6:00 の補題の話ですね。 無限級数 A, B について、AとBの和とは、Cn = An + Bn としたときの無限和 Σ(Cn) と考えることができます。 ある項までの有限和が Σ(Cn) = Σ(An) + Σ(Bn) となることは理解し易いと思います。無限和は有限和の極限と考えられるので、有限和の場合と同様に無限和 Σ(Cn) の値は「右辺の足し算」として求められます。 もとの無限級数の各項を足し合わせる順序さえ変えなければ、無限級数同士の和を無限級数 C として考えることができるということです。 なお、無限級数 A, B がともに収束（絶対収束でなくてもよい）すれば、無限級数 C も収束します。
絶対収束って言葉だけでもちょっと厨二病心くすぐるのに、任意の実数に収束、発散もさせられるって素敵すぎる。
昔のアンサイクロペディアの「１＝２」の項の中に、交代調和級数の順序変更を使ったものが掲載されていたのを思い出しました。ゼロ割りを使わずに矛盾を導いていたので印象に残っています。
見に行ったらすごく面白かったです
留数定理が出てきたあたりで白旗でしたが🤔
あのサイトどの記事も教養とネタと知識が凄い
コメント見ただけでちゃんと検索までするの、知的態度が身についててすごいと思った（小並感）
俺も調べよ
直角三角形のパーツの並べ替えのやつ、仕組み知ってイラっとした
「お前はログニ勉強してないからそうなるんだ！」の0ボケで見切れてるの最高
log 2 = 1 - 1/2 + 1/3 - …
ですが、交代級数は収束が遅いのであまり使いません。そこで次のような工夫をします。
| x | < 1 に対する Maclaurin 展開を用います。
log( 1 + x ) = x - x^2/2 + x^3/3 - … …①
①の x のかわりに - x を代入すると
log( 1 - x ) = - x - x^2/2 - x^3/3 - … …②
① - ②より
log( ( 1 + x )/( 1 - x ) ) = 2( x + x^3/3 + x^5/5 + … ) …③
③は | x | < 1 の範囲で絶対収束します。交代級数よりもはるかに収束が速いです。
log 2 を計算したければ③に x = 1/3 を代入します。
log 2 = 2・Σ_{ n = 1 }^{ ∞ } ( 1/3 )^( 2n - 1 )/( 2n - 1 )
また上のように考えなくても
2 = ( 3/2 )・( 4/3 )
なので
log 2 = log( 1 + 1/2 ) + log( 1 + 1/3 )
と分解すれば①に x = 1/2, 1/3 を代入して log 2 を求められます。③より若干収束が遅いようですが。
π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + …
も条件収束です。やはり収束が遅いので上記の等式はあまり使いません。
誰に話しかけてるのこの人…笑
なんかめっちゃドヤ顔で送ってそう…
大学1.2年の数学を高校で学んでたころの結構昔の京大の入試でそんな問題があったよね、log2だったかな？それの少数第3位まで求めるやつ
2より大きな数字のlogを求める公式ですね
自分も感動した記憶
「有限だったら変わらない筈なのに」という感覚が既におかしいと感じる。有限だったらそういう法則で並べ替えることは出来ない。最後の方はマイナスの項だけ余っちゃう
たしかにと思いました。そういう余っちゃうはずの項が無限遠に追いやられて"消える"イメージなんですかね
なるほどわかりやすい
腰を据えて勉強するのには劇場版の動画がいいんですが，なかなか見る時間が取れないのでこういった15分ぐらいの数学の動画ありがたいです。とても面白かったです！
収束っていうのは、全項の合計ではないっていう事ですね。まるでそれを全項の合計のように説明するから不思議に見えるだけで、もとから別の演算だと思えばそもそも不疑義は無い。そういうルールの処理ってだけ。
最近色々な知識をつけるためにヨビノリ先生を見始めたけど説明が完璧すぎてすごいわかりやすいです！これからも活用させていただきます！
これって要は濃度みたいな話よね
交互に足し引きしていくより、2個足して1個引くほうが、足す分が多いから増える
無限だと同一視されるけど、無限の中にも大小がある
log2と「ろくに」をかけたことに数秒後気づいたときは脳汁ドバドバでした
順序が変わるというより、加算と減算の比率が1:1から2:1に変わるから、結果としては増えるだろうというのは直観的に考えられる気がしました。
それな 特に違和感無い
でもそれだと絶対収束する場合については直感が外れちゃうよ
臨機応変という言葉ご存知ない？
@@本棚-p4b 私が主張したいのは、「その直感で級数の収束値を判定するのは不可能である」ということなので、臨機応変も糞も無いと思いますが...
K Adch 収束値がいくらか？って言う話じゃなくて、結果が変わる、と言うことに関しての話だから、同じじゃないことに関してそんなに不思議でもないよ、って感想としてなら、普通じゃない？
数学科行かんでよかったほんまに。
こういうのは小話聞くくらいがちょうどいいわ笑
こういう無限のバグみたいなやつ好き
冬なのにこんな怖い話をするなんて
無限和のときに足す順序をかえてはいけないことは、受験数学ではよく言われることですよね
証明見たら当たり前だけどぱっと見で元の級数の1.5倍っていう比較的綺麗な数字に収まってるのも気持ちいい
こういう1つの知識を掘り下げた動画も良いですね😊。
複素関数論で絶対収束の話が出てたので、補完にもなりました😊
ちょっと数学勉強しよっ！と思い、なんか開いた。全然意味わからんのだけど、この方の説明良く分かる。先ず私がもう大分勉強したらまた此処に来ます❣️
ヨビノリさんもこういうの解説するんですね
面白いです
本当にあった数学の怖い話
不定積分で +C を書き忘れた人がいる。挙句の果てに、
+C をアパレルに使った人がいる。しかも、同一人物。
順番を入れ替えるというよりも、正の項を前に押し込んだ形なので、値が変わるのは直感的にもわかりますね。
直感的にわかるんですね ・・・
logに勉強しないからこうなるんだ！
好き
log2勉強しないからこうなるんだ！
ファボ1のボケすんな 笑
2:08w
と、先生は いかりまくろーりん展開
全くちんぷんかんぷんだけど、チョークのコトコト音が心地良いというというだけで見てる
ちなみにこのニュートンメルカトル級数は
’05静岡大学
’15山形大学
’18名古屋大学
（後期を含む）
で出題されています。
by受験数学オタク
もう級数が信じられなくなった…！もうノーサンキュウっす
こんなボケを言う者には灸を据えたほうがいいな
私は好き
なんでもっと伸びないんだ、、、
こういうの好きでしょヨビノリ視聴者！
順番入れ換えるって言っても、割合が変わってるから逆に同じになる方が違和感なんだけど
+1/7 だいぶ早く出てますしね
全くのど素人なんですが、単純に並びが変わっただけでなく、プラスの登場回数が多くなってるので同じではないことは直感で分かったのですが、そう見えたのはおかしいのでしょうか。
正、負、正、負、
を繰り返すと確率 1/2 で正です。
正、正、負、正、正、負
を繰り返すと確率 2/3 で正です。
同じ個数で比較すればたしかに確率が増えてるのでプラスの登場回数が多く見えるというのは正しいです。
しかし実際には無限個同士の比較なので単純に比べることはできません。
2:08
誰もツッコんでないようなので…
いや、ファボlog1のボケすんなよ！
7:50
面白いギャグなのに、級数を勉強した人にしか伝わらないギャグなので悔しい
@検索中 答え知ってからなるほどねってなるのが悔しいってこと 大体わかるくね
@検索中 自分の返信が煽ってることに気付いて修正してて草
↓↓↓
そとみがわりゅうく だから答え言われなくてもだいたい分かるって書いてるよね？ 的外れだしお前に聞いてないし話しかけてくんなよ。
こんなギャグが伝わるか伝わらないかというかわいらしい議論が出来るのは平和だからなのかもしれない
@@thereisgoodname 間違いない
アホっぽくて可愛い
@検索中 なんでカリカリしてんの
並び替えの"複雑さ"を考えて見たくなる。動画冒頭のやつは規則的な並び替えだから比較的"単純"ってしたい。例えば、動画の交代級数の並び替えによってπに収束させようとしたら何となく複雑な並び替えになりそう。これを上手く定式化して、並び替えの複雑さで収束する値を分類したら面白そう
めっっっっさ面白そう
ある収束値から並び替えて別の収束値にする時、｢並び替える数｣をある種の距離と考えることも出来そう
並び替えをσとして(1,σ(1)),(2,σ(2)),...を平面にプロットして、例えばそれらを適当にむすんで、y=xとの差を見るのは1つの手段かなー
@@ari_harapeco ケンドールの順位相関係数に似てるね
無理数を無限パターン生み出す手法があるとデータ圧縮に役立つと思う
級数って順番かえてはいけないって青チャートに書いてたけどこういうことか
②の式自体はいいかもしれないけど
無限の場合、①と②を各項ごとに加える、
そして右辺の足し算をしてしまう
ってやっていいの・・・？
6:00 の補題の話ですね。
無限級数 A, B について、AとBの和とは、Cn = An + Bn としたときの無限和 Σ(Cn) と考えることができます。
ある項までの有限和が Σ(Cn) = Σ(An) + Σ(Bn) となることは理解し易いと思います。無限和は有限和の極限と考えられるので、有限和の場合と同様に無限和 Σ(Cn) の値は「右辺の足し算」として求められます。
もとの無限級数の各項を足し合わせる順序さえ変えなければ、無限級数同士の和を無限級数 C として考えることができるということです。
なお、無限級数 A, B がともに収束（絶対収束でなくてもよい）すれば、無限級数 C も収束します。
絶対収束の場合は元の級数を例えば
「正の項のみを取り出した級数」と「負の項のみを取り出した級数」みたいに
複数の級数に分けたとしてもそれぞれの和が収束するからどう混ぜても大丈夫だけど
条件収束の場合は複数の級数に分けたときに和が発散するものが出てくる場合があるから
混ぜるペースを変えると値が変わっちゃうって感じなのかな
だとすると条件収束する級数を複数に分けたときにそれぞれがやっぱり条件収束するなら
混ぜ方を変えても同じ値に収束するのかな？
条件収束する級数は混ぜ方を変えることで任意の値に収束させられるって動画最後で言ってるので、同じ値にはならんね
混ぜ方を変えれば結果は変わるよ。お菓子作りと一緒だね。1-1+1-1.......と続く級数があれば、奇数番目は1だし偶数番目は0になる。よって極限は存在しない。
7:52このくだりかわいい
それは数学の恐ろしさでもあり、美しさでもある。
なんで無限に出そうと思ったのか、それがまず不思議ですね(文系より)
(1)と(2)を加えた「・・・」の部分が、本当に等しくなっているのかどうかがわからない
最近アンパンマンに自分の心を読まれてる気がする
それくらい需要に合ってる
超弦理論の「D(次元数)＝9」の計算過程で出て来る、
Σ(n＋1)＝1＋2＋3＋‥＝－1/12 (n＝0,1,2,…,∞)
の無限級数和の証明にも、級数の順序変更後の四則演算が出て来ますよね。
左辺は発散する(ハズな)のに、右辺は何故か－の値に収束するという摩訶不思議な式です。
今回の「条件収束」の話とは条件の異なる話である事を分かった上で、
Σ|n＋1|＝∞ (n＝0,1,2,…,∞)
に発散し、絶対収束しないので、そもそも項をズラして演算なんかしちゃ駄目なんじゃないかな
って思うのは私だけでしょうか？
@@Ahlyastohr さん、有難うございます。参考になりました。
ゼータ関数(ζ)の解析接続(前提条件無視の延長)に依る「1＋2＋…＋∞＝－1/12」の導出法ですね。
この摩訶不思議な式の導出には様々な方法が有って、もっと簡単な方法として例えば無限級数の項を
入れ替えた演算もあり、収束しない無限級数の項入れ替え演算が出て来る事を言いたかったのです。
以下はその一例です。オイラー師匠に逆らうつもりは無いのですが、何とも…
光子の質量(0)＝振動エネルギー(2)＋最低エネルギー{(D－1)×(1＋2＋…＋∞)×3} (→①)
上式の無限級数部を S＝1＋2＋…＋∞ (→②) として、4倍したものを項をズラして辺々を引くと
S ＝ 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋…
－) 4S ＝ 4 ＋ 8 + 12 ＋…
-----------------------------------------------------------------
－3S ＝ 1－2＋3－4＋5－6＋7…
これを更に、項をズラして辺々足すと
－3S ＝ 1－2＋3－4＋5－6＋7…
＋) －3S ＝ 1－2＋3－4＋5－6＋7…
-----------------------------------------------------------------
－6S ＝ 1－1＋1－1＋1－1＋1… (→③)
一方、以下の級数和式が知られている
Σ(x^n)＝1 ＋ x ＋ x^2 ＋ x^3 ＋ … ＋ x^(n-1)＝(1-x^n)/(1-x) ※x≠1, n=0,1,2,…,n-1
これに (－1 < x < 1) という条件を付け、n→∞ に飛ばすと、x^n→0 より
Σ(x^n)＝1/(1-x) ※－1 < x < 1, n=0,1,2,…,∞
これに解析接続(前提条件無視の延長)して、x＝－1 を代入すると
Σ(x^n)＝1－1＋1－1＋…＝1/2 (→④)
③＝④より、
－6S＝1－1＋1－1＋…＝1/2
S＝－1/12
この結果を②に戻して、
S＝1＋2＋…＋∞＝－1/12 (→⑤) ※ここで登場！
更に⑤を①に戻して
0＝2＋{(D－1)×(－1/12)×3}
∴D(空間の次元数)＝9
ゼータ関数は名前位しか知らず超弦理論に至っては何も知りませんが、ここで投稿されている方々のお話に触れるだけで何だかワクワクします。
複素関数論でちらっといってたやつだ！
この話に似たこと受験生時代に河合塾の先生が雑談で言ってたな懐かしい
最後pとqが入った式を見た時、思わず「キッッッモ」って声出た。
そんなところまでもう分っちゃってるのかっていう驚きと、思いの外その式が綺麗なことへの驚きがあった。
おもしろい手品を見せていただきました。
なるほど！たくみさんの動画は条件収束しているから、色んな動画を出してても、真面目な方にもふざける方にも収束できるし発散することもできるんですね！
1/nの無限級数って2に収束しないんですか？
発散する理由を教えてください
1/xが下に有界な広義単調減少連続関数で
それはintegral[1,inf]1/x dxとsigma[1,inf]の収束・発散が一致するので発散しますね
@@thegod22222 あ、でした間違えました。
でも、直感で行くと∞になるとは思えなくないですか？無限って怖いですけど、毎度そそられます
高校生レベルの証明だと以下のものが有名です
1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+…(☆)というのは1+1/2+1/4+1/4+1/8+1/8+1/8+1/8+…(※)よりも大きい
ここで、1/4+1/4=1/2、1/8+1/8+1/8+1/8=1/2、…なので、結局、(※)=1+1/2+1/2+1/2+…となる
これは明らかに正の無限大発散するので、それよりも大きい(☆)も正の無限大に発散する
@@sea_pian 誰かが書いてくれると信じていましたwありがとうございます！w
@@kaj694 ご期待に添えたようで何よりですw
この証明はむしろ積分判定法よりもめんどくさい気がしますよねw
説明聞いてもやっぱ不思議だな〜
こういうの面白いから好きだけど♪
概要欄のやすくんのコメントに思わず笑ってしまったんだが…何があったんだ！？w
備考欄、、笑笑 やすさん何かありました？？
順番を入れ換えることによって値の変わる無限級数の話は有名ですね…やはり無限は扱いづらい
マクローリン展開とかめっちゃ懐かしい響き、何一つ覚えてないわ
リーマンの再配列定理は好きな定理聞かれたら絶対答えるようにしてる
そんな名前だったんだ
@@somethingyoulike9153 終盤に言ってる任意の実数に収束させられるってやつですね
だいぶ前のヨビノリさんの動画で「絶対収束」ってワードが出てきたので今日ようやく謎が解けました。ありがとうございます！
これ普通に見たら「並べ替えの前後で＋の項と－の項の数が一致してないじゃん」って思うけど、
そこを「一致してないのはどこか（有限の地点）で見てるからであって、これは∞の話だから関係ない」って言われて、
納得できる人が大学以上の数学に進めるってことなんかな
大学では自然数の集合から自然数の集合への全単射写像を使って議論します。
全単射なので逆写像が定義できて、全ての番号は並び替えた後もどこかには必ずいます。
よって、全体として見れば変わっていません。
∞はペアノの公理より自然数に含まれないので納得できなくて正解かと
@@i_love_sex 無限という数字が使われてるんじゃなくてずーっと書き続けてる、という意味の無限かと。
数字が見えている範囲では変わっていても、きちんと「同じ内容を、入れ替えただけの状態で書く」前提があるので、この場合は変わらないと思います。
@@梨香寺田-m4j 「log2に近づいたね」と人間が評価するとき必ず有限で切って観測してるのであなたが「無限に続くその全体量」は変わらないよ、と主張するとき、その全体量という単語もやはり有限で切ってしまってるのです。が、有限で切ると全体量は変わってしまっている（増えてしまっている）のが自明です
@@i_love_sex うーん…言いたいこと伝わってなさそうなのですが伝える能力が私にはないのでもう大丈夫です。
多分そういうことじゃないよって上手く言えないけど言いたかった…
感覚的に、-の項が3回に1回しか現れなくなっている時点で収束する値が変わるのがわかる気がする
物理でも数学でも、感覚に反する結果になると気持ちよくなれる
最初のほうは＋－交互（１つずつ）に計算してるけど、次のは＋を２つ－を１つの順番だから1以上になるのは当たり前じゃないか？数学わからんけど、それくらいは何となく感じるんやが
既に多くの人がコメントしてますが、これは項の並べ替えではなくて別の数列になっていますね
しかし、2つ目の漸化式が思いつかない…プログラムなら書けるんですが
物理科か数学科で迷う
物理科にしとけアラサーおじさんです
どっち入っても、理論系なら数学も物理も学べるよ。実験したいなら物理学科かな
高校までの数学が好きなら物理科
位相空間で死にました_(:3 」∠)_
😄お見舞い周り中の休憩でまいどおおきに食堂で早見で視聴中です😄
😄帰宅後にもゆっくり再視聴して勉強にいたします😄
マクローリン展開使って オイラーの公式
e^ix = cos x ＋ i sin x 示せるのも、
級数e^zが絶対収束するため二つの無限和に分けられるからですね。
真部分集合が元の集合と一対一になったり、
無限にはミステリー多いですね
中学三年生の時に1体1対応で知って、びっくりしたのを覚えてる
各項の間に突っ込んだ無限個の"+0"を前に持ってきます。
0+0+0+0+0+0+…
「ぬわーーっっ!!」
もし並べ替えのルールが「偶数目は1回早く 奇数目は1回遅く」というルールですと並べ替えても結果は同じですよね
数学苦手なのでお聞きしたいのですが、なぜ無限個ある数を足した時の和がわかるのでしょうか？規則性とかがあるのでしょうか？優しい方教えてください🙇♂️
厳密には極限を計算しています。特定の級数だけ計算できて何でも計算できるわけではありません。
log 2 はそれを近似する級数が有名なのでわかります。
@@田村博志-z8y 返信ありがとうございます！つまりこの場合では実際はlog2に近いというだけであってlog2ではないのでしょうか？理解力が乏しくて申し訳ありません。
@@くっきい-l2j さん
ざっくりその解釈であってます。途中まで和を計算すると log 2 に近い値が出て、
さらに計算する量を増やすといくらでも log 2 に近い値が求められる、といった具合です。
どこまで計算してもぴったりの値にはなりません。
@@田村博志-z8y 理解出来ました！分かりやすいご説明ありがとうございました！
@@天然水-s2g
え、足さないんですか？
大学数学ってずっとこんなこと考えてるの？めっちゃ楽しそうじゃん
対数の授業して欲しい。
この話の流れで、ゼータ関数とかガンマ関数について解説してほしい
TH-camにおいてサムネが大事だってことがわかる動画
絶対収束は道のり有限、条件収束は道のり無限っていうイメージ持ってる
ヨビノリの動画を見てると高校数学は狭いってことを実感させられる〜
この手の数学って、気持ち悪くて考えるすべがなかったんですが、10分程度の動画で癒やしてもらえた気がします。
黒板にチョークで書く時の音が嫌いなのでよびのりさんの動画はあまり見てなかったのですが、今回の動画は気になりすぎて見てしまいました。
めちゃくちゃ面白かったです。
無限とかいう直感に反することしか起こさないクソ概念嫌いじゃないけど好きじゃないよ
奥深い
面白い❗
ありがとうございます❗
一様収束とか確率収束もやって欲しい…
確かどっちも既にやってましたよ。検索したら出てくると思います
@@パパチチ-h8i 一様収束は見つけられたんですけど、確率収束が見つからないです。確率の講義はいくつかあるんですけど、確率収束まではどれも踏み込んでなくて。
@@ShunmaJin たしか統計の授業の普遍推定量の話するところで、確率収束の話してたような
無限級数の項を書き連ねるのを途中で止めたとき、どう調整しようとも両方の式で共通しない数字の項が絶対に溢れるからなぁ
止めないから何も溢れないけど収束先は変わる
証明自体を理解する以前の話ですが、最初に順序変更
したものが元の式と同じように見えません。元の式は
プラスとマイナスの項が交互に（1対1で）並んでいる
のに、変更したものは2対1になっています。これでは
各項の登場頻度が同じではないので、単純に元の式を
順序変更しただけではなく、計算結果も違うのは当然
だと思うのですが？
しかし元の級数に現れるすべての項は変更した級数にも現れ、各項は厳密に一対一に対応している以上、これを「単なる並べ替え」と言ってもいいですよね
無限に続いているので1:1に対応しています。登場する順番の違いだけです
@@mikiokishimoto205
ハッキリ言いますがノーだと思います。分母が奇数と
偶数のグループの数をxとおけばあなたの言うことは
lim x→∞(2x/x)=1という意味になってしまいます。
@@soratoriku0621
ハッキリ言いますがノーだと思います。分母が奇数と
偶数のグループの数をxとおけばあなたの言うことは
lim x→∞(2x/x)=1という意味になってしまいます。
@@KN9260
例えば
級数Σ(-1)^(n+1)(1/2)^n=1/2-1/4+1/8-1/16+...
はプラスの項とマイナスの項が交互に現れますが、
同様の並べ替え（プラスの項２つとマイナスの項１つつづ並べる）をしても
収束値(1/3)は変わりません。
このような並べ替えで「計算結果も違うのは当然」とは言えません。
和の順序を変えるとΣにしてまとめたときに式が変わるから違う値になるのがなんとなく分かる。
あなた、最近「ファボ0のボケすんな」って言ってくれないのね……
2:01から たくみさんなんて？？
1－1＋1－1＋1－1…の順番を変えて
1＋1－1＋1＋1－1…とする、と言ってるようなもの。明らかに違う。
私もそう思います。例として分かり易い。1+2+3+ ... = -1/12 と言うやつもトリックだね。
数学の神秘!
4:23 で①と②を各項同士で足してますが、②の方が項の数が単純に倍ですけど大丈夫なんですか？
「ロク（log）に勉強しないからだ！」とか「凸の字は凸多角形ではないんですよね」
っていう数学教授特有のギャグセン
面白いけども、なんか気持ち悪いーー
数学的操作でそうなることは理解できたけど、直感的理解が追いつかない….
仮に求めたい級数の和が絶対収束するとして、
試験の答案で絶対収束することを示してから、
各項を並び変えて和を求めるのはOKなのでしょうか？
絶対収束する級数はどんな並べ替えに対しても並べ替える前の級数の値と同じ値に収束する、ということを示さなくてはいけないのではないでしょうか
こういうプラスとマイナスが交互に足されていく級数の事を交代級数というのだが、奇数番目と偶数番目までの和の極限が一致するかどうかの議論がいるんだよな。
1-1+1-1+1-1.....という級数があったとき、偶数番目なら0奇数番目なら1となる。絶対ただ1つの値に収束する級数である事を示せれば順序を入れ替えてもいいです。まぁその証明が奇数番目と偶数番目までの和の極限が一致するかどうかなんですがね。
素晴らしい解説ありがといございます
0:59 これx = 1が範囲に含まれるの何故ですか？
マクローリン展開の範囲は-1 < x < 1と習ったような……
アーベルの定理で検索検索ゥ！！
イプシロンデルタ論法とか実数の連続性の講義が聴きたいです。
log2勉強しないから・・・？え？今、なんと？
プラスの項とマイナスの項の比が、最初の式では1:1、順序変更後の式では2:1になっている。
無限だからといって項の比が変わってしまうのはおかしいのではないかと感じます。
私は高校までの数学くらいしか知らないのですが、
大学以上の高等数学では無限なら項の比を変えるなど、何をしてもいいものなのでしょうか？
項の比と言っても最初の 100 個とか 1000 個とか有限個の範囲でそう見えるだけです。
プラスの項もマイナスの項も無限個あるのだから全体では比べようがありません。
> 何をしてもいいものなのでしょうか？
等式の同値性を保つという意味で絶対収束する級数ならOKです。条件収束する級数ではダメです。
次の例を考えてみてください。
( i ) a = 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + 1/16 - 1/32 + 1/64 -
( ii ) b = 1 + 1/4 - 1/2 + 1/16 + 1/64 - 1/8 + 1/256 + 1/1024 - 1/32 + …
a と b をそれぞれ計算して一致することを確かめてみてください。
項の比は変わっていません。正の数も負の数も無限個あります
高校まで数学好きだったのに＝が絶対じゃなくなった瞬間に数学の道から外れたね
教師から考えるな感じろと言われた瞬間幕を閉じた
定理の証明お願いします！
大学で絶対収束と条件収束の定義を習ってすぐの演習問題がリーマンの再配列定理を証明せよ、だった悪夢を思い出した
条件収束級数を、発散するように項の順番を入れ替えたものは、条件収束級数とは言えないんですか？
ミュージックシンセサイザーの原理に似てる
母波形はサイン波、その高調波を加えて行くことで
任意の波形を作り出す(フーリエ変換の逆)
絶対収束、複素関数論で出て気になってた。
最初の＋ーの一組は順序を入れ替えるだけでお、その次は＋＋とーとで三つで入れ替えてるところでそもそもの順序入れ替えの法則が解らなくなってしまいました。
すげー、pとqの比でなんでもできるんか
ライプニッツメルカトールは入試大好き