HALLA EL ÁREA DEL TRIÁNGULO SOMBREADO. Geometría Básica
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- เผยแพร่เมื่อ 3 เม.ย. 2023
- Queremos determinar el área de un triángulo que viene determinada por la intersección de dos triángulos rectángulos dados. De dichos triángulos conocemos dos catetos de uno y otro cateto del otro.
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Semejanza de triángulos
Mucha diversión querido profesor
Planteamiento del problema:
Ubiquemos A,B, C y D dónde A,B,C y D son los vertices de los triángulos rectángulos ∆ABC y ∆ABD rectos en C y D , también E es el punto de intersección de BD y AC.
AD=2, AC=10 , BC=5.
Determinar Área ∆ABE.
Solución propuesta:
Por teorema de Pitágoras en ∆ABC
$AB=5√5
Por teorema de Pitágoras en ∆ABD
BD=11
Trazamos la altura del ∆ABE y al punto de intersección con el lado AB le llamamos F
∆AFE es semejante a ∆ABC por criterio Ángulo Ángulo comparten el ángulo A y el otro es 90
Entonces 10/5=AF/FE
*AF=2FE
∆FBE es semejante a ∆ABD por criterio Ángulo Ángulo comparten el ángulo B y el otro es 90
Entonces 11/2=FB/FE
#FB=(11/2)FE
AB=AF+FB
Por las ecuaciones $ * #
5√5=(2+11/2)FE
FE=5√5/(15/2)
FE=2√5/3
Cómo FE es altura y AB es base del ∆ABE
Entonces El Área ∆ABE=(FE)(AB)/2
∆ABE=(2√5/3)(5√5)/2
∆ABE=25/3
Respuesta: Área ∆ABE=25/3
Espero que haya sido lo más entendible posible, gracias por su atención 🙏🙏
Excelente,muchas gracias.
Lo hice por ley del coseno...la altura del triángulo escaleno y me dió= 1.490711985 , lo × por √125 y ÷ por 2 para un área de 8.333 cm^²
@@black-jag3797exactamente estaba pensando resolver el problema, así pero sería con trigonometría en lugar de geometría. Aunque no se dijo, me permitió reflexionar sobre la diferencia entre estas dos ramas de las matemáticas.
Pis Pas Jonas! 🙋🏻♂️
👏🏼👏🏼👏🏼😃
Cuando diste tiempo para resolver solo llegué hasta la semejanza de los Triángulos
La igualdad de 3 ecuaciones con 3 incógnitas es genial ya que viene de sumar sus áreas y restar el área que comparten.
Oro puro! 👏🏼👏🏼🔥🔥🤟🏼🤟🏼
En definitiva la matemática es muy diversa... Las oportunidades para resolver un ejercicio son muchísimas. Al ver la miniatura del vídeo resolví el problema y llegué a la misma respuesta, 25/3, pero lo que hice fue hallar el valor de los ángulos a partir de las razones trigonométricas (me ayudé de la calculadora científica) y encontré el valor de los lados que necesitaba para calcular las áreas... Hoy no se me hubiera ocurrido hacer ese sistema de ecuaciones del vídeo... pero me pareció una resolución muy elegante e interesante! Excelente s
Me encanta este canal. Es usted un excelente profesor, Maestro Juan. Saludos
mientras menos pelo mas poder :)
Madre mía, que resolución!!! Muchas gracias Maestro.
Muy bien explicado.
Otra forma sólo con semejanza de triángulos una vez descubiertos los dos las dos que faltaban, raíz de 125 y 11.
5/L2 = 2/L1 (relación cateto--cateto)
5/(11-L1) = 2/(10-L2) (relación cateto -- hipotenusa)
2 ecuaciones, 2 incógnitas ---- L1=8/3 ; L2 =20/3
Ahora, Area = 1/2*11*2 - 1/2*2*L1 = 1/2*11*2 - 1/2*2*8/3 = 25/3
Interesantísimo, realmente me hiciste trabajar... Bueno bueno. Gracias
Yo lo he hecho por Herón.
La base de la figura, por Pitágoras, da:
b = 5√5
Los dos triángulos pequeños dotados de un ángulo recto cada uno son semejantes. Si llamamos 'a' al lado opuesto al ángulo recto del triángulo más pequeño, y si llamamos 'x' al lado más pequeño del triángulo rectángulo más pequeño, deberá cumplirse que:
(2/5) = x/(10-a) ⇒ x = (20-2a)/5
Por Pitágoras deberá ser:
((20-2a)/5)² + 2² = a² ⇒ a = 10/3
Los lados contiguos al ángulo recto del mayor de los dos triángulos rectángulos miden:
El uno, 5, y el otro:
10 - a = 10 - (10/3) = 6,666666
El lado que nos queda por calcular del triángulo cuya área nos pide el enunciado, y que llamaremos 'c', lo obtenemos por Pitágoras:
c = √(6,666666² + 25) = 8,333333
Sea 's' el semiperímetro del recién mencionado triángulo, será:
s = (a+b+c)/2
El área del triángulo pedido será, por Herón,
Á = √ [s (s-a) (s-b) (s-c)] = 8,333333 u²
Genial tu método hermoso...😍👍🙏
Excelente solucion; gracias profesor Juan. Yo lo resolvi de una manera diferente, utilizando Semejanza de triangulos, Pitagoras y un poco de trigonometria. Un saludo desde Republica Dominicana.
yo tmb, use teorema del seno y de pitagoras
Excelente vídeo como siempre Juan. Aunque creo que podrías haber simplificado en estos dos casos.
1) √125=√(25•5)=√25•√5=5√5
2)56/21=(7•8)/(7•3)=8/3
Belleza, Juan. Gracias!
Buen video, sin duda me ayuda mucho
Like *_😎👍_*
PD. Me gustó mucho tu peinado de hoy
شكرا على الشرح درس رائع 😊
Que ejercicio más hermoso 😍
*Excelente video Juan*
Mis respetos profesor. Es excelente
日本の視聴者です。動画拝見いたしました。面白い問題ですね。
私は、一部の方がコメントされている三角形の相似と行列(もしくは連立方程式)を使う方法を先に思いつきました。
まず、三角形Aの各辺を2,2x,2y, 三角形Bの各辺を5,5x,5yと置きます。(2xがL1, 5xがL2相当です)
辺の長さの関係から、
2x+5y=11
5x+2y=10
この式からx,yを求めると、
[2,5; 5,2] [x; y] =[11; 10]
[x; y]=-1/21*[2,-5; -5, 2] [11; 10]
=[4/3; 5/3]
上の結果より三角形AもしくはBの面積が
A=2* 2x /2 = 8/3
B=5* 5x /2 = 50/3
と求まるので、三角形Dの面積が以下のように求まります。
D= 5* 10/ 2- B= 25/3
or
D= 2* 11/ 2- A= 25/3
計算量は増えますが、AとBの比(B/A)を用いない場合の別解として。
Excelente video y me gusto la forma de resilverlo. Saludos desde Maturin Venezuela 🇻🇪
Encuentra L2=20/3 . Luego área del triángulo rectángulo base 10 y altura 5(catetos), y le restas el área B que nombraste del otro triángulo cuya base es 20/3 y altura 5, y listo. 25/3.
Hola,
Lo obtuve similar con congruencia de triángulos para obtener los lados (pues ∆B = 2.5∆A), pero calculé cuanto valian los lados L1 y L2 y las hipotenusas de ∆A y ∆B porque tenia la congruencia entre todos los lados y porque obtuve la base del ∆ achurado con pitágoras sobre ∆(B+D) y con eso obtuve el cateto del ∆(A+D) (que vale 11). Tenia la congruencia de los lados y tenia la suma de los lados.
Al final calcule el area de B+D y le resté B (da el mismo valor si calculas A + D y le restas A).
Gracias por el ejercicio.
Muy interesante Prof. Juan. Cuando pregunto como resolver pense usar relaciones trigonometricas en los angulos rectangulos y halle sus valores por calculadora. Asi halle el L1 que Ud. asume en el problema y con resta de areas en el de abajo halle el area del triangulo sombreado. Fureron solo tres pasos. Lo constate con su solucion muy larga por cierto y salio el mismo valor. Gracias por el problema.
pues al menos sin calculadora
No me acuerdo si importaba demasiado con la proporción, pero en la semejanza de los triángulos tenemos que 5 es el proporcional de L1 y L2 el de 2, por lo que debería ser 5/L2 = L1/2; no?
Lo cierto es que no he hecho las cuentas ya que me pilló en la cama y con el móvil, pero eso me saltó a la vista 🤔
En cuanto a la resolución, la verdad es que bastante buena, tenía algo oxidado lo de los ángulos equivalentes en los ejes, y una vez que se logra identificar eso, ya parece que lo demás sale por arte de magia!!
Se resuelve con dos ecuaciones cuadráticas y un área del triángulo. Para quienes se nos hace difícil trigonometría
Gracias. Es usted .uy motivante. 🎉😊 Le debo una peluca profe 😂
El cometido de este canal, no es hacer el problema más corto, es hacernos pensar las diferentes formas de resolverlo y explicarlo de tal forma que cualquier merlusin lo entienda.
Yo he aplicado semejanza de triángulos y tb. la fórmula de Herón.
Muy bueno Profe.JUAN
Hay que profundizar sobre el por qué de la relación entre L1 y L2, eso daría claridad sobre la veracidad de la solución.
😊Excelente.
juan. el sistema de ecuaciones podria resolverlo con matrices y llegar al mismo resultado?
Hola Juan
Que ejercicio tan bonito, me quedo con la idea de empezar por dónde se pueda e ir despejando desde ahí
Gracias!
...y dónde veo a B ,lo meto como un supositorio....ahhhh!!!😅...muy buena idea 💡!!!❤
Sí, bonito bonito...👏🏼👏🏼
De pelos, que problema.
خوان أستاذ رائع، شكرا جزيلا.
Por trigonometria, aplicandola ley del seno, se puede hallar uno de los ángulos del triángulo A, luego por la misma ley del seno se pueden hallar los catetos del triángulo A, luego puedo calcular el área del triángulo A, luego el área D no es sino la resta del triángulo formado por AyD menos el área del triángulo A
Saludos desde Caracas Vzla. Yo saqué relacionando los Ángulos. Lo único que hay q saber es q cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sen(a)*sen(b). Conozco sen/cos de a y b.....
el final con el bailecito es genial 😂😂😂
Hola Juan una pregunta. Si el ejercicio pide el área del triangulo que está dentro de los dos triángulos ¿se puede restar el area de los dos triangulos para obtener el triangulo D???
Ya que son triangulos rectangulos y la formula de area de un triangulo es
(b (base) x h (altura))÷2
Saludos desde Argentina
🔝 👏👏👏👏👏
Yo lo hice aplicando teorema de Pitágoras y semejanza de triángulos. Saludos de Perú
هو استعمل دالة tang يا صديقي ونظرية ڤيتاغورس الشهيرة
Tengo la mejor de las percepciones de los hermanos peruanos...Saben mucho y son notables en todo cuanto tiene que ver con Números 👍👍🙏
Tengo la mejor de las percepciones de los hermanos peruanos...Saben mucho y son notables en todo cuanto tiene que ver con Números 👍👍🙏
Yo utilicé la regla de triángulos semejantes e hice iteraciones para saber la distancia de los lados donde son 10 u y la hipotenusa del triángulo rectángulo más grande , un lado es 6.66666... y el otro 3.33333... y de ahí todo con trigonometría
También podrías dar el resultado en números decimales, coña. Que además es como se debe presentar.
Cervatillo, las fracciones son más elegantes🤩👊
Que pasada de ejercicio y su complejidad
شكرا على كل المجهودات
Very very good picture sir! It is calling for dancing and constructing. When altitudes are given.
Efectivamente, ¡pero que ejercicio tan bonito! Lo único es que, por más que busco en su página, solo encuentro un vídeo llamado "geometría desde cero" y estaría bien algo más de explicaciones básicas y no tan básicas de geometría. ¡Más música! 🤗
Bueno me quede sin recreo, me quejaré con TH-cam pero aprendí bien
La matemática es creatividad.. muy bien
Sólo pasé a refrescar la memoria y el calvo profesor me deja sin recreo😂
Good heavens, to make it so complicated! We don't even need the value of h, because:
a1^2 = (10^2 + 5^2) - 2^2 = 121 --> a1 = 11 .
D+A = 11*2/2 = 11 unit^2 (--> A = 11 - D) and D+B = 10*5/2 = 25 unit^2 (--> B = 25 - D) .
The ratio of the areas of similar triangles is equal to the square of the ratio of similarity, where B/A = (5/2)^2 = 25/4 and B/A = (25-D)/(11-D) --> 25*(11-D) = 4*(25-D) --> 275 - 100 = (25-4)*D --> D = 175/21 = 25/3 unit^2 .
gracias por el problema profesor 😃
Yo estaba como loco porque no simplifica el 56/21 los 2 están en la tabla del 7 y lo hizo al final
Un genio
Que humilde el Juan,
Aparte de matemáticas, también nos enseña los pasos prohibidos.
>:)
Madre mia que ejercicio.
de locos
👍
El área A = 56/21 se puede simplificar para facilitar los cálculos siguientes: A = 56/21 = 8/3
que me digan que me iba a verme en una noche de insomnio un vídeo me matemáticas como si fuera asmr y acabar enganchado! me pinchan y no sangro, señor profesor XD
Calcule primero las hipotenusa y lado adyacente de los dos triángulos, luego calcule los ángulos internos del triangulo sombreado, y ahí calcule unos de los lados por la ley del seno, luego calcule su altura y obtuve el área de ese triángulo base xaltura/2, llegue al resultado 8,33periodico
este fue de los ejercicios mas complicados de entender para mi
Ya lo hice .. con lo mismo que pensaste. Comparten hipotenusa
Buffff, bonito pero complicado. Yo lo saqué por un sistema de cuatro ecuaciones y cuatro incógnitas, después de usar Pitágoras dos veces para Hipotenusa y un cateto y una thales mileto para igualdades proporcionalidad y terminar con ecuación de segundo grado: 21x2 -406x +1925=0. Lo último último, diferencia de superficies para hallar la superficie pedida. 😅😅😅😅😅😅😅😅😅😅
buen video
Uhh que pedazo de ejercicio
Mestre, desta vez vc complicou de verdade. Há um raciocínio muito mais simples. Só descobrir os catetos dos triângulos semelhantes.
Yo hubiera utilizado la ley del seno para encontrar el área del triángulo de abajo (lo llamare F) y el área A.
Luego solo hubiera restado el área F - área A = área D
Ley del Seno en general: L/sen z = M/sen x = N/sen y...
Luego encontradas las áreas F y A, procedemos a restarlas:
(2.L)/2 - (11.2)/2 =
(2.L)/2 - (11/5) = D
La forma algebraica es más complicada pero enseña conceptos, la Trigonométricas es poderosa.
En unidades cuadradas, por supuesto..
🎉🎉🎉🎉
Otro capítulo más de mi serie predilecta 😮💨🚬
Excelente explicación, me hubiera gustado ser su alumna
Show!!!
エグイ問題でした。
ありがとうございました。
Buenas noches.
¿Cómo hago para enviar una solución alterna?
Gracias por su atención.
Buenas Juan yo use trigonometria...Igualmente sale 25/3 unidades cuadradas
Da satisfacción resolver algo por tu cuenta y comprobar que no te saltaste nada
Let h be the height of the triangle.
Then
h:2=5√5-2h:11 hence h=2√5/3.
So the area is 25/3
Este problema también se puede resolver aplicando dos veces semejanza de triángulos para determinar el cateto del triángulo cuyo cateto conocido es 2. De esta manera calculamos el área A y luego calculamos el área D ya que A + D = 11
Que mounstrosidad de ejercicio
🌻🏆
Todo iba bien hasta que decidió dividir B/A por qué no A/B o A*B o Cualquier otra magia? Por qué hacer esa división?
El 56/21 ya se podía simplificar. Multiplicás arriba y abajo por 1/7 y te queda 8/3.
Pero que bonito😂
No entiendo el paso de la hipotenusa al cuadrado igual a 125. Qué de raíz cuadrada de 125
Para el dato q le dio 11 en la hipotenusa le quedó mal porq debe sumar los catetos y los estas restando
Hola. La otra forma sencilla es si D+B=25 y A+D=11. Entonces D= 25-B y D= 11-A. D = 14-B+A
En 23:56 no entiendo por qué se pueden restar esas dos ecuaciones entre si. Por que restar un lado es igual que restar los otros dos? No veo la correspondencia que daría válida restar. Un saludo!!!
Porque no has calculado la raiz cuadrada de 125?
yo lo hice solito utilizando solo Teorema del Seno y Teorema de Pitagoras era dificil por lo feos que son los numeros que iban dando mientras hacia el ejercicio pero al final pude y me dio que el area era 8.3 periodico o 25/3
para hacerlo de la forma que yo lo hice necesite calculadora cosa que vos profe no la necesitaste, tu método fue mucho mejor por los números que iban quedando y todo para poder calcular las cosas sin uso de una maquina, a mi nunca se me hubiera ocurrido esa forma, espectacular juan
se entiende solucion, mas pensé que era una resta de areas de los dos triangulos la solucion ,mas no dá el mismo valor
gracias, no entendí un carajo pero me divertí, pis pas jonás
Lo único que pide obtener fue la hipotenusa y el cateto y ni se uso XD
demasiada vuelta ak ejercicio para asumir que L2 es 5k y L1 es 2k
DIFERENCIA ENTRE LOS DOS. PODRIA SER.........
Facil profesor
El área sombreada A, es igual al área del triángulo mayor A1 (formada por los catetos b= 5 y h=10) menos el área del triángulo menor A2 (formada por los catetos b=5 y h2=fracción de 10), o sea A=A1-A2
El área del triángulo mayor es
A = b. h / 2
A1= 5 . 10 / 2 = 25cm²
Ahora sólo queda calcular el área del triángulo menor A2, y como conocemos la hipotenusa de A1, no hay problema en calcularla
A2= b . h / 2, la base es la misma
A2= 5 . h2 / 2
Sólo necesitamos calcular h2, y luego restar A=A1-A2
Para ello, aplicamos trigonométria:
tanAng1= 10/5
Ang1=63,435°
(esto para el triángulo mayor h=10 y b=5)
Ahora para el triángulo menor, necesito conocer el Ang3 del otro triangulo, y restar ángulos.
senAng3=2/hipotenusa común
senAng3=2/√(10²+5²)
luego
Ang3=10,305°
luego
Ang2=Ang1-Ang3
Ang2=63,435°-10,305°
Ang2=53,13°
tanAng2=h2/5
h2=6,666
A2=b . h2 /2
A2=5 . 6,666 /2
A2=16.66 cm²
Finalmente
A=A1-A2=
A= 25 - 16,66 =
A= 8,33 cm²
Ahora voy a ver el video
a ver si acerté o hice papelón
Hola, Mario. El área pedida no es la diferencia de las áreas.
@@matematicaconjuan
Hola Profe
Porque no???. Me refiero a restar áreas de triángulos, ambos de cateto menor 5, no me refieria al triángulo de cateto 2
ya lo resolví, y HUBO COINCIDENCIA
El resultado es A=8,33 o sea 25/3
Lo primero que se vino a la mente, quizás no sea el metodo más corto
Felicitaciones por hacer trabajar nuestras neuronas
@@matematicaconjuan el ejercicio esta bien como lo ha hecho. Si bien es cierto que ha cogido el camino más largo. Pero todos los caminos conducen a Roma
Excelente
@@marioalb9726 El profe me parece que no interpretó el problema de la forma que lo planteaste.
Yo no sé hallar el ángulo según los lados así que no podría opinar en esa parte ,pero lo demás que he visto me parece que está bien resuelto aunque hay algunas partes donde te comes los decimales restantes ,a lo mejor yo estoy mal pero me parece que eso es muy importante.
Al final te dió el mismo resultado pero solo si me dices que ese 3 es periódico puro ya que 25/3 es 8,33333...
Mi conclusión es que tú procedimiento puede llegar a estar bien pero te aconsejaría trabajar con el procedimiento del profe porque almenos para mí se me hace más práctico y facil
Pregunto: El área D no es igual al área del triangulo grande(10×5/2) - área del triangulo chico(2×11/2)=25-11=14?
Eso sería cierto solo si todo el triángulo de cateto 2 estuviera dentro del triángulo de catetos 5 y 10🤩. Nuestro caso es otro
Hola Juan. Me encantan tus vídeos, aunque algunos no los entiendo ni aún explicados. Pero hay un momento en el cual B/A = 25/4 y no entiendo porque entonces B no es igual a 25 y A igual a 4 . Un saludo
Estimado Maestro, por qué dice UD. En este esquema de dos triángulos que son triángulos rectángulos, si yo sé que triangulo rectángulo es aguel que tiene un ángulo de 90° y en estos no hoy ninguno me gustaría me lo aclarara, ya que estoy confundido...
Daniel, qué tal. Los ángulos de 90 grados de ambos triángulos están denotados por el cuadradito!!
Lo realicé a punta de compás, transportador, escuadra, cassio y metro(Euclidiano, creo😅)...y doy fe que están perfecto todo...👍🙏🤩
Que buen ejercicio 👍
Con el triángulo del 5 obtengo el ángulo del triángulo del área sombreada y después de ahí con identidades del coseno calculo el área sombreada.