인트로를 삭제하였습니다.(2021.06.18) 그로 인해 기존 영상과 약 9초의 시간 차이가 발생하였으니 참고해주세요. ━─ ↓↓ 책갈피 ↓↓ ─━ 02:12 1. 유클리드 기하학의 점과 선 07:53 2. 르장드르의 해석 11:33 3. 현대 기하학의 점과 선 15:16 마치며
유클리드 metric space에서 어떤 선형관계를 만족하는 점들의 집합이 직선인 것입니다. 몸의 점... 좀 비약해서 평면위에 연필로 찍은 점은 결국 면적이란 것이 존재하니, 2차원의 도형입니다. 따라서 dot이 모여서 선이 된다는 틀립니다... 선은 넓이가 0이니까요. 무한의 정도가 다르다고 생각할 수 있습니다. dot이나 line이나 모두 무한집합이지만 dot이 넓이가 있다는 점에서 더 강력한 무한이지요.
수학을 왜 수학 전공자가 가르쳐야 하는지 선생님의 강의를 보면서 많이 느끼게 됩니다. 공돌이로 대학까지 나오면 고등학교 미적분은 껌이야 라는 개념으로 학원에서 가르치는 걸 배워선 아이들이 제대로 된 수학을 접할 수가 없겠네요. 물론 학창시절에 이 사람이 정말 수학을 제대로 배운사람이 맞나? 하는 의구심이 드는 교사들도 있긴 했었지만요
@@결론주의자김근대 ㅎ 이분의 푸앵카레 추측 영상이나 괴델의 불완전성정리, 호지추측 영상같은 걸 보면 어렴풋이 느끼실 수 있을거에요. 학부생 수준 정도로는 감히 모방이나 흉내도 낼 수 없는 내공을 말이죠. 가령 호지추측 같은 경우는 그걸 다루는 영상자체가 국내에선 이 분 것이 '유일'합니다..ㅋ
영상 잘 보았습니다. 이 내용을 보면서 친구가 떠올랐네요. 대학 1학년때 수학에 관심있어서 세미나에 참가했는데 하필 주제가 '곡선이란 무엇인가' 라서 수학에 대한 관심을 포기했었다는 아름다운? 결말이지만요. 그리고 전에 읽었던 책의 한 대목이 떠올랐습니다. '뉴턴이 모든 지점에서 연속이나 미분 불가능한 함수를 알았다면 미적분을 만들지 못했을 것이다.' 라는 글이었는데요. 수학이 논리적인 면을 강조하나, 인간의 직관으로 생각해서 만든다는 것을 많은 사람들이 알았으면 합니다. 오늘도 좋은 내용 감사합니다!
선의 정의를 처음 들었을때부터 계속 궁금했던건데 드디어 의문이 풀렸네요. 설명이 참 자세하고, 친절하고, 순서적으로도 잘 짜여져 있어서 굉장히 좋았습니다. 결론적으로는 수학의 이론의 세계, 그 안에서도 기하학적이 아닌 집합론적으로 성립시켜야 하는 정의였던 거군요. 참 재미있고 유익한 시간이었습니다. 감사합니다.
안녕하세요, 수학과 2학년에 재학중인 대학생입니다. 스스로 수학을 좋아하고 잘한다고 생각했고 수험시절을 잘 보내 ㅅㅍㅋ에 입학을 했습니다만... 선생님 수업을 들으면서 항상 부족함을 느낍니다. 1학기 동안 학부 수학 수업을 들으면서, 동기나 선후배와의 수학 관련 토론을 진행하기 어려웠습니다. 혼자만의 논리와 닫힌 사고로 문제 풀이를 진행하는 저의 모습을 보면서, 이렇게 공부하는 것이 저의 실력을 위해 과연 맞는 일인지 의문이 듭니다. 주위에서 우리나라 수학과의 최고대학에서 학부를 지낸다고, 저의 수학실력을 기대하지만 저는 그 책임을 지기에는 너무나도, 너무나도 부족하다는 생각이 듭니다. 무엇보다 이런 식으로 수학 공부를 하게 되니, 과에서 압도적으로 잘하는 30%만이 대학원 진학을 합니다.(타 과는 평균적으로 70% 정도 됩니다...) 다시말해, 대학교에서 수학에 대한 흥미를 잃어 가고 있습니다. (물론 수학을 굉장히 좋아합니다. 단지 학부 수업에서 지쳐, 방학 중 연구참여를 진행하며 수학에 대한 열정을 연명하고 있을 뿐입니다..) 선생님의 수업을 통해 잃어버린 수학의 흥미를 차츰 되돌리고 있습니다. 선생님께서 다양한 주제를 엄밀한 논리로 쉽게 설명해주신 강의를 들으며, 수학에 대한 남다른 열정도 느낄 수 있습니다. 특히 과거 수학사에서 동양 수학사에 관한 내용도 굉장히 흥미로웠습니다. 이렇게 수학 전반에 대한 지식을 얻기까지 수많은 노력을 하셨을 것이라 제가 감히 확신할 수 있습니다. 선생님의 수학 인생에 대해 알아보고 싶습니다!! 수학과 학부생에게 바라시는 학기-방학 중 공부방식이나 책, 방학에 인턴쉽이나 연구참여 같은 것 등이 있으시다면 조언을 받고 싶습니다. 항상 수학의 대중화에 앞장 서주셔서 고맙습니다. 우리나라 석학이신 수학 교수님들께서도 수학의 대중화에 관심은 있으시지만, 개인적으로 아직 좋은 결과를 얻었다고 생각하지 않습니다. 철학에서는 강신주 박사님, 서강대 최진석 교수님, 포스텍 이진우 교수님 등께서 많은 프로그램에 나오시면서 철학의 대중화에 많은 기여를 하셨다고 생각합니다. 특히 정치철학을 위주로, 우리 일상생활과 관련된 주제를 다루시다 보니 대중과의 간격을 효율적으로 줄이신 것 같습니다. 마찬가지로, 순수수학 위주의 강연도 좋습니다만, 우리 일상생활과 관련된 응용수학의 주제를 다루시는 것도 좋을 것 같습니다!!ㅎㅎ 물론 응용수학을 인정하시지 않으실 수도 있지만, 도박이나 주식에서 쓰이는 확률론이나, 프랙탈 기하학과 스케일링 법칙, 수학과 경제학/물리학/컴퓨터 공학의 철학적 관계, 근사approximation 이론 등을 다뤄주시면 더 재밌을 것 같습니다. 추가로, 가끔 수학을 무시하시는 듯한 댓글이 달리는 걸 보며 마음이 아픕니다. 수학은 정말 대단한 학문입니다. 예를 들어 철학을 공부하면, 다른 학문들을 쉽게 공부하고 받아들일 수 있습니다. 철학을 통해 다양한 논의를 진행하며 논리력을 키우면, 새로 보는 지식이나 주장을 아주 잘 비판하고 조금 더 확장해서 받아들일 수 있기 때문이죠.인류학이나 경제학, 심지어 법학이나 정치학에서 제시하는 주장이나 모델은 각자 장/단점을 가지고 있습니다. 그런데 이들은 철학에서 많이 등장하는 논리적 방법론을 따르게 됩니다. 이를 오해없이 정확하게 이해하기 위해서는 철학에서의 비판 훈련과 논리적 방법론이 굉장히 큰 도움이 됩니다. 수학도 철학과 마찬가지입니다. 다양한 수학자가 공리와 정의를 바탕으로 세운 다양한 정리로 이루어진 여러 세계를 비교하고, 비판하고, 그 안에서 살아보기도 하면서 다양한 논리적 방법론을 익히는 것이죠. 그렇다 보니 저는 마음만 먹으면 수학적 배경을 공유하는 경제학, 물리학, 컴퓨터공학의 모델을 이해하고 논문을 읽을 수 있습니다. 기계나 전기전가공학도 동일합니다. 실제로 지금은 통계물리학과 컴퓨터공학의 논문을 읽고 분석하며 새로운 논문 출판을 준비하고 있습니다. 이처럼 수학을 공부하면, 관심과 열정만 있다면 이공계 관련 배경지식을 쉽게 쌓을 수 있고, 자신만의 독창적인 방식으로 문제를 해결할 수도 있습니다. 수학이라는 학문의 존재 이유를 정당화하는 것 자체가 웃기는 일이지만, 저의 수학의 대단함에 대한 의견은 위와 같습니다. 마지막으로 유대인들은 항상 '지식을 기억하라'라는 격언을 가지고 다닌다고 합니다. 인간의 역사를 보면 지식이 얼마나 대단한지 그들은 깨달았기 때문일 것입니다. 지식을 중요시하는 그들의 문화적 배경도 그들의 노벨상 관련 업적에 연관성이 있다고 생각하는데요. 요점은 아무리 하찮아 보이는 지식이라도 그 지식을 함부로 판단하고 선을 그어버리는 태도는 배제하자는 것입니다...ㅎㅎㅎ(수학과 조크 중에 수학자는 커피로 지식을 만드는 연금술사라고...) 긴 글 읽어주셔서 고맙습니다.
수학과수업 포기하지 말고 끝까지 들으세요. 낮은 학점받더래도 꾸준히 들어두세요... 그러다가 돈오돈수하는 특이점이 옵니다. 아시다시피 지금은 수리과학의 시대입니다. 전산전공의 전필과목 데이타베이스나 자료구조론 등 꼭 들으시고, 수학과의 전필과목과 수치해석, 미방, 실해석 또 통계학과의 수리통계 회귀분석 가능하면 대학원확률론(measure theory기반) 까지 꼭 들어두세요. 엉덩이 자리에 붙이고 긴시간을 버티기 꼭 견뎌내세요.. 말로만 빅데이터, 머신러닝 떠들어대는 사이비들 보다 더 훌륭한 사람이 되어 있으실 거에요. 안타깝네요.. 제가 학부 다니던 30년 전이나 지금이나 수학과 학생들이 똑같은 고민을 하고 있네요..
오랜만에 다시 본 영상인데 또 여러가지 생각이 드네요. 처음에 봤을땐 그당시 측도론을 공부하고 있어서 "점들의 측도는 0인데 점들의 집합인 실수구간은 0이 아니다."라는 사실이 생각났었는데... 요즘은 선형대수랑 미분기하학을 보고 있어서 "사실 길이, 넓이, 부피 이런거 자체가 정의하기 나름인건데 우리가 유클리드기하학에 너무 익숙해져서 그것만이 유일한 것인마냥 당연하게 받아들이는데서 오는 착각이 아닐까." 하는 생각을 해봤습니다. 좋은영상 감사합니다.
수학적으로 말고 물리학적으로 접근해서도 설명드릴게용~ 수학(유클리드 기하학)(프랙탈 기하학에서는 다르답니다. 저는 몰라요 잘)에서는 선,면,공간이 연속적이라는 의미를 전제합니다. 정확한 정의가 필요하니까요. 물리에서는 좀 더 실질적인게 필요하죠. 어떤 면이 불연속적으로 수많은 면이 자기유사성과 되먹임,프랙탈을 띄고 있으면 면이 모여서 공간이 될 수 있어요. 해상도, 스케일 관점에 따라 변한다는 의미입니다. 가령, 가까이서 보이면 점들이 불연속적이여도 멀리서 보면 점들의 모임이 선의 역할을 하니까요. 그 기준은 복잡계기준으로는 자기유사성, 프랙탈, 되먹임에따라 바뀝니다. 양자역학관점은 더 어렵고... 결국 점들이 무수히 모여도 선이 될수도 있고 안될 수도 있습니다.
현대수학 짱짱입니다. 직선이 점들의 집합이라는 표현을 기하학적 접근으로 의미 부여를 해가며 그 빈 개념은 입실론과 극한으로 이해하고 있었는데, 간단한 조건 집합 하나로 그냥 '당연한 말'임을 증명해버리네요. 앞선 이해가 '사족'으로 느껴질 정도로요. (그러나 직관, 통찰이 문제 해결에 있어 중요한 키워드가 될 수 있기에, 기존의 접근법을 아주 버리지는 못하겠네요.) 항상 감사드리며, 응원합니다.
그래도 입실론델타와 극한은 전혀 이 정의에서 필요가 없고 관련이 없는 것 같아요. 그래서 그걸로 이해하려고한다면 오히려 직관에 잘못된 정보를 씌우는 걸 것 같아요. 저는 직관적으로 납득하기 위해 제 나름대로 점에 대한 정의를 이렇게 햇거든요; 점은 위치정보를 지니며 부분이 없는 것이다; 양이 없이 정보만 지닌 걸로 납득하기로 햇어요. 이러면 집합론적 정의와도 어긋나지 않는 이해일 것 같아서요.
저도 아이들에게 수학을 가르치는 입장에서 선생님의 영상을 보면서 학생들을 가르치는 동기부여가 많이 됩니다. 이 영상에 마지막 멘트.. "머지않아 깨달을 거에요. 지성의 빈틈을 매꾸는 과정, 지성의 새 지평을 여는 그러한 희열들은 다른 어떤 놀이 수단에서도 얻을 수 없는 희소한 즐거움이라는 사실을요." 경험해 본 사람들은 격하게 공감할 것이라 생각합니다. 앞으로도 유익한 영상 많이 많이 부탁드립니다. 감사합니다.
고등학교때부터 의문은 들었지만 이해 못하고 넘어갔던 부분인데 덕분에 상당부분 의문이 해소되었습니다. 하지만 여전히 완전하게 이해 못한 부분이 있습니다. 분명 선은 점들을 포함하는 집합이고 무수히 많은 점으로 구성되어 있지만, 그 모든 점들은 길이가 없기 때문에 점들의 집합으로부터 어떻게 길이를 갖는 선이 설명될 수 있는지를 아직 잘 모르겠습니다. 점과 선의 정의에 대한 의문이 아닌, 점의 길이가 0이라면 점들을 모아서 선을 구성하는 것이 과연 가능한 것인가? 하는 질문입니다. 잘 아시는 분이 있다면 설명 부탁드려요.
와... 정말 감사합니다. 중학교 1학년 때부터 늘 궁금했는데 어떤 선생님께 여쭤봐도 대답해주지 않으셨어요. 몇년동안이나 고뇌하던 문제였는데ㅠㅠ 감사합니다 정말로요! (정확히 말하면 저는 역으로 생각하였습니다. "3차원이 가로 세로 높이가 있다면 2차원은 오직 가로와 세로만이 존재한다. 그리고 한 축과 평행한 지점에서 바라보면 높이가 없기 때문에 그 어떤 것도 보이지 않을 것이다. 그렇다면 2차원보다 낮은 차원의 도형은 보이는가? 혹은 실재하는가?")
생각도 못해본 흥미로운 주제입니다! 점,선은 개념적인 것으로 이해하면 된다는 말씀이죠? 입체를 측정하기위한 개념으로 실재하지 않는 점과 선의 정의가 필요하다는 것으로 이해가 됩니다. 그런데 생각해보니 2차원의 면이라는 것도 실재하지 않는 것이 아닐까 싶네요. 높이가 0인 입체는 존재할 수 없을 것 같은데요. 실제로 세상엔 3차원의 입체가 있을뿐 점,선,면은 입체를 측정하기 위한 원소의 개념일 뿐이라는 생각이 듭니다. 이해를 잘 했는지...
으듣듣 모르긴 뭘 몰라요 ㅋㅋㅋ 예전이면 몰라도 요즘 쌤들 다 수학전공 or 수교과 출신인데... 다 배웁니다. 그런데 학교는 우선 학사일정이란게 있고 오늘 상엽쌤 설명에서도 들으셨지만 현대 수학의 토대를 이루는 집합론을 먼저 공부해야 미적분이 되었든 뭐가 되었든 제대로 이야기 가능합니다. 근데 집합론이 초딩때 배울 수 있는 난이도는 아니죠. 초중고때는 그때쯤 이해할 수 있는 방식으로 설명하니 부족한 부분이 있는거죠. 그걸 하나하나 이야기 하자면 하루종일 수학만 해야합니다. 저도 수학전공자이고 학부내내 수학공부만 해도 시간이 부족했는데 어찌 저 깊은 내용 모두를 초중고때 할까요... 다른것도 해야하는데 말이죠. 어쩔수 없이 취사 선택하다보니 빠지고 엉성해진것이 지금은 초중고 수학이죠. 거기서 흥미를 느껴야 저정도수준의 깊은 사고를 하는 진짜 수학을 공부할 수 있는거고, 그 엉성함에 불만을 느껴야 깊게 파고들 수 있는겁니다. 선생이 어설프게 가르쳐서 내가 수포자가 되었다는 그냥 자기합리화고 핑계입니다.
안녕하세요! 오늘 처음 영상을 접한 중2 학생입니다 평소에 점은 0이라면서 점이 모여 만들어진 선과 선이 모여 만들어진 면이 공간이 있다는 것이 되게 이상하다고 생각했는데 영상이 보여 들어왔습니다. 평소에 수학에 관심은 있었지만 학교에서 배우는 수학은 그저 계산?일 뿐이라서 어떻게 해야 할 지 잘 모르고 있었는데, 이 영상을 보니 조금이나마 이해가 되고 수학을 조금 더 알게 된 느낌입니다. 저는 평소에 정수론 부분에 관심이 있는데, 관련 지식을 중학생이 이해할 정도로 깔끔하게 정리해주신 영상이나 자료가 없더라고요. 혹시 정수론 관련 부분도 올려주실 수 있을까요? 구독하고 앞으로 잘 챙겨보겠습니다! 쓰다 보니 조금 길어진 것 같네요.. 이해되기 쉬운 설명 감사합니다😀
수학과는 아니었지만 수학을 좋아해서 해석학, 선대, 미분방정식, 확률과 통계 등의 수학과 수업과 통계학과 수업을 여러가지 들었었어요. 그런데 이렇게 이해가 잘 되는 수학 강의는 태어나서 처음입니다. (집합론, 위상수학까지 넘볼뻔하다가, 수학과가 아니어서 다행이다… 생각했던 것 같은데..) 어떤 책을 보고 어떤 강의를 듣고 어떻게 연구하셔서, 이런 지식들을 알고 이렇게 쉽게 설명하실 수 있게 되셨는지 궁금하고 감탄만 나올 뿐입니다. 양질의 특별한 강의, 감사드립니다.
예전에 선생님께서 수학영상을 올려주실 때 제가 정말로 궁금해하는 분야는 해석학과 미적분학이였기에 집합론부터 올려주시는걸 보고 속으로는 약간 아쉬웠습니다. 고등학생 신분으로는 이해하기 어려운 수학 내용들을 이렇게 풀어서 쉽게 설명해주시는 덕분에 하루빨리 궁금증을 해소하고 싶었지만 오늘 영상에서 현대수학의 기초가 집합론이라는 사실을 알고 많은 반성을 하게됬습니다. 아직 제가 배움이 짧았던 것 같네요..ㅎ 이제야 선생님의 큰 뜻을 이해할 수 있게 되었습니다 오늘도 유익하고 좋은 영상 감사합니다!!!
르장드르의 정의를 보면서 와 진짜 아이디어 신박하다라는 생각을 했고, 집합론의 정의를 보고 왜 현대수학이 집합론 위에 다시 세워졌다는지 알게 됐네요. 근데 요즘 고등학교에서는 집합을 처음에 안 배운다던데... 그래도 되는건가 싶네요. 뭐 책을 안 봐서 잘은 모르겠지만요.
대박.... 어렸을때 수학문제풀면서 도형의 넓이 구하라고 할 때 막연히 그럼 도형을 그린 저 선의 경계까지 넓이를 구하라는건지 아니면 선도 포함해서 넓이를 구하라는건지 헷갈린적이있는데... 또 좌표평면에서 접해있는 두개의 원의 중심사이의 거리같은거 구할때도 선은 거리에 영향을 주지않나 이런 뻘생각을 했던 적이 있는데 뭔가 그부분에 대한 답을 이제야 찾은것같아요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 감사합니다 와 그리고 13:54 이부분 그냥 저 예시처럼 제가 수학문제풀면서 가끔 저런 기하적으로 생각해보기(?)를 했을때 도대체 무슨의미인지 답이안나온다고 생각한적이있는데 그건 그냥 그생각이 무리였던거군요.... 대박이다 진짜
집합론에서는 해결되지만 기하학적으로는 왜 점이 모여서 선이 되지 않는지 모순처럼도 보이는 이 문제를 해결하는 방법은 어쩌면 하위차원과 상위차원은 말그대로 차원이 다른 상태라는 당연하고 상식적인데 답이 있지 않을까 싶습니다... 상위차원 안에 하위차원이 포함되어있지만 그렇다고 해서 하위차원"만"을 별도로 가지고 상위차원을 만들수는 없습니다... 0.9999...=1도 그렇고 무한히 나아가도 닿지않을것만 같은 그 극한값.. 무한은 끝없이 나아간다가 아니라 상위차원으로 도약하여 극한값에 닿는다는 의미로 볼수도 있지 않을까요...
![[지식in] dy/dx 는 분수일까 아닐까?](http://i.ytimg.com/vi/K4rw5HqS7Kk/mqdefault.jpg)
![[지식in] dy/dx 는 분수일까 아닐까?](/img/tr.png)
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![[지식in] 수학적으로 미로를 쉽게 푸는 법](/img/n.gif)
인트로를 삭제하였습니다.(2021.06.18) 그로 인해 기존 영상과 약 9초의 시간 차이가 발생하였으니 참고해주세요.
━─ ↓↓ 책갈피 ↓↓ ─━
02:12 1. 유클리드 기하학의 점과 선
07:53 2. 르장드르의 해석
11:33 3. 현대 기하학의 점과 선
15:16 마치며
덕분에 잘 보고 나름 중요한 개념을 배우고 갑니다. 감사합니다. 저보다 어리시지만, 진정한 선생님이십니다!
선생님 죄송합니다... 잘못 눌러서 들어왔는데 저보고 호기심 많다고 칭찬해주시다니... 감사합니다...
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
저도요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ칭찬해주셔서 봄ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
빈둥이 의도찮게 칭찬받은거 칭찬해
빈둥이 그러면서 끝까지봄 ㅋㅋㅋㅋㅋ
ㅋㅋ
1. ㄹㅇ 안궁금 한거였음
2. 썸네일 봄
3. 갑자기 궁금함
4. 들어와서 보고 주위 사람에게 자랑
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
5.근데 전부 이 영상을 보았다.
영상을 아직안봐서 드는 생각인데 점의길이가 영이 아니라 영에 수렴하는 거라면 얘기가 달라질텐데 라는 생각이 들었어요. 점의 정확한 정의부터 확실히 알면 접근할 수 있겠네용. 수잘알님들 설명해주시면 감사하겠음니당
그냥 가던길 가세요
4가 ㄹㅇ 내가 맨날하는짓
dot 와 point를 혼동 하면 안됩니다.
수학에서 말하는 “점” 이란, point를 말하는 겁니다.
그리고, 이 수학에서 말하는 점(point)는 0차원 입니다.
와 단번에 이해되네요
Dot은 우리몸에 점을 point는 좌표값을 얘기하는건가요??
이 댓글을 보고 확실히 썸네일만 보고도 알게됐넹
유클리드 metric space에서 어떤 선형관계를 만족하는 점들의 집합이 직선인 것입니다.
몸의 점... 좀 비약해서 평면위에 연필로 찍은 점은 결국 면적이란 것이 존재하니, 2차원의 도형입니다. 따라서 dot이 모여서 선이 된다는 틀립니다... 선은 넓이가 0이니까요.
무한의 정도가 다르다고 생각할 수 있습니다. dot이나 line이나 모두 무한집합이지만 dot이 넓이가 있다는 점에서 더 강력한 무한이지요.
애초에 수학에서 점=dot란 생각하면안됨
제목은.. 선이된다.라고 하겠습니다. 근데 이제 점을 무수히 곁들인
ㅋㅋㅋㅋ 이걸 여기서???
마셰코..
휴먼강록체...
이게 뭔데여?
@@ejk1893 마스터셰프 보시면 알아요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
한국의 수학 유튜브 채널 중에서는 진짜 가장 유익한것 같아요.
왜냐하면 수학영상중 이게 처음이기 때문이다
나이 오십에 수학에 대해 다시 생각해 볼 수 있는 기회를 주셔서 감사합니다. 늘 좋은 영상 보고 많이 배우고 있습니다.
와 기하학의 가장 기본적인 원소인 점과 선이 역설적이게도 기하학적으로 해석하면 안되고 집합론적으로 해석해야 해석이 된다니 뭔가 뒤통수를 한다 맞은 것같은 느낌이 드네요
이 영상을 들어오기까지 호기심과 수학거부 본능 사이에서 많이 힘들었습니다 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
ㄹㅇㅋㅋㅋㅋㅋ
아 궁금하긴한데...;
구독자가 한 삼십만 되어야 할텐데 이리 좋은 콘텐츠를...
빨리 실버버튼 받으셔야 하는데...
그러게요 ㅠㅠ
퀄리티는 20 ~ 30 만 넘음 단지 공부를 주제로해서 빨리안느는것뿐 이해시켜주시는게 귀에쏙쏙들어옴
영상 퀄리티는 진짜 높은데 분야가 이렇다보니...
ㄹㅇ
수학을 왜 수학 전공자가 가르쳐야 하는지 선생님의 강의를 보면서 많이 느끼게 됩니다. 공돌이로 대학까지 나오면 고등학교 미적분은 껌이야 라는 개념으로 학원에서 가르치는 걸 배워선 아이들이 제대로 된 수학을 접할 수가 없겠네요. 물론 학창시절에 이 사람이 정말 수학을 제대로 배운사람이 맞나? 하는 의구심이 드는 교사들도 있긴 했었지만요
사실 수학과 나왔다고 해도 아무나 이상엽 선생님처럼 될 수 있는건 아닙니다 ㅎㅎ;;;
@@하이퍼수학 대학수준을 우습게 보시는거 아니냐고 말하려다가 닉 보고 아 내가잘모를수도있겠다 이러고 나갑니다ㅜㅠ
@@결론주의자김근대 ㅎ 이분의 푸앵카레 추측 영상이나 괴델의 불완전성정리, 호지추측 영상같은 걸 보면 어렴풋이 느끼실 수 있을거에요. 학부생 수준 정도로는 감히 모방이나 흉내도 낼 수 없는 내공을 말이죠. 가령 호지추측 같은 경우는 그걸 다루는 영상자체가 국내에선 이 분 것이 '유일'합니다..ㅋ
상엽쌤 : 극한의 개념을 떠올리시는 분들도 계실 것 같아요.
나 : 뜨끔...
들켰다
나도그생각하고 들어옴...
들켰다...(뜨끔
저도 ㅋㅋㅋㅋㅋ
뜨끔 뜨끔
진정 수학 선생님들의 선생님이십니다! 상엽 선생님의 존재 덕분에 우리나라 수학교육의 질은 파격적으로 향상될거에요. 찬사를 보냅니다ㅠㅠㅠ
초중고 기본 수학지식만 있으면 충분히 이해할 수 있도록 쉽게 설명해주시며, 영상을 보다보면 생길만한 새로운 궁금증까지 예측해서 설명해주시는게 정말 대단하십니다. 앞으로도 유익한 영상 기대하겠습니다.
맞아요ㅋㅋ 어? 그럼 이건? 하고 생각하면 바로 그거 말씀해주세요 ㅋㅋㅋ
동의 ㅋㅋ
들어오자마자 너무 기분좋은 말씀 해주신다 ㅎㅎ
영상 잘 보았습니다. 이 내용을 보면서 친구가 떠올랐네요. 대학 1학년때 수학에 관심있어서 세미나에 참가했는데 하필 주제가 '곡선이란 무엇인가' 라서 수학에 대한 관심을 포기했었다는 아름다운? 결말이지만요.
그리고 전에 읽었던 책의 한 대목이 떠올랐습니다. '뉴턴이 모든 지점에서 연속이나 미분 불가능한 함수를 알았다면 미적분을 만들지 못했을 것이다.' 라는 글이었는데요.
수학이 논리적인 면을 강조하나, 인간의 직관으로 생각해서 만든다는 것을 많은 사람들이 알았으면 합니다. 오늘도 좋은 내용 감사합니다!
저두 직관이 좋음요 ㅋㅋ 일단 척하면 척 되니까요 ㅋㅋ
영상과 노력에 감사드립니다. 항상 건강하시고 건승하시길 바랍니다.
이런 영상을 공짜로 볼 수 있다니ㅜㅜ
어이 김찬호! 방송 키라구!
김랄로 선생님
랄로하이
좆목 ㄷㄷ
그 프사달고 이런댓글 쓰지말라고
무자식아 ㅋㅋㅋㅋㅋ
선생님, 댓글보실지 모르겠지만 이런 좋은 강의 설명해주셔서 너무 감사드립니다!!
아니...이렇게 잘 설명해주시니 빠지면 안빠질리가 없네요
쌤 왤케 하얗고 잘생겼어요 잘생긴걸루 필즈상 주고싶다
와씨 유튭의 순기능이다 유튭에서 제일 양질의 컨텐츠인듯
상엽선생님 사랑합니다
진짜 너무 좋은 강의였습니다 ㅠㅠ 무료로 이런 강의를 볼 수 있다는게 너무 행운이네요
와! 안그래도 아이들에거 점,선,면 가르치고 있었는데 딱 이영상이 올라왔어요
(완전히 반대로 가르쳤었네요)
가르치면서 많이 궁금했었는데 알려주셔서 감사합니다!
초등학교선생님이신가보네요
형 인트로부터 점으로 선이 만들어지자나
내가 쓸라했는데
??? : 어케 알았누;;;;;
ㅋㅋㅋㅋ
ㅋㅋㅋㅋㅋ
덕분에 생기부 빵빵하게 채울 수 있었습니다 감사합니다!!!!
제가 본 수학 강의들 중 가장 수준과 퀄리티가 높은 강의예요. 수학에 관심이 있었지만 한국어로 된 강의가 없어 외국 강의로 힘겹게 찾아보고 있던 그때 선생님 영상을 찾았어요. 좋은 영상 만들어주셔서 짐심으로 감사드립니다
선생님의 설명에 빠지는 '점'이 없네요
평소에도 말씀을 논리있게 굉장히 잘 하실듯합니다.
선의 정의를 처음 들었을때부터 계속 궁금했던건데 드디어 의문이 풀렸네요. 설명이 참 자세하고, 친절하고, 순서적으로도 잘 짜여져 있어서 굉장히 좋았습니다.
결론적으로는 수학의 이론의 세계, 그 안에서도 기하학적이 아닌 집합론적으로 성립시켜야 하는 정의였던 거군요.
참 재미있고 유익한 시간이었습니다. 감사합니다.
안녕하세요, 수학과 2학년에 재학중인 대학생입니다. 스스로 수학을 좋아하고 잘한다고 생각했고 수험시절을 잘 보내 ㅅㅍㅋ에 입학을 했습니다만... 선생님 수업을 들으면서 항상 부족함을 느낍니다. 1학기 동안 학부 수학 수업을 들으면서, 동기나 선후배와의 수학 관련 토론을 진행하기 어려웠습니다. 혼자만의 논리와 닫힌 사고로 문제 풀이를 진행하는 저의 모습을 보면서, 이렇게 공부하는 것이 저의 실력을 위해 과연 맞는 일인지 의문이 듭니다. 주위에서 우리나라 수학과의 최고대학에서 학부를 지낸다고, 저의 수학실력을 기대하지만 저는 그 책임을 지기에는 너무나도, 너무나도 부족하다는 생각이 듭니다. 무엇보다 이런 식으로 수학 공부를 하게 되니, 과에서 압도적으로 잘하는 30%만이 대학원 진학을 합니다.(타 과는 평균적으로 70% 정도 됩니다...) 다시말해, 대학교에서 수학에 대한 흥미를 잃어 가고 있습니다. (물론 수학을 굉장히 좋아합니다. 단지 학부 수업에서 지쳐, 방학 중 연구참여를 진행하며 수학에 대한 열정을 연명하고 있을 뿐입니다..)
선생님의 수업을 통해 잃어버린 수학의 흥미를 차츰 되돌리고 있습니다. 선생님께서 다양한 주제를 엄밀한 논리로 쉽게 설명해주신 강의를 들으며, 수학에 대한 남다른 열정도 느낄 수 있습니다. 특히 과거 수학사에서 동양 수학사에 관한 내용도 굉장히 흥미로웠습니다. 이렇게 수학 전반에 대한 지식을 얻기까지 수많은 노력을 하셨을 것이라 제가 감히 확신할 수 있습니다. 선생님의 수학 인생에 대해 알아보고 싶습니다!! 수학과 학부생에게 바라시는 학기-방학 중 공부방식이나 책, 방학에 인턴쉽이나 연구참여 같은 것 등이 있으시다면 조언을 받고 싶습니다.
항상 수학의 대중화에 앞장 서주셔서 고맙습니다. 우리나라 석학이신 수학 교수님들께서도 수학의 대중화에 관심은 있으시지만, 개인적으로 아직 좋은 결과를 얻었다고 생각하지 않습니다. 철학에서는 강신주 박사님, 서강대 최진석 교수님, 포스텍 이진우 교수님 등께서 많은 프로그램에 나오시면서 철학의 대중화에 많은 기여를 하셨다고 생각합니다. 특히 정치철학을 위주로, 우리 일상생활과 관련된 주제를 다루시다 보니 대중과의 간격을 효율적으로 줄이신 것 같습니다. 마찬가지로, 순수수학 위주의 강연도 좋습니다만, 우리 일상생활과 관련된 응용수학의 주제를 다루시는 것도 좋을 것 같습니다!!ㅎㅎ 물론 응용수학을 인정하시지 않으실 수도 있지만, 도박이나 주식에서 쓰이는 확률론이나, 프랙탈 기하학과 스케일링 법칙, 수학과 경제학/물리학/컴퓨터 공학의 철학적 관계, 근사approximation 이론 등을 다뤄주시면 더 재밌을 것 같습니다.
추가로, 가끔 수학을 무시하시는 듯한 댓글이 달리는 걸 보며 마음이 아픕니다. 수학은 정말 대단한 학문입니다. 예를 들어 철학을 공부하면, 다른 학문들을 쉽게 공부하고 받아들일 수 있습니다. 철학을 통해 다양한 논의를 진행하며 논리력을 키우면, 새로 보는 지식이나 주장을 아주 잘 비판하고 조금 더 확장해서 받아들일 수 있기 때문이죠.인류학이나 경제학, 심지어 법학이나 정치학에서 제시하는 주장이나 모델은 각자 장/단점을 가지고 있습니다. 그런데 이들은 철학에서 많이 등장하는 논리적 방법론을 따르게 됩니다. 이를 오해없이 정확하게 이해하기 위해서는 철학에서의 비판 훈련과 논리적 방법론이 굉장히 큰 도움이 됩니다. 수학도 철학과 마찬가지입니다. 다양한 수학자가 공리와 정의를 바탕으로 세운 다양한 정리로 이루어진 여러 세계를 비교하고, 비판하고, 그 안에서 살아보기도 하면서 다양한 논리적 방법론을 익히는 것이죠. 그렇다 보니 저는 마음만 먹으면 수학적 배경을 공유하는 경제학, 물리학, 컴퓨터공학의 모델을 이해하고 논문을 읽을 수 있습니다. 기계나 전기전가공학도 동일합니다. 실제로 지금은 통계물리학과 컴퓨터공학의 논문을 읽고 분석하며 새로운 논문 출판을 준비하고 있습니다. 이처럼 수학을 공부하면, 관심과 열정만 있다면 이공계 관련 배경지식을 쉽게 쌓을 수 있고, 자신만의 독창적인 방식으로 문제를 해결할 수도 있습니다. 수학이라는 학문의 존재 이유를 정당화하는 것 자체가 웃기는 일이지만, 저의 수학의 대단함에 대한 의견은 위와 같습니다. 마지막으로 유대인들은 항상 '지식을 기억하라'라는 격언을 가지고 다닌다고 합니다. 인간의 역사를 보면 지식이 얼마나 대단한지 그들은 깨달았기 때문일 것입니다. 지식을 중요시하는 그들의 문화적 배경도 그들의 노벨상 관련 업적에 연관성이 있다고 생각하는데요. 요점은 아무리 하찮아 보이는 지식이라도 그 지식을 함부로 판단하고 선을 그어버리는 태도는 배제하자는 것입니다...ㅎㅎㅎ(수학과 조크 중에 수학자는 커피로 지식을 만드는 연금술사라고...) 긴 글 읽어주셔서 고맙습니다.
자세히 보기 눌렀다가 우와.........
자세히 눌렀다가 놀랐다
수학과수업 포기하지 말고 끝까지 들으세요. 낮은 학점받더래도 꾸준히 들어두세요... 그러다가 돈오돈수하는 특이점이 옵니다. 아시다시피 지금은 수리과학의 시대입니다. 전산전공의 전필과목 데이타베이스나 자료구조론 등 꼭 들으시고, 수학과의 전필과목과 수치해석, 미방, 실해석 또 통계학과의 수리통계 회귀분석 가능하면 대학원확률론(measure theory기반) 까지 꼭 들어두세요. 엉덩이 자리에 붙이고 긴시간을 버티기 꼭 견뎌내세요.. 말로만 빅데이터, 머신러닝 떠들어대는 사이비들 보다 더 훌륭한 사람이 되어 있으실 거에요. 안타깝네요.. 제가 학부 다니던 30년 전이나 지금이나 수학과 학생들이 똑같은 고민을 하고 있네요..
전공에 대한 사랑이 느껴지네요
당신도 멋지네요..
오랜만에 다시 본 영상인데 또 여러가지 생각이 드네요. 처음에 봤을땐 그당시 측도론을 공부하고 있어서 "점들의 측도는 0인데 점들의 집합인 실수구간은 0이 아니다."라는 사실이 생각났었는데... 요즘은 선형대수랑 미분기하학을 보고 있어서 "사실 길이, 넓이, 부피 이런거 자체가 정의하기 나름인건데 우리가 유클리드기하학에 너무 익숙해져서 그것만이 유일한 것인마냥 당연하게 받아들이는데서 오는 착각이 아닐까." 하는 생각을 해봤습니다. 좋은영상 감사합니다.
와,,,,,,, 좋은 자료들 너무 많네요 감사합니다. 점이모여 선이된다는 초딩 원 개념에도 나오고 아주 기초적인부분에서 나오는건데 정말 유익하네요 감사합니다~
유익했어요. 선으로 프랙탈 도형을 만들면 기하학적확률이 0인지 0이아닌지 모를 것 이다라고 상상했었는데 이걸 보면서 선분은 그저 선분이니 아무리 많아도 보이지 않겠구나.
선이랑 점은 뭔짓을해도 안보이져ㅇㅇ
근데 선으로 공간 채울수있는데용.... 힐베르트 곡선이라고...
수학적으로 말고 물리학적으로 접근해서도 설명드릴게용~
수학(유클리드 기하학)(프랙탈 기하학에서는 다르답니다. 저는 몰라요 잘)에서는 선,면,공간이 연속적이라는 의미를 전제합니다. 정확한 정의가 필요하니까요.
물리에서는 좀 더 실질적인게 필요하죠. 어떤 면이 불연속적으로 수많은 면이 자기유사성과 되먹임,프랙탈을 띄고 있으면 면이 모여서 공간이 될 수 있어요.
해상도, 스케일 관점에 따라 변한다는 의미입니다.
가령, 가까이서 보이면 점들이 불연속적이여도 멀리서 보면 점들의 모임이 선의 역할을 하니까요. 그 기준은 복잡계기준으로는 자기유사성, 프랙탈, 되먹임에따라 바뀝니다.
양자역학관점은 더 어렵고...
결국 점들이 무수히 모여도 선이 될수도 있고
안될 수도 있습니다.
홍..
이런 이야기 너무너무 재밌습니다 어디서도 얘기 해주지 않는데 감사합니다 제발 더 해주세요 호기심의 가려운 곳을 박박 긇어주는 느낌
현대수학 짱짱입니다.
직선이 점들의 집합이라는 표현을 기하학적 접근으로 의미 부여를 해가며 그 빈 개념은 입실론과 극한으로 이해하고 있었는데,
간단한 조건 집합 하나로 그냥 '당연한 말'임을 증명해버리네요. 앞선 이해가 '사족'으로 느껴질 정도로요.
(그러나 직관, 통찰이 문제 해결에 있어 중요한 키워드가 될 수 있기에, 기존의 접근법을 아주 버리지는 못하겠네요.)
항상 감사드리며, 응원합니다.
그래도 입실론델타와 극한은 전혀 이 정의에서 필요가 없고 관련이 없는 것 같아요. 그래서 그걸로 이해하려고한다면 오히려 직관에 잘못된 정보를 씌우는 걸 것 같아요.
저는 직관적으로 납득하기 위해 제 나름대로 점에 대한 정의를 이렇게 햇거든요; 점은 위치정보를 지니며 부분이 없는 것이다; 양이 없이 정보만 지닌 걸로 납득하기로 햇어요. 이러면 집합론적 정의와도 어긋나지 않는 이해일 것 같아서요.
저도 아이들에게 수학을 가르치는 입장에서
선생님의 영상을 보면서 학생들을 가르치는 동기부여가 많이 됩니다.
이 영상에 마지막 멘트..
"머지않아 깨달을 거에요.
지성의 빈틈을 매꾸는 과정,
지성의 새 지평을 여는
그러한 희열들은
다른 어떤 놀이 수단에서도 얻을 수 없는
희소한 즐거움이라는 사실을요."
경험해 본 사람들은 격하게 공감할 것이라 생각합니다.
앞으로도 유익한 영상 많이 많이 부탁드립니다. 감사합니다.
저 이제 중학교 올라가는데 쌤 영상보고 많은 걸 느꼈어요.. 감사합니다
수학도 잘하고 설명도 잘하고 얼굴도 잘생겼네
ㅋㅋㅋㅋ얼굴도ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
AP RO 당신이 옳았어...
감사합니다. 이 주제, 초등학생 때 굉장히 궁금해 했는데, 27살이 되어서야 이 영상을 보고 나서 정확하게 알게 되었네요.
넘 재미잇는 내용이네요!
옛날에 처음으로 본 이상엽쌤 영상인데 공부하다 참고할겸 다시 찾아왔습니다
고등학교때부터 의문은 들었지만 이해 못하고 넘어갔던 부분인데 덕분에 상당부분 의문이 해소되었습니다. 하지만 여전히 완전하게 이해 못한 부분이 있습니다. 분명 선은 점들을 포함하는 집합이고 무수히 많은 점으로 구성되어 있지만, 그 모든 점들은 길이가 없기 때문에 점들의 집합으로부터 어떻게 길이를 갖는 선이 설명될 수 있는지를 아직 잘 모르겠습니다. 점과 선의 정의에 대한 의문이 아닌, 점의 길이가 0이라면 점들을 모아서 선을 구성하는 것이 과연 가능한 것인가? 하는 질문입니다. 잘 아시는 분이 있다면 설명 부탁드려요.
와... 정말 감사합니다. 중학교 1학년 때부터 늘 궁금했는데 어떤 선생님께 여쭤봐도 대답해주지 않으셨어요. 몇년동안이나 고뇌하던 문제였는데ㅠㅠ 감사합니다 정말로요! (정확히 말하면 저는 역으로 생각하였습니다. "3차원이 가로 세로 높이가 있다면 2차원은 오직 가로와 세로만이 존재한다. 그리고 한 축과 평행한 지점에서 바라보면 높이가 없기 때문에 그 어떤 것도 보이지 않을 것이다. 그렇다면 2차원보다 낮은 차원의 도형은 보이는가? 혹은 실재하는가?")
우선 선생님 강의 너무 잘봤습니다. 감사합니다. 아이들에게 보여주면 아주 좋겠네요. 아주 유익해요^^ 마지막에 지성의 빈틈을 채우는 일이 아주 희소한 희열이라는 말씀 너무 공감입니다. 지금 시대를 살아가는 우리 학생들이 꼭 느꼈으면 좋겠어요^^ 다시 한번 감사드려요 !
와우 구독하길 잘했다 앞으로도 기대합니다.
쌤 멋있어요!!
오마이깟 선생님 개멋있다 😯😯
올만에 영상이네요 바로 시청합니다
클로징멘트 말진짜잘하신다.. 수학쌤이 말도잘하셔 문이과통합형인재심
생각도 못해본 흥미로운 주제입니다! 점,선은 개념적인 것으로 이해하면 된다는 말씀이죠? 입체를 측정하기위한 개념으로 실재하지 않는 점과 선의 정의가 필요하다는 것으로 이해가 됩니다. 그런데 생각해보니 2차원의 면이라는 것도 실재하지 않는 것이 아닐까 싶네요. 높이가 0인 입체는 존재할 수 없을 것 같은데요.
실제로 세상엔 3차원의 입체가 있을뿐 점,선,면은 입체를 측정하기 위한 원소의 개념일 뿐이라는 생각이 듭니다. 이해를 잘 했는지...
진짜 수학하면서 ㄹㅇ 궁금했던건데
그래서 서울대학교 이우영 교수님이 편역하신
이라는 책을 보면
점, 직선 등등은 정의를 한다는 것 자체가 유익하지 못하기 때문에 무정의 용어로서 받아들인다.
이렇게 써 놓으셨죠.
칭찬해주는거디게좋다
수학 낙제점이었는데 흥미진진하게 정신없이 봤네. 유익하다. 유익해.
레전드설명
좋은 의문과 그것에 대한 답변 이네요...설명 감사합니다.
점의 길이가 0이니까, 이걸 아무리 적분해도 길이가 생기지 않음. 따라서 점이 모여서 선이 되지는 않는것 같네요
응 틀렸어 모이는거랑 적분이랑 달라
쓸데없는집합을 중1때 왜배우나 생각했는데 이걸 보고 이해했습니다 감사합니다
ㅗㅜㅑ
이렇게 차근차근 설명하면서 학창 시절 보냈으면 수포자가 안됐을껀데, 왜 학교다닐때는 사각형. 삼각형. 구, 원의 넓이 를 배워야 하는지 구체적인 예시없이 답위주고,그래도 요즘은 유튜브나 정보가 많이 이런 좋은 자료도 보고 좋네요.
문제는 선생님들도 이런내용을 잘 모른다는거죠...ㅋㅋ
으듣듣 모르긴 뭘 몰라요 ㅋㅋㅋ 예전이면 몰라도 요즘 쌤들 다 수학전공 or 수교과 출신인데... 다 배웁니다. 그런데 학교는 우선 학사일정이란게 있고 오늘 상엽쌤 설명에서도 들으셨지만 현대 수학의 토대를 이루는 집합론을 먼저 공부해야 미적분이 되었든 뭐가 되었든 제대로 이야기 가능합니다. 근데 집합론이 초딩때 배울 수 있는 난이도는 아니죠.
초중고때는 그때쯤 이해할 수 있는 방식으로 설명하니 부족한 부분이 있는거죠. 그걸 하나하나 이야기 하자면 하루종일 수학만 해야합니다.
저도 수학전공자이고 학부내내 수학공부만 해도 시간이 부족했는데 어찌 저 깊은 내용 모두를 초중고때 할까요... 다른것도 해야하는데 말이죠.
어쩔수 없이 취사 선택하다보니 빠지고 엉성해진것이 지금은 초중고 수학이죠. 거기서 흥미를 느껴야 저정도수준의 깊은 사고를 하는 진짜 수학을 공부할 수 있는거고, 그 엉성함에 불만을 느껴야 깊게 파고들 수 있는겁니다.
선생이 어설프게 가르쳐서 내가 수포자가 되었다는 그냥 자기합리화고 핑계입니다.
@@hyuntaekim9658 이 영상의 내용도 생각지 못했던 분이 압도적으로 더 많을겁니다. 애초에 대학에서 이런 방식으로는 내용을 다루지 않거든요.
아니 썸네일 보고도 안들어올수가 없잖아ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
아~~좋은 강의가 뭔지 새롭게 생각하도록 해주시네요. 많이 배우고 갑니다.
좋은 강의 감사합니다.
항상 느끼는거지만 수학은 정말 개념이 중요한 학문인거 같다...
형님 오늘도 체하고 가스활명수 못찾아서 답답했는데 이 영상보고 편-안 해졌습니다
정말 친절하게, 자세히 설명해주는 것 같아 고마워요. 번창하세요.
유튭이라서 ㄹㅇ 기대안했는데 이렇게 잘 설명해주시다니.... 소름..... 이해가 잘됩니다
유튜브의 질을 높이는 채널이죵 ㅎㅎㅎ
준비하시느라 수고 많으셨겠습니다. 너무 재밌게 보고 갑니다 선생님 😄
저도 전에 궁금하던 내용이었는데 이렇게 올려주시니 감사합니다
재밌으면서 유익하다
처음으로 구독함
부동산 중개산데 제 상식을 깨트렷어요.. 점이 모이면 선이 된다 생각했는데...
오늘 하루가 정말 보람있게 느껴지네요. 좋은 강의 아주 감사합니다. 수학이 재밌어집니다~
오늘도 교양 안다미로 담아 갑니다. 아는 척할 때 잘 써먹겠슴다.
안녕하세요! 오늘 처음 영상을 접한 중2 학생입니다 평소에 점은 0이라면서 점이 모여 만들어진 선과 선이 모여 만들어진 면이 공간이 있다는 것이 되게 이상하다고 생각했는데 영상이 보여 들어왔습니다. 평소에 수학에 관심은 있었지만 학교에서 배우는 수학은 그저 계산?일 뿐이라서 어떻게 해야 할 지 잘 모르고 있었는데, 이 영상을 보니 조금이나마 이해가 되고 수학을 조금 더 알게 된 느낌입니다. 저는 평소에 정수론 부분에 관심이 있는데, 관련 지식을 중학생이 이해할 정도로 깔끔하게 정리해주신 영상이나 자료가 없더라고요. 혹시 정수론 관련 부분도 올려주실 수 있을까요? 구독하고 앞으로 잘 챙겨보겠습니다! 쓰다 보니 조금 길어진 것 같네요.. 이해되기 쉬운 설명 감사합니다😀
수학에 관심이 많으시다면 한 번 대학교재 사서 보시는 것도 좋을 것 같아요~ 생각보다 책이 어렵지 않거든요ㅎ
중2가 어떻게 면적이 0인 점이 모여 결국 넓이가 있는 면이 되는 게 이상하단 생각을 가졌는지가 신기하네요. 고등학교가서 무한과 극한을 배워도 연관짓기 어려운데... 수학 자질이 있네요^^
선생님 부디 위상수학 관련 영상 많이 찍어주시길 바래요 ㅠㅠ
수학과는 아니었지만 수학을 좋아해서 해석학, 선대, 미분방정식, 확률과 통계 등의 수학과 수업과 통계학과 수업을 여러가지 들었었어요. 그런데 이렇게 이해가 잘 되는 수학 강의는 태어나서 처음입니다. (집합론, 위상수학까지 넘볼뻔하다가, 수학과가 아니어서 다행이다… 생각했던 것 같은데..)
어떤 책을 보고 어떤 강의를 듣고 어떻게 연구하셔서, 이런 지식들을 알고 이렇게 쉽게 설명하실 수 있게 되셨는지 궁금하고 감탄만 나올 뿐입니다. 양질의 특별한 강의, 감사드립니다.
measure theory를 이용해서 같은 주제를 다루어 주시면 좋겠어요. 한 점의 measure(길이)를 0이라고 할 때, [0,1] 내의 유리수 집합의 measure(길이)와 실수집합의 measure(길이)를 설명하신다던가...
오랜만에 경험해보는 유튜브의 순기능이다
아하!!! 좋은내용 잘들었습니다.
선생님 !!그런데...점이 모이면 선이 되나요?
ㅋㅌㅌㅋㅌㅋㅌㅋ
아 ㅋㅅㅋㅅㅋㅅㅋㅅㅋㅅㅋㅅㅋㅆㅋㅅㅋㅅㅋㅅㅋㅅㅋㅅㅋㅅㅋㅅ케
예전에 선생님께서 수학영상을 올려주실 때 제가 정말로 궁금해하는 분야는 해석학과 미적분학이였기에 집합론부터 올려주시는걸 보고 속으로는 약간 아쉬웠습니다. 고등학생 신분으로는 이해하기 어려운 수학 내용들을 이렇게 풀어서 쉽게 설명해주시는 덕분에 하루빨리 궁금증을 해소하고 싶었지만 오늘 영상에서 현대수학의 기초가 집합론이라는 사실을 알고 많은 반성을 하게됬습니다. 아직 제가 배움이 짧았던 것 같네요..ㅎ 이제야 선생님의 큰 뜻을 이해할 수 있게 되었습니다 오늘도 유익하고 좋은 영상 감사합니다!!!
제가 수학 전공인데 대학에서도 전공으로 집합론을 제일 먼저 배웠는데 이유가 있죠ㅎ 거의 모든 수학 분야의 전공 서적이 집합으로 시작하기도 해요ㅎ
르장드르의 정의를 보면서 와 진짜 아이디어 신박하다라는 생각을 했고,
집합론의 정의를 보고 왜 현대수학이 집합론 위에 다시 세워졌다는지 알게 됐네요.
근데 요즘 고등학교에서는 집합을 처음에 안 배운다던데... 그래도 되는건가 싶네요. 뭐 책을 안 봐서 잘은 모르겠지만요.
들어오자마자 칭찬받는게 참 기분 좋네요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
제목보고 어? 그러네? 하고 들어왔는데 재밌는거 알고갑니다
집합이 왜 중요한 지 이 영상을 보고 알았습니다. 영상 감사합니다.
이제 보니 저도 점, 선에 대해서 잘못된 개념을 가지고 있었네요. 덕분에 오개념을 바로잡을 기회가 된 것 같습니다. 유익한 영상 감사합니다!
항상 유익한 강의 감사합니다!
아 이거 진짜 궁금했던건데 칭찬도 듣고 궁금했던것도 해결하네요ㅋㅋㅋ 감사합니다!
대박.... 어렸을때 수학문제풀면서 도형의 넓이 구하라고 할 때 막연히 그럼 도형을 그린 저 선의 경계까지 넓이를 구하라는건지 아니면 선도 포함해서 넓이를 구하라는건지 헷갈린적이있는데... 또 좌표평면에서 접해있는 두개의 원의 중심사이의 거리같은거 구할때도 선은 거리에 영향을 주지않나 이런 뻘생각을 했던 적이 있는데 뭔가 그부분에 대한 답을 이제야 찾은것같아요 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 감사합니다
와 그리고 13:54 이부분 그냥 저 예시처럼 제가 수학문제풀면서 가끔 저런 기하적으로 생각해보기(?)를 했을때 도대체 무슨의미인지 답이안나온다고 생각한적이있는데 그건 그냥 그생각이 무리였던거군요.... 대박이다 진짜
썸네일을 보고 지나칠 수가 없었다...
부분이 없는 것, 더이상 쪼갤수 없는 것을 0 이라고 하는 것에서부터 오류가 시작하는 것 같습니다.
물리에서 더이상 쪼갤수 없는 가장작은 입자라고 해서 없는 것은 아니니까요.
생긴것부터 이과얼굴인 친구가 추천해줬는데 재밌네용
와 저 댓글 처음 써보는데 정말 몇년동안 궁금했던것을 한방에 정리해주시니까 속이 너무 시원하고 배워가서 너무 좋아요 앞으로 이런거 많이 해주세요 정말 고맙습니다~ (제자가 되고싶습니다!!)
영상 내용 유익했습니다. 감사합니다.!! 응원하겠습니다!
왜죠? 왜 재미있는거죠? 구독하고 갑니다.
집합론에서는 해결되지만 기하학적으로는 왜 점이 모여서 선이 되지 않는지 모순처럼도 보이는 이 문제를 해결하는 방법은 어쩌면 하위차원과 상위차원은 말그대로 차원이 다른 상태라는 당연하고 상식적인데 답이 있지 않을까 싶습니다... 상위차원 안에 하위차원이 포함되어있지만 그렇다고 해서 하위차원"만"을 별도로 가지고 상위차원을 만들수는 없습니다... 0.9999...=1도 그렇고 무한히 나아가도 닿지않을것만 같은 그 극한값.. 무한은 끝없이 나아간다가 아니라 상위차원으로 도약하여 극한값에 닿는다는 의미로 볼수도 있지 않을까요...
고맙습니다
멋있어요
뭔가 설명 하실때 일부러 궁금하라고 생각의 여지와 찾아 볼 수 있게 만드시는 것 같네요 너무 좋아요 ㅎㅎ
감사합니다
아이들이 읽는
"수학자가 들려주는 수학이야기"에서
유클리드의 원론과 공리내용을 잼있게 읽었던
기억이 있네요. 다시 들으니 넘 잼있네요.
내가 이 고민 하다가,
초딩 3학년 때부터 수포자의 블랙홀에 빠졌지...
선이란 길이만 있고 폭은 0인데,
어떻게 가로 × 세로가 넓이가 되냐구 !!!