วีดีโอ

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Molto interessante anche se un po’ troppo difficile. Ho capito che ho capito, o meglio intuito, che si tratta di un ambito spirituale che non ha senso voler risolvere matematicamente. Bene. Ho cercato su internet cosa sono i numeri algebrici, ma ho subito rinunciato. Nonostante la mia ignoranza oso contestare: non vedo come si possa parlare di un infinito più grande… di che cosa? Di un altro infinito, se ho capito bene. A meno che i numeri algebrici non siano infiniti…

In effetti sono stato molto stringato. Provo a esprimermi un po' meglio. I numeri algebrici sono quelli che possono essere costruiti a partire dai razionali (i numeri che tutti conosciamo, più i loro negativi, più i loro rapporti, ossia le frazioni) attraverso le quattro operazioni, l'elevamento a potenza, e il suo inverso, l'estrazione di radice. Si dicono algebrici perché si possono appunto costruire con l'algebra. Forse sarebbe meglio dire "numeri costruibili", perché, appunto, quello sono. La radice quadrata di 2 è irrazionale, certo, ma fu scoperta tale proprio costruendola geometricamente: la diagonale di un quadrato di lato 1 è lunga proprio √2, e questo sconvolse i pitagorici, che presupponevano che tutto nell'universo fosse descrivibile mediante frazioni. Il punto è proprio che i numeri trascendenti non sono costruibili. Non si può partire da un numero "normale", aggiungergli o sottrargliene un altro, dividerlo o moltiplicarlo per un altro, elevarlo a un altro o estrarne la radice n-esima, e ottenere π. Definirlo trascendente vuol dire che non lo si può costruire a partire dagli altri numeri. C'è già, semplicemente. E dunque lei aveva perfettamente ragione: risolvere matematicamente la quadratura del cerchio non ha senso, perché è dimostrabilmente impossibile. Con i mezzi standard, s'intende: si dice "risoluzione per riga e compasso". Ma i mezzi non standard... beh, sul lavoro di David Hilbert, padre tra l'altro della geometria contemporanea, fu scritto: "Das ist keine Mathematik, sondern Theologie!". Quindi lei, appunto tramite la sua sensibilità riguardo alla natura di certe cose, aveva perfettamente intuito lo stato reale delle cose. Riguardo agli infiniti, sono stato un filo incauto a tirare in ballo Cantor così, dimenticando che il suo lavoro purtroppo non ha minimamente influenzato la concezione comune dell'infinito fuori dalla professione matematica, pur avendola rivoluzionata. Proverò a dare un assaggio. In pratica, Cantor si occupò di insiemi: per ogni predicato, ossia proprietà, postulò di poter parlare dell'insieme di tutti gli oggetti del discorso che la soddisfano come di un oggetto a se stante. Definì la proprietà che a ogni insieme associava la quantità dei suoi elementi come "cardinalità". Finché il numero è finito è tutto normale (anzi, usò questa definizione per definire "numero" e lo facciamo ancora oggi), ma se sono infiniti? Non si stupisca se ciò che sto per dire fa venire il mal di testa: Cantor finì in manicomio! Però è tutto vero. In sintesi: Cantor ebbe il colpo di genio di definire "equinumerosi" due insiemi per cui valesse la proprietà che per ogni elemento del primo, se ne può trovare esattamente uno dell'altro. Questa definizione regge anche tra insiemi infiniti, e riscoprì dunque un paradosso di Galileo: i numeri pari sono tanti quanto tutti i numeri naturali, perché c'è un primo numero pari (2, in corrispondenza con 0), un secondo (4, in corrispondenza con 1), e così via. Arrivò così a determinare che i numeri interi, cioè con anche i negativi, sono tanti quanto i naturali. Poi, con molta astuzia, dimostrò che anche includendo le frazioni la cosa non cambiava: una "lista" di tutte le frazioni in realtà si può fare. Ma quando arrivò ai numeri reali, quelli con anche √2 ma soprattutto con anche π, andò tutto in crisi. Riuscì a dimostrare che non poteva esserci nessuna simile corrispondenza. Erano più grandi. Due infiniti! Due infiniti diversi! Ancora oggi si fa fatica ad accettarlo, figuriamoci a metà XIX secolo! Associò a ciascuno un numero, detti "numeri cardinali transfiniti". Il più piccolo, quello dei numeri naturali, si indica con la lettera ebraica aleph e uno 0. E dimostrò poi che non ce ne sono solo due, ma... infiniti, "di un infinito così grande che non può essere un numero". Quello è detto infinito assoluto, e la teologia lo associa a Dio. E non si può inserire in nessuna teoria, o collassa, entra in contraddizione. Ma lei capirà che a Roma, quando Cantor (che era cattolico) mostrò terrorizzato i suoi risultati, non furono contenti: infiniti multipli sapevano di politeismo, e gli dissero di non chiamarli infiniti, ma transfiniti. Ancora oggi li chiamiamo così, mettendo la polvere sotto al tappeto. L'infinito dei numeri reali è lo stesso dei punti in una retta: non se ne può fare una lista, è troppo grande. Ed è qui che volevo arrivare nel mio primo commento: se si considerano i numeri algebrici, ossia i reali costruibili da noi, quelli sono ancora aleph0, sono ancora "countable", in inglese. Invece, i trascendenti no. Sono troppi. Ecco dunque la scoperta che in inglese si direbbe "humbling": i trascendenti sono più degli algebrici, ossia, ciò che è costruibile da noi non è che è una parte minuscola di ciò che esiste. Di numeri trascendenti se ne conoscono pochissimi, eppure sappiamo che sono la maggior parte. La matematica è dunque (letteralmente) infinitamente più grande di noi. Una gran lezione, che farebbe bene a tutti conoscere. I misteri come la quadratura del cerchio, ha detto bene lei, significavano sempre altro, su un altro piano. E a indicarlo è oggi la matematica stessa: hanno a che fare con enti trascendenti, dunque "che ci sono già per natura" ma che vanno anche al di là di ogni nostra costruzione. La trascendenza matematica non si risolve: si contempla. Non c'è contraddizione tra il punto di vista spirituale e quello matematico: è la matematica stessa a suggerirlo, a chi tende l'orecchio e sta in ascolto. Concludo con un aneddoto: il primo intellettuale ad aver parlato di più di un solo tipo di infinito fu il povero Giordano Bruno. E come su altro, aveva perfettamente ragione. Oggi la versione moderna della teoria di Cantor è alla base del 99% (cifra non inventata) di tutti i lavori matematici. Ci sono modi di andare addirittura oltre, da più di mezzo secolo, ma sono pochi a metterli a frutto. È ciò di cui mi occupo io, quando ho tempo.

WOW! Che spiegazione! 🙏 Non si offenda ma… non mi stupisce che Cantor sia finito in manicomio 😉 L’ultimo paragrafo è fantastico! Giordano Bruno (grande!!!), il 99%! e lei che si occupa di queste cose… complimenti! E in bocca al lupo! Vorrei solo aggiungere - in qualche video l’ho detto - che il cammino indicato da Dante non è la quadratura del cerchio, ma la cerchiatura del quadrato. E di questa, chissà perché, nessuno parla.