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- เผยแพร่เมื่อ 17 พ.ย. 2024
- 【 難易度：★★☆☆☆ 】
2014年の星野学園中学の入試問題です。
▼重要な解法ポイント
①まずは前提条件の確認から進めていきましょう。直角二等辺三角形から長さが分かると思います。次は一番上の頂点から向かい合う辺に対して垂線を下ろしましょう。同じ形の図形が見えてくるはずです。
②同じ形の図形の対応する辺の比からどんどん分からなかった辺の長さの比が次々に出てきます。これで全ての図形の面積比を求めることができる、求める部分の面積を算出できるはずです。
簡単そうに見えて意外と面倒臭い問題だったように感じます。
高さが等しい二つの三角形の底辺の長さの比が面積の比になることを理解できていれば比較的単純に解くことができた問題なのではないでしょうか。
ぜひ正解したい1問です。
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#中学受験 #算数 #図形
8cmの中点から直角に補助線を引いて
台形（4+10）×8/2=56
から三角形4×4÷2=8
を引けば48cm²
同じです。でも、面積比も勉強になります。
完全にこれ。
面積比も知っておく必要はあるが、この問題では台形－直角二等辺三角形でめちゃ簡単にとけるのに回りくどい解説をするのだろうと思ってしまった。
説明する側はちゃんと検討してないのかな。別解として用意しておくのが親切。
底辺１０cm高さ８cmの三角形と底辺４cm高さ４cmの三角形に分けて解きました。高さは右の直角二等辺三角形を半分にするとわかります。48㎠になりました。最初は動画のように面積比で解きました。
私も底辺10,高さ8と底辺4,高さ4の三角形の合計として計算しました。
小さな二等辺直角三角形を更に直角二等辺三角形半分にすると、4×4×1/2=8…①
この直角二等辺三角形と斜線部分とは台形を作るから、
この台形の面積=
(4+10)×8÷1/2=56…②
∴②-①=56-8=48
台形派が多くてびっくりしました😮
自分は出題者の想定解は面積比2回だと思いました。
①大きい直二の頂点&求める四角形の底辺に対角線引き、大きい直二を2分割
②2分割右側の三角形について
白部分の面積は8×4÷2=16→赤部分の面積は底辺8:4の面積比より8
(白部分=16、赤部分=8)
2分割右側の面積は16+8=24
③2分割左側の三角形について
大きい直二の面積が12×12÷2=72なので
2分割左側の面積は72-24=48
白部分:赤部分の面積は底辺2:10の面積比より(白部分=8、赤部分=40)
2つの赤部分の面積を合わせた8+40=48
これかなと思いました。
台形は皆さんのコメントで気付きました。
この動画と近いですが、僕は底辺2:1を求める必要性はないなと思いました。
直角の頂点をA、底辺の頂点を左からB,Cとする。底辺と斜線部頂点の交点をDとする。DからACに平行な線を引き、ABとの交点をEとする。DEで三角形と台形に分割して、EB=8,AE=4,ED=8から三角形が(8-2)*8/2=24、台形が(4+8)*4/2=24となり、合わせて48cm2でどうでしょう。
示して頂いた解法が基本に忠実でアプローチしやすい解法ですね。
へそ曲がりな私目は求める四角形をもう一つの対角線で分けました。一つは直角を挟む二辺が４ｃｍと１０ｃｍ。２０ｃｍ²です。
もう一つのヘナチョコ三角形の面積は・・右側の斜辺８ｃｍの直角二等辺三角形の直角を挟む辺を「底辺」と見ることができます。そうすると・・
「高さ」は・・補助線を引いて・・１０ｃｍ＋４ｃｍ＝１４ｃｍの斜辺の直角二等辺三角形の「それ」と判ります。ヘナチョコ三角形の面積は
（１／２）ｘ８ｘ（１０＋４）ｘ（１／２）＝２８ｃｍ²・・合わせて４８ｃｍ²とへそ曲がり回答としました。
大きな直角二等辺三角形の頂点から四角形の対角線に補助線を引いて考えました。
斜辺8cmの直角二等辺三角形の面積は16cm2で、斜線の四角形の右側はその半分の8cm。それ以外の部分の面積は72−16−8=48cm。そのうち斜線の四角形の左側は48×10/12=40cm。
最後に斜線部分を足して48cmとなりました。
残業帰りの疲れた脳に優しい問題でした😊
右の直角二等辺三角形の直角部分から斜辺に垂線を下ろす。
動画と同様に大きな直角二等辺三角形の直角部分から右の直角二等辺三角形の直角部分へ補助線を引き求める面積を三角形2つに分割する。
そうすると求める面積は底辺4㎝,高さ4㎝の三角形と底辺10㎝,高さ8㎝の三角形の和となるから
4×4×1/2+10×8×1/2=8+40=48㎝^2
しかしこの問題は色々な解き方がありますね。
斜線部分の四角形をわかりやすい形にするとよさそうです
まず求める部分を大きな直角二等辺三角形の頂点から底辺と接している点に向かって線をひき、2つの三角形に分割します
次に底辺と接している点から大きな直角三角形の残り2つの辺に向かってそれぞれ垂線を引きます
そうすると角度と長さの情報から4センチ×8センチの長方形が作図できます
このことから分割した斜線部分の三角形2つが底辺10センチの部分の高さ（8センチ）と4センチの部分の高さ（4センチ）であることがわかるので
求める面積は10×8×1/2+4×4×1/2=48㎠と求まります
等辺が4cmの直角二等辺三角形を右上の4cm部分一致するようにくっ付けます。
そうすると、底辺が(2+10+4=)16cm、高さが8cm(半分)の直角二等辺三角形ができます。
面積は(2+10+4)*8/2=64(cm^2)です。･･･直角二等辺三角形の高さ(8cm)は底辺(16cm)の半分ですよね。
底辺が(10+4=)14cm部分の三角形の面積は14*8/2=56(cm^2)で、4cmの直角二等辺三角形の面積(4*4/2=)8(cm^2)なので、
斜線部分=56-8=48(cm^2)になります。
右の直角二等辺三角形を二等分して出来た直角二等辺三角形と斜辺部を合わせて台形を作りそこから付け足した直角二等辺三角形を引きました
よくある全体から残りを引く方法でも行けそうです。
全体は、そのまま12×12/2=72
右下の直角二等辺三角形は、斜辺を境界に2つ重ねると正方形になり、その正方形は2つの対角線が直角に4cmのところで交わる。
よって、8×4/2=16
左下の三角形は、2cmの辺を底辺とすると、高さは8cm。なぜならば、4cm+正方形の対角線の半分なので。
よって、2×8/2=8
したがって、72-16-8=48
一番手間が少ない解法だと思いました。
一番早いと思いました👏
斜辺がどちらも底辺から45度に上がっていくので、斜辺の長さの比は垂線を下したときの底辺の長さの比であり、片方の斜辺の長さの比はそうしてできた三角形の高さの比である。これは相似を使って説明できる。
すると右側の三角形は全体の1/3の底辺と2/3の高さを持っていて全体の2/9。左側の三角形は2/3の底辺と1/6の高さを持っているので全体の1/9。
求めたい部分は全体の6/9なので48㎠。
上底4㎝下底10㎝高さ8㎝の台形から底辺4㎝高さ4㎝の二等辺三角形を引いて、(4+10)×8÷2－4×4÷2＝48㎠
10*4/2の直角三角形とそれ以外の三角形にわける。「それ以外の三角形」を等積変形するため直角三角形の斜辺と並行な線を引き8cmとの交点をとり、全体を10*(4+(4+x))/2の三角形とする。10:4=4:x x=1.6 求める面積は10*(4+(4+1.6))/2=48 このように解きました。
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大きい直角三角形の面積
12×12÷2=72 -①
斜辺が8cmの直角三角形の面積
対角線が8cmの菱形の半分として
8×8÷2÷2=16 -②
底辺が2cmの三角形の面積
小さい直角三角形の直角の頂点から8cmの斜辺に垂線を下ろすと、斜辺と垂線の交点は二等辺三角形なので8cmの斜辺の中点となるため、底辺が2cmで高さが8cmとなるので
2×8÷2=8 -③
①-②-③=72-16-8=48㎠
台形でやる方が簡単かな🤔
動画の赤い線を上に延長して 左上の線の延長と合わせて大きな△を作ると 長辺１６ｃｍの直角二等辺三角形ができ 面積６４ｃｍである 後は 小さい三角形２つの面積をそれから引くだけ 片方は短辺４ｃｍの直角二等辺三角形だからすぐだし、左下のとんがった△は大きな△の16：２になるってわかるからこれもそれほど難しくない
自分は、斜辺が８㎝の三角形の面積を先に求めてしまってから（８×８÷２÷２＝１６㎠）
隣の４㎝の斜線の面積の一部である三角形の面積を比で求め（８㎠）
全体72㎠－24㎠＝48㎠、48㎠を5：1にすれば斜線の面積40㎠、残りの三角形部分を足して48㎠としました
動画の回答のほうがスマートですね
んー面白い😊格闘技を教わるのと同じですね、そのまま覚えるのではなく盗めと言われてるような、全体をよく見ろと、やっぱ数学とかプログラミングできる人はイメージに反して強い心と体を持ってるな🌱人生の勉強になる
これが一番速く分かり易いと思います。
補助線は同じですが1個1個面積出して足し算しました
先に面積比出して楽をするのはいつもやってるのに・・・
隣辺比で考えれば簡単じゃね？白地の部分は、2/3×1/6=1/9と2/3×1/3=2/9。よって、斜線部の面積は全体の2/3。
なぁに、
底辺12・高さ12の三角形から、底辺2・高さ8(=4+8÷2)の三角形と、底辺8・高さ4(=8÷2)の三角形を引いたら良い。
動画の最初の部分、直角三角形の相似比から1:2を求めるというのは不要だと思います
右下の直角二等辺三角形の面積を皮切りに問題で与えられてる8:4と10:2を底辺の比とする面積比だけで解けます
貴方が述べたいことを理解できますが、説明が足りないと思います。
大きな直角二等辺三角形の右辺側で高さ４共にする２つの三角形を得る。その一方として右側の小さな直角二等辺三角形として含むが底辺の4:8の三角形を見いだせます。
一方、大きな直角二等辺三角形の左側の辺で高さを８とする底辺を10:2の比で別けた三角形として見ます。比はいずれも赤い四角形に属する方を先にして表現しています。
そうすると、問題の面積は 比で計算する場合 1/2*12*4*4/12+1/2*12*8*10/12=2*4+5*8=48 、 辺比を底辺長とする場合 1/2*4*4+1/2*10*8=2*4+5*8=8+40=48
@yoshikohori2504
そこの部分（求める図形を2つの三角形にわける）は動画の中で解説されていますからわざわざ書く必要はありませんよね？
私が書いたのは動画の面積比を使った解法で解くのに冒頭部分が全くの蛇足という意味です
説明が足りないというなら「あなたが高さ4と表現してる部分に補助線を入れる」以上です
必要なのは1:2では無く1:3なのですから冒頭のやり方は無駄です
同じ形は見えたけど、近道しようとしたらいつの間にかルート使いそうになってました。なるほど、丁寧に比を求めていけば算数で解けますね。面倒臭がっちゃダメでした。
全体の面積出しといて、引いて言ったほうが楽だぞ。
直角二等辺三角形だから左の三角形の高さも簡単に出せるし
スッキリ！
動画にあるような比の考え方を用いなくても 容易に解決できる。
出題図の直角三角形の直角部とその等辺で構成する赤い四角形を内接する長方形を考る。
そうすると、長方形は長辺短辺は 左側で10、右側で8となる。
それは、左側の辺に対し問題の図形が出題図の直角三角形の斜辺との接点から垂線を下した点で長方形の辺を別けると上から4，6ｃｍ2となるからである。
そのことから 次のことが容易に言える。赤い図形以外の2つの直角三角形の内で 大きな方は長辺短辺は8、小さい方の二等辺直角三角形は二等辺が4
以上の条件から求める面積Sは S=8×10-1/2×8×6-1/2×4×4＝8×(10-3-1)=8×6=48 cm3
赤い四角形を、出題図の底辺にある四角形の接点から、大き直角二等辺三角形の右側の等辺と平行に左側の等辺に線を引いてその交点を考えると。
赤い四角形は 上辺４下辺8高さ４の台形 と 短辺６長辺8の直角三角形に分轄される。
従って 赤い四角形の面積Sは 次の通り S=1/2×(8+4)×4+1/2×6×8=24+24＝48cm2
気づけば、元の図形を元に平行線を補助線にするだけで、､ヒャーと解決､比の計算も、引き算も、必要なく、必死に考える暇や手間もいらなかった。