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- เผยแพร่เมื่อ 29 ก.ย. 2024
- 【 難易度：★★★★☆ 】
2012年日本大学豊山中学の入試問題です。
▼重要な解法ポイント
①まずは前提条件の確認から進めていきたいところですが、なかなかわかっている情報が少ないですよね。同じ形の図形を見つけたり、色々な所補助線を引いたりしてみましょう。
②補助線で大きな長方形を作ると、同じ形で同じ大きさの直角三角形を見つけることができるはずです。ここから長さの情報を書き入れることができます。
③次に大きな長方形の左上近辺に着目しましょう。この図形の中に、また別の直角三角形を見つけることができるように補助線を引いていきましょう。同じ形の図形の特性を使うと線分の長さの比を求めることができます。
④さらに、大きな長方形の縦の長さに着目すると、向かい合う辺の長さが等しいことから、AI＝CDであることがわかります。ここから具体的な長さをどんどん算出していくことができます。
⑤後は全体の面積から直角二等辺三角形以外の面積を引くことで、求める部分の面積を算出することができます。
なかなかに骨のある難しい問題でした。
作問者さんの気合いを感じますね。
正直難易度としてかなり高めの問題かと思いますが、「足りない部分を補ってみよう」という意識を持つとギリギリ解けるような難易度に設定されているかなとは思います。
ぜひ挑戦してみてください。
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#中学受験 #算数 #図形
どう考えても一意に求まりそうになく、おかしいなあと思ってたら、AG=6cmが唐突に出てきて、でしょうねえ、って感じ
説明中に何もなかったようにさらっと条件が追加されて笑った
普段サムネを見ないことが多く（通知から直接飛んでくる）、動画冒頭で止めて問題を解いてから動画を見始めているので、6cmに気付くまで条件足りなくない？と思ってました😇
同じく。冒頭の条件だけでは、様々な大きさの直角二等辺三角形ができてしまう。逆に、6cmがわかれば、辺比3：1と2：1の直角三角形で45度ができることは中学受験の常識だから考えるまでもない。
私もサムネイルだけで解くことが多かったので、
今回も(ですが、)うんうん唸っておりました。
あっさり6cm出てきて∑(๑º口º๑)!!となりました。
条件漏れ、わざとだろ。撮り直せばいいのに撮り直してないから。これはブロック案件だ。
方眼紙問題に帰結させた．1辺18cmの正方形を6cm×6cmの正方形9つに分割，左側縦3つ並び(6×18)の長方形の対角線と左下の横2つ並びの(12×6)の長方形の対角線のなす角は45度．これを利用して長さを次々と書き込んでいけば，正方形から飛び出た三角形を残すのみ．比合わせを行うと底辺7.5cm高さ9cmの三角形であることがわかる．1辺18cmの正方形の面積から3つの直角三角形の面積を引き，飛び出た三角形の面積を足せば202.5平方cmと求まる．
ほほう算数が得意なんでしょうな羨ましい
補助線をひけないですね。そこが一番難しいです。
左上の三角の面積を出すのが面倒だったので、台形FBCJから三角形2つ引いて出しました。
菅藤くん
日大「ぶざん」中ですぞ
正方形を６個並べてその中に直角二等辺三角形を作る問題の逆題。1:3の三角形１個と1:2の三角形２個。
AGが6cmということがどの流れで判断できたのかが分かりませんでした。
そもそも、点Eが辺CEの中点であることが問題文で言われていないのが疑問でした。これが言われていなければ、三角形BEFが一意的に定まらないのではないかと思ったのですが、見落としがありましたら教えて頂けないでしょうか。
サムネではAGが6cmとなっています。動画の前半部分は先生の書き忘れです。
作図上は、対角線IC上に点Gがあり各辺の長さを求められる。
しかし点Gの位置を論理的に説明できない、情けないけれど今回のような証明方法を思いつけませんでした。
どうしたんですか？髪の毛、金髪じゃないですか。
なかなか似合ってますよ。
最初の画像で止めて10分くらい考えたけど、点Eは線DC上のどこでも任意に取れるから問題として成立してないやんと思った。で、続きを見たら突然6cmの情報が出てきてガックリ。
ご視聴ありがとうございます。次回からサムネイル画像をご覧いただけますと幸いです。
これはムズい。
６√10を導いたが無理でした😅
どこでキレてんねん
唐突に出るAG=6cmよwwwww
それ無かったら絶対解けんわ。
同じ意見です。最初の数秒でこれでは解けないと、わかる無理ゲー。
元の問題文では三角形の縮尺が不明でもう一つ縛りが
ないと解けないと思ってたら6cmが抜けてましたか。
1:2の相似な三角形を見出すまでがキモですかね。あと、最後の引き算は分数でやりつつ、9の倍数がたくさん出てくるので、9の倍数で括って計算するとミスなく楽に計算できました。
これを解法テクニックゼロで本当に一から考えて10分以内に正解する小学生がいたらお友達になりたい😂
A-Gが6cmって何処から出てきたの？
C-D間の任意の点にEを取るなら面積は出ないと思いますけどね。
大人でも苦労した
これ、小学生が解くの？
まず、どうにかして直角に等辺三角形の底辺を出そうとしたが断念
まぁいろいろやって、解けないことはないけど
小学生の時にこの問題を解けない自信はある
面白かったけど難しかったです。
長方形を作って合同な三角形ができる所まではわかりましたが、KGの補助線が引けずIA=ECが導けませんでした。
悔しかったので、方眼紙の問題として解こうと試しましたが、Eの位置の特定ができず（∠GBEを45度にする線が引けず）断念しました。
補助線が必要で、記号の個数が凄まじいですね（Ｊまである）。
小学生の問題なの？
自分には無理です。。
.
7分迄６ｃｍ示されないと無数の直角二等辺三角形が可能
AG＝6cmが初めに条件として与えられています。
この問題を小学生が誘導なしで解くのは相当難しいですね。高校レベルなら、三角比（tan）を使えば一瞬なのですが…
th-cam.com/video/l6bWn2yi2Ko/w-d-xo.html
これを逆に利用してBC:CE=2:1=18cm:9cm
(27x27の正方形 - △BCE * 4)/2 = 202.5 としてみました。
AGがなぜ6cmなの？😥
それはもう条件です。サムネを見てください
はみ出た三角形がピッタリ収まるように
全体を長方形にしてやる。
線BEと線EFは同じ長さなので、
長方形化した右上に出来た三角形は、
三角形BCEと合同になる。
点Fから線BCに直角になる補助線。
点Eから線ABに直角になる補助線。点H
点Fから点Hに補助線。
補助線で出来た三角形も三角形BCEと合同。
長短比 2：1 の直角三角形。
長方形から3つの三角形を引く。解法1
パズル交換する。解法2（笑）
解法2をすると正方形の5/8だとわかる。
18x18x5/8＝202.5平方。
7分25秒で突然出てきた6cmがよくわからん。
サムネにも6cm表示あったけど、問題文にはないですね。
問題文が「図のように〜」から始まっているので元の問題にはサムネ同様図示されていたと思われ
つまり板書で書き込むのを忘れただけ
CE＝xとする。
△BCE≡△EJF、
△BAG∽△GKF。
x＝DJ＝FJ＝3KF。
18＝6＋x/3＋x、4/3・x＝12、x＝9。
S＝(9＋18)・27/2－18・9・2/2＝729/2－324/2＝405/2
最後の計算は、二桁のかけ算をやっていくよりも、比で解くほうが速く解けますよ。18×27の長方形に、9×18×½の三角形が6コ入っているので、求めるのは、18×27×1/6×5/2=3×27×5/2=81×5/2=405/2
分からなければ四角で囲うが定石
にちだいぶざん
正方形で角GBE=45°で
BA:AG=2:1 なら
BC:CE=3:1
E(18,9) F(27,9)
S=1/2*(27*18-9*9)=1/2*(9^2)(6-1)=1/2*81*5
//////
1/2*((18+9)^2-1/2*18*9*4)=1/2*(9^2)*(9-4)=1/2*81*5
よくある問題の解法を応用した別解です。
△BCEをBを軸に反時計回りに90ﾟ回転させてCをAに重ねて、回転後のEをE'とします。すると△BGE'≡△BGE(2辺と挟まれた角が一致)です。更に△BEE'≡△EFB(2辺と挟まれた角が一致)で直角二等辺三角形です。EE'とAB、BGの交点をそれぞれＰ、Ｑとすると、△E'QG≡△EQG≡△BQP∽△BAGで、すべての短辺:長辺=6:18=1:3です。
ＰからBGまでADに平行な直線PRを引くと△PQR∽△BAGなので、QR=①とするとQP=QG=③、QB=QE'=QE=QF=⑨、BR=⑨+①=⑩、BG=⑨+③=⑫となります。△BPR∽△BAGでBR:BG=10:12=5:6なのでAG=6㎝よりPR=5㎝、BA=18㎝よりBP=15㎝。△BPR=15×5/2=75/2 ㎠。△BQP=△BPR×⑨/⑩=135/4 ㎠=△EQG。BF=⑱=6×③=6×QGなので、
△EFB=6×△EQG=135×6/4
=135×3/2=405/2=202.5㎠となります。
もとの正方形の高さを直角二等辺三角形の上の頂点まで平行にひきのばして、長方形にする。二個の同じ形の直角三角形の短い高さを★とすると、ひだりの直角三角形の底辺と高さの比は1：3なので、18引く★かける3が高さになる。正方形の一辺から★を引いた長さが二個の直角三角形の高さだから、二個の同じ形の直角三角形の直角をはさむ短い辺は9センチ。長方形の面積18×(9＋18)₌486からまわりの三個の三角形の合計283.5を引くと,直角二等辺三角形の面積は202.5㎠。
サムネから解きました。記号は動画の中と同じにしてみました。
まず、Gから辺BEに垂線。直角に交わった点をXとします。
Xを通り辺ABと並行な線を引き、辺ADと交わった点をY、辺BCと交わった点をZとします。
△GBXも直角二等辺三角形、また△GXYと△XBZは合同です。
△XBZのBZの長さをを「あ」XZの長さを「い」とした時に、
あ+い=18cm
あ－い=6cm
により、あ:い=2:1が出ます。この比が辺BC:辺ECです。これもこれで面倒でしたね。
同じく長方形を作って解きました。
縦と横と相似で連立方程式みたいにして長さを求めましたがKGに補助線を引けば簡単に長さが求まりますね。
長方形をかぶせると ＧＤ＝12㎝ ㋐＝ＣＥ、ＤＪ、ＪＦ，ＡＩと４か所にできます Ｆから垂線を下し 長さを③とすると左が① 右が③となります ①＝3㎝となり ㋐は9㎝です。
合同相似の三角形見つけるまではたどり着いてもそれ以上が進みませんでした
これを小学生に時間制限ありで解かせるんですね
eからabに垂線を引くと、求めたい三角形の内部の底辺は15とわかるので、15✕27✕1/2
なるほど。
△ABGとの相似で18:6=9:3より18-3=15㎝
この15㎝を共通の底辺として高さ27㎝ですね。
点EからFBと平行な線を引いてBCとの交点をLとする。三角形FBEを等積変形して△FBLを作れば解説の最後の三角形の面積の計算が１回で済みます。
髪色似合います
概ね同じ解き方で解きました
難易度星4…かなあ？
途中までは同じ解法でしたが、最終的にECの長さに記号をつけて連立方程式を解き、具体的な数字9を求めました。なかなか…なかなかにしんどかった
台形BCJFから2つの三角形の△BCEと△EFJをひけば、△BEF面積が出ますよね。
サムネの段階で、同じ補助線を引きましたが。あ=③に辿り着くまでが、長かったです。しかしソコに気付ければ、すぐ解けました。
小学生はIF＋IA＝18cmを見つけて解くんだと思う。
IF:IB＝①:③
線EC をxとすると
18-x:18+x＝1:3
18+x＝-3x+54
4x＝36
x＝9
線BC＝√81+324
＝√81+81×4
＝9√5
△BEF
＝202.5cm ²
中学生の範囲で解くのなら、点E(18、a)とすると点Fは(18-a、18+a)となる。直線FBとADが交わる点Gが(6、18)より
18=(18+a)/(18-a)×6
a=9
となる。これより
BE²=18²+9²=405
△BEF=(1/2)×BE²=405/2=202.5
中学生の時に見たかった
ＢＣと平行でＥを通る直線がＢＦと交わる点をＰとする。ＥＰの長さ（１５センチ）かけるＣＪ割る２で求める面積出る。
ちょっと手こずりましたがサムネから「目で解く」成功。最後は9の倍数だらけに着目して正方形との面積比で。台形は正方形の(3/2)*(3/2)/2=9/8倍。2つの小三角形は合わせて正方形の1/2倍。よって正方形の5/8倍=18*18*5/8=81*5/2=202.5。
めんどくさいけど分かったかも
ご視聴ありがとうございます！
①の長さを求める、直前の動画を思い出させる解法で、新たなパターンとして覚えれそうです。
おもしろかったー！！
同じ形の三角形と辺の比を使うのはわかったのですが
どうしても辺の比を代数的に使わないと正解にたどり着けなそうな感じだったので他のアプローチも考えてみましたが
いい感触のものは得られず、解説と同じ筋道で解答しました
今回は文章にするととても長くなってしまうので最終的な計算だけ表記すると18×27-(18×9×1/2×2)-(27×9×1/2)=202.5㎠になる、という風に求めてみました
直角二等辺三角形を囲っている3つの直角三角形のうち、1つは直角を挟む辺が1：3の直角三角形なので方眼紙上にこの図を描いたら残り2つの直角三角形は
直角を挟む辺の比が1：2になっているだろうと推測はできたのですがこれを簡単に証明する手段が見つからなかったのでこの方法は途中であきらめてしまいました
問題も解説の仕方もこばちゃん塾を彷彿とさせる見ごたえがある内容でした
こんばんは
小学生を持つ父で、このチャンネルで親子で勉強しよう！と最近見させていただいています。
とりあえず解いてみたのですが、ほんのちょっと違うやり方になりました。
BCEの三角形をEJFのほかにもう2つ並べて大きな正方形を作ります。そうすると中に解答と同じ形の二等辺三角形ができます。DAの線を左に伸ばすことで、二等辺三角形はBCEとABGともうひとつの三角形が組み合わさった形がわかります。
FからADへ垂線を引き、ABGと相似の三角形を作り、動画と同じ様な方法で3cmを見つけます。
そうするとBG：GFが2：1とわかり、BGEの面積はBCEとABGを足したものを1.5倍すれば良いことがわかります。
なので｛（9×18÷2）+（6×18÷2）｝×3÷2が面積となり、約分すれば煩わしい計算が少なくなります。
安直に同じ三角形を4つ作るという方法から入りましたがいかがでしょうか。