伝説の京大入試超え 整数問題【正答率５％の超良問】
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- เผยแพร่เมื่อ 8 ก.พ. 2025
- 前回の京大入試を超えた？整数問題の超良問！！！
素数？対称式？色々な技を駆使して
論証ミスがないように導きました。
東大や京大はもちろん、理系文系問わず
知っておくべき解き方なので、何度も見て復習しよう！
対称式（実数存在条件）のおすすめ動画
【最も簡単？】東大入試問題を解けるか｜【数学攻略LABO #2】基礎完成編（実数存在条件）
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伝説の京大入試問題はこちら
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• 伝説の京大入試数学 整数問題【論証ミスで大幅減点】
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数学の2次試験に向けた問題で、解いて欲しい問題のリクエストがあれば、ぜひコメントへ！
整数問題は、ポイントをおさえて解き方をマスターすれば、満点も狙えるので、ある意味美味しい分野です^ ^
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今年の東大文系の領域問題お願いします！うろ覚えなのですが、|x|+|y|≦1 が出てくる問題です
今年の阪大の第4問を解説おねがいできますか？
PASSLABO in 東大医学部発「朝10分」の受験勉強cafe
30年度の佐大 の大門2,4❤
質問です。
僕が大学入試直前にふと疑問に思って、当時はまだいまほどインターネットが普及していなかったので、慌てて近くの本屋さんに行って調べ直した事なのですが、素数にマイナスが入るかどうかという事です。
具体的に言えば、例えば -2 は素数なのかどうかという事です。
当時、僕が行った本屋さんで見た素数の定理には、 「 1 とその数だけでしか割りきれない “ 自然数 ” で、 1 以外の数 」 と書いてありました。
実際、この動画内でもすばるさんは自然数だとおっしゃってます。
だとすれば、初めから因数分解後に (-p) × (-p) なんてものは考える必要はないのではありませんか？
x + y = -p なんてものが仮に出てきても、それは素数じゃないんじゃありませんか？
問題文に素数という言葉が入るだけで、いまだに解ける自信がなくなるくらい、素数には泣かされ続けました。
素数って言葉が入ったら、 2 以上の整数で、因数はその数か、その数の n 乗しかないっていう 2 つしか思い付きません。
さっきの (-p) × (- p) もとりあえずは範囲に入れたのと、素数という言葉が問題文にあったら他にはどんなことを実験すればいいのか教えていただけませんか？
いまはもう受験生終わっちゃって何十年も経ってしまいましたが、もう 1 度大学受験を受けて勉強し直して資格取って研究生になりたいと思っています。
具体的には埼玉大学医学部目指しています。
いまの実力じゃ三流私大でさえ合格できないと思います。
ですので来年ではなく、再来年に受験できるように勉強していこうとは思っています。
すばるさんの説明、すごくわかりやすいのでこの質問自体、トンチンカンなのかもしれませんがお答えいただけませんでしょうか？
4:25
細かいことですが、下の２つは違うと思います。
整数問題は１番数学やってる感じがして楽しいよな
わかりみが深すぎる
それ
おまいら頭良さそう
数3の積分が好き
問題の意味は小学生でも理解できるようなのが好き
自力で解こうとすると難しいのに
この解説聞くとめっちゃ簡単に聞こえる。
すごい！教えかたも理解しやすいです！
毎朝の登校時間に勉強しています！
ありがとうございます！
パスラボ数学のおかげで整数の苦手意識無くなった、今までどうやって解くかもわからなかったのに、対称式使うのもすぐ思い付いたし、倍数の注目もいけた。これほど素晴らしいチャンネルはない
整数問題は、一次不定方程式やEuclid互助法含め理論的なことが初めてカリキュラム必修となって、作成者側も力が入っているので最近は本当にいろいろなものが出題されていますよね。要点もきちんと触れられていて受験生にはとても良い解説だと思います。
ごりごりに場合分けして判別式から整数であることを理由して値を限定、代入して出した
解けるには解けるけど時間が掛かる
工夫って本当大事
大学生四年生ですが、現役の時見ていれば良かったと後悔しています！整数問題パズラボさんのお陰で今更ながらとても上達しました。ありがとうございます。
わからない人を交えての対話形式としていて,詰まりそうなところの着眼点もちゃんと相手が納得いく説明ができている。
授業としても,見ていてとても面白い。。
改めて学問の面白さを上手に配信してくれているね。
受験のため以外でも,動画内の工夫がとても勉強になるチャンネルだよ。
x,yについて対称であり、x=y は明らかに不適。
そして自然数であるから x ≥ y+1 ≥ 2 とおける。
x²-xy+y² = x(x-y)+y² ≥ 3 だから 1 にはならない。
よって p = x+y = x²-xy+y²
これから x(x-y-1)+y(y-1) = 0
∴ x-y-1 = y-1 = 0 ∴ x=2, y=1
すごい
Ryoko A. さすがに惚れる
分かりません。どなたか、補足おねがします。そして〜 から分かりません
@@団子三色-y8w
x≠y だから x>y または xy と決めて良いということです。
Ryoko A. 分かりました！マジありがとうございます！！(*^_^*)
数学めっちゃ苦手だけど最近理解でき始めて嬉しい高一男子です
解説あざす！
少し別解です
p^2=x^3+y^3
=(x+y)(x^2+y^2-xy)
x,yは正の整数かつpは素数より、次のように場合分けできる
I (x+y)(x^2+y^2-xy)=(p^2,1)のとき
x^2+y^2=1+xy
相加相乗平均の不等式よりx^2+y^2>=2xy...① よって 1+xy>=2xy
よって xy=xyなので(x-1)(y-1)
今回も勉強になりました！
5:50からの別案です。
x^2-xy+y^2とx+yをそれぞれA、Bとすると、
A-B = (1/2)*((x-y)^2+(x-1)^2+(y-1)^2-2) （これを(1)とする）
(A, B) = (1, p^2)の場合、pは2以上なのでA-B = -1なので、(A, B)は(1, p^2)でないことが分かります。
(A, B) = (p, p)のときはA-B = 0ですが、(1)よりA-B = 0となる(x, y)は(1, 2), (2, 1), (2, 2)のみ。そのうちB ( = x+y)が素数にるものを採択して(x, y, p) = (1, 2, 3)と(2, 1, 3)。
気がついたらあと、少しで10万人じゃん！
おめでとう🎊
分かりやすいチャンネルで素晴らしいね☆
自分用メモ👏。第1歩🔜Q単項化→ (x+y)(x²－xy+y²)＝p² x, y∈自然数、p∈素数 より、
これより、(x+y, x²－xy+y²)＝(p², 1), (p, p) (ⅰ) x+y＝p²･･･① x²－xy＋y²＝1･･･② ②より、
xy＝(p⁴－1)/3 ①と合わせて、xとy は ｔ²－p²ｔ＋(p⁴－1)/3＝０ の二つの実数解だから、
D≧０ ⇔ p⁴ ≦ 4 これを満たす素数は、存在しない。
(ⅱ) x+y＝p･･･③ x²－xy＋y²＝p･･･④ ④より、xy＝(p²－p)/3･･･☆ 同様に D≧０より 0≦ p ≦4
よって、p＝2,3(∈素数) ☆より、p＝3 ③,④より(x, y)＝(1, 2), (2, 1) ❣️🙌
まず、1の三乗 2の三乗 3の三乗...を順に奇数の和の形に変えて並べると 1 35 7911 と並びます。これを奇数の群数列とみなすと、第n群の最初の数はn2乗−n＋1と表せる。で、一般に、初項k 公差2 項数nの奇数の和はn(k+n−1)と表せる。で、今回は2数の三乗の和なので、群にわけている仕切りをどこか一つ無くしてたせば良い。そうするとできる数列の項数は、n＋(n＋1)より2n＋1となる。よってさっきの式に代入して2n＋1(nの二乗＋n＋1)となる。素数の性質より1×pの二乗かp×pしか無いのですが、今回上の式のどちらも1が作れないのでp×pしかないです。したがって 2n＋1＝nの二乗＋n＋1になる。これを解いて n＝0.1 nは0ではないのでn＝1 よって1群目の最初の数は1なので、1＋3＋5＝9 3の二乗 よって答えはx＝1,2 y＝1,2 p＝3となる。確認お願いします。
9:35
p^2-3xy=pから
p(p-1)=3xy
pかp-1は3の倍数
Pは素数よりp=3 xy=2
でさらに早くできそうです！
今更ですが、p-1が3の倍数でpが素数となる可能性もあるので、論理飛躍してませんか？
このくらいなら簡単に解けるようになりました。
いつもありがとうございます😊
大阪紡績会社 つよ
こういう問題って答えは分かるけど証明の仕方が分かんないからためになった。
右辺を１文字にしたかったので
x=y+tとしました。(t 大なり0)
右辺をf(x)としてf(x)の導関数が+の値をとるのでf(x)は単調増加。
f(1)に着目します。これはx の範囲が1以上なのでf(x)の最小値になります。f(1)をg(t)とすると、g(t)の導関数は➖の値をとることがわかります。t =0,1のときのみf(1)とg(t)が成立します。
(1)t =0のとき
f(x)が偶数になるので与式が成立しません。
(2)t=1のとき
f(x)=2xの３乗-1-3x(x-1)となります。
2xの３乗-1は2の倍数から1を引くので奇数です。
-3x(x-1)は連続する2整数を含むので偶数です。
f(x)>0より2xの３乗-1の方が大きいです。
2xの３乗-1=pk､､､①
3x(x-1)=pm､､､② ( k,m は正の実数､k>m)と表すとf(x)=pk-pm=p(k-m)と表すことができます。k-m=pとなるときに与式が成立します。
pk,pmの左辺でpの候補になる数を求めていきます。
(1)x=2r-1のとき(rは2以上)r=1は②が駄目になっちゃいます。
①は2r-1を因数に持たないので
2r-1はpの候補に入りません。
(2)x=2r のとき②に着目して(1)より2r-1と偶数である2rがpの候補に入らないのでp=3のみです。
これを①､②に代入します。k-m=3より①､②を結びつけます。xの3次方程式でx=2で割りきれるのでx-2を因数に持ちます。片方の2次方程式の判別式は負なのでx=2のみです。
②にx=2を代入すると
m=2､k=5であることがわかります。x=2､t=1よりy=1
y=x+tとするとx=1､y=2となります。合ってるといいな～。
よー最大値 乙
京大の伝説問題は自分で自分の得点を決められる問題だよ
間違いない
これを知らずに京大の伝説とか語れないねぇ
それ神問題だった
5まで代入したけど結局0点だったゾ…
答えに辿り着かないと18点って解答が得られず他は全部0点になるの分かったときの気持ちよさったらない
京大の問題は解いてて気持ちいいのが多い
あれは最高、掌握にのってて感動した！
mod6を使う別解も綺麗ですね！
凄くいい問題。整数がいちばん楽しいわ
P×Pのところは普通にx＋y=x^2-xy+y^2で、xについての解の公式を使って整数になるのは(2.1)だけと突き止めましたね...
x^2-xy+y^2は(x-y)^2+xyで正なのは簡単に求められますね
mod2を使って場合分けをして解きました！すごく楽しい問題でした！
5年前のに今更コメントするのもあれだけど、ちょっと冗長に感じてムズムズしたので
(x+y,x^2-xy,y^2) = (p,p)になることはすぐにわかって、
x+y=x^2-xy+y^2...(★)という必要条件を考えると
xについての2次方程式と見て判別式Dを利用して
D=(y-1)^2 - 4(y^2-y)>0
yは自然数より y=1,2
y=1を★に代入してx=2 (※x>0)
このときp=3 で確かに素数(十分性を満たす)。
同様にy=2からx=1,2を得て、x=2とするとp=4で不適。x=1とするとp=3で確かに素数。
以上から
(x,y) = (1,2),(2,1)でp=3■
分かりやすい！
中3ですが、この人のお陰でだいたい出来るようになりました。
解と係数の関係に落とし込めるのすげ
早送りとカットがこまめで見やすい
「x,yが正整数のとき、 x^2 - xy + y^2 = 1 ⇒ x=y=1」の別証明：
~~~~~~~~~~~~~
※ 2実変数 x, y に関して対称な命題を証明する際、x≧y と仮定しても一般性を失いません。
（「必要ならば変数の名前を入れ替えることにより大小関係が実現されるが、命題の記述には影響が及ばない」からです。）
結果として利用できる条件が増えるため、考えやすくなることがあります。
~~~~~~~~~~~~~
x≧y≧1と仮定しても一般性を失わない。このとき
x^2 - xy + y^2 ≧ x^2 - xx + y^2 = y^2 ≧1
が従う。最初の等号が成立するのは x=y のときのみ。最後の等号が成立するのは y=1 のときのみ。
x^2 - xy + y^2=1 となるのは、前記2つの等号が同時に成立するとき、すなわち x=y=1 のときのみ。■
これはためになりました
神問題っす！
これは解き方は悩む要素がないので瞬殺できました。正解率に驚きです。
右辺因数分解から、
P＝x＋y＝x^2-xy＋y^2
はすぐ出るので、xの二次方程式を解けば、xが実数解、y自然数の条件からy＝1,2のいずれかになるので、代入で、x＝2,y＝1かx＝2,y＝2とそれらの入れ代わりしかない。
P＝3,4
素数なので、P＝3
ただこれ、力業臭くて、あまりエレガントでないですね。
今後も楽しみにしてます🎵
第2回のオープン模試にも似たような問題でてましたぁ。うわぁ、これ知ってれば完答いけたぁ。。今知れたので二次試験対策の時にちゃんと使っていきたいと思います。
この人の動画は心置きなく広告が見れる
とても面白い問題と解き方でした！
特に答えに影響はなかったのですが判別式のところで、不等号に＝つかないと思います！
なんで？？？
10:31のところ解が(x.y)で２つあるって分かってるからD>0で＝は不要じゃ無いかと思った
そうね、
今回も面白かったです
途中くぁないさんがいない笑
(p, x, y)=(3,1,2) or (3,2,1)は代入すればすぐ見つかると思うのですが、解がそれ以外にない事を証明するところが難しいですね。
普通に解けてワロタだった。
今日はくぁないさん触れます。
えーいつもだるそうに動画出てますが、それもキャラだと思ってます。
そんなキャラなのに実は多くのことを学んで(そうで)いてGAP萌えをしてしまう(焼き芋なんとかさんの気持ちが)わかります。
別解。x+y=p。3xy=p(p-1)よりpがxまたはyの素因数とするとx+y=pに矛盾。したがってp=3
整数問題ってまじで3つのpointさえ頭にぶち込んで使いこなせるようになればかなり簡単
3xyがpの倍数になるから
p=3のとき、p=xのとき、p=yのとき
で示したらいいんじゃないでしょうか
素数の年→出る
素数っぽいじゃない年→出る
見るからに違う年→出ない
XとYが入れ替え可能なら対称式って思うね。
数三たのむ！！
パスラボのおかげで大嫌いな整数問題がちょっと好きになった😭
っぱ、解と係数は神よ
データの分析やってほしいです
実数条件を用いる問題最近学校でいっぱい解かされてるからわかった、
逆像法解いてほしいです！
素数見たら約数、対象式見たら判別式
中３でもわかる解説、、！！！すごい！！
中1でもわかる解説、、！！！すごい！！
私は高校１年生のレベルも無いので、見てても解けませんが、数学って楽しそうっていう気持ちになりました。
x+y
xy
じゃないと買いと係数の関係使えない
x-yだとだめ！
xyは分からないから作る！
（x+yの形見たらワンちゃん対称式使えないか考える）
この問題は国公立を目指す上で解けて当然の問題のレベルですか？難しいのかも分からなくて(高校2年文系女)
「これを満たす（x,y）をすべて求めよ」と問われた問題で
数字で具体的な値として答えが出るときと
（x,y）=(p^2+2,p+1)などのように記号を使って答えが求まるとき
はどのように見分ければ良いですか。
実験をしても答えが数字にならない場合にそれを見分ける方法を教えて下さい。
わかりやすい
サムネ見て直感で「1,2,3じゃね？」とか言ってKさんしたらあってたのちょっと嬉しかったからコメントしてみた
x+y=p,x^2-xy+y^2=pよりx+y=x^2-xy+y^2でxについての判別式を作ってyの範囲を求めてそこからxが自然数になる（x,y）を求めたら（2,2）と（1,2）と（2,1）が出てきて（2,2）はp=4で不適というブサイクな解き方してしまいましたわ…
サムネ見てといたら解放全く同じでほんとに嬉しい
ⅰ)x=y=1 のとき
x+y=2
x^2-xy+y^2=1
p^2=2となり不適
ⅱ)x≠1またはy≠1のとき
x+y≧3 x^2-xy+y^2≧2 ∵x,y∈N，x^2-xy+y^2=(x-y)^2+xy
となりどちらもp以外考えられない
x+y=p，x^2-xy+y^2=(x+y)^2-3xy=p
つまりp(p-1)=3xy
p=3 ∵x,y∈N，x+y=p，p∈P
このとき (x,y)=(1,2),(2,1)
判別式より因数分解から約数へ行ったら計算楽じゃないですか？
見た目一瞬フェルマー…笑笑
p^3なら恐ろしい
400年かかりますね
そいつがこの問題を出した京大の教授に証明されたっていうね
@@ウラジーミルレーニン-n4f ひとつ言いますと、x^3+y^3=p^3（pは素数）を示すのはこの問題と同じレベル（高校）で解けます。これの「pが素数」という条件をなくすと大学レベルになり、「3乗」ではなく「3乗以上全整数」にすると...（以下略）
ウラジーミルレーニン 塾の教科書に
x³+y³＝p³は成立しないことを証明せよ。ってあった右辺がpだからそんなに難しくもない。これがpのところzに変わるとオイラーが解いたやつになるからおいらは解けないけど()
平方完成と関数を使って解きました（対称式使わなかった）
数学って面白い！
10:36
D≧0 じゃなくて D>0 じゃないですか？
先生は、大学入学してからも、受験の問題解いてるんですか？すごいですね。
それと、動画の問題は、まず、解答見ずに解いてるんですか？
9:39 のところで、なぜ、xyを解にもつとしていいんですか？苦手なので、どなたか教えて下さい。
おそらくxとyのことだと思います
これもっと簡単に出来るよね
一目、x=1、y=2、p=3だけ分かった
吉田幹比古 すげえ
ただしそれ以外が不適である事を示せと言われたら出来ない
積=整数
問題文から範囲を絞る
倍数、余りに注目←分類
12:58 ガードマンで草
草
数学できないのは別になんとも思わないけど、堂々としてるのは愚かだと思う
ノーヒントでこれ解けって言われたら無理
解いてるとこ見れば理解できるけど...
判別式Dの範囲って0以上なの？
重解でx=yになると素数pは存在しないから
Dは0より大きいじゃない？
2020の1けたの0がでる1から9までの最小が2と4で2320に成るので成立しないと思うのですがどうでしょうか。
これは、おもしろかったです。
僕は、23とか25とかを入れていました。
3は、唖然です🫨
貫太郎さんの動画で見たやつだ！
どこかで見たと思ったら、理系プラチカにあったわ
数3の微積の問題やってほしいです。
判別式に加えて、1以上の解を二つ持つからXの二次式をf(x)としてf(1)が0以上を使えばすぐにp＝3が出ると思います
前の問題もそうでしたけど京大の問題の中じゃ今回のも前のも大したことないですよね
10:50で、赤文字で2つ解をもつってあるけどD≧0としとるで、「解をもつ」が正しいんやないの？
判別式のところで、なぜ実数解が2個なのに≦を使っているんでしょうか
重解でもいいから
P＝3 x＝2 y＝1 その三羽ガラス
2020!の約数の総和、個数、約数の積の問題はどっかの大学で出るな。
マスターオブ整数の最初にあるけど積の出し方は簡単。1x2x4x...x2020=(1x2020)(2x1010)(.....
って感じ
これ簡単なんか？4桁の階乗とか意味分からんわ。
出そうですねｗ
よびのりさんの2020についての積分問題もユニークで面白かったですよ！
俺は3xy＝p(p-1)からp＝3orxoryという条件出して最初の与式からp＝xoryが不適だってことを言った
河合のテキストに乗ってた気がする…。
10:40らへん、解を2個持つだとちょっと減点かも？（D>=0といっているからセーフか？）
x=yがなくもないはず。
ba ke なんでD>0じゃないのかわかんなくてこのコメントでわかりました！ありがとうございます。
偶数と奇数をかけると奇数だから2乗と3乗とでは偶数しか成立しない
(z^2=x^2+y^2
じゃないから解くことはできそうやな...)
冷静に考えたら、
z^2=y^2+x^2は既に証明はされてる
つまり、解こうと思えば解ける問題だから、理屈が解れば誰もが解ける問題であれば
上記のコメントは正確ではない事をここに訂正します。
(解くための時間は考慮しない)
整数問題いくつか投げておきます，ぜひ動画で紹介してください
自作問題なので出典はないです
・mは実数とする
三次方程式 2x³+2mx²+(m²-9)x+n=0 の全ての解が整数となるとき，nが取り得る値をすべて求めよ
・正の整数nに対してnの正の約数の総乗をm(n)と表すとき，m(n)=n²が成り立つためにnが満たすべき必要十分条件を求めよ
・nⁿ-1を二進法で表すと末尾に0が2019個並ぶという．
このような正整数nの最小値を求めよ
・正整数mが次の条件を満たすとき，mの最小値を求めよ
【条件】√(756m)は整数であり，11で割ると1余る
馬鹿みたいに難しいわけではないので大丈夫だと思います
せいぜい旧帝レベル…？
なぜ、そうやって解いていくのかがいつも分からない。一度解いた問題は解けるけど、初見で発想出来ない
おはようございます
おはよう
花京院典明 こんな中身のないコメントに返信くると思ってなかったので内心ちょっと驚いてます笑
整数が一番楽しいよな
判別式で≧なら実数解1個も入りますよね？
xとyは異なる数であるという条件はないのでD≧0にあたるD=0である重解とD>0である異なる解のどちらも有り得るのでD≧0になります
対称式の判別式なんてしなくても「1/3*p(p-1)が自然数」を見たら「pかp-1の少なくとも一方は3の倍数」で「p-1は基本(p>2のとき必ず)偶数」から「p=3」は一瞬で出せるよね...
前回の問題も今回の問題も「整数問題のポイントは掛け算の形(因数分解)と範囲指定」とか言っておきながら基本方針無視しすぎでは。
その考え方だとp=7,13,19,31,...などの可能性を排除できてないと思います