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落とし穴、受験本番、絶対にハマらないようにね！今回は文系や高1の方でも、数学が面白くなるように基礎から丁寧に解説しました……が!!実はもっと簡単な方法もあります笑思いついた方はコメントにどしどし載せてください^_^
素因数分解で36外に出せばx^2＋y^2=34になるからもっとなんたんになるよ
たい山本 あってます
文系の僕でも数学が面白くなりそう…
ケーニッヒ a.bが共に6の倍数である事を示してからでないとそれは使えないですよね？
「他にはない」ことを示すのでかえって煩雑になりそう
これ円の問題としてみた方が楽な気がするa^2+b^2=1224r^2=1224r=6√34a=r×sinθ b=r×cosθ とおく ←三角関数の定義(0
美しい。
すっげ
結果的にはm,nは自然数になるのですが、「m,nが自然数になる理由がa,bが自然数だから｣というのはおかしい気がします。m,nが1/2とか1/3でもa,bは自然数になります。
数学者
なんでsinθがm/√34になるんですか？ mってどこから出てきたんですか？
a
aについて絞るよりbについて考えた方が楽そうですね。aa^2+b^2=1224 , b>24.7b^2
つちけん 初見では上のように解きましたが、あとで見直した時、僕も同様に思ってました。
勉強になる……めちゃめちゃ手際いいですね
√17の近似値を使用していいと与えられていない状態でa
@@山田-j6h だね
このレベルの授業が無料で観れるってすごいよね☆
三平方の定理に置き換えて考えると各辺がa、b、√1224=6√34の直角三角形が考えられる。それを6倍に縮小した図形を考えるとその図形の斜辺は√34なので他の2辺は整数だと5と3が考えられる。これを6倍に拡大しても関係は成り立つので(a，b)=(18，30)もしくは(30，18)
中一で見てるワイ理解不能
@@いつき-r9h 実際に習ってみたらそんなに難しいものでもないよ
@@相良俊介 さんすごいです！このやり方最強ですねw
@@エスパーダリブロ ありがとうございます😊
天才やん
11:31ツボ。modって本当便利ですよね…！すばるさん教え上手すぎません？？？
高校数学入った自分に中学受験の時の楽しい「算数」を思い出させてくれた。本当に面白い。
mod3からaとbは3で割れないといけない、mod4からaとbは2で割れないといけない。従って共に6で割れるので、36が外に出て、m^2+n^2=34m,nは共に6未満で、4^2+4^2=32
1つの問題にこれだけ深堀り出来るのは凄すぎる！！
*_私文ワイ｢1から順に代入するンゴ！w｣_*
試 験 終 了
人 生 終 了
・ 1浪した富田鈴花 34までしかありえないから他解けなかったら得策（）
この問題だと高々25回くらいの計算で済むのかな、あとは折り返しだから。過程としても間違いではない。しかし、右辺が6桁とかになると時間的に手に負えないでしょうね。
ni mi 理系より計算力あるやんw
a2 + b2 =6の2乗× 34 ①動画で解説している考えでa , b mod 3 = 0 ②同様にしてa, b mod 2 = 0 ③②、③より、a, b mod 6 = 0 ④④より、a = 6k, b = 6l(k, l は自然数)として①に代入すると、k2 + l2 = 34 ⑤となる自然数の組み合わせを求めればよい
m^2+n^2=34は対称式なので、m≧nっていう条件をつけてあとでそれを外すとさらにいいと思います。この場合だとn=5しか削れないですが、数がもっと大きくなると力を発揮します。
今回は完璧に解けた！整数マジ好きになったわ。
1224=1225-1=(35+1)(35-1)=36・34。612が平方数でないことからa≠bは明らかだから、対称性よりa
【中卒の自分オリジナルやり方】まず,a^2＋b^2=1224よりa^2＋b^2が1の位になれば良いのでa^2の1の位、b^2の1の位を足して1224の1の位の4となるように、0^2=0, 1^2=1, 2^2=4, 3^2=9…9^2=1の位が1。1️⃣[aまたはbの数字は0～34まで]と全部書き出して、a^2＋b^2=が1の位が4となる組み合わせは、(a^2＋b^2)=(b^2＋a^2)=(2^2＋0^2)と(8^2＋0^2)と(3^2＋5^2)と(7^2＋5^2)しかないので、1️⃣[ ] から分かることは↑の通り10の位は0,1,2,3の組み合わせしかないので、a^2＋b^2の1の位の組み合わせと0～3の十の位の組み合わせを全部考える。〈例〉(7^2＋5^2)を(7,5)として、(07,05)(07,15)(07,25)(07,35)(17,05)(17,15)(17,25)(17,35)(27,05)(27,15)(27,25)(27,35)(37,05)(37,15)(37,25)(37,35)その他もこのように全部書き出す。aまたはbの範囲は0～34までなので、34を超えるものまた、ちょっとだけ計算してみて または 計算せずとも1224に満たないものはすぐに消去していき、計算が成り立つものを探していくと、(a^2＋b^2)=(b^2＋a^2)=(8^2＋0^2)=(18,30)。よって、【a=18, b=30】【a=30, b=18】のみと答え,これで10分くらいでした。高校の数学は習ったことがないので、解説を聞いても全くわかりませんでしたが、解けたことで達成感を味わえた良い問題でした！👍もし自分が大学受験の2次試験を受けたなら、どのくらい点数が貰えるか分かりませんが、数学を趣味で解き始めたばっかりなので、この方法しか思いつきませんでした。😅
PASSLABOさんの別の動画で整数の二乗はmod3が弱点って言ってたの思い出して、そんな上手くいくかな…と思いつつもやってみたら答えが合ってた嬉しさ。ありがとうございます。
自然数の２乗は１の位が、０，１，４，５，６，９になる。足して４になるのは０，４の組み合わせか５，９の組み合わせ。１２２４が４で割れるから奇数の５，９の組み合わせはない。１の位が０になる１０，２０，３０の２乗を計算すると、組み合わせは３０，１８だけ。
一の位だけに注目する手順もあるのかありがとう
数学や物理に特化した人生だけど、この人たちの数学に対する考え方は眼から鱗でした。この人たちともっと早く出会えてたらまた変わったんだろうなぁ……
心の底から数学を楽しんでる感じがしていいなぁ☺️
整なる夜,国試勉強頑張ってくだいa
最後のbに関する不等式は24
24
クリスマスの時も受験生の味方のPASSLABOさん。最高です！自分も過去の動画のアドバイスなどを参考にしながら頑張っています！
やはりいつでも引き出せる細かい部分の計算の仕方が頭の中に既に沢山あり、それらを組み合わせた時のいつでも引き出せる計算の処理の仕方も既に頭の中にあり、それらがあるからこそ頭に負担が少ない早期の内に工夫された計算を行い、面倒を回避した理系的な解き方が思い付くということだと思います。したがって大量の細かい基礎の計算をいつでも引き出せる状態で頭に入れておくことが必須なのだろうと思います。
初見なんですけどオリジナル問題にしてはよく学べるいい問題だなぁと感じました、こういう解法をする整数問題ちょくちょく見かけるので覚えてると得だと思います。皆で受験乗り越えましょう、自分も頑張ります。（あとチャンネル登録しました）
1²,2²,3²,･･･35² までをノートに書いて足して1224になる組は(18,30)(30,18)しかないって原始人的にやりました。(語彙力皆無)
逆に1番早く解ける説ある
数学的思考ができていないって採点者に捉えられて点数もらえない可能性もなきにしにあらず。
整数問題は解ければ勝ち
35^2は1225やで
35^2が1224をこえるか否か計算したんやろ。
k^2+l^2=136からの別ルート136を見たとき「136=100+36」やん⇒2乗-2乗からの和と差の積を両辺で作れるのでは？k^2+l^2=100+36k^2-100=36-l^2(k+10)(k-10)=(6+l)(6-l)k,lは自然数より、左辺でk+10≧k-10、右辺で6+l≧6-lの大小関係が成り立つよってk+10=6+lk-10=6-lの連立方程式が立つ。これを解いてk=6、l=10kとlは対称性があるので文字を入れ替えた場合でも成立。したがって(k,l)=(6,10)(10,6)k=2m、l=2nと置いても良いですが、合同式だと宇佐美さんのおっしゃった落とし穴にハマりかねないので、ここまで来たらこちらも是非
数年前に受験を終えた身ではありますがあの頃はテストや時間に追われ数学の面白さを見出すことができませんでしたが今時間にゆとりがある状況でやり直すことで数学を楽しむことができました。ありがとうございました。
k^2+l^2=136までは同じk^2+l^2≡1で、対称性より、k≡0としてよい(≡1になるのは1,0の組み合わせのみ)範囲より、k=3,6,9後は代入して求めるって解きました。もしコメ欄に同じ人いたらすいません
整数問題のPOINT3 は一番使わなそうに見えて、一番、数学の「本質」を突いている。動画参考になりました。3の使い方がわかりました！
24^2+24^2=1152
素因数分解の時点で2乗のものを省いて考えれば簡単に出せます。今回の場合は 1224=2^3✕3^2✕17=2^2✕3^2(2✕17)よって34となるような二乗の和を考えれば最後は解説と同じになります。最終的に1224=2^2✕3^2(2✕17)=2^2✕3^2(3^2+5^2)となります。可換性より答えは18,30と出ますが記述では、a,bの範囲が 0
学生の時に出会えていればもっと数学を好きになっていたと思いました。とても有意義時間を過ごせ感謝します！
最近この手の整数問題の動画見まくってa4の紙に解法で重要なポイントを書いて毎日整数問題解くの楽しすぎてやめられない。やってみてほしい。
彼は素晴らしい✨数学解いてる顔がイキイキしてる‼︎
mod 3 、 mod 4 の 2 つだけ、平方数の場合 ≡ 0 、 1 だけになるっていうのは自分も予備校で教わったのですが使い方がわからないままでした。この動画のおかげで少しだけ使い方がわかりました。ただ、最後にやっていた 2m 、2l にしていたところ辺りが理解できませんでした。何度か見直して理解できるように頑張りたいとは思いますが理解できる自信がありません。
自然数を二乗すると一の位は0,1,4,5,6,9,の5通り。1224の一の位は4なので、足して4になる組み合わせは0と4もしくは5と9の時。1224は35^2より小さいので、5,10,15,20,25,30をそれぞれαに代入してbが自然数になる時を考えればよい。(めんどくさい)
今回は対称式なので「(a+b)^2 - 4ab ≧ 0」⇒「1224 = (a+b)^2 - 2ab ≧ 2ab」⇒「612 ≧ ab」a, b の最大値は 34 なので、最小値は 18 と絞り込める。調べる値が 20, 25, 30 の 3つに減る（それでも3～4桁の計算は面倒ですが）
1,224から奇数列(1,3,5,7…n)を引いていくと、35までを引いたところで900になり、√900=30①√324=18②2n-1=35を解き、n=18A.a=30,b=18a=18,b=30
中3ですがとても分かりやすかったです。modとか知らないやつも簡単に理解できました！🙏
途中からついていけなくなりましたが、やり方が正しければ解けることだけは分かりました。ありがとうございました。
パスラボ&貫太郎さんのおかげで何も考えなくてスラスラ解けるようになってて自分でもビックリしてる、、、
次に同じ問題が出されたら解けるかどうかわからないけれど数字の面白さが伝わってくる動画でした。
みんな問題の解説に目がいっているが、室長の本音は、うわー俺すげー面白い問題が作れた！だと思う。私も大学時代に中学数学の講師をやっていて、超難問(でもキレイに解ける問題)を作って自分で感動していたものの、誰にも解けずに結局お蔵入りしたことが...。こうやって動画でアップロードできるなんて、いい時代になりました。また面白い問題を作ってアップロードして下さい！
m≦nと仮定すると2m ²≦m ²+n ²=34m ²≦17m=1,2,3,4で少しパターンが減らせるかと思いました
対称式の利用ですね今回は解が少なかったので使わなくてもあまり問題はありませんでしたが、解が多くなりそうな場合は使ってみると大幅な時間短縮になりそうですね！
パスラボあるある「対称性を利用！」
おまけで34は4で割った余りが2で、こうなるのは(奇数)^2+(奇数)^2のときしかないからm＝1、3まで減らせる
@Takuro Matsumoto やっぱ最大値を基準に範囲絞る方が漏れが無くせるんですね、勉強になります
今回は自然数と設定されているので良いですが、実際の試験場ではa,bが整数だったとしても共にせいで良いとしたり、対称なのでどちらか大きいとして良いなどは自力で考えられるように俯瞰しておけると良いですね。どうせ楕円型二次不定方程式で有限個なので面倒がらなければ力技でも行けますが、でてきている数の特殊性(1224の因数)などに注目すると主の解説のようにかなり労力が減らすことができるのが嬉しいところですね。また、ピュダゴラース数なのでmod.3とか4を考えると良い、ということを知っておいても良いかもしれませんね、雑学として。
高校までの数学(含算数)って数字を使った頭の体操だと考えていて、その中で整数問題は数学をやる上での基本的な考え方の全てが詰まっている柔軟体操と言えるので超好きです。全高校生は整数問題をやれ。加えて言うとさらに好きなのが論理です。ベン図とか必要十分とかのやつ。これは「日常考え事をする上での基本的な考え方すべて」が詰まっている柔軟体操なので超好きです。全人類論理をやれ。生涯やれ。
こちらも面白かったです。こういう問題はいつも、条件に合致する最小条件を求めてしまいます。全ての数字は二乗した際、下一桁は必ず0,1,4,5,6,9となるので、この中で下一桁が4になるのは(0,4）か（9,5）のみ。0は容易いので30^2=900、1224-900=324、これを素因数分解すると2^2×9^2となり18^2、よって答えは(18,30)とたまたま早く出ました。
PASSLABOさんの言われるとうり、整数問題はパズルですね。簡単そうで奥深い。小さなことを見逃すと大きな事も見逃すことがある なんか人生の生き方や、世渡りし方 にも通じる感じがします。
ab偶奇の一致→共に偶数（奇数は4で割り切れない）abを2m、2lとおいて、mlの偶奇の一致→共に奇数（偶数は4で割り切れない）306
a>=bを仮定しても一般性を失わない。与えられた式を変形して(a+b)^2 = 1224+2ab = 2(612+ab)右辺が平方数であることから、a,bの少なくとも片方は偶数さらに最初の式から、a,bの片方が偶数のとき、もう片方も偶数a=2m, b=2nと置くとm^2+n^2=306m=1からm=18を当てはめて、m=15, n= 9 を得るよって答えが(a,b) = (30,18)
コメ欄にすでに居るけどピタゴラスの定理を使う方法は分かりやすいっすね。最近習った僕にとっては更に。
この問題、何回見ても美しい。
剰余系理論を駆使して解くのか、さすがじゃ！
この問題は基本的な事項が大体入ってるのでいい問題だと思います！
勉強になりました！
ゴリゴリの受験生だけど、疲れた時に見るのに楽しいなぁ
2数の和が偶数なのでa.bの偶奇は一致奇数の2乗は必ず1（mod4）となるのでa.bが奇数だと2（mod4）となり不適あとは2p,2qとしていくとp^2＋q^2=306となりp.qは奇数だから2r＋1,2s＋1とするとr(r＋1)＋s(s＋1)=76となったので連続2数の積を絞りこんで(r.s)=(4.7)(7.4)戻して(a,b)=(18.30)(30.18)となりました。とても面白い問題でした
一見簡単そうで難しいですね。数学もクイズを解く感覚でやれば面白いなあ。
絞り込みが楽な3の倍数に注目が吉ですが、偶奇だけでも比較的楽でした。(以下では整数だと思ってましたが、自然数なんで、0以下の考慮は不要ですね。)a=2m+rb=2n+sr,s=04m^2-4rm+r^2-4n^2+4sn+s^2r^2+s^2=0,1,2r=s=0a=2mb=2n4m^2+4n^2=1224m^2+n^2=306m=2p+Rn=2q+S同様に考えてR=S=1m=2p+1n=2q+14p^2-4p+1+4q^2-4q+1=3064p^2-4p+4q^2-4q=304p(p-1)/2+q(q-1)/2=38ΣP+ΣQ=38p→1-pp(p-1)/2→p(p-1)/2q→1-qq(q-1)/2→q(q-1)/2さらに与式の対称性よりp≧q≧1/2p≧q≧1を考えてから、対称性に基づき展開するΣ01361015212836(p(p-1)/2,q(q-1)/2)=(28,10)(p,q)=(8,5)p≦qも考えると(p,q)=(8,5),(5,8)(a,b)=(2m,2n)=(2(2p-1),2(2q-1))=(30,18),(18,30)p→1-pq→1-qも考えるとp→1-pa→-aq→1-qb→-bなので(a,b)=(±30,±18),(±18,±30)
貫太郎さんのおかげでこの式を見た瞬間にMOD3していました。途中でほぼ絞り込めたためMOD4はしなかったですがMODはやはり優秀ですね。
1224だから解が存在しますねN=2^p*{4n-1型の素数のq乗}*{4n+1型の素数のr乗}(素数は何種類あってもいいですが)としたとき、p、qは偶数であることが、整数解(0を許します)が存在する必要十分条件です(多分)今回は1224=2^4*3^2*17なのでオッケーです
素因数分解間違えましたね失礼しました。pは偶数じゃなくてもいいですか、必要十分条件はもう少し複雑になりそうです
自分が受験生の時に、こういうチャンネル欲しかった！！
他の動画見てるうちにこれ、まず解いてみたら解けました！受験生の時には無理だったと思います！
円の問題として見て、格子点で解くのもまた一つ。これ書いてる人いたので、別解概略（割と面倒だけど考えてみると楽しい）を載せときます。整数問題ですが、2変数命題では、領域を導入すると楽になることが度々多いので、これを円と見るとすごく楽です。ですが、基本対称式を駆使して、a+b＝s、ab＝tとすれば実解条件、また与式から満たす部分が図示できます。2次関数上の一部になるので、この上の格子点（s、t）を求めてみればいいと思います。ちなみにsは必ず偶数でないといけないのでかなり候補が絞られます。取り敢えず、余談の引き出しとしては、→2変数命題は領域の図示でラクになることもある。→整数問題の解き方は多岐にわたるけど、その実は全て必要条件から絞り込みをかけているというイメージを持つことが大切。の２点覚えといてください。
解き方分かった！嬉しい！
7:30厳密にはa^2が3の倍数と分かっているだけなのでaが3の倍数であることを示してからa=3kとおく必要がある気がするんですが丁寧すぎるんですかね
4n+1型素数の話として、この全解はわりと簡単な考察で求まります。z ・z~ = p1^a1 ・・・ pn^an z : 複素数、 z~ :複素共役 、pi : 素数1224 = 2^3 * 3^2 * 17
鈴木貫太郎さんのおかげで平方剰余はすぐに思いつきましたあとはa,bを新しいく自然数k,lを使って置き換えればいいのね
平方数はmod3 mod4に弱い！って教えて貰ったのがデカすぎた。何回も役に立ちました笑
あとmod8もか
1224を2でチマチマ割ってねーで9から割れよ⁉️国試終わったらまた寿司食いにきてくださいね。
確かに貫太郎さんが動画で言ってるやつですね！！笑はい！国家試験2/8,2/9なので、そこまではガッツリ集中します。ぜひ10万人突破と本の出版、またお祝いさせてください！
鈴木貫太郎 お寿司食べさせて下さいmm
真っ先に12で割りました
@yudaino 1 それはヤバイ
yudaino 1 強すぎ
mod5で考えました。2乗すると、0、1、4、4、1になります。右辺のmod5は4なので、左辺はmod5が2or3と0の組み合わせになります。mod3と組み合わせると、a,bのどちらかがmod5、mod3ともに0となるため、15の倍数になります。a,bの範囲は34以下なので、15か30が答えに含まれる。2個に絞れたので、あとは計算して、18,30となりました。
10:25こっからよく分からなくなった…コメ欄頭いい人ばかりで尊敬
anju * Kを４で割ってあまりが2の時のKの値。K=4n＋2K²=(4n＋2)²K²=(16n²＋8n＋４)K²=４(４n²＋2n＋1)すなわち、K²を４で割ってあまりが0になるKの値は4nだけでなく4n＋2もあるってことです。分かりにくくてすいません(´TωT｀)
ジャスタウェイ わあぁぁ有難いです😭まさかこんなに親切に教えてくださる方がいるとは思いませんでした！ジャスタウェイさんの説明を踏まえてもう一度見てみますね！
anju * 頑張ってくだせー
ジャスタウェイ ありがとうございまーす
あまりが0になる場合が2つあるから4k、4lとは限らないよってこと。4k+2、4l+2でもあまりは0になるからね。
32歳社会人の者ですが、非常に面白い問題だと思いました！自分が受験生の頃にお話聞きたかったです…。やはり今も昔も整数問題は奥が深いですね…。
おもしろすぎますありがとうございますほんとに
35^2=1225なのでまずはそこから絞り込みつつ目星をつける→1225-1=1224より34×36じゃね？と気付く→36に着目してmod3とmod4で頑張るこれ鬼難って書いてある割に定石通りだし手垢ベタベタすぎて特に面白くない追記: 昔一橋が出してたハーディ＝ラマヌジャンのタクシー数とかもう少し面白い。mod3とmod4が即見えてるわけじゃないし。
この解説の方がわかりやすい（笑）
1224≡0[mod6]よりa²=(6k)²,b²=(6l)²とおける。35²=1225よりa,b
とても良問過ぎです
34^2
a^2+b^2=2^2*3^2*(2*17)=2^2*3^2*34=2^2*3^2*(9+25) 故にa=2*3*3=18, b=2*3*5=30 Very Simple !
整数問題のコツ改めて確認できました！ありがとう😊
高1の夏休み明けテストに類題でました😂解き直し解決したー！ありがとうございます！！！
めちゃくちゃ良問w 神
難しいけど楽しみ方が分かったので、理解できるまで頑張ります。
平方数のmod4は、0か1なので、a,bは偶数。（a/2）^2+（b/2）＾2＝306となって、mod4から左辺は奇数の平方の和、から求めました。面白い問題ありがとうございました。
今の子供達は恵まれていますね。宇佐美さんだけでなく、東京大学や京都大学に入学or卒業した人達の勉強方法、解き方をTH-camで学ぶことができるので本当に羨ましいです。私事で大変申し訳ありませんが、Passlaboさんの動画を見て、数学を勉強しています。勉強する機会を作っていただいてありがとうございます。お一つお願いがあるのですが、数学弱の人間にも理解できる微積の動画を出していただけると幸いでございます。
mod 3 やmod 4の余りを考えるとき，3k,3k+1,3k+2，4k,4k+1,4k+2,4k+3とおくより3k,3k±1, 4k,4k±1, 4k±2とおく方が簡単なことが多い (他方が同様にできる)
お金払って下手な予備校行くより、基本的な参考書やって、パズラボさんみた方が絶対成績上がるよね！
1224=35^2-1=34*36なので、1224は平方数の因数36(=6^2)を持つこの因数36について、左辺のそれぞれの数は共に平方数である以上、保有していなければならないそうすると、a,bが36以外の平方数の因数を持ち、その合計が34になるので、それぞれをX,YとおけばX^2+Y^2=34、これを満たす自然数解は{X,Y}={3,5}のみ以上を整理すると、{a,b}={18,30}左辺が全部平方数⇒右辺も平方数になってくれたら嬉しい⇔右辺は平方数にはならんけど、平方数の因数は持ってる⇒この因数が共通するのは確定⇒除外した残りだけ検討してオシマイ
朝早すぎィ…好きィ…
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10をそれぞれ２乗すると1.4.9.16.25.36.49.64.81.100ってなって、1224の1の位の4に注目すると、4=0+4、1+3、2+2で、さっきの2乗した値の1の位を考えると4=0+4でしか1224になるa*2+b*2の値は考えられない。10.20.30を2乗すると100.400.900。8.18.28を2乗すると64.324.784。この中で1224になる組み合わせは900+324なので、(a.b)=(18.30).(30.18)。この考え方なら2.3分で出来ますね
凄く面白かったです！！
m²+n²=34の時mとnは対称なのでまずm>nと仮定して2m²> m²+n²=34m²>17n²=34-m²>0とのコンボで34>m²>17よってm²=25→n²=9n>mも同じでn²=25→m²=9m=nの時m²=17で不適とすれば場合わけを大幅に減らせます。右辺の数字が大きい時は有効と思います。
この方法でかなり絞り込めるので、私はa>bとして34≧a²≧25と絞り込みa、bは3の倍数なのでa²=27、30、33のどれかとして計算しました。その方がmからaに戻す時の間違いが少ないので。
1224=2^3×3^2×17=2^2×3^2×3434=25+9 （平方数の和が34になるのはこれだけ）よってa^2,b^2となるのは2^2×3^2×5^2=30^2と2^2×3^2×3^2=18^2であるから、（a,b）=（18,30）（30,18）
10:45 「このふたパターンある」とおっしゃっていますが、正しくはkとlそれぞれ4で割った余りが0,2が考えられるので4通りです。
Masaki Koga [数学解説] それ思いました。
そうですね！ご指摘ありがとうございます🙏
”それぞれ”を言い忘れたんだろう若しくは，誤って編集で落としたか，何れか。それくらい分かるよ。
確かに大事な考え方だけど、この問題を解くだけなら高々34(しかも折り返しを考えたらもっと少ない)だし、落とし穴にはまることもないから最初から代入するのが安全だと思いますね
毎回見る前に解いてみるけど珍しくこれは解けた！日頃の動画のおかげでっす！
今まで11:29に偶数にする理由が分からんかったけど、ようやく理解できた！すばるさんありがとう‼️
1224は①３の倍数だから、aとbはともに３の倍数②４、８の倍数で16の倍数でないから、aとbはともに４で割れない偶数③５で割ると４余るから、aとbのどちらかは５で割り切れ、もう一方が５で割ると２か３余ると√1224の整数部分は34から一気に解までいってしまいますね(検算は必要でしょうけど)
k^2+l^2=136136≡1 (mod 3)kかlは3の倍数kが3の倍数だと考えると12^2=144>136であるからk=3,6,9だけを考えればいい。
知識として知ってても中々活用できなかったので助かりました！整数問題は面白いなあ
対称性からa
modについての理解がさらに深まりました！
落とし穴、受験本番、絶対にハマらないようにね！
今回は文系や高1の方でも、数学が面白くなるように基礎から丁寧に解説しました……が!!
実はもっと簡単な方法もあります笑
思いついた方はコメントにどしどし載せてください^_^
素因数分解で36外に出せばx^2＋y^2=34になるからもっとなんたんになるよ
たい山本 あってます
文系の僕でも数学が面白くなりそう…
ケーニッヒ a.bが共に6の倍数である事を示してからでないとそれは使えないですよね？
「他にはない」ことを示すのでかえって煩雑になりそう
これ円の問題としてみた方が楽な気がする
a^2+b^2=1224
r^2=1224
r=6√34
a=r×sinθ b=r×cosθ とおく ←三角関数の定義
(0
美しい。
すっげ
結果的にはm,nは自然数になるのですが、「m,nが自然数になる理由がa,bが自然数だから｣というのはおかしい気がします。m,nが1/2とか1/3でもa,bは自然数になります。
数学者
なんでsinθがm/√34になるんですか？ mってどこから出てきたんですか？
a
aについて絞るよりbについて考えた方が楽そうですね。aa^2+b^2=1224 , b>24.7
b^2
つちけん
初見では上のように解きましたが、あとで見直した時、僕も同様に思ってました。
勉強になる……めちゃめちゃ手際いいですね
√17の近似値を使用していいと与えられていない状態でa
@@山田-j6h だね
このレベルの授業が無料で観れるってすごいよね☆
三平方の定理に置き換えて考えると各辺がa、b、√1224=6√34の直角三角形が考えられる。
それを6倍に縮小した図形を考えるとその図形の斜辺は√34なので他の2辺は整数だと5と3が考えられる。これを6倍に拡大しても関係は成り立つので(a，b)=(18，30)もしくは(30，18)
中一で見てるワイ理解不能
@@いつき-r9h 実際に習ってみたらそんなに難しいものでもないよ
@@相良俊介 さん
すごいです！
このやり方最強ですねw
@@エスパーダリブロ ありがとうございます😊
天才やん
11:31ツボ。
modって本当便利ですよね…！
すばるさん教え上手すぎません？？？
高校数学入った自分に中学受験の時の楽しい「算数」を思い出させてくれた。
本当に面白い。
mod3からaとbは3で割れないといけない、mod4からaとbは2で割れないといけない。従って共に6で割れるので、36が外に出て、
m^2+n^2=34
m,nは共に6未満で、4^2+4^2=32
1つの問題にこれだけ深堀り出来るのは凄すぎる！！
*_私文ワイ｢1から順に代入するンゴ！w｣_*
試 験 終 了
人 生 終 了
・ 1浪した富田鈴花 34までしかありえないから他解けなかったら得策（）
この問題だと高々25回くらいの計算で済むのかな、あとは折り返しだから。過程としても間違いではない。しかし、右辺が6桁とかになると時間的に手に負えないでしょうね。
ni mi 理系より計算力あるやんw
a2 + b2 =6の2乗× 34 ①
動画で解説している考えで
a , b mod 3 = 0 ②
同様にして
a, b mod 2 = 0 ③
②、③より、
a, b mod 6 = 0 ④
④より、a = 6k, b = 6l(k, l は自然数)として①に代入すると、
k2 + l2 = 34 ⑤
となる自然数の組み合わせを求めればよい
m^2+n^2=34は対称式なので、m≧nっていう条件をつけてあとでそれを外すとさらにいいと思います。この場合だとn=5しか削れないですが、数がもっと大きくなると力を発揮します。
今回は完璧に解けた！整数マジ好きになったわ。
1224=1225-1=(35+1)(35-1)=36・34。612が平方数でないことからa≠bは明らかだから、対称性よりa
【中卒の自分オリジナルやり方】
まず,a^2＋b^2=1224よりa^2＋b^2が1の位になれば良いのでa^2の1の位、b^2の1の位を足して1224の1の位の4となるように、
0^2=0, 1^2=1, 2^2=4, 3^2=9…9^2=1の位が1。1️⃣[aまたはbの数字は0～34まで]と全部書き出して、a^2＋b^2=が1の位が4となる組み合わせは、(a^2＋b^2)=(b^2＋a^2)=(2^2＋0^2)と(8^2＋0^2)と(3^2＋5^2)と(7^2＋5^2)しかないので、1️⃣[ ] から分かることは↑の通り10の位は0,1,2,3の組み合わせしかないので、a^2＋b^2の1の位の組み合わせと0～3の十の位の組み合わせを全部考える。
〈例〉(7^2＋5^2)を(7,5)として、
(07,05)(07,15)(07,25)(07,35)
(17,05)(17,15)(17,25)(17,35)
(27,05)(27,15)(27,25)(27,35)
(37,05)(37,15)(37,25)(37,35)
その他もこのように全部書き出す。aまたはbの範囲は0～34までなので、34を超えるものまた、ちょっとだけ計算してみて または 計算せずとも1224に満たないものはすぐに消去していき、計算が成り立つものを探していくと、
(a^2＋b^2)=(b^2＋a^2)=(8^2＋0^2)=(18,30)。よって、【a=18, b=30】【a=30, b=18】のみと答え,これで10分くらいでした。高校の数学は習ったことがないので、解説を聞いても全くわかりませんでしたが、解けたことで達成感を味わえた良い問題でした！👍
もし自分が大学受験の2次試験を受けたなら、どのくらい点数が貰えるか分かりませんが、数学を趣味で解き始めたばっかりなので、この方法しか思いつきませんでした。😅
PASSLABOさんの別の動画で整数の二乗はmod3が弱点って言ってたの思い出して、そんな上手くいくかな…と思いつつもやってみたら答えが合ってた嬉しさ。ありがとうございます。
自然数の２乗は１の位が、０，１，４，５，６，９になる。足して４になるのは０，４の組み合わせか５，９の組み合わせ。
１２２４が４で割れるから奇数の５，９の組み合わせはない。
１の位が０になる１０，２０，３０の２乗を計算すると、組み合わせは３０，１８だけ。
一の位だけに注目する手順もあるのか
ありがとう
数学や物理に特化した人生だけど、この人たちの数学に対する考え方は眼から鱗でした。
この人たちともっと早く出会えてたらまた変わったんだろうなぁ……
心の底から数学を楽しんでる感じがしていいなぁ☺️
整なる夜,国試勉強頑張ってくだい
a
最後のbに関する不等式は24
24
クリスマスの時も受験生の味方のPASSLABOさん。
最高です！
自分も過去の動画のアドバイスなどを参考にしながら頑張っています！
やはりいつでも引き出せる細かい部分の計算の仕方が頭の中に既に沢山あり、それらを組み合わせた時のいつでも引き出せる計算の処理の仕方も既に頭の中にあり、それらがあるからこそ頭に負担が少ない早期の内に工夫された計算を行い、面倒を回避した理系的な解き方が思い付くということだと思います。したがって大量の細かい基礎の計算をいつでも引き出せる状態で頭に入れておくことが必須なのだろうと思います。
初見なんですけどオリジナル問題にしてはよく学べるいい問題だなぁと感じました、こういう解法をする整数問題ちょくちょく見かけるので覚えてると得だと思います。皆で受験乗り越えましょう、自分も頑張ります。（あとチャンネル登録しました）
1²,2²,3²,･･･35² までをノートに書いて
足して1224になる組は(18,30)(30,18)しかないって原始人的にやりました。
(語彙力皆無)
逆に1番早く解ける説ある
数学的思考ができていないって採点者に捉えられて点数もらえない可能性もなきにしにあらず。
整数問題は解ければ勝ち
35^2は1225やで
35^2が1224をこえるか否か計算したんやろ。
k^2+l^2=136からの別ルート
136を見たとき「136=100+36」やん⇒2乗-2乗からの和と差の積を両辺で作れるのでは？
k^2+l^2=100+36
k^2-100=36-l^2
(k+10)(k-10)=(6+l)(6-l)
k,lは自然数より、左辺でk+10≧k-10、右辺で6+l≧6-lの大小関係が成り立つ
よって
k+10=6+l
k-10=6-l
の連立方程式が立つ。これを解いて
k=6、l=10
kとlは対称性があるので文字を入れ替えた場合でも成立。
したがって
(k,l)=(6,10)(10,6)
k=2m、l=2nと置いても良いですが、合同式だと宇佐美さんのおっしゃった落とし穴にハマりかねないので、ここまで来たらこちらも是非
数年前に受験を終えた身ではありますが
あの頃はテストや時間に追われ数学の面白さを見出すことができませんでしたが
今時間にゆとりがある状況でやり直すことで数学を楽しむことができました。
ありがとうございました。
k^2+l^2=136までは同じ
k^2+l^2≡1で、対称性より、k≡0としてよい(≡1になるのは1,0の組み合わせのみ)
範囲より、k=3,6,9
後は代入して求める
って解きました。もしコメ欄に同じ人いたらすいません
整数問題のPOINT3 は一番使わなそうに見えて、
一番、数学の「本質」を突いている。
動画参考になりました。3の使い方がわかりました！
24^2+24^2=1152
素因数分解の時点で2乗のものを省いて考えれば簡単に出せます。
今回の場合は 1224=2^3✕3^2✕17=2^2✕3^2(2✕17)
よって34となるような二乗の和を考えれば最後は解説と同じになります。
最終的に1224=2^2✕3^2(2✕17)=2^2✕3^2(3^2+5^2)となります。
可換性より答えは18,30と出ますが記述では、a,bの範囲が 0
学生の時に出会えていればもっと数学を好きになっていたと思いました。
とても有意義時間を過ごせ感謝します！
最近この手の整数問題の動画見まくってa4の紙に解法で重要なポイントを書いて毎日整数問題解くの楽しすぎてやめられない。やってみてほしい。
彼は素晴らしい✨
数学解いてる顔がイキイキしてる‼︎
mod 3 、 mod 4 の 2 つだけ、平方数の場合 ≡ 0 、 1 だけになるっていうのは自分も予備校で教わったのですが使い方がわからないままでした。
この動画のおかげで少しだけ使い方がわかりました。
ただ、最後にやっていた 2m 、2l にしていたところ辺りが理解できませんでした。
何度か見直して理解できるように頑張りたいとは思いますが理解できる自信がありません。
自然数を二乗すると一の位は0,1,4,5,6,9,の5通り。1224の一の位は4なので、足して4になる組み合わせは0と4もしくは5と9の時。1224は35^2より小さいので、5,10,15,20,25,30をそれぞれαに代入してbが自然数になる時を考えればよい。(めんどくさい)
今回は対称式なので「(a+b)^2 - 4ab ≧ 0」⇒「1224 = (a+b)^2 - 2ab ≧ 2ab」⇒「612 ≧ ab」
a, b の最大値は 34 なので、最小値は 18 と絞り込める。調べる値が 20, 25, 30 の 3つに減る（それでも3～4桁の計算は面倒ですが）
1,224から奇数列(1,3,5,7…n)を引いていくと、35までを引いたところで900になり、√900=30
①√324=18
②2n-1=35を解き、
n=18
A.a=30,b=18
a=18,b=30
中3ですがとても分かりやすかったです。modとか知らないやつも簡単に理解できました！🙏
途中からついていけなく
なりましたが、
やり方が正しければ解けることだけは分かりました。
ありがとうございました。
パスラボ&貫太郎さんのおかげで何も考えなくてスラスラ解けるようになってて自分でもビックリしてる、、、
次に同じ問題が出されたら解けるかどうかわからないけれど
数字の面白さが伝わってくる動画でした。
みんな問題の解説に目がいっているが、室長の本音は、うわー俺すげー面白い問題が作れた！だと思う。
私も大学時代に中学数学の講師をやっていて、超難問(でもキレイに解ける問題)を作って自分で感動していたものの、誰にも解けずに結局お蔵入りしたことが...。こうやって動画でアップロードできるなんて、いい時代になりました。また面白い問題を作ってアップロードして下さい！
m≦nと仮定すると
2m ²≦m ²+n ²=34
m ²≦17
m=1,2,3,4
で少しパターンが減らせるかと思いました
対称式の利用ですね
今回は解が少なかったので使わなくてもあまり問題はありませんでしたが、解が多くなりそうな場合は使ってみると大幅な時間短縮になりそうですね！
パスラボあるある「対称性を利用！」
おまけで34は4で割った余りが2で、こうなるのは(奇数)^2+(奇数)^2のときしかないからm＝1、3まで減らせる
@Takuro Matsumoto やっぱ最大値を基準に範囲絞る方が漏れが無くせるんですね、勉強になります
今回は自然数と設定されているので良いですが、実際の試験場ではa,bが整数だったとしても共にせいで良いとしたり、対称なのでどちらか大きいとして良いなどは自力で考えられるように俯瞰しておけると良いですね。
どうせ楕円型二次不定方程式で有限個なので面倒がらなければ力技でも行けますが、でてきている数の特殊性(1224の因数)などに注目すると主の解説のようにかなり労力が減らすことができるのが嬉しいところですね。
また、ピュダゴラース数なのでmod.3とか4を考えると良い、ということを知っておいても良いかもしれませんね、雑学として。
高校までの数学(含算数)って数字を使った頭の体操だと考えていて、その中で整数問題は数学をやる上での基本的な考え方の全てが詰まっている柔軟体操と言えるので超好きです。全高校生は整数問題をやれ。
加えて言うとさらに好きなのが論理です。ベン図とか必要十分とかのやつ。これは「日常考え事をする上での基本的な考え方すべて」が詰まっている柔軟体操なので超好きです。全人類論理をやれ。生涯やれ。
こちらも面白かったです。
こういう問題はいつも、条件に合致する最小条件を求めてしまいます。
全ての数字は二乗した際、下一桁は必ず0,1,4,5,6,9となるので、この中で下一桁が4になるのは(0,4）か（9,5）のみ。
0は容易いので30^2=900、1224-900=324、これを素因数分解すると2^2×9^2となり18^2、よって答えは(18,30)とたまたま早く出ました。
PASSLABOさんの言われるとうり、整数問題はパズルですね。簡単そうで奥深い。小さな
ことを見逃すと大きな事も見逃すことがある なんか人生の生き方や、世渡りし方 にも通じる感じがします。
ab偶奇の一致→共に偶数（奇数は4で割り切れない）
abを2m、2lとおいて、mlの偶奇の一致→共に奇数（偶数は4で割り切れない）
306
a>=bを仮定しても一般性を失わない。
与えられた式を変形して
(a+b)^2 = 1224+2ab = 2(612+ab)
右辺が平方数であることから、a,bの少なくとも片方は偶数
さらに最初の式から、a,bの片方が偶数のとき、もう片方も偶数
a=2m, b=2nと置くと
m^2+n^2=306
m=1からm=18を当てはめて、m=15, n= 9 を得る
よって答えが(a,b) = (30,18)
コメ欄にすでに居るけどピタゴラスの定理を使う方法は分かりやすいっすね。
最近習った僕にとっては更に。
この問題、何回見ても美しい。
剰余系理論を駆使して解くのか、さすがじゃ！
この問題は基本的な事項が大体入ってるのでいい問題だと思います！
勉強になりました！
ゴリゴリの受験生だけど、疲れた時に見るのに楽しいなぁ
2数の和が偶数なのでa.bの偶奇は一致
奇数の2乗は必ず1（mod4）となるのでa.bが奇数だと2（mod4）となり不適
あとは2p,2qとしていくと
p^2＋q^2=306となり
p.qは奇数だから2r＋1,2s＋1とすると
r(r＋1)＋s(s＋1)=76となったので
連続2数の積を絞りこんで(r.s)=(4.7)(7.4)
戻して(a,b)=(18.30)(30.18)となりました。
とても面白い問題でした
一見簡単そうで難しいですね。数学もクイズを解く感覚でやれば面白いなあ。
絞り込みが楽な3の倍数に注目が吉ですが、偶奇だけでも比較的楽でした。
(以下では整数だと思ってましたが、自然数なんで、0以下の考慮は不要ですね。)
a=2m+r
b=2n+s
r,s=0
4m^2-4rm+r^2-4n^2+4sn+s^2
r^2+s^2=0,1,2
r=s=0
a=2m
b=2n
4m^2+4n^2=1224
m^2+n^2=306
m=2p+R
n=2q+S
同様に考えて
R=S=1
m=2p+1
n=2q+1
4p^2-4p+1+4q^2-4q+1=306
4p^2-4p+4q^2-4q=304
p(p-1)/2+q(q-1)/2=38
ΣP+ΣQ=38
p→1-p
p(p-1)/2→p(p-1)/2
q→1-q
q(q-1)/2→q(q-1)/2
さらに与式の対称性より
p≧q≧1/2
p≧q≧1
を考えてから、対称性に基づき展開する
Σ
0
1
3
6
10
15
21
28
36
(p(p-1)/2,q(q-1)/2)=(28,10)
(p,q)=(8,5)
p≦q
も考えると
(p,q)=(8,5),(5,8)
(a,b)=(2m,2n)=(2(2p-1),2(2q-1))=(30,18),(18,30)
p→1-p
q→1-q
も考えると
p→1-p
a→-a
q→1-q
b→-b
なので
(a,b)=(±30,±18),(±18,±30)
貫太郎さんのおかげでこの式を見た瞬間にMOD3していました。
途中でほぼ絞り込めたためMOD4はしなかったですがMODはやはり優秀ですね。
1224だから解が存在しますね
N=2^p*{4n-1型の素数のq乗}*{4n+1型の素数のr乗}
(素数は何種類あってもいいですが)
としたとき、p、qは偶数であることが、整数解(0を許します)が存在する必要十分条件です(多分)
今回は1224=2^4*3^2*17なのでオッケーです
素因数分解間違えましたね
失礼しました。
pは偶数じゃなくてもいいですか、必要十分条件はもう少し複雑になりそうです
自分が受験生の時に、こういうチャンネル欲しかった！！
他の動画見てるうちにこれ、まず解いてみたら解けました！受験生の時には無理だったと思います！
円の問題として見て、格子点で解くのもまた一つ。これ書いてる人いたので、別解概略（割と面倒だけど考えてみると楽しい）を載せときます。
整数問題ですが、2変数命題では、領域を導入すると楽になることが度々多いので、これを円と見るとすごく楽です。
ですが、基本対称式を駆使して、a+b＝s、ab＝tとすれば実解条件、また与式から満たす部分が図示できます。2次関数上の一部になるので、この上の格子点（s、t）を求めてみればいいと思います。ちなみにsは必ず偶数でないといけないのでかなり候補が絞られます。
取り敢えず、余談の引き出しとしては、
→2変数命題は領域の図示でラクになることもある。
→整数問題の解き方は多岐にわたるけど、その実は全て必要条件から絞り込みをかけているというイメージを持つことが大切。
の２点覚えといてください。
解き方分かった！嬉しい！
7:30
厳密にはa^2が3の倍数と分かっているだけなのでaが3の倍数であることを示してからa=3kとおく必要がある気がするんですが丁寧すぎるんですかね
4n+1型素数の話として、この全解はわりと簡単な考察で求まります。
z ・z~ = p1^a1 ・・・ pn^an z : 複素数、 z~ :複素共役 、pi : 素数
1224 = 2^3 * 3^2 * 17
鈴木貫太郎さんのおかげで平方剰余はすぐに思いつきました
あとはa,bを新しいく自然数k,lを使って置き換えればいいのね
平方数はmod3 mod4に弱い！って教えて貰ったのがデカすぎた。何回も役に立ちました笑
あとmod8もか
1224を2でチマチマ割ってねーで9から割れよ⁉️国試終わったらまた寿司食いにきてくださいね。
確かに貫太郎さんが動画で言ってるやつですね！！笑
はい！国家試験2/8,2/9なので、そこまではガッツリ集中します。
ぜひ10万人突破と本の出版、またお祝いさせてください！
鈴木貫太郎 お寿司食べさせて下さいmm
真っ先に12で割りました
@yudaino 1 それはヤバイ
yudaino 1 強すぎ
mod5で考えました。
2乗すると、0、1、4、4、1になります。右辺のmod5は4なので、左辺はmod5が2or3と0の組み合わせになります。
mod3と組み合わせると、a,bのどちらかがmod5、mod3ともに0となるため、15の倍数になります。
a,bの範囲は34以下なので、15か30が答えに含まれる。
2個に絞れたので、あとは計算して、18,30となりました。
10:25こっからよく分からなくなった…
コメ欄頭いい人ばかりで尊敬
anju * Kを４で割ってあまりが2の時のKの値。
K=4n＋2
K²=(4n＋2)²
K²=(16n²＋8n＋４)
K²=４(４n²＋2n＋1)
すなわち、K²を４で割ってあまりが0になるKの値は4nだけでなく4n＋2もあるってことです。分かりにくくてすいません(´TωT｀)
ジャスタウェイ
わあぁぁ有難いです😭
まさかこんなに親切に教えてくださる方がいるとは思いませんでした！
ジャスタウェイさんの説明を踏まえてもう一度見てみますね！
anju * 頑張ってくだせー
ジャスタウェイ
ありがとうございまーす
あまりが0になる場合が2つあるから4k、4lとは限らないよってこと。4k+2、4l+2でもあまりは0になるからね。
32歳社会人の者ですが、非常に面白い問題だと思いました！自分が受験生の頃にお話聞きたかったです…。やはり今も昔も整数問題は奥が深いですね…。
おもしろすぎます
ありがとうございますほんとに
35^2=1225なのでまずはそこから絞り込みつつ目星をつける
→1225-1=1224より34×36じゃね？と気付く
→36に着目してmod3とmod4で頑張る
これ鬼難って書いてある割に定石通りだし手垢ベタベタすぎて特に面白くない
追記: 昔一橋が出してたハーディ＝ラマヌジャンのタクシー数とかもう少し面白い。mod3とmod4が即見えてるわけじゃないし。
この解説の方がわかりやすい（笑）
1224≡0[mod6]より
a²=(6k)²,b²=(6l)²とおける。
35²=1225よりa,b
とても良問過ぎです
34^2
a^2+b^2=2^2*3^2*(2*17)=2^2*3^2*34=2^2*3^2*(9+25) 故にa=2*3*3=18, b=2*3*5=30 Very Simple !
整数問題のコツ改めて確認できました！ありがとう😊
高1の夏休み明けテストに類題でました😂解き直し解決したー！ありがとうございます！！！
めちゃくちゃ良問w 神
難しいけど楽しみ方が分かったので、理解できるまで頑張ります。
平方数のmod4は、0か1なので、a,bは偶数。（a/2）^2+（b/2）＾2＝306となって、mod4から左辺は奇数の平方の和、から求めました。面白い問題ありがとうございました。
今の子供達は恵まれていますね。宇佐美さんだけでなく、東京大学や京都大学に入学or卒業した人達の勉強方法、解き方をTH-camで学ぶことができるので本当に羨ましいです。私事で大変申し訳ありませんが、Passlaboさんの動画を見て、数学を勉強しています。勉強する機会を作っていただいてありがとうございます。お一つお願いがあるのですが、数学弱の人間にも理解できる微積の動画を出していただけると幸いでございます。
mod 3 やmod 4の余りを考えるとき，3k,3k+1,3k+2，4k,4k+1,4k+2,4k+3とおくより
3k,3k±1, 4k,4k±1, 4k±2とおく方が簡単なことが多い (他方が同様にできる)
お金払って下手な予備校行くより、基本的な参考書やって、パズラボさんみた方が絶対成績上がるよね！
1224=35^2-1=34*36なので、1224は平方数の因数36(=6^2)を持つ
この因数36について、左辺のそれぞれの数は共に平方数である以上、保有していなければならない
そうすると、a,bが36以外の平方数の因数を持ち、その合計が34になるので、それぞれをX,Yとおけば
X^2+Y^2=34、これを満たす自然数解は{X,Y}={3,5}のみ
以上を整理すると、{a,b}={18,30}
左辺が全部平方数⇒右辺も平方数になってくれたら嬉しい
⇔右辺は平方数にはならんけど、平方数の因数は持ってる⇒この因数が共通するのは確定
⇒除外した残りだけ検討してオシマイ
朝早すぎィ…好きィ…
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10をそれぞれ２乗すると1.4.9.16.25.36.49.64.81.100ってなって、1224の1の位の4に注目すると、4=0+4、1+3、2+2で、さっきの2乗した値の1の位を考えると4=0+4でしか1224になるa*2+b*2の値は考えられない。
10.20.30を2乗すると100.400.900。8.18.28を2乗すると64.324.784。この中で1224になる組み合わせは900+324なので、(a.b)=(18.30).(30.18)。この考え方なら2.3分で出来ますね
凄く面白かったです！！
m²+n²=34の時mとnは対称なので
まずm>nと仮定して
2m²> m²+n²=34
m²>17
n²=34-m²>0とのコンボで
34>m²>17
よってm²=25→n²=9
n>mも同じでn²=25→m²=9
m=nの時
m²=17で不適
とすれば場合わけを大幅に減らせます。
右辺の数字が大きい時は有効と思います。
この方法でかなり絞り込めるので、私はa>bとして34≧a²≧25と絞り込み
a、bは3の倍数なので
a²=27、30、33のどれかとして計算しました。その方がmからaに戻す時の間違いが少ないので。
1224=2^3×3^2×17=2^2×3^2×34
34=25+9 （平方数の和が34になるのはこれだけ）
よってa^2,b^2となるのは2^2×3^2×5^2=30^2と2^2×3^2×3^2=18^2
であるから、
（a,b）=（18,30）（30,18）
10:45 「このふたパターンある」とおっしゃっていますが、正しくはkとlそれぞれ4で割った余りが0,2が考えられるので4通りです。
Masaki Koga [数学解説] それ思いました。
そうですね！ご指摘ありがとうございます🙏
”それぞれ”を言い忘れたんだろう
若しくは，誤って編集で落としたか，何れか。それくらい分かるよ。
確かに大事な考え方だけど、この問題を解くだけなら高々34(しかも折り返しを考えたらもっと少ない)だし、落とし穴にはまることもないから最初から代入するのが安全だと思いますね
毎回見る前に解いてみるけど珍しくこれは解けた！日頃の動画のおかげでっす！
今まで11:29に偶数にする理由が分からんかったけど、ようやく理解できた！すばるさんありがとう‼️
1224は
①３の倍数だから、aとbはともに３の倍数
②４、８の倍数で16の倍数でないから、aとbはともに４で割れない偶数
③５で割ると４余るから、aとbのどちらかは５で割り切れ、もう一方が５で割ると２か３余る
と√1224の整数部分は34
から一気に解までいってしまいますね(検算は必要でしょうけど)
k^2+l^2=136
136≡1 (mod 3)
kかlは3の倍数
kが3の倍数だと考えると
12^2=144>136であるから
k=3,6,9だけを考えればいい。
知識として知ってても中々活用できなかったので助かりました！整数問題は面白いなあ
対称性からa
modについての理解がさらに深まりました！