公理・定義・定理・補題・系とは何か
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- เผยแพร่เมื่อ 1 ต.ค. 2024
- 誰でも最初は混乱するよね
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2:46 「『パイ』っていう言葉はあまり良くないんじゃないですか」
…？
「歩は何故一つ前にしか動かせないか」と言う公理の例えで、「努力不足でないのか」と言う反応を示した所に、たくみさんの優しさを感じました。
いっぱい補題を用意して定理を瞬殺する流れが好きです。
なんかわかる
そこそこ手強い中ボス相手に有効な武具を一通り買い揃える感覚
わかる。凄い簡単なパズルのピース数個をはめるみたいな感覚
ホンモノですやん
本物草
個人的に頭がバグる漢字第一位は「衆」です。
系のイメージがうまく掴めなかったのでスッキリしました！ありがとうございます！
縦の系はあなた、横の系はわたし
織り成す系はいつもたくみを
惑わし得るかもしれない
林瑠奈とコラボとかちょっと、、 林瑠奈が羨ましいんですけど笑
😁
万有引力の公理は時間不変
相対性理論の公理は光速度不変
アインシュタインは公理である時間不変を疑ったからすごいよね
いくら実験計測しても光速度不変の法則が崩れなかったのが大きかったかな。
時間不変はガリレイ変換（古典力学）で、引力とは関係ない。
万有引力の法則は一般相対性理論でも引き継がれていますね。
ヨーロッパ人は学問を政治化して
イスラエル人は学問を宗教化する
という特徴があるからな
リーダーシップがなく自己主張が下手な日本の理系の人は簡単に騙されるから
その辺のことを意識したほうがいい
日本の理系とか田舎者のお上りさんしかいない・・・ｗ
@@AXlensen ？
ちょうど気になってた、ありがたい
乃木坂とコラボおめでとうございます🎉
高専4年生になってから「系」が急に出てきて，理解がめちゃくちゃふわついてたから助かる
どこ高専ですか？
@@スプリングドア てか高専ってだけで全国50校に絞れてるんだからよくね？
そこで言う系は別の意味で使われてる気が
1:10 なにか私怨を感じた
2:46 この問題は数学の核心を突いていると思った。
命題について
これには2つの意味がある
1.導かれるものとしての「命題」
定理のようなものだが、定理ほど重要でないもの。
2.数学的主張一般としての「命題」
この動画の5つの概念、1の意味の「命題」をひっくるめた数学的主張のこと。「命題論理」の「命題」がこの意味。
小中学校のころ、数学とは普遍で完全なものと信じてたから、
あくまで学んでたものは「ユークリッド幾何学」っていうひとつの公理系に過ぎない、それが成り立たない状況もあるって知った時、
「この世界はゲームの中のことだったんだ！！」的な脳みそぐるんってなるぐらいの衝撃を受けたの覚えてる
公理、定義、定理、補題、系、それぞれの意味がはっきりわかりました
なんでも意味の理解がふわふわしてると分からなくなりますよね
はさみうちの
＿人人人人人＿
＞ 原理 ＜
￣Y^Y^Y^Y^Y￣
ちなみに、はさみうちの原理は定理。
もしかして、俺がヒルベルト幾何学勉強してるの知ってこの動画投稿してくれたの？
パクゴラスはセンスの塊()
3:37
ツォルンの補題とか、伊藤の補題みたいに、補題のくせに定理よりよっぽど
重要な命題ありますよね
「伊藤の公式」とか「伊藤(の)積分」とか習ったけど、まとめて「伊藤の補題」と言うのですね。
これはたしかに大変興味深い事例ですね。
つまり補題の初登場の時点では、特定の定理を証明するための補題扱いだったものが、
歴史とともに、
いろんな定理の証明に利用されて、
むしろ最重要の定理になったが、
もとのネーミングを尊重してツォルンの定理と改名はされないわけですね。
系のほうが定理より重要である っていう事例もありますかね？
自分が思いつける範囲で系の方が良く使われる定理と言えば、
Dominated convergence theorem( en.wikipedia.org/wiki/Dominated_convergence_theorem )は
Fatou-Lebesgue theorem( en.wikipedia.org/wiki/Fatou-Lebesgue_theorem )
の系(後者から1行くらいで前者が証明できる)でより良く用いらる、と言うのがありますが、系の方もtheorem(定理)になっています。
代数、数論、幾何の方面はさっぱりなので何も思いつきません。
@@decidrophob ツォルンの補題はそういう事情ではないですね。名前に反して実は「公理」として提案されました。多くの数学者は「ツォルンの補題」は「公理」だと思っていると思います(「選択公理」と同一視している)。
ZF+「選択公理」とZF+「ツォルンの補題」は同値なので、、、、。このあたりの事情は「整列可能定理」について調べると出てくるかと思います。
正しい位置にreplyできない、、、、
違いが分かりにくいものをはっきりさせてくれるシリーズ大好きです！
ヨビノリあるある、黒板を写そうとして止めるとたくみさんだいたい半目
それ思ってた
しかも今5回やってみたら5回とも半目
個人的に一番頭がバグる平仮名は「ぬ」ですね
中学の時初めて証明に触れて定義と定理の違いがわからずにいつまでも悩んでいたからこれはマジで助かる
公理主義とか、公理主義が生んだ非ユークリッド幾何学が実は相対論に絶大な効果があった話とか、公理主義の歴史的前後にある数学・数理哲学の流れとか、ゲーデルの不完全性定理によってヒルベルトの願望が頓挫したドラマとか、ヨビノリさんの動画で聞いてみたいです。
また、上述のこととは別の系統の話題になるのかも知れませんが、数学基礎論の根底を掘り進めていくと、集合が論理を規定し、論理が集合を規定し、という相互規定している次元に至り、それよりも基礎的なレベルに降りることが出来ない、という話を聞いたことがあります。どういうことなのか、教えて下さいいいいいいいいい！
物理にも定義とか法則とかあって混乱する…
高校物理では
・法則や原理→公理、公式
・定義→定義、公式
・定理→公式
・性質→特徴的な振る舞い
何でもかんでも公式って名前で教科書は載ってるし，高校の物理の教師は，大学では科学専攻だったり生物専攻の人も多いからちゃんと教えられないのが多いけど，東進の苑田先生は，
・定理なのに定義だと勘違いして適用範囲を間違える人が多い
・定義をなんとか証明しようとして「〇〇時間考えたのですがわかりませんでした」と質問にくる人が一定数以上いる
と言っていました．だからこのエピソードを持ち出した上で，「これは定義です．」とか「これは〇〇から導出されます．」とか，「これは経験則（実験則＝公理）です」とかってめちゃめちゃ強調します．
一つ目の例は，等速円運動の速度の公式を非等速円運動の公式に代入するとかね．２つ目は，確か静電容量の定義かなんかを公式（定理）だと思った人がいたみたいのだった気がする．どっちの例も同じだったか自信ないけど，イイタイコトは，「定理と定義や公理を区別しろ」ってことで間違い無いと思う．
パイって言葉はあまり良くないんじゃないですかはワロタ
公式とか法則はどういう位置付けなんだろう？
系じゃないですか？『公式は全て（定理から）瞬時に導ける』某予備校のCMですｗ
公理が定まってない？
こうりゃ参った。
ためになるけど余談とか｢はい｣って画面に戻ってくる時がおもろいから好きです
いつもタイミングが絶妙なのよ
さんすうの、きょうかしょを、よんでいて、むずかしくてわからなかったので、かいせつしていただいてうれしいです。
中学、高校の頃に調べようと思ったけど結局調べなかったやつランキング4位かな
命題1⇒命題2のとき、命題1を「補題」にして命題2を「定理」にするか、命題1を「定理」にして命題2を「系」にするか、迷うときがある。気分や価値観によって、あとで変えたり。通し番号も分かりにくくなるので、（人名がつくもの以外は）もうすべて「命題」に統一するほうが好みになりました。
歴史的に、補題として証明されたのにそっちが重要になってしまって、事実上定理として扱うのに名前が「補題」のままというのがたまにあったりしますね。「ツォルンの補題」とか「ファトゥーの補題」とか。
余談ですが、数学教育にうるさい一松信氏の一部の本では、補題と書かずに「補助定理」にしてありました。
公理と定義の違いがずっとわからない
定義したものが存在するかどうかは証明すべきですよね？
well-defined性？
大学に入ったら数学が定理・補題・系ばかりでちょっとビビった記憶があります
中学校の数学において三角形の合同条件が公理として扱われていて
色んな定理の証明が循環論法になっている現状を動画にすると面白いと思います
（ついでに二等辺三角形の底角定理の厳密な証明をしてくれると有難いｗ）
中学の授業の時も定ギと定理の区別をつけろって言われたわ
実際定ギと定理ごっちゃになってたら大学で困ってたと思う
Systemの系かと思ったらCorollaryの系だった
定義と定理はしっかり分かってるつもりだったけど意外と分かってなかった
これは素晴らしい！35年前大学生になったとき、公理、定理、と書かれていて、どういう使い分けか戸惑いました。
2:42 おいこら
公理で思い浮かぶやつ
Eilenberg Steenrodの公理系
ここに辿り着く前に躓いたから、きちんと述べられないけど
場合によっては公理と呼ばれるやつ
開集合系の公理
系とξはマジで書きづらい
タイミング良すぎて泣ける
高卒中年のおぢさんですがyoutubeの中でどれか一つだけしか見れないとしたらこの「予備ノリ」です。
2:46「パイっていう言葉はあまり良くないんじゃないですか?」
おお・・・
けっこー何となく分かったつもりで読んだり書いたりしてる言葉の数々細木数子だ！🤪
要チェック📛❗️💥
似た体験として小学校の漢字テストで糸の"く"を３つくらい書いてしまった記憶がありますね。
数学読本を紐解いている人間です。証明のところで証明の方法や証明の条件みたいなもので理解が苦しんでいました。公理・定義・定理・補題・系という大前提が抜け落ちていたため、理解に苦しんでいるのだと感じましたので、とても助かりました。余談ですが僕は系と係の使い分けが全く覚えられません。一方では係数、一方では系。使い分けの法則性を僕には見出せませんでした。。。
箱の巣原理等の原理はどう位置付きますか？
系の書き方は、一画目をもう横棒にしちゃってるや
分かりみが深いです、
黒板の「系」って字が、「糸」に見えるｗ。文脈から判断して誤解はしないけれども。
2:34 たくみさんの直径が直径(？)
公理系と系は違うものなんですね、初めて知りました
ツォルンの補題は補題の中でも有名ですね
初見殺しのZorn
他に有名な補題といえば, 米田の補題, 蛇の補題, 5項補題, ウリゾーンの補題, 中山の補題...
系のイメージがイマイチ出来てなかったので助かりました。
流れに沿って考えると分かりやすくなるんですね…
学生の時に、これを見たかったです
最近動画が始まってから、「はい、どーもこんにちは〜」って言うまでの時間が昔より長くなっている気がする。
気のせいか。
5:10 『公』の字見てるこっちがバグりそうになる
補題の意味を勘違いしていました。系と同じような物かと。
Systemも日本語ではよく「系」と訳されることが多いと思いますが、Corollaryとはまったく違うと思います。
先日ムペンバ効果について調べていたら
「理論が示されていないのでムペンバ現象と呼ぶほうが正しい」
というような記述がありました。
物理の分野でもややこしい言葉の定義がありそうですね
小学校の算数でも、これは決まりです、これは決まりから導かれることです、と明確にしてくれれば「なんで分数の割り算は分子・分母を逆にして掛けるんだろう」とかで悩まなかったかも
公理の具体例出した方が良かったと思うで
なんとな～くでしか違いがわかっていなかったので勉強になりました！ありがとうございます♪
ビッグバンの定理の提唱者は見ているでしょうか。
高校数学の証明問題まとめお願いします！
現在、数学科2年生です。
とてもありがたい動画を
ありがとうございます。
何!?系とはSystemではないのか!
「公理が何で正しいのか」みたいな泥沼にハマって時間を浪費したかつての自分に見せてやりたい…💧
「命題」ってなんですか
丁寧だわ…
この人が解説すると知ってることでも面白く感じるのなんでですかね？
こうやって丁寧に解説してくれたあとで「数学楽しんでください」って言われたらちゃんと楽しめそうな気がしてくるw
アプリオリとかトートロジーとか突然頻出になる用語にも最初戸惑うよね
備忘録👏
【 公理 ＝ 議論の前提 】
【 定義 ＝ 定めたもの 】
【 定理 ＝ 公理から導かれる重要な文や式 】
【 原理 ＝ 直感的定理 】
公理と原理の違いについて。「原理」は基本的に物理学（正確には経験科学）の用語で、ここに数学と物理学の決定的な違いがあります。数学の正しさを保証するのは「公理」ですが、物理学の正しさを保証するのは「原理」ではなく「自然現象そのもの」です。物理理論は原理からスタートしますが、その正しさは自然現象の説明に適うという条件つきのものです。
定理と系の中間くらいの意味で、命題(Prop)もよく使いますね
なんか足りないなと思ったらそいつがいました
この動画では命題を定理とか系をひっくるめたものとして使ってない？
@@sei7970
おそらくそういう風に扱っていますね。
まあ、こんな風に書くこともあるよ、という紹介程度の気持ちです。
命題はちっちゃい定理(定理よりかは重要度が低い)ってことでいいんですかね？
定理は証明された命題
命題はただの主張
要は命題は真だろうが偽だろうがどうでもいい。大抵のケースでは話者は真であることを期待するだろうが、中には帰無仮説的に命題を設定するケースもあるだろう。
4:15 私は｢寿｣です。
系って、導かれるただ一つの定理のことを言うのですか？自分は連なっている命題の組のことを言うのかと思っていました。Wikipediaには系の以下のような定義が載っていました：
システム - 相互に影響を及ぼしあう要素から構成される、まとまりや仕組みの全体。
系 (自然科学) - 物理学や化学において、観測や解析を単純化するため、周囲の環境とは切り離して考えた部分空間のこと。
系 (生物学) - ある特定の機能に関係する器官の総称（消化器系など）。
系 (数学) -
system: 同時に成立する関係性の組（代数系、方程式系など）。
ルート系
corollary: ある定理から直ちに導かれる別の定理
とすれば、corollary以外にも系という訳語を当てはめられる対象がいくつかあるようですね。
系って初めて聞いた(大学四年)
刻もバグる
定義が成り立つ図形は定理も成り立ちますが、定理が成り立つ図形は定義も成り立つのでしょうか？ex.底角が等しい三角形は二等辺三角形である など
長文になります。
・「底角」という言葉は三角形が二等辺三角形であることで初めて定義できるので、少し言い回しを変えて話をします。
・「定義が成り立つ」という言葉は使わないと思うのですが、例から推測してここでは「三角形が二等辺三角形である」という命題を満たすことであると解釈させていただきます。
A:二等辺三角形であること
B:少なくとも2辺の長さが等しいこと
C:少なくとも2角の大きさが等しいこと
と略し、三角形をxとします。
「xがAを満たす」ということを、
「xがBを満たす」
ことであると定義します。
このとき、
「xがAを満たすならば、xはCを満たす」
という命題は成り立ちますね。これがコメ主の例で挙げられた定理です。頂角から底辺に垂線を引き、合同を言うことで示せますね。
これに対し、
「xがCを満たすならば、xはAを満たす」
は上の命題とは異なる命題なので、別途証明が必要です。
今回だと、xがCを満たすならば、xから等しい2角を選び、選ばれなかった角の頂点から、向かい合う辺に垂線を引き、分かれた二つの三角形が合同であることを言うことでxがBを満たすことを示せるので、定義よりxがAを満たすことを証明できますが、すべての定理でそのようなことが言えるとは限りません。
例えば、三角形に対して、「二等辺三角形ならば内角の和が180°である」も立派な定理ですが、「内角の和が180°ならば二等辺三角形である」は明らかに成り立ちませんよね。
2:25 円周率は3ですが
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305 488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091 736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989･･･
カヴァリエリの原理とかの「原理」も知りたい！
数学において｢原理｣と言われてるものは、大学以降は｢予想｣や｢定理｣に値するものになりますね
つまり本来は証明しなければならないものです
ただ、高校以下では図形的に直感的に成り立ちそうなので｢原理｣と名付けてたりするんだと思います(憶測)
原理という言葉は曖昧な使われ方をします。数学で出てくる原理（はさみうちの原理/鳩ノ巣原理など）は定理と同じ意味で使われますが、物理で出てくる原理（光速度不変の原理/等重率の原理など）は仮定と同じ意味で使われることが多いようです。
カヴァリエリの原理は提唱されたのが17世紀で、しかも樽かなんかの体積を求めるために編み出されたテクニックみたいなものなので、込められたニュアンスを汲み取るのはちょっと難しいかもしれません。現代的な視点では、微分積分学における定理と見なすことができるでしょう。
タクゴラスの定理wwwww
2:34 たくみさんの直径が直径(？)
4:18
「完全に余談」が本当に完全に余談で笑ってしまった
π（パイ）って言葉はあまり良くないんじゃないんですか？ マーク・ワトニー「(.)(.)」
物事を考える上でも、参考になりますね。
パイプ吸いながら美味な講義を観る 最高！
2:46 審議
公準…
「『決めごと』と『決めごとから言えること』の区別をちゃんとやりましょう」、という話です。小学生にも分かるように言うと。
数学と一般で意味がちょっと変わる単語の特集とかどうですか。例えば「高々」とか「コンパクト」とか。
系で頭バグるのめっちゃ分かる
公理系に登場する無定義用語の話は外せないと思う。これが紹介されていないのは若干残念。
乃木坂とコラボしてから登録者1万人くらい増えてる
アンパンマン
挨拶のため長くて無音だからイヤホン繋がってないかと思っちゃう