相加相乗平均を使った解法は使えますか？x^2+xy+y^2=1⇒1-xy=x^2+y^2≥2√x^2y^2 ①(等号成立はx=±yのとき) x≥0,y≥0 or x≤0,y≤0のとき、①を解くと０≤xy≤1/3が導ける(1/3の等号成立はx=yのとき⇒(x,y)=(1/√3,1/√3),(-1/√3,-1/√3)) x≥0,y≤0 or x≤0,y≥0のとき、①を解くと-１≤xy≤0が導ける(-1の等号成立はx=-yのとき⇒(x,y)=(1,-1),(-1,1)) 以降は動画と同じxyだけの式に変形、途中でt=xyとして解きました。対称性や実数解条件とか出てこなくて、数学的に正しいのでしょうか？
P（t）＝0となるtを見つける過程、どこまで探したらいいかなど独学で勉強していると意外と手がペースダウンする部分を端折ることなく解説してくれるのがPASSLABOの強み
基本対象式と実数条件はセットですね！解けました！
これ現役の頃は解けなかっただろうな
駿台で習ったことたくさん出てきていい復習になった
これを見た瞬間手が進むくらいまで演習していかないと流石にねっ
x^2+xy+y^2=1 より x^2+y^2=1-xy=1-t とするのが効率が良いですよ
判別式を使わない方法
x,y が実数 x+y,x-y が実数 (x+y)^2≧0,(x-y)^2≧0 (x+y)^2≧0,(x+y)^2-4xy≧0
t=-1 のときは x+y=0 , xy=-1 より (x,y)=(1,-1),(-1,1) のとき最小値 -3 をとる
実数条件の話、問題集の解説だと少し雑だったから、明らかにしてくれて助かる。それに除法の数探しのやり方も
昔高校の先生が「誘導っていうのは、その生徒がこのレベルまでしか出来ないと思ってるからつけるものだ。問題自体はどの大学も変わらんよ」って言ってたのはこういうことか。
問題見た瞬間、値を求めず、範囲を求めるので、実数存在条件に持っていく事は容易に想像出来ました。後は対称式を処理して増減求めるだけなので所謂気付けば簡単と言うやつですね。
これ今回はなかったけど、x,yの元の条件式を平方完成して、cos,sinに置き換えて三角関数で処理するパターンも示す式（今回でいうxの８乗式）によっては有効
x^2+xy+y^2=1 は楕円であることを利用する解法を思いついたけど、高校の範囲外ですか？
途中で計算間違いしたので、めんどくさなった❗
このジュースが出てくるボタンはあるかなぁ？
青木ネタ
極座標でやってみる
①(x,y)=(rcosθ,rsinθ), r²=x²+y²とおく
1=x²+xy+y²
=r²(1+cosθsinθ)
cosθsinθ=1/r³-1
xy=r²cosθsinθ=1-r²
x⁸-5x⁴y⁴+y⁸
=r⁸(cos⁸θ-5cos⁴θsin⁴θ+sin⁸θ)
②cosθsinθ=tとおく
cos⁴θ+sin⁴θ
=(cos²θ+sin²θ)²-2(cosθsinθ)²
=1-2t
cos⁸θ+sin⁸θ
=(cos⁴θ+sin⁴θ)²-2(cos²θsin²θ)²
=(1-2t²)²-2t²
=4t⁴-6t²+1
cos⁸θ+sin⁸θ-5cos⁴θsin⁴θ
=4t⁴-11t²+1
r²=1/(1+t²)なので
与式=(4t⁴-11t²+1)/(1+t²)⁴
③1+t²=sとおく
4t⁴-11t²+1
=4(s-1)²-11(s-1)+1
=16s⁴-19s²-6
与式=14-19/s³-6/s⁴
④v=1/s²とおく
与式=-6v²-19v+14
2次式に次数下げした
⑤変動域
-1/2≦t≦1/2
s=1+t²
1≦s≦5/4
v=1/s²
16/25≦v≦1
⑥まとめ
与式=-6v²-19v+14
16/25≦v≦1
多数のミスがあるでしょうけど、雰囲気だけでも味わってください
x,yの対称式をみたら
①基本対称式
x+y=s
xy=t
または
②極座標
x=rcosθ
y=rsinθ
r²=x²+y²
に置き換えるとシンプルになる
気合い入れてリトライ
②cosθsinθ=tとおく
cos⁴θ+sin⁴θ
=(cos²θ+sin²θ)²-2(cosθsinθ)²
=1-2t²
cos⁸θ+sin⁸θ
=(cos⁴θ+sin⁴θ)²-2(cos²θsin²θ)²
=(1-2t²)²-2t²
=4t⁴-6t²-1
与式
=r⁴(cos⁸θ+sin⁸θ-5cos⁴θsin⁴θ)
=r⁴{(4t⁴-6t²-1)-5t⁴}
=r⁴(-t⁴-6t²-1)
=-r⁴(t⁴+6t²+1)
r²=1/(t²+1)を代入
与式
=-(t⁴+6t+1)/(t²+1)²
③1+t²=sとおくとt²=s-1
t⁴+6t²+1
=(s-1)⁴*6(s-1)+1
=(s⁴-4s³+10s²-4s+1)+6s-5
=s⁴-4s³+10s²+2s-4
与式
=-(s⁴-4s³+10s²+2s+4)/s⁴
④v=1/s²とおく
与式
=-(4v⁴+2v³+10v²-4v*1)
⑤まとめ
与式=-(4v⁴+2v³+10v²-4v+1)
16/25≦v≦1
f(v)=-(4v⁴+2v³+10v²-4v+1)とおく
よってf(16/25),f(1), f(極値)を調べればいい。
答え合わせするとダメだけど近づいた感はある
あとワンミスかな
いうておきますけど、めっちゃ違います
@@PV-NRT
ツッコミは歓迎だけど、反論点を明確にしてね。
別解として極座標で頑張れば解ける、というのに挑戦する遊びである。
内容はグダグダなのは承知しています。
具体的にツッコんでほしい。カモンプリーズ
ほとんど出来たのに、まさかのf'=0となるt=-1/2が探せずに最大値を求められませんでした😅因数分解から出直してきます。
これはやること一本道だから、京大にはレベル低いと思った
sの8次式を作ってしまった
めちゃいい
ベクトルを使った解き方もありそう。ガチノビでやってた。出そうで出てこない、引っ掛かっている。
これって何でtが-1から1/3まで連続であるって言えるんですか？
次数に注目すればどっちかでわると秒で終わるな
変数消えても変域残る
倒した😊👍✌️
早ッ❗
@@vacuumcarexpo さん
すぐに方針立ったので。
だいたい解説と同じでしたけど、
a=xx,b=yy,c=xyと置いて
a+b=1-c,ab=cc.
Z(n)=a^n+b^nとしたとき
（aとbを解にもつ2次方程式から）
Z(n+2)=(1-c)Z(n+1)-ccZ(n).
これを使って
Z(4)=x^8+y^8
を出しました〜😊
極値は変域からあたりをつけました🎯
二次同次式なのでx/y=tとするのが最速
どうするのか、詳しく教えてください。
お願いします。
同次式とはいえないとおもいます🫡
同次式じゃないね
良問だあ
相加相乗平均を使った解法は使えますか？x^2+xy+y^2=1⇒1-xy=x^2+y^2≥2√x^2y^2 ①(等号成立はx=±yのとき)
x≥0,y≥0 or x≤0,y≤0のとき、①を解くと０≤xy≤1/3が導ける(1/3の等号成立はx=yのとき⇒(x,y)=(1/√3,1/√3),(-1/√3,-1/√3))
x≥0,y≤0 or x≤0,y≥0のとき、①を解くと-１≤xy≤0が導ける(-1の等号成立はx=-yのとき⇒(x,y)=(1,-1),(-1,1))
以降は動画と同じxyだけの式に変形、途中でt=xyとして解きました。対称性や実数解条件とか出てこなくて、数学的に正しいのでしょうか？
愛知学院大学じゃないんだ
斜め楕円。
締め部分のf(t)の「最大最小を求めるのと同義」という部分がどうしてか分かりません。どなたか教えてください🙏
y=f(t)のグラフ描いてみると、最大値M･最小値mがわかれば、動画のようにm≦f(t)≦Mとなるからではないでしょうか。f(t)の範囲を求めたいので
13年の理系数学だっけ?