1 che mi sembra fatto apposta
I numeri periodici sono razionali.
Oppure si poteva dimostrare col procedimento per trovare la frazione generatrice( in breve si prende il numero periodico, lo si pone a numeratore togliendo la virgola e si sottrae la parte intera ponendo al denominatore tanti 9 quante sone le cifre del periodo. Es:
1,(3) per trovare la frazione generatrice si scrive 13-1/9 = 4/3 che è apounto uguale a 1,(3). )
Se ci si prova con 0,(9) risulta 9/9 che è uguale ad 1, quindi 0,9=1.
Con due mesi di lezioni private da lei mi laureo prima in ingegneria e poi in matematica. Lei è un grande, prof!!
Secondo me è un gioco per far credere alla gente che 0,9 periodico è = a 1, ma chiaramente non lo è. Nella prima spiegazione se si dice infinito, significa che non dovrò mai smettere di inserire gli zeri in attesa di metter un 1 e quindi? In qualsiasi momento si deciderà di smettere con gli zero, ci sarà sempre un 1 alla fine, quindi, per me, non è corretto. Secondo, ha solo dimostrato che 10 - 1 fa 9, non ha dimostrato nient'altro. Secondo me, questo video, è solo per prendere un po' in giro. Divertente
Grazie Valerio La formula della percentuale molto utile non solo per le massaie ma per tutti. Io facevo tutta l'operazione inversa, questa l'ho trovata molto pratica. Mi farò grande con i miei nipotini.GRAZIE
Dopo aver letto un po' di commenti e di spiegazioni ho capito che la matematica è semplicemente una delle forme della comunicazione umana ed è perciò imperfetta, incompleta, e contiene delle definizioni imprecise e perciò con delle parti non risolvibili... approssimiamo punto e basta e ci sono tante cose che non sappiamo spiegare senza supercazzole