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- เผยแพร่เมื่อ 27 ก.ย. 2017
- Riuscirà Achille a raggiungere la lenta Tartaruga?
Il paradosso di Achille e la Tartaruga
Nota Matematica:
S è una serie geometrica q^n con q=1/2 e q € (-1,1) e quindi da come risultato:
1/(1-1/2) = 2
Nel video non lo spiego in questo modo perche magari qualcuno non ha studiato le serie e potrebbe sentirsi in difficoltà.
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Volevo ringraziare tutti quelli che si sono iscritti al mio canale.
Ora siamo un grande gruppo di piu di 1000 persone, un numero che non mi sarei mai immaginato di raggiungere.
Grazie di cuore.
Daniele
DanieleMS la somma non è uguale a 2 quello che ottieni dalla tua equazione è 2=2 e non s=2
DanieleMS il bello è che io mi sono iscritto proprio poche ore fa ed avevo paura che, visto che l'ultimo video che avevi caricato era di 3 mesi fa, non avresti fatto più video, ma per fortuna sei tornato
+Tom Bag sapresti spiegare perche?
DanieleMS “se sei un Matematico e ti sta venendo in infarto” effettivamente mi è venuto😂😂😂
Achille corre 10 metri al secondo la tartaruga 5 metri al secondo.ecco anche se la tartaruga ha 10 metri di vantaggio Achille come hai detto la raggiunge ma,poi lei corre ed è a 15. Ecco anche se la tartaruga è a 15 metri Achille la supererebbe perchè Achille arriverebbe subito a 20 (anche se poi la tartaruga arriva a 18 metri Achille se corresse per un secondo la supererebbe)
5 metri al secondo è comunque ammirabile per una tartaruga!
sono 18km/h ahahaha
Per passare dai m/s ai km/h bisogna moltiplicare per 3,6
5 x 3,6 = 18 km/h (è la velocità media di una persona che si muove in bicicletta a passo lento), esatto, che sono tantissimi per una tartaruga.
Ovviamente su distanze piccole arriverà per prima la tartaruga (poiché parte più vicina al traguardo), su distanze grandi arriverà per primo Achille (poiché corre più veloce), però bisogna tenere conto che entrambi partono da fermi, quindi nessuno dei due ha una velocità costante.
@@Anonimo-cm7mp come sarebbe una distanza piccola arriva prima la tartaruga?, comunque nessuno conosceva le mie tartarughe, correvano 😂😅
Ma...questo non può essere chiamato paradosso, dato che non esistono due verità contradittorie, ma solo una verita e una considerazione sbagliata
Quello che dici è giustissimo,
ma è anche vero che è stato considerato un paradosso per moltissimo tempo, (fino a quando non abbiamo capito bene come funzionavano le serie), ed ancora oggi ci si riferisce a questo "esperimento mentale" chiamandolo paradosso.
Spero di essermi spiegato bene, è un errore che a mio parere vale la pena fare per mettere in luce la natura poco intuitiva delle serie!
Grazie mille per il commento
daniele
era un paradosso per i greci che non concepivano che la somma di infinite parti potesse dare un risultato finito. anche se era facile vedere come si divide un segmento in infinite parti e quindi ottenere il segmento originale risommandole, loro si approcciavano in maniera dogmatica alla matematica quindi anche il mio esempio del segmento sarebbe per loro un paradosso
Si chiama paradosso perché deriva da paradoxa ovvero "contro l'opinione comune", non è un paradosso come lo intendiamo ai giorni nostri, ha un altro significato
@@uncopino quello che dici tu è il "paradosso della freccia" ovvero: un arciere scocca una freccia, per raggiungere il bersaglio dovrà passare per il punto medio della traiettoria, da lì dovrà passare per il punto medio di ciò che gli rimane e così via all'infinito (spiegabile facilmente con le serie)
Credo che tu abbia dimenticato di dire che questo paradosso era stato ideato per dimostrare l'impossibilità del dividere lo spazio in infiniti punti. Bel visto comunque :)
Veramente è stato inventato per dimostrare che il movimento sia un'illusione
@Angelo Cuffari Zenone, con questo paradosso, voleva dimostrare la veridicità delle teorie del suo maestro Parmenide. Secondo Parmenide infatti, poiché nulla può passare dall'essere al non-essere, il movimento non può esistere in quanto tutto dovrebbe essere immutabile. Per Parmenide ciò che noi percepiamo come "movimento" è solo un susseguirsi di pose statiche (un po' come i vecchi cartoni animati). Zenone allora, per sostenere il suo maestro, elabora ciò che verrà chiamato "paradosso" (Zenone è l'inventore dei paradossi). Egli dice appunto che se nel mondo reale il movimento fosse stato effettivo, seguendo leggi matematiche, non ci sarebbe stato possibile percorrere infiniti punti in un tempo finito. Perciò il moto è un'illusione data dal susseguirsi di "immagini" statiche diverse, il che spiegherebbe perché riusciamo a percorrere una distanza. Il paradosso di Zenone venne comunque criticato in quanto secondo alcuni "le definizioni degli enti geometrici vanno applicate solo in via teorica". Oof spero di aver spiegato bene ahah
@@l.p.4176 si è mi ha garbato anche molto la tua spiegazione nonostante io non sia arrivato ad un livello di studi riguardanti Parmenide , Scientifico 3°, spero di studiarlo un giorno
@@l.p.4176 difatti non saprei se darti ragione o torto 😂💪🏽
Mi piace molto la tua immagine di profilo ,ti dispiacerebbe se la freebootassi? Tranquillo ho anch'io vissuto quel capolavoro che conservo qui -->❤
Il paradosso e il calcolo secondo Zenone è errato in partenza: dividendo sia Achille che la tartaruga e facendoli gareggiare singolarmente, Achille vince a mani basse, impiegando la metà del tempo che impiega la tartaruga. Ne consegue che facendoli gareggiare insieme il risultato della gara resta invariato. Zenone sbaglia approccio matematico, attribuendo ad Achille un calcolo per raggiungere la tartaruga, e non per vincere la gara.
Il paradosso originale era dato dal fatto che Achille doveva raggiungere la Tartaruga (e non gareggiare per arrivare ad un traguardo), sapendo che la tartaruga si muove ad 1/10 della velocità di Achille, per quanto nanometrica sia la distanza Achille non la raggiungerà mai.
In parole povere:
Achille sta alla partenza, la tartaruga a 10m avanti.
Achille fa 10m, la tartaruga fa un 1m.
Achille fa 1m, la tartaruga fa 1/10 di metro.
Achille fa 1/10 di metro, la tartaruga fa 1/100 di metro.
e così via all'infinito
Roberto Pelonara si messa così è più efficace forse ma in sostanza è la stessa cosa.
Va pensato come paradosso matematico più che logico. In quell'ottica ha molto senso e fa capire l'infinità di numeri
@@uncopino non è esattamente la stessa cosa, perché come l'ha spiegato l'utente del video, si possono fare 20 paradossi simili e posso farne anche uno io che devo dirigermi da un punto ad un altro e dico "come mai se sono distante 10 km e viaggio a 5 km/s non riesco a raggiungere la meta in meno di 2 secondi?" e poi prendo sempre tempi che via via si dimezzano. Grazie al cazzo
Cilatorc era proprio il fatto stesso che si possa dividere una quantità finita in infinite parti a costituire un paradosso per i greci antichi, dato che avevano accettato come assioma una cosa sbagliata, ovvero che non si potesse ottenere una quantità finita da una somma di infiniti termini. pertanto se faccio questa divisione, di contro risommando tutto riottengo il risultato ed, essendo questo inconfutabile ed in contrasto con un’altra verità per loro inconfutabile, ecco il paradosso.
adesso sappiamo che era semplicemente un assioma sbagliato
Si ma è una teoria assurda secondo me in quanto alla fine la tartaruga non riuscirà mai a coprire una distanza tale da permettergli di non essere superata o raggiunta. Prima o poi si trovera dietro
Achille viaggiava a 10 m/s quindi in 10 secondi avrebbe dovuto completare la gara. La tartaruga invece, aveva una velocità di 5 m/s quindi avrebbe completato la gara in 20 secondi. Quest'ultima però è partita con 10 metri di vantaggio, dunque il traguardo l'avrebbe raggiunto dopo 18 secondi, tempo comunque insufficiente per battere Achille. La considerazione sbagliata è quando dici che Achille fa uno scatto di mezzo secondo per raggiungerla ma lei si muove altri 5 metri avanti... Non è possibile in quanto in mezzo secondo la tartaruga abrebbe dovuto fare 2,5m e non 5 ergo Achille l'avrebbe raggiunta e superata con facilità vincendo la gara.
Super 08 non hai capito il paradosso di zenone...
E con te altre 14 persone da quello che vedo
Zenone supponeva che Achille, più veloce, non potesse superare la tartaruga, più lenta perché concedeva ad essa il vantaggio iniziale. Quando Achille percorreva i 10 metri per raggiungerla la tartaruga percorreva 1metro, quando lui percorreva quel metro, la tartaruga percorreva un decimetro e così via... Supponeva di poter dividere in parti infinite un atto fisico, mentre lo si può fare solo mentalmente come affermò più tardi Aristotele spiegandogli che infiniti intervalli percorsi da Achille, al limite della loro somma diventano sempre più piccoli e infine devono per forza convergere in un punto,dunque Achille raggiungerà sicuramente la tartaruga per poi superarla se viaggia più veloce di lei. Secondo Zenone nella realtà una distanza finita non è percorribile perché divisibile in frazioni infinite, ma è infinita solo nella considerazione mentale, in concreto deve per forza essere costituita da parti finite e dunque può essere percorsa.
Non è che non ho capito il paradosso di Zenone, l'ho semplicemente spiegato in termini pratici in modo che potesse essere chiaro a tutti.
Super 08 okok dal messaggio sopra a cui ho risposto sembrava non l'avessi capito...
Ti eri soffermato sulla tartaruga che nel disegno ha percorso 5 metri anziche 2.5 metri, quando poi il fulcro era un altro ahah
Meglio cosi dai
posso affermare che il paradosso di Zenone è stato esposto male???
no
Si
se prendiamo in considerazione intervalli di misurazione fissi di 10 secondi il paradosso , con buona pace di Zenone non esiste più
Ci arriverà Isaac Newton a capire che diffatto è vero che la strada è divisa in parti infinite, ma la quantità totale di strada da percorrere non è infinita! Non sempre somme con infiniti addendi danno un risultato infinito! Se Achille e la tartaruga ogni volta si fermassero, allora si, è vero che non la raggiungerebbe mai!
Il paradosso si basa sul fatto che zerone ( probabilmente non l'ho scritto bene) volesse fare in modo che Achille non dovesse vincere, ma stare alla pari con la tartaruga, e quindi se pur Achille vada a 10 m/s lui non andrà mai realmente a quella velocità, dato che si ferma nel momento in cui raggiunge la tartaruga, questo paradosso non ha realmente basi logiche o matematiche, perché tutto si basa sul tempo infatti nel modo di Zenone vince la tartaruga, nel modo matematico e logico Achille
Conosco molto bene il paradosso. Ma la parte paradossale è la tartaruga che va a 5 metri al secondo!!! Una scheggia :-D
In realtà se si parla di paradosso di Zenone, si deve parlare anche della scuola eleatica della filosofia secondo Parmenide, "insegnante" di Zenone. E inoltre dal punto di vista della logica (intesa come branca della della filosofia) il paradosso non ha soluzioni
Matteo Oppici in che senso non ha soluzioni?
Come sempre video stupendo. Continua così che mi attirano un casino!
Non credo che una dimostrazione del genere sia del tutto rigorosa in quanto se inizialmente non si sa se S è finita o meno, non si può sottrarre S ecc, ma bisogna considerare la serie troncata Sn e poi prendere il limite.
Paradosso di Zenone: quando Achille raggiunge il posto dove era la tartaruga, essa avrà fatto già un altro percorso. Achille la raggiunge nuovamente, ma essa ha di nuovo percorso un altro tratto, fino all'infinito.
Perché?
Zenone, allievo di Parmenide, quindi, sosteneva che il mondo fosse formato da punti infiniti, i quali possono essere considerati uniti in segmenti.
Tuttavia, questo percorso è infinito, per due motivi
A) I punti sono infiniti: come può essere il loro secreto finito?
B) possiamo dividere a metà questo spazio infinite volte. Quindi ci vorrà infinito tempo.
Questa è la spiegazione Filosofica del Paradosso di Achille, stipulato da Zenone, e abbattuto dalla Teoria della Realtà Materiale di Aristotele, il quale sosteneva che tali paradossi fossero perfetti, ma solo nell' ASTRAZIONE LOGICA di Zenone: il Mondo Reale, in realtà, è fatto di Materia.
Ho iniziato da poco Filosofia, quindi in caso ci siano errori fatemi sapere!😉
Io l'ho abbandonata da molto😭ormai ma, se ricordo bene, l'intento di Zenone era proprio quello di mettere in crisi il sistema vigente attraverso questo paradosso. 👍
Infatti in teoria secondo questo paradosso nessuno che parte da dietro potrà mai raggiungere e superare quello davanti, cosa falsissima
Non c'entra niente con quello che dici!! Il paradosso di Zenone si basa su un' altra cosa: lui sostiene che Achille non riuscirá mai a raggiungere la tartaruga perchè Achille dovrebbe percorrere uno spazio infinito in un tempo finito, questo fatto si basa sul postulato dell'infinita divisibilitá del continuo. Cercando di spiegara in poche parole... lui ha tentato di spostare la dimostrazione dell'infinitá della retta (tra 2 punti appartenenti a una retta, ce n'è sempre un terzo) nel mondo reale.
@Angelo Cuffari in pratica spiega con un esempio che tra due numeri c’è sempre una quantità di numeri infinita in mezzo (nell’insieme dei numeri reali)
Grande frate!! bel video
Mi stavo giusto chiedendo come fossero nate le seghe mentali. Grazie di avermi illuminato.
Spiegazione chiara e semplice
Grande sempre fortissimo!!
hahaha, grazie per la semplificazione nel video (con il piccolo avvertimento per i matematici.
Tuttavia non capisco una cosa: questo paradosso è relativo ai termini di tempo ma riguardo allo spazio ? cioè riguardo al fatto che anche lo spazio può essere diviso infinite volte, ogni volta la metà di quella ottenuta in precedenza. Credevo che, in un mondo puramente matematico, Achille non potesse raggiungere la tartaruga per questo motivo. Puoi aiutarmi per favore ?
In primo luogo obiettivo di Zenone è confutare l l'infinito. se infatti lo spazio fosse infinito questo sarebbe divisibile all'infinito e perciò la distanza tra la tartaruga e Achille si ridurrebbe a numeri infinitamente piccoli ma Achille resterebbe cmq in dietro. tanto è giusto il paradosso di Zenone che anche la scienza odierna non parla dj infinito bensì di misure tendenti all'infinito.
Quindi non si dovrebbero fare le gare di corsa
@@FaunadiEdiacara è esattamente il contrario. Zenone ti dice: puoi fare le gare, perché non esiste l'infinito. (Diversamente da quanto affermavano molti filosofi greci). Infatti se lo spazio fosse infinito, Achille non potrebbe mai raggiungere la tartaruga, cosa alquanto assurda, perciò un paradosso (parà-doxa)
@@vincenzodpm però se hai spazio infinito hai più tempo per superarlo, nelle corse non hai spazio infinito
@@vincenzodpm già che la tartaruga non viene superata da Achille fa' ridere
Bentornato a fare video
Mi sorge un dubbio... Se i paradossi possono essere mostrati come calcoli matematici che non confermano la realtà dei fatti oggettivi... significa che la matematica, che è una invenzione dell'uomo, non è perfetta. Presenta delle falle in alcune situazioni. Quindi a meno di non aver dimostrato oggettivamente con prove sul campo la legge della relativa, anche questa potrebbe essere errata perché si basa su strumenti che nessuno ha controllato fossero corretti?
Affascinante mi stó imballando con questa cosa ahah
però forse io paradosso nasconde un'intuizione puramente filosofica piu che di calcolo matematico riguardante fino a che punto o misura possiamo ritenere la realtà fisica misurabile finita o infinita , divisibile o indivisibile, conoscibile o inconoscibile
La cosa paradossale è il fatto che più Achille si avvicina la tartaruga più il tempo rallenta, e come se l'unico modo per raggiungere la tartaruga per Achille è quello di fermare il tempo
È un problema che c'è sul mio libro di mate😂
Questo paradosso a noi sembra fuori di testa, per questo bisogna necessariamente fare una piccola contestualizzazione storico-speculativa. Zenone di Elea, il primo teorico di questo paradosso, è stato un importantissimo filosofo parmenideo del V secolo a.C.
Parmenide però fu denominato dagli stessi antichi stasiòtes, cioè immobilizzatore (della realtà). Parmenide, infatti, sostenne che l'essere è uno, imperituro, infinito. La sua speculazione, che si riferiva ad un essere trascendente, fu ben presto "immanentizzata": se Parmenide solo negava la logica del movimento nel contesto dell'essere trascendente, i suoi obiettori sostenevano che la sua dottrina portasse a pensare l'essere in toto come immobile. I paradossi di Zenone sono da analizzare, dunque, come il tentativo di ritornare al nucleo originale del pensiero del maestro, e cioè alla dimostrazione dell'assurdità del movimento dell'essere trascendente. In sintesi: Parmenide distingueva ta eònta (gli esseri) da to eòn (l'essere), rispettivamente la molteplicità dei dati sensibili e la singolarità del concetto; ta eònta si muovono, mutano, periscono, ma to eòn no. In questo caso, Zenone sta analizzando lo spazio sensibile in cui si muovono Achille e la tartaruga con lo stesso atto di comprensione con cui si comprende l'essere: se ammettiamo che lo spazio, da un punto di vista concettuale, sia infinitamente divisibile, allora un mobile che va dal punto A al punto B deve prima passare per un punto C, ma prima di arrivare al punto C deve prima passare per un punto D, e così via all'infinito.
Con tale argomento Zenone non vuole negare la realtà del movimento, ma piuttosto mostrare le grandi difficoltà che si incontrano quando si vuole fare una rigorosa analisi logica dell'esperienza sensbile - vuole, insomma, ribadire ancora una volta la distinzione fra to eòn e ta eònta.
Veramente la risposta al paradosso è semplice quanto complessa , bisognerebbe tornare indietro alla leggenda dell occhio di horus , nel caso in cui volessimo completare l ' occhio , in questo caso la gara , dovremmo aggiungere un altra frazione uguale alla più piccola a quella presentata fin ora , a quel punto vincerebbe achille poichè è quantisticamente , fisicamente , chimicamente , logicamente e razionalmente IMPOSSIBILE. Quindi non è un paradosso
Perché dobbiamo moltiplicare tutto per 2???Cosa rappresenta nella realtà, visto che il tempo di Achille e tartaruga non viene moltiplicato??? Questo sembra un trucco matematico per risolverlo il paradosso ma nella realtà il paradosso rimane perché il tempo, cosi come lo spazio da percorrere si può dividere al infinito. La domanda che risolverebbe il paradosso è il fatto se esiste l'infinto nella realtà o no, una risposta che non potremo mai sapere.
Io lo sapevo che zenone si era fatto di qualche sostanza prima di esporre questi paradossi
Il canale è molto bello, parla di cose interessanti e curiose che non vedremo mai in TV. Fortuna internet.
Basta studiare un po'
@@l.p.4176 Queste cose me le raccontava un amico che le studiava al liceo. Ho frequentato l'istituto per geometri, tutt'altra materia. Avevo altro da studiare.
@@gianpierocavallo8660 beh non dicevo studiarle per scuola
Il tempo è tiranno, purtroppo non si può leggere e studiare tutto.
@@gianpierocavallo8660 certo leggere un libro sarebbe meglio che continuare a leggere i commenti sotto i video di TH-cam... Lo dico per entrambi ma più per me che per te😂
grazie DanieleMS hai spiegato in modo eccellente la soluzione della serie, averceli prof di matematica così, anche la musica di sottofondo contribuisce ad un approccio meno "angosciante" ad un problema di math, ottimo!!!!!!! ai miei tempi al liceo il pardosso del piè veloce Achille fu presentato ma non spiegato dov'era l'inghippo, così siamo rimasti col mal di stomaco per quache decennio ah ah ah
+Enrico Lantero Grazie mille per il supporto, non sono un professore di matematica e non mi spaccio per tale, sono un semplice studente di ingegneria che voleva illustrare la risoluzione di una serie geometrica.
Grazie mille ancora.
-Daniele
al minuto 3:19, quando moltiplichi tutto per due, al secondo membro non dovrebbe essere 2 che moltiplica 1+1/2+1/4+1/8 ecc..?
@DanieleMS
Migliorati, perché solo chi lo conosceva già lo ha capito davvero
Il calcolo è privo di senso. Se abbiamo S=S e moltiplichiamo x2 avremo 2S=2S, quindi non si può fare 2S-S=2 come mostrato nel video
Considerando la logica odierna è ovvio che achille impiegherà 2 secondi a raggiungere la tartaruga per poi superarla, se però ci basiamo sul paradosso di zenone considerando intevalli di tempo sempre più piccoli (1/4 di secondo,1/8 di secondo, 1/16 di secondo e cosi via) è naturale che riducendo il tempo dello scatto di Achille frazionandolo con valori sempre più bassi tende a infinito, dato che i numeri sia in senso positivo che negativo tendono all?infinito, è come cercare la misura in centimetri, poi in millimetri, pi in nano millimetri ecc....
La risposta al paradosso è ovvia: Zenone aveva fumato xD Se solo qualcuno gli avesse fatto notare che la matematica non è un'opinione, oggi non perderemmo tempo con questioni fuorvianti, oltre che inutili.
Paradosso insensato.
Meno male che ci sei tu che ci illumini la via.
+Nicola Simonetti Ahahah, prima di dire così studia la filosofia e poi ne parliamo!
Ma ha ragione,é insensato questo paradosso
CMNIK 1501 serie. Geometrica. Altro che filosofia hahahha
Purtroppo devo darti ragione. Non ho mai concepito questo paradosso. Non vi trovo nulla né di sensato né tantomeno di filosofico.
Mai sentito spiegare così male il paradosso di Achille e della tartaruga. Enunciato così il paradosso, è evidente da subito che nessuno potrebbe mai crederci...
Un paradosso in matematica non è altro che un teorema che non si è in grado di comprendere/dimostrare; se lo si dimostra (in modo rigoroso e con una teoria solida) non sarà più un paradosso. Le affermazioni riportate sono interessanti a livello divulgativo; c’è tuttavia da osservare il metodo che viene utilizzato per calcolare la serie geometrica è valido a patto che la ragione della serie (in questo caso 1/2) sia minore di 1. Nello specifico ciò è pertanto vero, ma, in generale, le somme infinite vanno maneggiate con cura. 😊
è interessante vedere come zenone non conoscesse le serie geometriche, probabilmente il suo ragionamento deve essere stato "la somma di infiniti numeri deve essere infinita, quindi il tempo risulterà infinito", siamo davvero fortunati a vivere nell'epoca moderna.
A livello matematico è tutto corretto, ma vedendo che zenone rapportava due corpi nel essere immobili di conseguenza il movimento era di una frammentazione dello spazio, non un movimento, e dato ciò, la tartaruga sarebbe avanti ad Achille nonostante la velocità
Per me semplicemente si era bello che drogato.
Credo che Zenone non ragionasse sulla velocità ma sulla distanza. Se la tartaruga parte con un vantaggio di 10 metri, Achille prima di poterla raggiungere dovrà coprire metà della distanza (5m), poi dovrà coprire metà della distanza rimanente (2,5m) poi ancora la metà (1,25m) e poi gli rimarranno 62,5cm e poi 31, 25cm e poi 15,625 e poi...
Dato che nessun numero diviso 2 darà mai come risultato 0, Achille non arriverà mai a distanza 0 e quindi non raggiungerà mai la tartaruga.
Zenone non era uno stupido e sapeva quanto poco vada una tartaruga; voleva semplicemente far riflettere sulle stranezze dell'infinito.
100 metri in 10 secondi, 90 metri in 18 secondi. Logicamente perde la tartaruga perché la gara era prestabilita con una distanza finita, questo paradosso è solo un modo per complicare le cose.
A 3:49 non ho capito perché se al doppio di S sottraiamo S otteniamo 2, dovremmo ottenere S (1+1/2+1/4 ecc.), cioè è una sottrazione errata.
Infatti quello è un passaggio scorretto, bisogna prima dimostrare che la serie converge, cioè che non è infinita, e poi quel passaggio diventa valido. Se fosse stata una serie divergente sarebbe venuto sbagliato
Manca un parametro fondamentale"lo Spazio" mettiamo pure che i due concorrenti possano viaggiare con un moto rettilineo uniforme se il percorso è inferiore a 20m sarà sempre la tartaruga a vincere!!!
No
è solo un modo sbagliato di fare i conti
Non è un vanto ma io a 4 anni avevo fatto lo stesso ragionamento (circa) pensando al dimezzarsi un dito e siccome avevo visto un film su Galileo Galilei e sul metodo scientifico quindi per provarlo aoiei presi un coltello ma vista la mia poca far a non riuscii a tagliarmi il dito e i miei arrivarono perché mi sentirono piangere dal dolore
Da quando ho studiato per la prima volta questo paradosso ad ora ho sempre avuto la stessa considerazione, di scrivere "achille" e "tartaruga" su due fogli della carta igienica e lanciare nello sciacquone prima la tartaruga e poi achille
Ma scusate l'ignoranza e la poca fantasia con cui approccio questo paradosso ma Zanone non ha pensato che i due corpi " abbiano un accelerazione ? O più generalmente Achille aumenta la velocità man mano che va avanti correndo ?
Zenone s'era fumato un cannone!!!
Quando al liceo ho sollevato questo mio dubbio con relativa spiegazione al mio, allora, prof di Filosofia sono stato preso per scemo dallo stesso con relativa risata dei compagni.
Che bella la scuola Italiana.
L'errore di Zenone sta nel pensare che in questo modo la tartaruga possa tagliare il traguardo.
Secondo me Zenone da un sacco di tempo si fa un sacco di risate alla faccia dei boccaloni!
io conoscevo un'altra versione ancora più paradossale:
per andare dal punto A al punto B dobbiamo attraversare tutti i punti di un segmento, quindi bisognerà prima raggiungere il punto C che sta a metà fra A e B. a questo punto abbiamo un altro segmento AC che dovremo attraversare nello stesso modo, quindi passando prima per il punto D posto a metà fra A e C, e a questo punto avremo da attraversare il segmento AD e la storia non finisce più.
stando alla geometria che ho imparato alle elementari, in un segmento esistono infiniti punti, quindi questa divisione del segmento AB va avanti all'infinito!
c'è un errore perché dai ad Achille solo mezzo secondo a volta e invece alla tartaruga gliene dai uno intero
Perché se no il video non veniva...
ecco perché gege ha detto di guardare achille e la tartaruga per capire il minimo infinito di gojo nel manga
Io direi che dividendo la distanza percorsa da Achille 10m, 5m, 2.5 m la sua velocità nel raggiungere uno spazio minore raddoppia, quindi dividendolo per un numero infinito di volte Achille coprirebbe lo spazio dado in 300.000 km al secondo velocità alla quale il tempo dilata e si ferma. Muovendosi senza tempo la tartaruga è battuta
Essenziale zenone ha sparato una cazzata colossale, la mia profe di fisica lo lincerebbe
Verameeeeente...no
Da pochi giorni ho scoperto questi paradossi e devo dire che attirano un sacco anche se alcuni sono molto banali come questo
è banale? Se non conosci la matematica alla base del ragionamento, non puoi spiegare come la somma di infiniti intervalli di tempo sia finita. La matematica che sta alla base della spiegazione non è proprio quella che fa parte della cultura generale e fu formalizzata tempo dopo la creazione del paradosso.
E' banale perchè ci si dimentica di specificare che Zenone,voleva dimostrare,non attrverso la sua immaginazione,bensì in modo razionale,quanto la realtà fosse solo un'illusione.
Ogni segmento può essere diviso in ulteriori segmenti,all'infinito (salvo dimostrare che esista qualcosa di indivisibile )e per superare un insieme infinito di segmenti,occorre un tempo infinito. Ergo,Achille ,non raggiungerà mai la tartaruga !
Ma la nostra esperienza sensibile ci dice il contrario : perciò è una illusione !
Il povero Zenone,dopo millenni di stupidi spernacchiamenti,ha finalmente trovato soddisfazione nel principio di indeterminazione di Eisenberg
Io dico solo una cosa. Se avessi fatto io un ragionamento del genere alla mia prof di matematica e fossi giunto alla conclusione che la tartaruga avrebbe vinto la gara, come minimo mi avrebbe preso a calci in culo... però l'ha detto Zenone quindi...
La differenza è che tu vivi nel XXI esimo secolo in cui la scienza è affermata. Ma comunque questo si studia solo come storia della filosofia in relazione a ciò che diceva Parmenide, lo sanno tutti che è un paradosso falso. È più una cosa storica.
se l'obbiettivo è raggiungere la tartaruga, c'è uno sviluppo, se l'obbiettivo è chi arriva per primo in fondo al traguardo ce n'è un altro
L'unica spiegazione era che Zenone avesse esagerato con l'idromele.
Hai una bella voce
Il bello è che ci perdevamo pure tempo a studiare queste minchiate dei filosofi e ci si sforzava di capirle! È come se il primo minchione spara una minchiata, e la gente è costretta pure a doverla studiare! 🤣🤣
Paradosso di Zenone, per gli amici limite
È un problema che mi sono posto alle elementari e ho risolto poco dopo .... Semplicemente matematica solo che questo finisce non appena si raggiungono i 3 sec mentre se si dice che Achille dimezza la propria distanza dalla tartaruga ogni secondo questo problema duro all' infinito
Fatto in filosofia che ricordi
Esattamente. Secondo Zenone, "banalmente", per passare da un punto all'altro bisognerà sempre passare per la sua metà. Questo vuol dire che bisognerà passare anche per la metà della traiettoria che va dal punto alla prima metà. In questo modo per raggiungere una metà bisognerà sempre passare per la metà antecedente rendendo impossibile raggiungere il secondo punto, ovvero il movimento stesso.
@Angelo Cuffari in altre parole, per passare da un punto A ad un punto B dovrai passare per la sua metà C, ma dal punto A al punto C dovrai passare per una ulteriore metà di percorso, e così via. In questo modo il soggetto non raggiungerà mai il punto B, perché costretto all'infinito a dover raggiungere le continue metà.
Non è proprio così dato che il tempo considerato dovrebbe essere sempre minore e non si arriverebbe a concludere la gara
Ma questo non è mica il paradosso di Zenone. Secondo me, per arrivare alla soluzione dei 2 secondi si faceva prima in questo modo, supponendo che viaggino di moto rettilineo uniforme. Calcoliamo la distanza percorsa da Achille in funzione del tempo di incontro t:
XA = vA * t
Lo spazio percorso da Achille nel tempo di incontro t sarà quindi il prodotto della velocità per il tempo di corsa. Analogamente calcoliamo lo spazio percorso dalla tartaruga in funzione di t:
XT = vT * t + 10
Stessa cosa del primo calcolo ma ovviamente con l'aggiunta del vantaggio iniziale di 10 metri. Infatti al tempo 0 la tartaruga si troverà già a 10 metri. Ora però sappiamo che lo spazio percorso da Achille e dalla tartaruga (col vantaggio dei 10 metri incluso) sarà lo stesso quindi possiamo uguagliare i due spazi percorsi:
XA = XT
vA * t = vT * t + 10 m
Troviamo t:
(vA - vT) * t = 10 m
t = 10 m / (vA - vT)
Sappiamo però quanto valgono le velocità di Achille e della tartaruga cioè 10 m/s e 5 m/s e quindi andiamo a sostituire i valori:
t = 10 m / [(10 - 5) m/s] = 10 m / (5 m/s) = 2 s
Secondo me era più intuitivo in questo modo invece di scomodare le sommatorie
Nella sottrazione di "S" manca un sedicesimo pertanto il risultato della somma non è 2 bensì 2 meno un sedicesimo, pertanto, anche se di poco, Achille non ha raggiunto la tartaruga. In effetti facendo la somma 1+ 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 non da 2 bensì 1,94 circa.
la somma 1+1/2+1/4+1/8 non si ferma dove mostra il video ma ha "+..." che stanno a indicare che la somma si protrae all'infinito, S è la somma di frazioni infinite. moltiplicare per 2 e poi sottrarre S è il solo modo per risolvere questa somma, il cui risultato è 2.
BRAVO LA DIZIONE È MIGLIORATA MOLTO
Gentile giovanotto,
prima considerazione: se hai una somma numerica di infiniti termini, in matematica non puoi applicare la proprietà associativa. Tu mi dirai, ma la successione converge, ha un risultato finito.
Certo, ma tu questo lo sai dopo, è ex post. Da ciò deriva che il tuo ragionamento, oltre a non essere valido, è anche circolare (spero tu sappia cosa vuol dire). Per fornire una corretta chiarificazione del paradosso, è consigliabile rifarsi a Parmenide, maestro di Zenone, alla sua ontologia, al fatto che "l'essere è e non può non essere, il non essere non è e non può essere": bisogna partire da lì e solo seguendo questo percorso, si può argomentare in modo adeguato.
Quindi, il consiglio di un anziano, ma molto anziano come il sottoscritto, è: ti prego, trattiamo con un doveroso rispetto discipline come la matematica, la metafisica e la logica. Il mio obiettivo non è provocare, ma se qualcuno, e ci sarà di sicuro, leggerà queste mie argomentazioni con un certo risentimento o disappunto, lo prego di confutarle (è una pratica socratica sempre efficace). Saluti
Questo paradosso, però, non è fatto per essere risolto ma è stato formulato per dimostrare l'infinita divisibilità di una retta.
Ma in questa gara immaginaria perchè Achille dovrebbe raggiungere la tartaruga se la raggiunge dopo 2 secondi e la distanza del doppio in 3 è vincerebbe quindi la gara come normale che sia?
Paradossi forzati e dove trovarli, anche se matematicamente ci stanno
La logica di zenone è sostanzialmente quella per utilizzata per descrivere gli asintoti
Zenone non sa contare insomma
Ok che è un video vecchio, ma ci tengo a dire la mia. Il ragionamento di Zenone è giusto, ma limitato, adesso mi spiego.
1: Se si prendesse una calcolatrice REALE e si provasse a fare la somma dei tempi (1/2+/14+1/8.....) si può vedere che il numeratore è sempre un valore in meno del denominatore, quindi applicando l'algebra si può scrivere che (x-1/x) +(1/2x)=2x-1/2x, dove x corrisponde 2 elevato ad un numero naturale. Questa equazione rappresenta il calcolo che si va a fare quando si va a fare la sommatoria dei tempi, e semplificandola si ottiene 0x=0 (indeterminata), ovvero per qualsiasi potenza di 2 vado a mettere il risultato sarà sempre un numeratore che vale uno in meno del denominatore.
2: Ora si può prendere una calcolatrice "scrausa" come quella del telefono, l'importante è che dia il risultato lineare e non in frazione. Ora se si prova a fare la sommatoria ci si può accorgere di una cosa, ogni volta che una cifra decimale/frazionaria diventa 9, questa per quanto si vada a sommare non cambia più (se si va troppo oltre la calcolatrice approssima quindi potrebbe sembrare non vero). Questo è dimostrabile da una cosa, il fatto che nella formula di prima applicata nella calcolatrice scientifica ho confermato che il numeratore sarà sempre più piccolo del denominatore di 1, quindi il risultato non arrivebbe mai ad uno ma si avvicinerebbe sempre di più. Quindi si può confermare che più si va avanti più il numero sarà vicino ad uno e che le cifre decimali scaleranno ogni volta che queste raggiungono il 9.
Cosa accade: Ma quindi cosa serve tutto il resto prima? Bhe se noi prendiamo la S usata nel video sarebbe la somma di tutti i reciproci delle potenze di 2, quindi con infiniti termini. Ma se effettivamente nel secondo punto ho dimostrato che il valore scala ogni volta che una cifra decimale raggiunge 9, ponendo una somma infinita ottengo un numero che possiamo dire particolare, formato da INFINITI 9: 0,9 periodico. C'è solo un problema questo numero "non esiste", infatti sfruttando la frazione generatrice si ottiene che quel 0,9 periodico in realtà vale 1. Nel mio esempio non ho contato quel metro della tartaruga, altrimenti il risultato sarebbe stato giustamente 2.
Conclusioni: Perciò Zenone ha fatto tutto giusto, ma ha dimenticato la cosa più importante, ovvero che la somma è di infiniti termini, quindi avrebbe risultato un numero "infinito" proprio come un ipotetuco 1,9 periodico che il realtà sarebbe come 2.
Voi cosa né pensate?
Vorrei far capire da dove arriva la formula che ho usato.
Praticamente avevo notato che la somma di tutti i reciproci delle potenze di 2 mi davano a denominatore l'ultima potenza di 2 sommata ed a numeratore il valore precedente, quindi ho formulato un ipotesi.
Se x=2 elevato ad un numero naturale prendo ogni potenza di 2 che voglio:
x-1/x sarebbe come esprimere il risultato precedente, quindi la somma di tutti i numeri fino a quello scelto
1/2x è come dire il reciproco della potenza di 2 successiva perché una potenza sarebbe una serie di moltiplicazioni quindi moltiplicando un'altra volta ottengo la potenza successiva: se x=4=2^2 allora 2x=2*4=8=2^3
x-1/2x è il risultato che mi aspetto come ho spiegato prima
Quindi (somma dei precedenti fino al valore scelto)+(numero successvo)=(somma dei numeri fino a quel punto)
(x-1/x)+(1/2x)=(x-1/2x)
Infatti se si semplifica la formula si ottiene 0x=0 quindi che per ogni valore inserito il risultato sarà sempre corretto
Vorrei precisare che all'inizio ha fatto vedere che Achille avanza in mezzo secondo di cinque metri e la tartaruga in mezzo secondo sempre di cinque anche se doveva avanzare solo di 2.5
Achille ha una velocità lineare di 10m/s e la tartaruga 5m/a non ad intervalli quindi zenone nel primo secondo arriva a 10m lei a 15 in un altro secondo lui va a 20 e lei a 20, poi lui va a 30 e lei a 25 e ha già superato la tartaruga se lo spazio da percorrere fosse 19.9 periodico metri la tartaruga vincerebbe, se invece lo spazio da percorrere fosse più di 20 vincerebbe Zenone, siccome lo spazio è 100 metri achille impiega 10 secondi a terminare la gara, invece la tartaruga deve percorrere 90m e ci mette 18 secondi.
Insomma io avrei tifato per la tartaruga per niente? Ci avevo scommesso su un bel po' di eurini. SNAI la dava a 4! 😞
Digli a Zenone di farsi meno canne 🤣🤣🤣🤣🤣🤣
e da questa storia che nascono le gare illegali tra piloti...da qui nasce anche la differenza tra il dire e il fare..perché non importa cosa c'è scritto sulla carta vince solo chi taglia per primo il fottuto traguardo :)
Molto strano sto paradosso
Sono d'accordo con Zenone e tutto il resto, ma S non può fare 2. S è una somma di infiniti termini; anche se vai a moltiplicarla per 2 e dopo le sottrai S, avrai una differenza di infiniti... Quella che in matematica rappresenta una forma indeterminata. Mi sembra di ricordare che il risultato sia pi^2 / 6 ed è stato dimostrato da Eulero nel '700
Bolt mi da 10 metri di vantaggio su un rettilineo di 100m. La mia velocità media è di 5 km/h la sua è di 10km vincerebbe lui comunque
Non è questo il punto, il video è fatto male
dovrebbe riuscire anche quando con la mia Polo, vedo una Ferrari dietro dallo specchietto ;-)
Aaaahhh infarto
dovrebbe essere stato spiegato il concetto di limite
Il paradosso presuppone di poter dividere lo spazio in infinite parti, e ciò non è possibile. La fisica insegna c'è c'è una lunghezza minima detta "lunghezza di Planck" (le misure di Planck sono le unità di misura che descrivono le grandezze minime possibili). Questa lunghezza è 1.6 x 10^-35 metri. Per confronto, un atomo di idrogeno ha un raggio atomico di 5.3 × 10^-13. Cioé la lunghezza di Planck è più o meno piccola rispetto ad un atomo, più di quanto un atomo sia piccolo rispetto al sole. Molto piccolo, ma non infinitesimale. E senza tirare in ballo la fisica, se lo spazio fosse suddiviso in infinite parti niente si potrebbe muovere perché dovrebbe percorrere infiniti punti di spazio per raggiungerne un altro. Quindi non è che Achille avrebbe perso, non sarebbe neanche partito 😂. Il fatto che invece possiamo muoverci è la prova che la realtà non è una retta, e non è formata da infiniti punti.
Capisco questo paradosso, ma perché non funziona nella realtà? Perfavore rispondete
Perché, come dice anche nel video a partire dal minuto 2:20, é matematicamente dimostrato che una serie, anche se infinita, può convergere verso un risultato finito che nel caso di 1+½+¼+⅛+... é 2. Quindi Achille dopo tutti quegli infiniti intervalli di tempo raggiunge comunque la tartaruga. Così nella realtà: tu puoi idealmente tagliare a metà un foglio di carta e continuare a farlo all'infinito (facciamo finta si possa fare) e poi ottieni tutti questi infiniti pezzi di carta a mano mano più piccoli. Non dici che adesso tu hai carta infinita da poter bruciare, perché la somma ti tutti quei pezzetti fa sempre 1 foglio da cui ½+¼+⅛+...=1 foglio (vedi che da questa equazione puoi aggiungere 1 ambo i membri e ottenere la serie del video uguagliata a 2)
10 m/s 100 m in 10 secondi
5 m/s 90 m in 18 secondi
achille supera la tartaruga e aspetta anche per 8 secondi
Si però se facesse per i cavoli suoi
Zenone ha torto
Mi sono da poco iscritto al canale per paradossi molto interessanti, ma questo video mi fa sorgere il dubbio di continuare ad essere iscritto.... questo paradosso viola le leggi della fisica e della matematica.... la serie geometrica è stata scoperta da mò
Alla fine il quesito si risolve dicendo che Achille non fa la corsa per vincere ma per raggiungere la tartaruga quindi visto che non c'è un intento di vincita è ovvio che vince la tartaruga. Correggimi se sbaglio