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分子と分母をxyで割って分母の相加相乗平均で最大値を求めるのがすぐ思い浮かんだ分母は4x/y + y/x相加相乗平均の大小関係より(分母)≧2√4=4等号成立は4x/y=y/x(2x)²=y²y=2xのとき最大値1/2理系だけど相加相乗平均で最小値か最大値求める方が簡単な気がする
自分もこれ
まあこれだよねむしろ微分に走ったら駄目なやつ
おなじー
x=rcosθ,y=2rsinθ(1≦r≦2,0≦θ
X=2x,Y=yとすると、対称式の問題になりますね。また、同次式で置いて分母を払うと、∃x;(z(x^2^+1)=x∧1/2≦x≦2)を変形することになりますが、z =0を場合分けしてzで割ることで、z≠0,∃x(x^2+1=(1/z)x,1/2≦x≦2)⇔z≠0,∃(x,y);(y=x^2+1,y=(1/z)x,1/2≦x≦2)となり、簡単な線形計画法の問題になります。
A(-4x^2.0),B(y^2,2xy)に対するABの傾きと見ます。この時傾きを大きくするにはx座標の距離をまず最小にしようと考えます。x=1は自明ですね。この時,B(y^2.2y)となります。あとは相加相乗でも二次関数として解いてもいいですね。
数Ⅰの範囲で解けました。2xy/(4x^2+y^2)=kと置く。k≠0のとき、式を変形してy^2-(2/k)xy+4x^2=0これをyに関する二次方程式として判別式Dで評価する。D/4=(1/k^2-4)x^2≧0x^2≧0より、(1/k^2-4)≧0よって、-1/2≦k≦1/2...①k=1/2のとき、x=1,y=2がこれを満たす。（他にも満たす解はあるがここでは1つ示せればよい)...②①、②より2xy/(4x^2+y^2)の最大値は1/2
相加相乗平均はどちらか一方向のみなんですよね。動画と同様に分子分母x^2で割ってy/x=2tanθと置くと、与式は(1/2)sin2θ
最大値を求めよ→逆数の最小値を求めよ→相加相乗平均 or 微分
視聴前だけど、2x/√(2x)^2+y^2×y/√(2x)^2+y^2に変形して三角比に落とし込んで解けば簡単かな
2xとyの和と差に置き換えても解けるかもと思った。和2t=2x+y、差2s=2x-yとする。x=(t+s)/2、y=t-s与式=(t+s)(t-s)/[(t+s)^2+(t-s)^2]=(t^2-s^2)/[2(t^2+s^2)]あとは、xとyの動く範囲(長方形)で、和2t=2x+y(長方形の対角線に平行)を固定しながら、差2s=2x-y(長方形のもう一方の対角線に平行)を0に持っていけることを説明できれば、最大値=t^2/[2t^2]=1/2(y=2xのとき)とわかる。
変数を分母に集めるという意味では自然な一手ですね
与式をkとおいて全体を4x^2+y^2倍してf(x,y)の関数と置いてx,yについてそれぞれ微分したものが等しくなればいいというふうに考えたらいけた
逆数とって最小にする問題だと思えばと2X/Y+Y/2Xの最小値だね。
x>0,y>0だから4x^2とy^2の相加相乗平均4x^2+y^2≧2√(4x^2・y^2)=4xyしたがって2xy/(4x^2+y^2)≦1/2
分母と分子をひっくり返して最小値を求めればいい。（相加相乗平均）。求めたらもう一度ひっくり返して、定義域を確認しておわり
分子と分母ひっくり返して相加相乗平均で最小値出して等号成立する場合を示したら30秒
久しぶりに見ましたが、珍しく簡単な気がしました。頑張れ受験生！！
微積はある意味、なにも考えなくても機械的に解けるものも多い。鬼門は、数1、2、A、B。こっちの方がむずい。
数III〜（西田敏行）浜ちゃん（三國蓮太郎）
与式が正になるので，逆数の最小値を求めました．
相加相乗平均やコーシーシュワルツを使うと簡単に解けますね。あと、偏微分までやりましたが、面倒でした。分母分子が同次なので、X^2で割って微分するのが平凡な解でしょうか。昔の東大でほとんど同じ問題がありましたね。
私も2x=X、y=Yとしたくなります。分母が整えば極座標変換したくなります。
y固定してxで偏微分でもいいね
動画で紹介されている2つの方法は思いつきましたが、コメント欄の解法の多様さを見ると、まだまだ気付いてない方法(e.g. 三角比や=kの置き換え)がたくさんあったんだと気付かされます。コメント欄に集まる大量の別解を学べることも、私がパスラボを見る大きな理由の1つです。
x^2で分母分子割ってy/x=kとおけばいいのかな？あとは相加相乗平均
前提条件の不等式は意味あるのか？(x, y正くらいで)分母は円なので三角関数と落とし込むとか
この形はいわば定石
x、yが0にはならないから2xyで割って(4x二乗+y)/2xyの最小値を求めるとかどうなんだろ数学苦手だったので自信無いけど
偏微分で解く発想は無かった.
yを固定とはどのような操作ですか？また、その後yを動かさなくていいんですか？？
ラグランジュで解こうとした
y^2で割るレジェンドに載ってたから解法暗記
分子と分母をxyで割って分母の相加相乗平均で最大値を求めるのがすぐ思い浮かんだ
分母は4x/y + y/x
相加相乗平均の大小関係より
(分母)≧2√4=4
等号成立は4x/y=y/x
(2x)²=y²
y=2xのとき最大値1/2
理系だけど相加相乗平均で最小値か最大値求める方が簡単な気がする
自分もこれ
まあこれだよね
むしろ微分に走ったら駄目なやつ
おなじー
x=rcosθ,y=2rsinθ(1≦r≦2,0≦θ
X=2x,Y=yとすると、対称式の問題になりますね。
また、同次式で置いて分母を払うと、
∃x;(z(x^2^+1)=x∧1/2≦x≦2)
を変形することになりますが、z =0を場合分けしてzで割ることで、
z≠0,∃x(x^2+1=(1/z)x,1/2≦x≦2)
⇔z≠0,∃(x,y);(y=x^2+1,y=(1/z)x,1/2≦x≦2)
となり、簡単な線形計画法の問題になります。
A(-4x^2.0),B(y^2,2xy)に対するABの傾きと見ます。この時傾きを大きくするにはx座標の距離をまず最小にしようと考えます。x=1は自明ですね。この時,B(y^2.2y)となります。あとは相加相乗でも二次関数として解いてもいいですね。
数Ⅰの範囲で解けました。
2xy/(4x^2+y^2)=kと置く。
k≠0のとき、式を変形して
y^2-(2/k)xy+4x^2=0
これをyに関する二次方程式として判別式Dで評価する。
D/4=(1/k^2-4)x^2≧0
x^2≧0より、(1/k^2-4)≧0
よって、-1/2≦k≦1/2...①
k=1/2のとき、x=1,y=2がこれを満たす。（他にも満たす解はあるがここでは1つ示せればよい)...②
①、②より2xy/(4x^2+y^2)の最大値は1/2
相加相乗平均はどちらか一方向のみなんですよね。
動画と同様に分子分母x^2で割ってy/x=2tanθと置くと、与式は(1/2)sin2θ
最大値を求めよ→逆数の最小値を求めよ→相加相乗平均 or 微分
視聴前だけど、
2x/√(2x)^2+y^2×y/√(2x)^2+y^2
に変形して三角比に落とし込んで解けば簡単かな
2xとyの和と差に置き換えても解けるかもと思った。
和2t=2x+y、差2s=2x-yとする。
x=(t+s)/2、y=t-s
与式=(t+s)(t-s)/[(t+s)^2+(t-s)^2]
=(t^2-s^2)/[2(t^2+s^2)]
あとは、
xとyの動く範囲(長方形)で、和2t=2x+y(長方形の対角線に平行)を固定しながら、差2s=2x-y(長方形のもう一方の対角線に平行)を0に持っていけることを説明できれば、
最大値=t^2/[2t^2]=1/2(y=2xのとき)とわかる。
変数を分母に集めるという意味では自然な一手ですね
与式をkとおいて全体を4x^2+y^2倍してf(x,y)の関数と置いてx,yについてそれぞれ微分したものが等しくなればいいというふうに考えたらいけた
逆数とって最小にする問題だと思えばと2X/Y+Y/2Xの最小値だね。
x>0,y>0だから4x^2とy^2の相加相乗平均
4x^2+y^2≧2√(4x^2・y^2)=4xy
したがって2xy/(4x^2+y^2)≦1/2
分母と分子をひっくり返して最小値を求めればいい。（相加相乗平均）。求めたらもう一度ひっくり返して、定義域を確認しておわり
分子と分母ひっくり返して
相加相乗平均で最小値出して
等号成立する場合を示したら
30秒
久しぶりに見ましたが、珍しく簡単な気がしました。頑張れ受験生！！
微積はある意味、なにも考えなくても機械的に解けるものも多い。鬼門は、数1、2、A、B。こっちの方がむずい。
数III〜（西田敏行）
浜ちゃん（三國蓮太郎）
与式が正になるので，逆数の最小値を求めました．
相加相乗平均やコーシーシュワルツを使うと簡単に解けますね。あと、偏微分までやりましたが、面倒でした。
分母分子が同次なので、X^2で割って微分するのが平凡な解でしょうか。
昔の東大でほとんど同じ問題がありましたね。
私も2x=X、y=Yとしたくなります。
分母が整えば極座標変換したくなります。
y固定してxで偏微分でもいいね
動画で紹介されている2つの方法は思いつきましたが、コメント欄の解法の多様さを見ると、まだまだ気付いてない方法(e.g. 三角比や=kの置き換え)がたくさんあったんだと気付かされます。コメント欄に集まる大量の別解を学べることも、私がパスラボを見る大きな理由の1つです。
x^2で分母分子割ってy/x=kとおけばいいのかな？あとは相加相乗平均
前提条件の不等式は意味あるのか？(x, y正くらいで)
分母は円なので三角関数と落とし込むとか
この形はいわば定石
x、yが0にはならないから2xyで割って(4x二乗+y)/2xyの最小値を求めるとかどうなんだろ
数学苦手だったので自信無いけど
偏微分で解く発想は無かった.
yを固定とはどのような操作ですか？
また、その後yを動かさなくていいんですか？？
ラグランジュで解こうとした
y^2で割る
レジェンドに載ってたから解法暗記