안녕하세요! 일하기 싫어서 유튜브를 돌아다니다 발견했습니다..ㅎㅎ 저도 수학 전공자이지만 현재는 수학과는 전혀 상관없는 법률 관련 업무를 하고 있습니다. 수학이라는 학문 자체로도 매력적이지만 증명 과정을 통해서 우리를 논리적으로 사고 할 수 있는 능력을 기르는데 도움을 주는 학문이죠. 저도 어릴 적 배웠던 것을 지금 서면 쓸 때 매번 써먹고 있어서 수학을 전공한 것에 매우 감사하게 생각하고 있습니다. 선생님, 제가 아직 영상을 다 못봐서 이런 주제로도 강의를 하셨는지 모르겠습니다만 왜 우리가 수학을 공부해야 하는지 영상으로 만들어주시면 감사할 것 같습니다.
수라는 것 자체가 실제로 존재하냐고 묻는 것과 똑같음 ... 그냥 일상생활에서는 자연수, 정수, 유리수, 무리수가 이해가 되지만 허수는 일상생활 관련된 그 어떤 것과는 잘 관련시키기 어렵다 .... 근데 전자공학 공부하다보면 ... 허수는 당연히 있어야 할 거 같은 느낌이 듬 ... 수라는 것은 인간의 경험세계가 넓어질 수록 그 존재가 수긍이 가게 되어 있음 ... 해밀턴의 4원수 이런 거도 20세기 초반까지는 "도대체 이게 뭔 효용이 있겠냐"라는 생각이 대부분이었지만 ... 컴퓨터 그래픽이 발달하고 물리현상을 그래픽으로 재현하는데 해밀턴 4원수가 정말 요긴하게 쓰이고 ... 요즘 유행하는 메타버스, 가상현실을 구현하는데 기본적인 수학적 기초가 됨 ...
낙타 20마리 닭 15마리가 중요한 시대에는 자연수 정수가 필요하고 ... 신전을 짓고 농토를 정리하고 이런 시대에는 분수, 유리수 필요하고 ... 증기기관을 만들고 거대한 현수교를 만들 시대에는 무리수, 실수가 필요하고 .... 레이더를 만들고 라디오, TV를 만들고 이러던 20세기에는 허수, 복소수가 필요합니다 .... 양자컴퓨터 AI, 메타버스 시대에도 필요하죠 .... 인간의 경험세계가 넓어질 수록 기존에 없던 새로운 수개념이 필요합니다 ...
수라는 것은 "실제"라기보다는 "개념"이죠. 물론 개념의 실존을 믿는 철학적 견해라면 수도 존재하는 것으로 볼 수 있겠군요. 구체적인 사과 하나가 존재하지만 1이라는 것은 실존하지 않는다는 관점은 실제론이라면, 수와 같은 인간의 개념도 존재한다고 믿는 것이 관념론이죠. 사실 "실제"냐 "개념"이냐 하는 것도 관념이기는 합니다. 결국 인간이 실제라는 것을 어떻게 정의하느냐, 그 개념을 개인적으로 어떻게 받아들이냐에 관한 것이겠죠. 언어라는 것은 사회적 합의에 의한 것이지만, 그 합의가 언제나 완벽한 것은 아니기 때문에, 사람마다 견해가 다른 것은 어쩔 수 없겠네요.
결국 수학이라는 것도 관념적 추상적인 논리체계를 기호로 표현한 것이고 '수'라는 것도 마찬가지죠. 우리가 사물을 실수에 대응시킨다고 해서 그 사물이 추상적인 '숫자'가 아닌 만큼이나 허수 또한 마찬가지고 현실에 대응시킬 수 있다는 것이죠. 좀 더 상위의 수학 이론에서는 오만가지 것들을 수처럼 취급하고 연산하는 것처럼 실수나 허수도 별반 다를바 없는 동일한 추상적 기호에 지나지 않는다... 그런 의미인것 같습니다. 이런 논리체계를 적절히 구성해 의미를 뽑아내는 것도 결국 하기 나름인것이구요. 다만 우리가 직관적으로 받아들일 수 있는 만큼 실수가 특별취급받지만 그 근본은 다르지 않다는 것이죠.
물론 그렇게 볼 수도 있으나 수는 사실 언어와 같은 인간의 추상적 관념의 창조물이 아닌 세상의 진리들 중 하나일 수도 있습니다 마치 원자 전자와 같은 자연의 구성요소와 같이 말이죠 인간의 뇌가 자연의 진리 중 하나인 수를 인식해서 연구하고 수학을 만들었다고도 볼수 있지 않을까요
제가 알기로도 허수의 개념을 전제하지 않고서는 양자역학이 설명되지 않는다고 합니다. 그런데, 양자역학도 실존하는 것이 아니라, 우리의 과학적인 관념속에서만 존재하는 것이겠죠. 물론 양자역학은 컴퓨터라든지 거의 모든 전자기구를 사용하는 데 매우 유용한 수단이 되고, 매우 실용적인 개념인 것도 사실입니다. 사실 1, 2, 3, 4와 같은 자연수도 실존하지는 않지만, 우리가 일상생활을 하는 데 매우 도움이 되는 개념이잖아요.
@@뭉치-t2m 관념론이 아닙니다. 자연의 작동원리라고 받아드려야죠. 수는 세는것으로 관념적으로 받아들일수있지만, 양자역학은 자연을 근사적으로 하지만 아주정확히 묘사하는 언어입니다. 차라리 유물론적으로 접근해야죠.양자역학은 우리가 어떻게 생각하든 상관없습니다. 그렇게 작동을 합니다.
아닙니다. 양자역학에서도 허수는 수학적 편리 도구로만 작동합니다. 파동함수 e^i(kx-wt) 즉 자연상수의 허수 복소 지수함수를 도입하였기 때문에 i를 이에 곱하는 것은 실수부에 대한 미분이 되는 것일 뿐 실재하는 것이 아닙니다. 물론 양자역학에서는 파동함수를 양자역학에 맞게 변형하여 운동량과 에너지의 꼴 그것도 드브로이 물질파의 개념을 반영한 형태를 사용합니다만 마찬가지입니다. 자연상수의 복소지수 함수는 미분하나 적분하나 꼴은 같고 미분하면 i가 곱해지고 . 적분하면 -i가 곱해질 뿐 함수자체는 변하지 않습니다. 이 점을 활용하고 오일러공식을 이용해서 사인/코사인의 파형을 다룰 때 어려운 미분 적분을 단지 i나 -i를 곱하는 간단한 방식으로 처리하기 위한 편리한 도구로 사용하는 것 뿐이죠. 양자역학의 세상에도 허수 i가 세상의 구성요소로 존재하는 것이 아니라 단지 계산을 미분적분을 i의 곱하기 또는 나누기로 쉽게 처리하기 위한 편리한 도구이고 결국 최종결과치에서 허수부는 삭제하고 해석하므로 허수는 중간에 사용했다가 지워버리는 수단에 불과하지 실재가 아닙니다. 원래 고전적 파동방정식에서는 라플라시안 즉 거리의 2계도함수와 시간의 2계도함수 사이는 파형의 속도의 제곱의 비율 관계가 있다고 말하는 데 슈레딩거 방정식에서는 시간에 대해서는 1계도함수만 나오는 대신 i를 곱하고 있습니다. 이 i는 이 양자역학적 세상에서 실존하는 것이 아니라 단지 나머지 1회의 실수부의 시간에 대한 미분을 수행하는 즉 시간에 대한 2계도함수를 만드는 역할 이상 이하가 아닙니다. 즉 오일러공식을 이용하여 파동함수 즉 프사이 함수를 자연상수의 복소 지수 꼴로 사용하게 된 이상 i를 곱하는 것으로 1회 미분을 대신하는 것 뿐입니다. 이는 마치 전기공학에서 코일이나 콘덴서의 저항에 해당하는 리액턴스에 비례하여 미분치나 적분치의 전압이 발생하는 것을 복소페이저를 도입하여 간단하게 i를 곱하거나 i를 나누어(-i를 곱하여) 미분적분을 대신하는 것과 마찬가지 입니다. 전기 세상에 허수 i가 실재하지 않고 단지 미분적분을 i의 곱하기 나누기로 쉽게 대신하여 계산의 편리를 위한 것 뿐입니다.
i^2=-1로 i를 정의하는 것에서 부터 존재하지 않는다는 관념이 생긴 것 같습니다. 그러지 말고 복소평면에 점에 대응하는 평면점수라고 정의하고 사칙연산을 복소수 사칙연산대로 정의된다고 치면 그건 존재하느니 않느니의 숫자가 아니라 2개의 실수가 동원되는 어떤 점에 대응되는 숫자가 됩니다. 어차피 실수도 존재하지 않습니다. 현상계의 물체와 대응되는 가상의 개념이죠. 그 개념이 복소평면의 점에 대응되는 가상의 수라고 치면 실수와 허수는 다르게 대응할 이유가 없습니다. 다만 실수는 우리가 눈으로 보는 인식되는 물체와 바로바로 어릴 때부터 대응시켜와서 익숙할 뿐이지 복소 평면의 점에 대응하는 숫자는 익숙하지 않을 뿐이죠. 실수도 , 허수도 모두 존재하지 않습니다. 실수는 현상계의 물체와 쉽게 대응시킬 수 있고 허수는 복수평면의 점에 대응시킨다고 하면 둘의 차이가 없습니다. 실수도 원래 현상계에 존재하지 않습니다. 즉 실수는 1차원 점에 대응하는 수고 허수는 2차원 점에 대응하는 수이며 각각 4칙연산은 그 나름의 이유로 잘 정의되어 있다고. 차원확장 개념으로 이해하면 될 듯. 마찬가지로 4칙연산을 잘 정의하기만 하면 실수 3개를 동원하는 3차원수 같은 평면 복소수를 공간 3차원수로 확장할 수도 있습니다. 물론 이 경우 공간상의 두 점 사이의 사칙연산을 어떻게 잘 정의하면 이 3차원수를 잘 활용할 수 있을 지가 정해지죠.. 우리가 전기공학 등에서 복소수를 잘 활용해먹는 것은 오일러 공식을 이용하여 i를 곱함으로 실수부를 cosA와 sinA를 서로 쉽게 스위칭해서 마치 실수 부분의 미분(코일)/적분(컨덴서)한 효과를 가져오기 때문에 즉 곱셈으로 미분/적분을 수행하기 때문에 잘 활용하는 것입니다. 아마 3차원수도 그러한 응용의 이익이 있다면 4칙 연산을 잘 정의해서 요긴하게 써먹을 수 있을 듯 합니다.
두 3차원수의 곱셈은 i,j,k의 determinant 와 유사한 방식을 이용하여 이를 확장하는 방식으로 정의될 듯 합니다. 복소수 곱셈은 ad-bc 대신 ac-bd, ad+bc, 2값을 도출하는 determinant와 유사하지만 2개의 값이 유도되는 행렬식과 유사한 개념을 이용한 순서쌍을 복소수를 4칙연산 곱하기를 정의하고 , 3차원수도 마찬가지로 a,b,c와 p,q,r 을 각각 동원하여 실수 연산한 것 여러개 순서쌍을 곱셈으로 정의할 수 있겠죠.
슈레딩거 방적식에 i가 나와서 일반인들은 흔히 우주의 원리 즉 양자역학의 세계에는 허수가 실재하는 특별한 의미가 있다고 오해하는 경우가 많은 데 결론적으로 양자역학에서도 허수는 실재하는 의미가 있는 것이 아니라 단지 수학적 편리 도구로만 작동합니다. 파동함수 e^i(kx-wt) 즉 자연상수의 허수 복소 지수함수를 도입하였기 때문에 i를 이에 곱하는 것은 실수부에 대한 미분이 되는 것일 뿐 실재하는 것이 아닙니다. 물론 양자역학에서는 파동함수를 양자역학에 맞게 변형하여 운동량과 에너지의 꼴 그것도 드브로이 물질파의 개념을 반영한 형태를 사용합니다만 마찬가지입니다. 자연상수의 복소지수 함수는 미분하나 적분하나 꼴은 같고 미분하면 i가 곱해지고 . 적분하면 -i가 곱해질 뿐 함수자체는 변하지 않습니다. 이 점을 활용하고 오일러공식을 이용해서 사인/코사인의 파형을 다룰 때 어려운 미분 적분을 단지 i나 -i를 곱하는 간단한 방식으로 처리하기 위한 편리한 도구로 사용하는 것 뿐이죠. 양자역학의 세상에도 허수 i가 세상의 구성요소로 존재하는 것이 아니라 단지 계산을 미분적분을 i의 곱하기 또는 나누기로 쉽게 처리하기 위한 편리한 도구이고 결국 최종 결과치에서 허수부는 삭제하고 해석하므로 허수는 중간에 사용했다가 지워버리는 수단에 불과하지 실재가 아닙니다. 원래 고전적 파동방정식에서는 라플라시안 즉 거리의 2계도함수와 시간의 2계도함수 사이는 파형의 속도의 제곱의 비율 관계가 있다고 말하는 데 슈레딩거 방정식에서는 시간에 대해서는 1계도함수만 나오는 대신 i를 곱하고 있습니다. 이 i는 이 양자역학적 세상에서 실존하는 것이 아니라 단지 나머지 1회의 실수부의 시간에 대한 미분을 수행하는 즉 시간에 대한 2계도함수를 만드는 역할 이상 이하가 아닙니다. 오일러공식을 이용하여 파동함수 즉 프사이 함수를 자연상수의 복소 지수 꼴로 사용하게 된 이상 i를 곱하는 것으로 1회 미분을 대신하는 것 뿐입니다. 이는 마치 전기공학에서 코일이나 콘덴서의 저항에 해당하는 리액턴스에 비례하여 미분치나 적분치의 전압이 발생하는 것을 복소페이저를 도입하여 간단하게 i를 곱하거나 i를 나누어(-i를 곱하여) 미분적분을 대신하는 것과 마찬가지 입니다. 전기 세상에 허수 i가 실재하지 않고 단지 미분적분을 i의 곱하기 나누기로 쉽게 대신하여 계산의 편리를 위한 것 뿐입니다.
간단하고 어려운건 그냥 이미 배워서 그렇다고 생각합니다. i가 90도이면 i의 제곱근, i^(1/2) 등은 어떻게 정의할까에 대해서는 여러번 생각할수록 좋은 개념입니다. 지수연산 및 제곱근 연산의 값을 하나로 한정짓는 과정에서 수학이라는 학문이 얼마나 답이 정해져있지 않은 자유로운 학문인지 알 수 있습니다. 단지 답을 정하고 그중에 하나를 대표로 정해놓는것은 사람들일 뿐이지요.
저는 물체가 2차원 평면을 벗어난 움직임을 가질 때(예를 들어 바닥이 아닌 허공) 그 벗어난 계를 나타내 줄 또 다른 측면이 필요하니 그곳을 허수의 개념으로 정의한 것으로 이해하고 있었거든요. 맞겠죠?ㅎ 수학을 혼자 공부하고 생각하니 이게 맞나 싶을 때가 항상 있습니다...
그건 z축이구용… 아마 복소수 표기할때 z랑 혼동하신듯? 물체의 움직임은 , 그러니까 뉴턴역학적으로는 궤적을 나타낼 때 허수를 쓰지 않습니다 . 미시적으로 전자의 거동을 설명할 때 에너지 보존법칙을 풀어쓰면 허수가 표현되구요. 오히려 물리와 허수의 연관성은 양자역학에 편중되어있죠 양자역학 찾아보셔도 좋을듯?
모든 수는 3차원의 공간세계에서는 존재하지 않지만 우리의 관념속에서 존재하는 것은 분명한 것 같습니다. 물론 물리현상을 설명하기 위해서는 허수가 꼭 필요하기는 하지만, 또 개별적인 현상을 설명하기 위해 실수가 필요하기는 하지만, 결국 우리가 현실을 관념적으로 다루는 것이 실용적이기 때문에, 허수든 실수든 실용적인 가치를 갖는 것에 불과한 것 같습니다
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복소수 a+bi 의 예시를 들 때, a=0 이어도 b=0 이면 허수가 아닌 실수가 됩니다~^^ (a+bi = 0+0i = 0)
[추가] 허수를 또 다시 '허수'(a+bi, a,b≠0)와 '순허수'(a+bi, a=0, b≠0)로 더욱 세분하여 정의하기도 하지만, 강의에서 이 분류까지 다루진 않았습니다. 그 분류 기준에서 강의에서 든 예시는 '순허수'에 해당합니다.
참고바랍니다 ^^
복소수보다 더 넓은 범위의 수가 있나요?
@@ShePingPing 이런 답을 원하신지는 모르겠지만 대수학의 기본정리에 의하면 다항식의 근은 복소수만으로 충분합니다
@@ShePingPing 삼다수
imaginary number는 상상수 인데 허수라고 번역하니 인지부조화에 부정적 의미도 있어 이해하기 어렵군요! 예전에 그냥 외워서시험 치는 것은 문제 없었지만 아직도 이해하기 어려운 내용 이군요!
멋진 강의 😊
언제나 흥미로운 강의 감사드립니다.
센스있게 필기할 때 적절히 배속하는 거 너무 좋다
과학에 관심이 많아서 과학의 언어인 수학을 공부하고자 유튜브를 찾던중에 이 채널을 발견했습니다! 좋은 강의 감사합니다. 앞으로 애용할게요.
보고 많이 배웠습니다. ^^
안녕하세요! 일하기 싫어서 유튜브를 돌아다니다 발견했습니다..ㅎㅎ 저도 수학 전공자이지만 현재는 수학과는 전혀 상관없는 법률 관련 업무를 하고 있습니다. 수학이라는 학문 자체로도 매력적이지만 증명 과정을 통해서 우리를 논리적으로 사고 할 수 있는 능력을 기르는데 도움을 주는 학문이죠. 저도 어릴 적 배웠던 것을 지금 서면 쓸 때 매번 써먹고 있어서 수학을 전공한 것에 매우 감사하게 생각하고 있습니다. 선생님, 제가 아직 영상을 다 못봐서 이런 주제로도 강의를 하셨는지 모르겠습니다만 왜 우리가 수학을 공부해야 하는지 영상으로 만들어주시면 감사할 것 같습니다.
수는 존재하지 않습니다. 인간이 자연을 이해하기위해 직관적으로 만들어낸 가장 합리적인 시스템일뿐. 우주는 숫자를 몰라도 스스로 평형을 향해 흘러가고 있습니다.
전남에도 꼭 와주세요. 아이가 열렬한 팬이에요...
강의 너무 좋아요 ㅠㅠ
선생님 복귀?! 너무 감사합니다!! 수능공부중인 3수생인데 수능 끝나면 꼭 수학 공부 더 해보고 싶어서 선생님 강의록도 다 뽑아놨어요!! 입시랑은 결이 많이 다르겠지만 너무 흥미로운 주제들이 많더라고요 많이 어려운 일이겠지만 계속 강의 해주셔서 감사합니다 ㅎㅎ
진짜 잘가르친다..
우리학교에서도 직접 듣고싶은강의네요
중3 혹은 고1인 학생들은 쎈이나 블랙라벨 등의 교재를 사서 무지성 풀이를 하기에 앞서 한번 참고해야할 진귀한 영상이라고 생각합니다.
수라는 것 자체가 실제로 존재하냐고 묻는 것과 똑같음 ... 그냥 일상생활에서는 자연수, 정수, 유리수, 무리수가 이해가 되지만 허수는 일상생활 관련된 그 어떤 것과는 잘 관련시키기 어렵다 .... 근데 전자공학 공부하다보면 ... 허수는 당연히 있어야 할 거 같은 느낌이 듬 ... 수라는 것은 인간의 경험세계가 넓어질 수록 그 존재가 수긍이 가게 되어 있음 ... 해밀턴의 4원수 이런 거도 20세기 초반까지는 "도대체 이게 뭔 효용이 있겠냐"라는 생각이 대부분이었지만 ... 컴퓨터 그래픽이 발달하고 물리현상을 그래픽으로 재현하는데 해밀턴 4원수가 정말 요긴하게 쓰이고 ... 요즘 유행하는 메타버스, 가상현실을 구현하는데 기본적인 수학적 기초가 됨 ...
낙타 20마리 닭 15마리가 중요한 시대에는 자연수 정수가 필요하고 ... 신전을 짓고 농토를 정리하고 이런 시대에는 분수, 유리수 필요하고 ... 증기기관을 만들고 거대한 현수교를 만들 시대에는 무리수, 실수가 필요하고 .... 레이더를 만들고 라디오, TV를 만들고 이러던 20세기에는 허수, 복소수가 필요합니다 .... 양자컴퓨터 AI, 메타버스 시대에도 필요하죠 .... 인간의 경험세계가 넓어질 수록 기존에 없던 새로운 수개념이 필요합니다 ...
인사이트가 좋으시네요 ㅎㄹ
이 댓글이 참 마음에 듭니다.
개념을 확실히 지도 하세요 ^^ 잘 배웁니다.
허수의 재미있는 점은 수직선으로 나타낼 때 시계방향으로 돌리냐 반시계방향으로 돌리냐가 동일하다는 것이죠
저도 허수입니다
크로네커가 그랬죠. 신은 자연수만 만들었고 나머지는 다 인간이 만들었다고... 복소수의 존재여부는 실수나 유리수의 존재여부와 맥락을 같이 한다고 생각하네요
수라는 것은 "실제"라기보다는 "개념"이죠. 물론 개념의 실존을 믿는 철학적 견해라면 수도 존재하는 것으로 볼 수 있겠군요. 구체적인 사과 하나가 존재하지만 1이라는 것은 실존하지 않는다는 관점은 실제론이라면, 수와 같은 인간의 개념도 존재한다고 믿는 것이 관념론이죠. 사실 "실제"냐 "개념"이냐 하는 것도 관념이기는 합니다. 결국 인간이 실제라는 것을 어떻게 정의하느냐, 그 개념을 개인적으로 어떻게 받아들이냐에 관한 것이겠죠. 언어라는 것은 사회적 합의에 의한 것이지만, 그 합의가 언제나 완벽한 것은 아니기 때문에, 사람마다 견해가 다른 것은 어쩔 수 없겠네요.
증명 : 내가 허수임
이제 당신이 존재한단걸 증명해주세요 :D
Q.E.D.
@@user-not_my_name 두 개 다 데카르트한테 물어보면 될듯
혹시 아버님이 허수아비신가요?
@@user-not_my_name 나는 생각한다
결국 수학이라는 것도 관념적 추상적인 논리체계를 기호로 표현한 것이고 '수'라는 것도 마찬가지죠. 우리가 사물을 실수에 대응시킨다고 해서 그 사물이 추상적인 '숫자'가 아닌 만큼이나 허수 또한 마찬가지고 현실에 대응시킬 수 있다는 것이죠. 좀 더 상위의 수학 이론에서는 오만가지 것들을 수처럼 취급하고 연산하는 것처럼 실수나 허수도 별반 다를바 없는 동일한 추상적 기호에 지나지 않는다... 그런 의미인것 같습니다. 이런 논리체계를 적절히 구성해 의미를 뽑아내는 것도 결국 하기 나름인것이구요. 다만 우리가 직관적으로 받아들일 수 있는 만큼 실수가 특별취급받지만 그 근본은 다르지 않다는 것이죠.
물론 그렇게 볼 수도 있으나 수는 사실 언어와 같은 인간의 추상적 관념의 창조물이 아닌 세상의 진리들 중 하나일 수도 있습니다 마치 원자 전자와 같은 자연의 구성요소와 같이 말이죠
인간의 뇌가 자연의 진리 중 하나인 수를 인식해서 연구하고 수학을 만들었다고도 볼수 있지 않을까요
양자역학 강의 찾다가 여기까지 왔습니다. 설명도 너무 깔끔하고 배경지식에서 빌드업하는 과정에 감탄이 나옵니다. 혹시 목록 중 양자역학 관련한 강의도 있나요? 찾아보는 중인데 질문해봅니다
제가 알기로도 허수의 개념을 전제하지 않고서는 양자역학이 설명되지 않는다고 합니다. 그런데, 양자역학도 실존하는 것이 아니라, 우리의 과학적인 관념속에서만 존재하는 것이겠죠. 물론 양자역학은 컴퓨터라든지 거의 모든 전자기구를 사용하는 데 매우 유용한 수단이 되고, 매우 실용적인 개념인 것도 사실입니다. 사실 1, 2, 3, 4와 같은 자연수도 실존하지는 않지만, 우리가 일상생활을 하는 데 매우 도움이 되는 개념이잖아요.
@@jxisml 답변감사합니다 전공자는 아니지만 전공서도 찾아보고 관련 논문도 읽어보는 중인데 속 시원히 해결되지 않는 부분이 있었는데 자연수를 생각해보니 어떻게 개념을 받아드려야 할지 감이 좀 오네요
@@뭉치-t2m 관념론이 아닙니다. 자연의 작동원리라고 받아드려야죠. 수는 세는것으로 관념적으로 받아들일수있지만, 양자역학은 자연을 근사적으로 하지만 아주정확히 묘사하는 언어입니다. 차라리 유물론적으로 접근해야죠.양자역학은 우리가 어떻게 생각하든 상관없습니다. 그렇게 작동을 합니다.
@@뭉치-t2m 그리고 i 는 그냥 상태라고 보면 오히려 많은부분에서 쉽게 넘어갈수있습니다. 같은 양의 물질이라도 어떻게 두는가에 따라 달라지듯이 i는 phase로 보시면 맘이 편할겁니다
할리데이 펴라
수승님
이 편 거의 영화배우신데요 형님
양자역학을 보면 사실은 허수 i라는 것도 세상의 구성요소중 하나이지 않을까 생각합니다.
우리가 사는 세계의 기둥은 실수보단 복소수라고 생각합니다.
대수학적으로 복소수 계수 다항식은 언제나 복소수 근만을 가지는 좋은 성질 때문도 있겠지만요.
현실세계를 관념적으로 만들어낸 허상의 개념으로 설명할 수 있다는 것이 참 놀랍더군요. 숫자는 철학적이고 우리 존재의 핵심을 꿰뚫고 있죠.
아닙니다. 양자역학에서도 허수는 수학적 편리 도구로만 작동합니다. 파동함수 e^i(kx-wt) 즉 자연상수의 허수 복소 지수함수를 도입하였기 때문에 i를 이에 곱하는 것은 실수부에 대한 미분이 되는 것일 뿐 실재하는 것이 아닙니다. 물론 양자역학에서는 파동함수를 양자역학에 맞게 변형하여 운동량과 에너지의 꼴 그것도 드브로이 물질파의 개념을 반영한 형태를 사용합니다만 마찬가지입니다. 자연상수의 복소지수 함수는 미분하나 적분하나 꼴은 같고 미분하면 i가 곱해지고 . 적분하면 -i가 곱해질 뿐 함수자체는 변하지 않습니다. 이 점을 활용하고 오일러공식을 이용해서 사인/코사인의 파형을 다룰 때 어려운 미분 적분을 단지 i나 -i를 곱하는 간단한 방식으로 처리하기 위한 편리한 도구로 사용하는 것 뿐이죠. 양자역학의 세상에도 허수 i가 세상의 구성요소로 존재하는 것이 아니라 단지 계산을 미분적분을 i의 곱하기 또는 나누기로 쉽게 처리하기 위한 편리한 도구이고 결국 최종결과치에서 허수부는 삭제하고 해석하므로 허수는 중간에 사용했다가 지워버리는 수단에 불과하지 실재가 아닙니다. 원래 고전적 파동방정식에서는 라플라시안 즉 거리의 2계도함수와 시간의 2계도함수 사이는 파형의 속도의 제곱의 비율 관계가 있다고 말하는 데 슈레딩거 방정식에서는 시간에 대해서는 1계도함수만 나오는 대신 i를 곱하고 있습니다. 이 i는 이 양자역학적 세상에서 실존하는 것이 아니라 단지 나머지 1회의 실수부의 시간에 대한 미분을 수행하는 즉 시간에 대한 2계도함수를 만드는 역할 이상 이하가 아닙니다. 즉 오일러공식을 이용하여 파동함수 즉 프사이 함수를 자연상수의 복소 지수 꼴로 사용하게 된 이상 i를 곱하는 것으로 1회 미분을 대신하는 것 뿐입니다. 이는 마치 전기공학에서 코일이나 콘덴서의 저항에 해당하는 리액턴스에 비례하여 미분치나 적분치의 전압이 발생하는 것을 복소페이저를 도입하여 간단하게 i를 곱하거나 i를 나누어(-i를 곱하여) 미분적분을 대신하는 것과 마찬가지 입니다. 전기 세상에 허수 i가 실재하지 않고 단지 미분적분을 i의 곱하기 나누기로 쉽게 대신하여 계산의 편리를 위한 것 뿐입니다.
i^2=-1로 i를 정의하는 것에서 부터 존재하지 않는다는 관념이 생긴 것 같습니다. 그러지 말고 복소평면에 점에 대응하는 평면점수라고 정의하고 사칙연산을 복소수 사칙연산대로 정의된다고 치면 그건 존재하느니 않느니의 숫자가 아니라 2개의 실수가 동원되는 어떤 점에 대응되는 숫자가 됩니다. 어차피 실수도 존재하지 않습니다. 현상계의 물체와 대응되는 가상의 개념이죠. 그 개념이 복소평면의 점에 대응되는 가상의 수라고 치면 실수와 허수는 다르게 대응할 이유가 없습니다. 다만 실수는 우리가 눈으로 보는 인식되는 물체와 바로바로 어릴 때부터 대응시켜와서 익숙할 뿐이지 복소 평면의 점에 대응하는 숫자는 익숙하지 않을 뿐이죠. 실수도 , 허수도 모두 존재하지 않습니다. 실수는 현상계의 물체와 쉽게 대응시킬 수 있고 허수는 복수평면의 점에 대응시킨다고 하면 둘의 차이가 없습니다. 실수도 원래 현상계에 존재하지 않습니다. 즉 실수는 1차원 점에 대응하는 수고 허수는 2차원 점에 대응하는 수이며 각각 4칙연산은 그 나름의 이유로 잘 정의되어 있다고. 차원확장 개념으로 이해하면 될 듯. 마찬가지로 4칙연산을 잘 정의하기만 하면 실수 3개를 동원하는 3차원수 같은 평면 복소수를 공간 3차원수로 확장할 수도 있습니다. 물론 이 경우 공간상의 두 점 사이의 사칙연산을 어떻게 잘 정의하면 이 3차원수를 잘 활용할 수 있을 지가 정해지죠.. 우리가 전기공학 등에서 복소수를 잘 활용해먹는 것은 오일러 공식을 이용하여 i를 곱함으로 실수부를 cosA와 sinA를 서로 쉽게 스위칭해서 마치 실수 부분의 미분(코일)/적분(컨덴서)한 효과를 가져오기 때문에 즉 곱셈으로 미분/적분을 수행하기 때문에 잘 활용하는 것입니다. 아마 3차원수도 그러한 응용의 이익이 있다면 4칙 연산을 잘 정의해서 요긴하게 써먹을 수 있을 듯 합니다.
두 3차원수의 곱셈은 i,j,k의 determinant 와 유사한 방식을 이용하여 이를 확장하는 방식으로 정의될 듯 합니다. 복소수 곱셈은 ad-bc 대신 ac-bd, ad+bc, 2값을 도출하는 determinant와 유사하지만 2개의 값이 유도되는 행렬식과 유사한 개념을 이용한 순서쌍을 복소수를 4칙연산 곱하기를 정의하고 , 3차원수도 마찬가지로 a,b,c와 p,q,r 을 각각 동원하여 실수 연산한 것 여러개 순서쌍을 곱셈으로 정의할 수 있겠죠.
음수도 점도 영도 무한대도 선도 평면도 다 개념속에만 있다고 생각하니 허수도 그냥 개념속에 있고 그걸 이용해서 여러 수학적 문제를 풀 수 있으니 존재한다고 봐야 하지 않을까 정도 생각합니다.
그냥 제 생각입니다.
허수 ? 눈에 보이지 않는 실체있는 사물을 눈으로 볼수 있도록 만든 숫자..
호기심 ? 호랑이가 기침할 때 먹는 마음..
슈레딩거 방적식에 i가 나와서 일반인들은 흔히 우주의 원리 즉 양자역학의 세계에는 허수가 실재하는 특별한 의미가 있다고 오해하는 경우가 많은 데 결론적으로 양자역학에서도 허수는 실재하는 의미가 있는 것이 아니라 단지 수학적 편리 도구로만 작동합니다.
파동함수 e^i(kx-wt) 즉 자연상수의 허수 복소 지수함수를 도입하였기 때문에 i를 이에 곱하는 것은 실수부에 대한 미분이 되는 것일 뿐 실재하는 것이 아닙니다.
물론 양자역학에서는 파동함수를 양자역학에 맞게 변형하여 운동량과 에너지의 꼴 그것도 드브로이 물질파의 개념을 반영한 형태를 사용합니다만 마찬가지입니다.
자연상수의 복소지수 함수는 미분하나 적분하나 꼴은 같고 미분하면 i가 곱해지고 . 적분하면 -i가 곱해질 뿐 함수자체는 변하지 않습니다. 이 점을 활용하고 오일러공식을 이용해서 사인/코사인의 파형을 다룰 때 어려운 미분 적분을 단지 i나 -i를 곱하는 간단한 방식으로 처리하기 위한 편리한 도구로 사용하는 것 뿐이죠.
양자역학의 세상에도 허수 i가 세상의 구성요소로 존재하는 것이 아니라 단지 계산을 미분적분을 i의 곱하기 또는 나누기로 쉽게 처리하기 위한 편리한 도구이고 결국 최종 결과치에서 허수부는 삭제하고 해석하므로 허수는 중간에 사용했다가 지워버리는 수단에 불과하지 실재가 아닙니다.
원래 고전적 파동방정식에서는 라플라시안 즉 거리의 2계도함수와 시간의 2계도함수 사이는 파형의 속도의 제곱의 비율 관계가 있다고 말하는 데 슈레딩거 방정식에서는 시간에 대해서는 1계도함수만 나오는 대신 i를 곱하고 있습니다.
이 i는 이 양자역학적 세상에서 실존하는 것이 아니라 단지 나머지 1회의 실수부의 시간에 대한 미분을 수행하는 즉 시간에 대한 2계도함수를 만드는 역할 이상 이하가 아닙니다.
오일러공식을 이용하여 파동함수 즉 프사이 함수를 자연상수의 복소 지수 꼴로 사용하게 된 이상 i를 곱하는 것으로 1회 미분을 대신하는 것 뿐입니다.
이는 마치 전기공학에서 코일이나 콘덴서의 저항에 해당하는 리액턴스에 비례하여 미분치나 적분치의 전압이 발생하는 것을 복소페이저를 도입하여 간단하게 i를 곱하거나 i를 나누어(-i를 곱하여) 미분적분을 대신하는 것과 마찬가지 입니다.
전기 세상에 허수 i가 실재하지 않고 단지 미분적분을 i의 곱하기 나누기로 쉽게 대신하여 계산의 편리를 위한 것 뿐입니다.
양력을 대략적으로 예측할 때, 공기의 비압축성과 비회전성을 가정하여 라플라스 방정식의 해로 유동을 예측하는데, 이때 복소함수의 좋은 성질(등각사상)을 이용한다고 합니다. 복소수는 이런데도 쓰이네요 ㅎㅎ
굳이 멀리 갈 필요 없이 우리가 쓰는 모든 전자제품, 스마트폰이나 모니터, 즉 양자역학으로 이루어지는 모든 제품들에는 양자역학의 기본인 슈뢰딩거 방정식 자체에 i가 포함됩니다.
i는 뭔가 재미있군요...
왠지 회오리 나선의 힘 위치
허수로 표현하면 수학적 3차원
그림 나올 듯 예감에
Demoivres theorem
xi가 x배한 수를 i축 방향으로 90도 회전을 의미한다는 설명은 적절하고 획기적인 설명 같습니다.
그럼 딱 90도가 아니고 45도나 30도 희전의 의미는 어떻게 표현할수 있을까요?
이것도 뿐명 방법이 있어야 하는데 i에 삼각함수를 적용해야 되는건가요?
그 부분은 복소수의 극형식을 보면 알 수 있으실꺼에요
a+bi를 곱할 때 a=0이면 ±90도 회전이 일어나고, a ≠ 0이 아니면 tanθ = b/a를 만족하는 각 θ만큼 회전이 일어납니다. (-90° < θ < 90°) 물론 크기도 동시에 변할 수 있지만, 회전각만 얘기하면 그렇다는 말입니다.
그러네요 간단한 이치를 간과해고 어렵게 생각했네요.
간단하고 어려운건 그냥 이미 배워서 그렇다고 생각합니다. i가 90도이면 i의 제곱근, i^(1/2) 등은 어떻게 정의할까에 대해서는 여러번 생각할수록 좋은 개념입니다.
지수연산 및 제곱근 연산의 값을 하나로 한정짓는 과정에서 수학이라는 학문이 얼마나 답이 정해져있지 않은 자유로운 학문인지 알 수 있습니다.
단지 답을 정하고 그중에 하나를 대표로 정해놓는것은 사람들일 뿐이지요.
오 시민대학에서 수학을!
실수:직관수, 허수:비직관수로 했다면 더 낫지 않았을까 싶긴 하네요
성씨들 중에 허씨들이 허수다.
저는 물체가 2차원 평면을 벗어난 움직임을 가질 때(예를 들어 바닥이 아닌 허공) 그 벗어난 계를 나타내 줄 또 다른 측면이 필요하니 그곳을 허수의 개념으로 정의한 것으로 이해하고 있었거든요. 맞겠죠?ㅎ 수학을 혼자 공부하고 생각하니 이게 맞나 싶을 때가 항상 있습니다...
맞겠죠? 한부분 아닙니다
그건 z축이구용… 아마 복소수 표기할때 z랑 혼동하신듯? 물체의 움직임은 , 그러니까 뉴턴역학적으로는 궤적을 나타낼 때 허수를 쓰지 않습니다 . 미시적으로 전자의 거동을 설명할 때 에너지 보존법칙을 풀어쓰면 허수가 표현되구요. 오히려 물리와 허수의 연관성은 양자역학에 편중되어있죠 양자역학 찾아보셔도 좋을듯?
3차원은 다 실수죠 물리에서 허수축을 붙이는건 4차원 시공간을 다룰때 나오긴 합니다
복알못을 위한 명강ㄷㄷ
허수가 존재 안 한다 치면 정수, 유리수 이런 애들도 따지고 보면 개념뿐이지...
썸네일 폴 피닉스
숫자는 실재가 아니라 발명품이예요. 자연수도 실재에 부합하지 않습니다. 자연수나 허수나 똑같지요. 그럼 직각 삼각형은 실재하나요? 그런 실재는 없습니다.
저 수직선은 누가 처음 썻나요
실수x허수 는 왜 허수가 되나요?
허수는 허수아비의 아들입니다.
1+3i에 2-3i 를 곱하는건 복소평면에서 어떻게 설명하나요??
th-cam.com/video/qOwj_RJfLQ0/w-d-xo.html
상엽쌤의 이 영상보시면 도움되실 듯싶네요
복소수를 극좌표를 통해 생각하면 됩니다.
한번 극좌표로 표현해보신후 오일러 공식을 찾아보세요.
이 문제를 극단적으로 단순화한 개념이 바로 페이저입니다. 전자공학에서 많이 사용해요
2-3i의 크기 만큼 확장하고 편각만큼 회전하면 됩니다!
i 가 있는건 맞는거 같은데 뭔가 우리가 일반적인 실수 계산하듯 다루면 안될거같음
절대 그 수를 놀라게 해선 안돼
@@milgaru 어이쿠 '실수'
모든 수는 3차원의 공간세계에서는 존재하지 않지만 우리의 관념속에서 존재하는 것은 분명한 것 같습니다. 물론 물리현상을 설명하기 위해서는 허수가 꼭 필요하기는 하지만, 또 개별적인 현상을 설명하기 위해 실수가 필요하기는 하지만, 결국 우리가 현실을 관념적으로 다루는 것이 실용적이기 때문에, 허수든 실수든 실용적인 가치를 갖는 것에 불과한 것 같습니다
오히려 복소수 집합에서 놓고보면 그 부분집합인 실수집합이 이상한 집합이라 볼 수 있음. 복소수 집합에서는 당연히 돼야할 게 실수에선 안 됨
허수라는 아이(i)는 ..음...존재합니다.
김허수 또 너야?
저는 아이에요 (뇌절)
😂
현실 윤대협