Очень приятно быть подписчиком на Бусти у такого крутого автора. Ещё смотрю некоторые каналы на Английском, но там в основном банальные, хоть и интересные задачи решаются. Здесь же автор, по моим ощущениям, делает мегауникальный контент
Забавно видеть, как меняется математический ютуб. В последние годы всë чаще используют спецфункции для взятия интегралов -- дзета-функцию, гамма- и бета-функцию. Оно и неплохо, в общем-то)
Интеграл получился очень весёлым. Ещё круче было осознавать тот факт, что я в 10 классе почти самостоятельно дошёл до решения(забыл определения шинуса по экспонентам). Кстати, меня очень смутила замена в данном видео, поэтому могу предложить иной и, по моему мнению, простой способ дойти до интеграла с шинусом в знаменателе, достаточно просто заметить, что дифференциал логарифма с страшным аргументом равен дифференциалу x делить на корень из x^2+1, а дальше сделав замену ln(x+sqrt(x^2+1)) и выразив из неё x^2, получить искомый результат :). С наступающим вас, всего самого наилучшего!
Насколько я помню по учебникам 60-70-х годов обратные гиперболические функции назывались с приставкой "Ареа-"- "Ареасинус", "Ареакосинус" и т.д. В справочнике Бронштейна это было. Не знаю, как сейчас, есть ли изменения.
В числителе обратная гиперболическая функция в степени, в знаменателе корень, который уходит при гиперболической замене. Чувствую, сейчас пойдут шинусы да чосинусы)
Короче решил сформулировать теорему для данного случая, которой вы пользуетесь в общем виде Вам на будущее))) пока она у меня в голове: Пусть дан ряд f1(x)+f2(x)+… функций интегрируемых в несобственном смысле от нуля до бесконечности и такой, что: 1) для любого b>0 этот ряд сходится равномерно на отрезке [0, b] 2) для любого epsilon > 0 существует такое с > 0, такое что для любых b’>b>c модуль интеграла от b до b’ от частичной суммы ряда: f1(x)+f2(x)+…+fn(x) будет меньше epsilon ДЛЯ ЛЮБОГО(!) n Тогда сумма ряда несобственно интегрируема от нуля до бесконечности и выполняется равенство «Ряд от интегралов = интегралу от ряда»
Функция, обратная гиперболическому синусу, называется ареасинусом. Аналогично ареакосинус. "Арк" - это дуга. Аркфункции восстанавливают длину дуги единичной окружности (она же угол в радианах) по значению тригонометрической функции, а ареафункии - площадь под единичной гиперболой по гиперболической функции. Площадь сектора единичного круга равна половина угла. Нечто аналогичное справедливо и для единичной гиперболы. Логарифм в числителе без степени - определение ареасинуса. Ареакосинус такой же, только ПОД корнем знак минуса (на графике видно, что гиперболический косинус не меньше единицы). Кто хочет, может проверить, что ареасинус - НЕЧЕТНАЯ функция, несмотря на такой страшный вид (нам эту задачку на семинаре, помнится, давали в вузе). Ареакосинус работает наоборот: если поменять знак ПЕРЕД корнем, то получим значение противоположного знака у всего логарифма (мистика?) - второе значение ареакосинуса (помним, что график гиперболического косинуса симметричен относительно Oy, потому что он ЧЕТНЫЙ). Аналогично ведут себя и тригонометрические косинус и синус. У ареасинуса есть такое же значение-близнец после смены знака ПЕРЕД корнем, но оно уже комплексное. Для синуса эквивалент попроще: sin(pi - x) = sin(x).
Не много подскажу. Чтобы доказать нечетность ареасинуса, надо сложить два значения. Аналогично докажем, что два значения ареакосинуса отличаются только знаком. И да. Нашел время-таки посчитать: sh(pi*i - x) = sh(x). Для тригонометрического синуса близнецы (x) и (pi - x). Их НЕЛЬЗЯ получить просто добавление периода 2*pi (кроме случаев x = +-pi/2 + 2*pi*k, k in Z, когда они совпадают). Для гиперболика близнецы (x) и (pi*i - x). Они тоже не следуют из периодичности экспоненты на комплексной плоскости (период - 2*pi*i). Для обоих косинусов близнецы (x) и (-x), опять же по два на каждый период (кроме случая, когда x кратен pi для тригонометрического или pi*i для гиперболика, в т.ч. 0, тогда они совпадают). Кому тему интересна, можно разобраться, и в итоге окажется, что тригонометрические функции переходят в гиперболики и назад при перестановке вещественной и мнимых осей: sh(i*x) = i*sin(x) sin(i*x) = i*sh(x) ch(i*x) = cos(x) cos(i*x) = ch(x) sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1 - основное тригонометрическое тождество sin(i*x)^2 + cos(i*x)^2 = 1 i^2 * sh(x)^2 + ch(x)^2 = 1 ch(x)^2 - sh(x)^2 = 1 - основное гиперболическое тождество Так практически все тождества преображаются. По сути мы видим переход от привычного пространства Евклида к пространству Минковского, где уже разность квадратов катетов дает квадрат гипотенузы. Кому еще интересно, можно почитать про гиперболические комплексные числа, которые задаются в пространстве Минковского (то, к чему мы привыкли, - эллиптические в пространстве Евклида). Там, например, вместо тригонометрической формы комплексного числа будет гиперболическая. Формула Эйлера будет exp(f*j)=ch(f) + j*sh(f), где j = мнимая единица, такая что j^2 = +1. У квадратного уравнения еще пара корней появится.
Я полагаю что это рекорд по вставленным ссылкам на другие видеоролики) Поди скоро все видео можно из них составить "проворачиваем трюк А как в этом видео, ссылка в описании, потом трюк Б, потом трюк Ы, вот и все, спасибо за внимание"))
ага, так в математических книгах обычно и происходит :) Я как-то квест по ~5 книгам проходил (в одной ссылка на другую, в той на следующую и т.д), чтобы понять откуда формула получается :)
Прошу прощения, при дифференцировании $[1/(1 - q)]^{\prime} = -1/(1 - q)^2$. Я понимаю, что если вместо $q$ будет $e^{-2t}$, то минусы взаимно пропадут, но случился небольшой подгон. Или я не прав, тогда поправьте меня
специально так написал, чтобы дальше нагляднее было, когда производная находится. Иначе были бы вопросы: почему сумма начиналась с нуля, а стала с единицы.
6:31 замечу, что это тоже специфическая функция - полилогарифм -1 порядка Li₋₁(x). У полилогарифмов есть множество интересных свойств и равенств, даже для отрицательных целых порядков, для которых полилогарифмы представляют собой рациональную дробь. Сам их открыл для себя, и изучать было их довольно интересно. Например, смог при помощи них составить формулы для частичных сумм Σxⁿnᵃ, где a - неотрицаельное целое, а также отдельно рассчитать коэффициенты для частичных сумм Σ2ⁿnᵃ и Σnᵃ/2ⁿ
Не буду голословен, вот частичная сумма для седьмой степени: ½ • ₙ₌₁Σᵏ 2ⁿn⁷ = 2ᵏ(k⁷ - 7k⁶ + 63k⁵ - 455k⁴ + 2625k³ - 11361k² + 32781k - 47293) + 47293 Общая формула выражается через упорядоченные числа Белла, они же числа Фубини
нельзя вот так t^2n вносить под знак суммы и ждать, что ряд будет по прежнему равномерно сходится, ведь t^2n не ограниченна на промежутке интегрирования. А интегрировать почленно можно только ряды, которые равномерно сходятся. Все это можно сделать на отрезке [a, b], но тогда надо будет обосновать почему при переходе к несобственному интегралу можно будет поменять местами знак суммы и предела когда а стремится к нулю, а b к бесконечности. Так что увы решение не годится
я уже это пробовал: th-cam.com/video/MonTvroZKxU/w-d-xo.html полвидео рассказывал про эти сходимости и убедился в очередной раз, что почти никто не хочет эту часть смотреть. Так что "не годится", так не годится :)
@@Hmath точнее не не годится, годится конечно)))) но надо было просто сослаться на теорему о предельном переходе под знаком несобственного интеграла! Зорич Т2 страница 499. Подынтегральная функция ( частичная сумма полученного Вами ряда) сходится равномерно к своей сумме ряда на каждом конечном отрезке, поскольку t^2n там ограничена и после внесения под знак суммы не влияет на равномерную сходимость (на конечных отрезках). Одно условие теоремы выполнено сразу. Теперь надо обосновать, что и несобственный интеграл от частичной суммы ряда сходится равномерно, на множестве всех натуральных чисел ( n выступает в качестве параметра!). Вот тогда можно будет менять местами знаки суммы и несобственного интеграла! Но все члены ряда несобственно интегрируемы, и все частичные суммы ряда тоже, так что второе условие выполнено просто тавтологически))))Общий алгоритм отсюда такой: если у нас есть несобственный интеграл от нуля до бесконечности от ряда функций ( также несобственно интегрируемых) сходящегося равномерно на каждом конечном отрезке, то после формальной перемены знаков суммы и несобственного интеграла мы всегда(!) получим сходящийся числовой ряд, который и будет ответом и все это законно. Может стоит один раз это проговорить в общем виде и потом ссылаться…
у меня тогда к вам вот такой вопрос есть (это не чтобы поспорить или потроллить, а мне правда интересно): Допустим есть несобственный интеграл и я знаю, что он сходится. Если разложить подынтегральную функцию в ряд, потом поменять местами интеграл и сумму (не проверяя никакую равномерную сходимость), проинтегрировать и получить ряд. Допустим полученный ряд сходится. Может ли вообще быть такой случай, что получившийся ряд сходится к другому числу, чем изначальный несобственный интеграл? Мне кажется, мне такой пример вообще не попадался :) Т.е бывает, что изначальный интеграл сходится, а полученный ряд расходится (в этом случае сразу понятно, что так делать нельзя было). Но вот если бы мог быть случай, что и то и другое сходится, но к разным числам, тогда тут ошибку не заметишь без всех этих проверок на равномерную сходимость и т.п. И они бы сразу имели бОльшую ценность :)
@ вопрос имеет смысл когда мы какую -то часть подынтегральный функции можем разложить сначала в степенной ряд( круг сходимости которого покроет промежуток интегрирования) , а потом умножить на другой сомножитель ( внести множитель под знак суммы) так чтобы уже получились ряд не степенной, а функциональный, члены которого уже будут интегрируемы в несосбтвенном смысле( ведь степени не интегрируемы если промежуток интегрирования бесконечен). Тогда да, мы возвращаемся к Вашему случаю и можно все делать по тем же причинам , лишь бы множитель который мы будем вносить был ограниченным на любых конечных отрезках принадлежащих промежутку интегрирования, чтобы не оказывать влияние на равномерную сходимость итогового ряда на отрезках. И тогда нам и не требуется предварительное знание о том что исходный интеграл сходится, это гарантируется упомянутой общей теоремой о предельном переходе под знаком несобственного интеграла. PS вы по любому будете получать этот ряд указанным выше способом, других нету)) а значит на этапе получения этого ряда (из степенного) вы элементарно убедитесь в его равномерной сходимости на любых компактах, и в том что его члены интегрируемы в несобственом смысла, надо просто всегда говорить, что поскольку полученный итоговый ряд сходится равномерно на любых отрезках, а его члены интегрируемы в несобственном смысле по исходному промежутку, то законность перемены знаков суммы и несобственного интеграла следует из общей теоремы «о предельном переходе под знаком несобственного интеграла») Вот что делать если члены ряда вдруг окажутся неинтернируемы в несобственном смысле я не знаю, вот это хороший вопрос. Тут наверное надо будет уже по разному пытаться получить итоговый функциональный ряд для подынтегральный функции, чтобы это было выполнено, ведь мы по разному можем выбирать какой множитель отщепить для разложения в степенной ряд. Но это уже экзотика какая-то, я не припомню таких примеров… PPS нет к сожалению я немного напутал и второй пункт, не будет выполнен автоматически увы. Равномерная ( на множестве натуральных чисел) сходимость несобственного интеграла от частичных сумм полученного функционального ряда, где число членов суммы будет параметром несобственного интеграла , надо каждый раз проверять отдельно и я пока не вижу общего рецепта… 😢 . Поэтому все эти видео с ютьюберскими математиками, лихо меняющими знаки суммы и интеграла ( я не про это ваше видео) я отправляю в помойку…Если хотите разобраться, то в упомянутой теореме на странице 499 второго тома Зорича, Y будет множеством натуральных чисел, базой в Y база «n -> бесконечность» f(x,y) = f(x,n) = частичная сумма функционального ряда. Пункт а) будет «для любого b > 0, f(x,n) = «частичная сумма ряда» сходится равномерно к функции g(x), при n стремящемся к бесконечности на отрезке [0,b], ну это будет ровно равномерная сходимость ряда на любом отрезке… это у нас есть, а вот пункт b) теоремы это то, что интеграл от f(x,n) должен сходится равномерно на множестве натуральных чисел. т.е. для любого эпсилон, должно найтись такое c > 0, что для всех b’>b>c интеграл в пределах от b до b’ от любой(!) частичной суммы будет меньше этого эпсилон.. вот только тогда можно будет поменять местами знаки суммирования и интеграла. Может у меня глаз замылился, но я просто не вижу как это вытекает из условий в общем случае..я нигде не видел формулировки такого частного случая теоремы, так что видимо никак и не вытекает и надо непосредственно проверять такую оценку. В частных случаях можно пользоваться тем, что мы можем непосредственно найти первообразную частичной суммы и тогда уже получить нужную оценку
мне именно интересно можно ли получить конечный ответ для интеграла, но при этом неправильный. Случай, когда изначальный интеграл сходился, а потом ряд расходится получается довольно часто. Но тут сразу видно, что неправильно и так не нужно было делать. А вот случай, когда сначала интеграл сходился и потом ряд тоже сходится, но при этом к другому конечному числу мне, наверно, не попадался. Т.е прямо конкретный пример, демонстрирующий это.
Что то я не видел практического применения этого интеграла. (ни в физике ни в математическом анализе) Такое ощущение что искусственно придуман для примера студентам (ну и точность вычисления потеряна с переходом от экспоненты к рядам Бернулли, что тоже наводим на мысли искусственного создания примера )
Ну красота вообще! Такое многообразие упрощений мало где встретишь. В этом , конечно, красота математики.
Очень приятно быть подписчиком на Бусти у такого крутого автора.
Ещё смотрю некоторые каналы на Английском, но там в основном банальные, хоть и интересные задачи решаются.
Здесь же автор, по моим ощущениям, делает мегауникальный контент
большое спасибо за поддержку!
Забавно видеть, как меняется математический ютуб. В последние годы всë чаще используют спецфункции для взятия интегралов -- дзета-функцию, гамма- и бета-функцию. Оно и неплохо, в общем-то)
Красота какая
Спасибо за лайк, люблю ваши видео!)
Вроде бы сложная задача с нетривиальным решением, но так хорошо подана, что слушать одно удовольствие
Мне нравится развитие сюжета в этом сериале! Все герои выступили в этой серии. С наступающим вас
Очень красиво. Самый лучший контент на ютубе
Как обычно, красивый пример с красивым решением! Спасибо за Ваши видео)
Очень понравилось, красивое решение!
Очень интересное видео!
Обожаю.
Интеграл получился очень весёлым. Ещё круче было осознавать тот факт, что я в 10 классе почти самостоятельно дошёл до решения(забыл определения шинуса по экспонентам).
Кстати, меня очень смутила замена в данном видео, поэтому могу предложить иной и, по моему мнению, простой способ дойти до интеграла с шинусом в знаменателе, достаточно просто заметить, что дифференциал логарифма с страшным аргументом равен дифференциалу x делить на корень из x^2+1, а дальше сделав замену ln(x+sqrt(x^2+1)) и выразив из неё x^2, получить искомый результат :).
С наступающим вас, всего самого наилучшего!
Кайф для мозгов
Какой красивый ответ) Я в востроге!
У нас на матане чтобы каждый раз не произносить "гиперболический" в названиях функций, было решено называть их "шинус" и "чосинус"
Насколько я помню по учебникам 60-70-х годов обратные гиперболические функции назывались с приставкой "Ареа-"- "Ареасинус", "Ареакосинус" и т.д. В справочнике Бронштейна это было. Не знаю, как сейчас, есть ли изменения.
В числителе обратная гиперболическая функция в степени, в знаменателе корень, который уходит при гиперболической замене. Чувствую, сейчас пойдут шинусы да чосинусы)
4:15 ареасинус, обозначается так же как и вы обозначили из Википедии, но намного чаще как sh^(-1)
Короче решил сформулировать теорему для данного случая, которой вы пользуетесь в общем виде Вам на будущее))) пока она у меня в голове:
Пусть дан ряд f1(x)+f2(x)+… функций интегрируемых в несобственном смысле от нуля до бесконечности и такой, что:
1) для любого b>0 этот ряд сходится равномерно на отрезке [0, b]
2) для любого epsilon > 0 существует такое с > 0, такое что для любых b’>b>c модуль интеграла от b до b’ от частичной суммы ряда: f1(x)+f2(x)+…+fn(x) будет меньше epsilon ДЛЯ ЛЮБОГО(!) n
Тогда сумма ряда несобственно интегрируема от нуля до бесконечности и выполняется равенство
«Ряд от интегралов = интегралу от ряда»
Функция, обратная гиперболическому синусу, называется ареасинусом. Аналогично ареакосинус. "Арк" - это дуга. Аркфункции восстанавливают длину дуги единичной окружности (она же угол в радианах) по значению тригонометрической функции, а ареафункии - площадь под единичной гиперболой по гиперболической функции. Площадь сектора единичного круга равна половина угла. Нечто аналогичное справедливо и для единичной гиперболы.
Логарифм в числителе без степени - определение ареасинуса. Ареакосинус такой же, только ПОД корнем знак минуса (на графике видно, что гиперболический косинус не меньше единицы).
Кто хочет, может проверить, что ареасинус - НЕЧЕТНАЯ функция, несмотря на такой страшный вид (нам эту задачку на семинаре, помнится, давали в вузе). Ареакосинус работает наоборот: если поменять знак ПЕРЕД корнем, то получим значение противоположного знака у всего логарифма (мистика?) - второе значение ареакосинуса (помним, что график гиперболического косинуса симметричен относительно Oy, потому что он ЧЕТНЫЙ). Аналогично ведут себя и тригонометрические косинус и синус. У ареасинуса есть такое же значение-близнец после смены знака ПЕРЕД корнем, но оно уже комплексное. Для синуса эквивалент попроще: sin(pi - x) = sin(x).
Не много подскажу.
Чтобы доказать нечетность ареасинуса, надо сложить два значения. Аналогично докажем, что два значения ареакосинуса отличаются только знаком.
И да. Нашел время-таки посчитать: sh(pi*i - x) = sh(x).
Для тригонометрического синуса близнецы (x) и (pi - x). Их НЕЛЬЗЯ получить просто добавление периода 2*pi (кроме случаев x = +-pi/2 + 2*pi*k, k in Z, когда они совпадают).
Для гиперболика близнецы (x) и (pi*i - x). Они тоже не следуют из периодичности экспоненты на комплексной плоскости (период - 2*pi*i).
Для обоих косинусов близнецы (x) и (-x), опять же по два на каждый период (кроме случая, когда x кратен pi для тригонометрического или pi*i для гиперболика, в т.ч. 0, тогда они совпадают).
Кому тему интересна, можно разобраться, и в итоге окажется, что тригонометрические функции переходят в гиперболики и назад при перестановке вещественной и мнимых осей:
sh(i*x) = i*sin(x)
sin(i*x) = i*sh(x)
ch(i*x) = cos(x)
cos(i*x) = ch(x)
sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1 - основное тригонометрическое тождество
sin(i*x)^2 + cos(i*x)^2 = 1
i^2 * sh(x)^2 + ch(x)^2 = 1
ch(x)^2 - sh(x)^2 = 1 - основное гиперболическое тождество
Так практически все тождества преображаются.
По сути мы видим переход от привычного пространства Евклида к пространству Минковского, где уже разность квадратов катетов дает квадрат гипотенузы.
Кому еще интересно, можно почитать про гиперболические комплексные числа, которые задаются в пространстве Минковского (то, к чему мы привыкли, - эллиптические в пространстве Евклида). Там, например, вместо тригонометрической формы комплексного числа будет гиперболическая. Формула Эйлера будет
exp(f*j)=ch(f) + j*sh(f), где j = мнимая единица, такая что j^2 = +1. У квадратного уравнения еще пара корней появится.
Я полагаю что это рекорд по вставленным ссылкам на другие видеоролики) Поди скоро все видео можно из них составить "проворачиваем трюк А как в этом видео, ссылка в описании, потом трюк Б, потом трюк Ы, вот и все, спасибо за внимание"))
ага, так в математических книгах обычно и происходит :) Я как-то квест по ~5 книгам проходил (в одной ссылка на другую, в той на следующую и т.д), чтобы понять откуда формула получается :)
это какое задание егэ? из второй части?
да, в егэ было, в первой части, в 1961 году!
Прошу прощения, при дифференцировании $[1/(1 - q)]^{\prime} = -1/(1 - q)^2$. Я понимаю, что если вместо $q$ будет $e^{-2t}$, то минусы взаимно пропадут, но случился небольшой подгон. Или я не прав, тогда поправьте меня
www.wolframalpha.com/input?i=%281%2F%281-x%29%29%27
ru.wikipedia.org/wiki/Дифференцирование_сложной_функции
5:58 зечем в сумме начинать k с единици если q⁰ это и есть 1, сумму можно было проще записать. Но видео все еще класс
специально так написал, чтобы дальше нагляднее было, когда производная находится. Иначе были бы вопросы: почему сумма начиналась с нуля, а стала с единицы.
Шестое число Бернулли 42… совпадение?
6:31 замечу, что это тоже специфическая функция - полилогарифм -1 порядка Li₋₁(x). У полилогарифмов есть множество интересных свойств и равенств, даже для отрицательных целых порядков, для которых полилогарифмы представляют собой рациональную дробь. Сам их открыл для себя, и изучать было их довольно интересно. Например, смог при помощи них составить формулы для частичных сумм Σxⁿnᵃ, где a - неотрицаельное целое, а также отдельно рассчитать коэффициенты для частичных сумм Σ2ⁿnᵃ и Σnᵃ/2ⁿ
Не буду голословен, вот частичная сумма для седьмой степени: ½ • ₙ₌₁Σᵏ 2ⁿn⁷ = 2ᵏ(k⁷ - 7k⁶ + 63k⁵ - 455k⁴ + 2625k³ - 11361k² + 32781k - 47293) + 47293
Общая формула выражается через упорядоченные числа Белла, они же числа Фубини
Ого. Спасибочки тебе за упоминание таких закономерностей
У этого канала нет аналогов. 5 звёзд
нельзя вот так t^2n вносить под знак суммы и ждать, что ряд будет по прежнему равномерно сходится, ведь t^2n не ограниченна на промежутке интегрирования. А интегрировать почленно можно только ряды, которые равномерно сходятся. Все это можно сделать на отрезке [a, b], но тогда надо будет обосновать почему при переходе к несобственному интегралу можно будет поменять местами знак суммы и предела когда а стремится к нулю, а b к бесконечности. Так что увы решение не годится
я уже это пробовал: th-cam.com/video/MonTvroZKxU/w-d-xo.html
полвидео рассказывал про эти сходимости и убедился в очередной раз, что почти никто не хочет эту часть смотреть. Так что "не годится", так не годится :)
@@Hmath точнее не не годится, годится конечно)))) но надо было просто сослаться на теорему о предельном переходе под знаком несобственного интеграла! Зорич Т2 страница 499. Подынтегральная функция ( частичная сумма полученного Вами ряда) сходится равномерно к своей сумме ряда на каждом конечном отрезке, поскольку t^2n там ограничена и после внесения под знак суммы не влияет на равномерную сходимость (на конечных отрезках). Одно условие теоремы выполнено сразу. Теперь надо обосновать, что и несобственный интеграл от частичной суммы ряда сходится равномерно, на множестве всех натуральных чисел ( n выступает в качестве параметра!). Вот тогда можно будет менять местами знаки суммы и несобственного интеграла! Но все члены ряда несобственно интегрируемы, и все частичные суммы ряда тоже, так что второе условие выполнено просто тавтологически))))Общий алгоритм отсюда такой: если у нас есть несобственный интеграл от нуля до бесконечности от ряда функций ( также несобственно интегрируемых) сходящегося равномерно на каждом конечном отрезке, то после формальной перемены знаков суммы и несобственного интеграла мы всегда(!) получим сходящийся числовой ряд, который и будет ответом и все это законно. Может стоит один раз это проговорить в общем виде и потом ссылаться…
у меня тогда к вам вот такой вопрос есть (это не чтобы поспорить или потроллить, а мне правда интересно):
Допустим есть несобственный интеграл и я знаю, что он сходится. Если разложить подынтегральную функцию в ряд, потом поменять местами интеграл и сумму (не проверяя никакую равномерную сходимость), проинтегрировать и получить ряд. Допустим полученный ряд сходится.
Может ли вообще быть такой случай, что получившийся ряд сходится к другому числу, чем изначальный несобственный интеграл?
Мне кажется, мне такой пример вообще не попадался :) Т.е бывает, что изначальный интеграл сходится, а полученный ряд расходится (в этом случае сразу понятно, что так делать нельзя было). Но вот если бы мог быть случай, что и то и другое сходится, но к разным числам, тогда тут ошибку не заметишь без всех этих проверок на равномерную сходимость и т.п. И они бы сразу имели бОльшую ценность :)
@ вопрос имеет смысл когда мы какую -то часть подынтегральный функции можем разложить сначала в степенной ряд( круг сходимости которого покроет промежуток интегрирования) , а потом умножить на другой сомножитель ( внести множитель под знак суммы) так чтобы уже получились ряд не степенной, а функциональный, члены которого уже будут интегрируемы в несосбтвенном смысле( ведь степени не интегрируемы если промежуток интегрирования бесконечен). Тогда да, мы возвращаемся к Вашему случаю и можно все делать по тем же причинам , лишь бы множитель который мы будем вносить был ограниченным на любых конечных отрезках принадлежащих промежутку интегрирования, чтобы не оказывать влияние на равномерную сходимость итогового ряда на отрезках. И тогда нам и не требуется предварительное знание о том что исходный интеграл сходится, это гарантируется упомянутой общей теоремой о предельном переходе под знаком несобственного интеграла.
PS вы по любому будете получать этот ряд указанным выше способом, других нету)) а значит на этапе получения этого ряда (из степенного) вы элементарно убедитесь в его равномерной сходимости на любых компактах, и в том что его члены интегрируемы в несобственом смысла, надо просто всегда говорить, что поскольку полученный итоговый ряд сходится равномерно на любых отрезках, а его члены интегрируемы в несобственном смысле по исходному промежутку, то законность перемены знаков суммы и несобственного интеграла следует из общей теоремы «о предельном переходе под знаком несобственного интеграла») Вот что делать если члены ряда вдруг окажутся неинтернируемы в несобственном смысле я не знаю, вот это хороший вопрос. Тут наверное надо будет уже по разному пытаться получить итоговый функциональный ряд для подынтегральный функции, чтобы это было выполнено, ведь мы по разному можем выбирать какой множитель отщепить для разложения в степенной ряд. Но это уже экзотика какая-то, я не припомню таких примеров…
PPS нет к сожалению я немного напутал и второй пункт, не будет выполнен автоматически увы. Равномерная ( на множестве натуральных чисел) сходимость несобственного интеграла от частичных сумм полученного функционального ряда, где число членов суммы будет параметром несобственного интеграла , надо каждый раз проверять отдельно и я пока не вижу общего рецепта… 😢 . Поэтому все эти видео с ютьюберскими математиками, лихо меняющими знаки суммы и интеграла ( я не про это ваше видео) я отправляю в помойку…Если хотите разобраться, то в упомянутой теореме на странице 499 второго тома Зорича, Y будет множеством натуральных чисел, базой в Y база «n -> бесконечность»
f(x,y) = f(x,n) = частичная сумма функционального ряда. Пункт а) будет «для любого b > 0, f(x,n) = «частичная сумма ряда» сходится равномерно к функции g(x), при n стремящемся к бесконечности на отрезке [0,b], ну это будет ровно равномерная сходимость ряда на любом отрезке… это у нас есть, а вот пункт b) теоремы это то, что интеграл от f(x,n) должен сходится равномерно на множестве натуральных чисел. т.е. для любого эпсилон, должно найтись такое c > 0, что для всех b’>b>c интеграл в пределах от b до b’ от любой(!) частичной суммы будет меньше этого эпсилон.. вот только тогда можно будет поменять местами знаки суммирования и интеграла. Может у меня глаз замылился, но я просто не вижу как это вытекает из условий в общем случае..я нигде не видел формулировки такого частного случая теоремы, так что видимо никак и не вытекает и надо непосредственно проверять такую оценку. В частных случаях можно пользоваться тем, что мы можем непосредственно найти первообразную частичной суммы и тогда уже получить нужную оценку
мне именно интересно можно ли получить конечный ответ для интеграла, но при этом неправильный.
Случай, когда изначальный интеграл сходился, а потом ряд расходится получается довольно часто. Но тут сразу видно, что неправильно и так не нужно было делать.
А вот случай, когда сначала интеграл сходился и потом ряд тоже сходится, но при этом к другому конечному числу мне, наверно, не попадался.
Т.е прямо конкретный пример, демонстрирующий это.
Что то я не видел практического применения этого интеграла. (ни в физике ни в математическом анализе) Такое ощущение что искусственно придуман для примера студентам (ну и точность вычисления потеряна с переходом от экспоненты к рядам Бернулли, что тоже наводим на мысли искусственного создания примера )