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講清楚一下, 1-x^2 在 [-1, 1] 不是一對一所以在這里不能使用如果你把這個積分從 [-1, 1] 拆開為從 [-1,0] 再去 [0,1] , 那1-x^2可以用但是沒幫助... 哈哈
花了點時間看過中英文版的一堆留言後, 我建議有機會要詳細講一下 u-sub 到底是怎麼來的, definite / indefinite integration & antiderivative 和FTC 的關係 要把邏輯關係 (if-then) 帶進去, 不能只單單用計算心態, 才能理解為什麼你第二行的「等於🟰」一開始已是invalid Injectivity 只是一個sufficient condition, 但不是necessary, 所以「不是1-to-1 不代表不能用」; 就算是 multivariable 的 change of variables 也是一樣的, diffeomorphism / non-zero Jacobian 只是part of assumption.
為什麼刪除了我的留言和解法呢?
@@rickyng1823 欸 我沒有啊 我現在注意到你的留言 可能符號太多YT先擋著
@@bprptw 無辜的被刪了🥲 可能因為我把解放在Dropbox有link (其實我想私給你, 但沒辦法)
@@rickyng1823 你22小時前的留言還在 我真的沒看到你別的留言
第一：1-x^2是非單射函數第二：把它當作半圓看就好啦🙂(或是三角代換法🙂🙂)
這種pitfall類型的錯誤引導是很好的思考訓練很多人一開始學微積分都淪陷在記很多方法去解積分卻沒搞清楚使用方法的前提
真的太谢谢你这期视频了，幸好有你我才找到了我的问题。
老師，我要給你個讚!!!
謝謝老師教我們萬能解法
哈哈哈😆
這題是不是之前 Shorts 有出現過然後我回說要分段 😂 因為不是 one-to-one我知道大家都想說半圓啦 😅 但是那是這題剛好，我把 1 跟 x² 係數改一下半圓招就會不太好用啦～還是學學代換吧
不必那麼麻煩把係數改掉，把定積分改成不定積分就好🤣
還有我感覺做u-sub時只時按程序來做的，沒有考慮過why it works.
老師最後不要走那麼快啦🤣🤣
😂😂😂
所以主要原因是Usub不能随便用在积分范围内非单调函数上
所以答案要這樣解？ 四年沒有碰積分了 依照提示 x=sin(y) 所以定積分的上下限就是反三角函數 正好兩邊都是很好取得的值 上限0.5pi 下限1.5pi 原式可以改寫成cos平方的定積分
印象中那就是需要分部積分的地方 du=cos(y)dy, v=cos(y) 原式又等於(cos(y)*sin(y)+y)/2 下限減上線 就是0.75pi-0.25pi=0.5pi 現在做微積分定積分題應該不用去寫回原式x吧 有要求者見諒了
可是我們在做(2x-3) (x²-3x+5) dx 的時候，不是也把u設為x²-3x+5) 嗎？ x²-3x+5不也是非一對一的函數嗎？ 為何此時這樣假設就可以呢？
那是不定積分
如果是定積分的話，要看在積分上/下限範圍內x^2-3x+5是不是1-1，是的話就可以這樣變換所以你這題如果是從x=0積到x=3的話，變數變換的時候就沒辦法直接把上下限換掉，只能把不定積分求出來後再求從0積到3的結果
@@littlehei9979 他問的是做變數變換的時候為什麼能令變數=x^2-3x+5，而不是能不能用圖像解的問題
這是個非常好的問題, 因為真正滿分的理由不是 definite integral 或是indefinite integral, 也不是 u 是否1-to-1 你這個例子就是換成是定積分, from x = 0 to x = 3 也是完全合理, u = x^2 - 3x +5 在 [0, 3] 也不是 1-to-1, 而 u-sub 後會變成 from u = 5 to u = 5, 而且答案也的確是 0這裡真正的理由其實是, 不管是否definite or indefinite integral, 我們做的這些題目時真正做的是 “找 antiderivate”, 然後是用了 Fundamental Theorem of Calculus 去把微分和積分聯繫起來, 我們並不是真的由 Riemann Sum的定義出發去找積分所以, 不管你是u-sub, trig-sub, 還是更基本的積分問題, 這些的前題在於你是真的「能」找出一個function F, where dF/dx = f, such that \int_a^b f dx = F(b) - F(a)U-sub 和 trig-sub 都是在這個「前提」下應用 Chain rule 而得出來的在片的例子裡, u = 1-x^2 其實就是選錯了, 所以在沒有FTC 支持的前題下只有更錯 (就是片中 u-sub後, 第一條等式由 “=“ 開始就錯了, 就算能把 ??? 寫出來都是錯的); 相反, 只要 FTC 的條件是對的, 就算 u 不是1-to-1, 你也可以用 u-sub, 就如你的例子一樣
至於1-to-1 的問題, 其實是另一回事來, 甚至不關事的… 如果 f 是有antiderivative on interval I, 而 a < b in I, 而 u 是differentiable on [a, b] 的話, 那麼 Chain Rule 就會得出 F(u) 是 f(u) u’ 的 antiderivative, 而 FTC 就給出 \int_a^b f(u(t)) u’(t) dt= F(u(b)) - F(u(a)) = \int_u(a)^u(b) f(x) dx 由始至終, 這裡並沒有任何要求 1-to-1, even or odd 這些條件的, 只有對 antiderivative, differentiability, 及 domain的要求.
拆成[-1,0]與[0,1]去做這題積分就可以Let u=1-x^2了吧？
這樣就不是從0到0所以也沒必要討論了
确实可以，但是dx等于什么没法找到
@@douglasmacarthur8482 为何找不到不就是用 dx = (dx/du) du 从u=1-x^2，可得：当 x ∈ [-1,0]，x = -√(1-u) 当 x ∈ [0,1]， x = √(1-u) 所以当 x ∈ [-1,0]，dx/du = d[√(1-u)]/du = -1/[2√(1-u)]， dx = -du/[2√(1-u)] 当 x ∈ [0,1]， dx/du = d[-√(1-u)]/du = 1/[2√(1-u)]， dx = du/[2√(1-u)]
这个积分拿Casio FX991的积分来算的话，计算器都会卡一会😂😂
世界果然沒有這麼美好XD
唉 啊
所以是因為它不是單射（injective［fr.］)是嗎🤔
對
變數變換不能用一對多函數。知道了，但為什麼不行?
是多對一老哥函數哪來的一對多
因為做變數變換時我們需要把 dx 用 (dx/du) du 代換掉如果同1個u值會對應到不同x值那你算(dx/du)時會有不只一個解這不同的解其實對應到不同的x區間也就是說你必須把x分段去做你實際去算算看 dx/du 應該就會看出問題了
@@wyiynhd 感謝！
有些畫圖就知道答案，折線圖，半圓😊
是不是u-sub後中間的integral 有機會出現constant term (理應是pi/2, 但實際上可能沒幫助, 因為還難解了),那個contant 不會受upper and lower limit 的影響, 所以說到底 還是要處理中間的integral?圖表上來說 u-sub 後的function, 在u=0時, 他有兩個solutions(兩點), 那兩點能連成一線, 那一條線的area 就是pi/2?(我亂來的)
sinx cosx 也不是one to one 啊，是不是意味著 當我們使用u=sintheta 時，也要考慮upper lower bound呢? 而我們之所以不用考慮，是否因為老師出題目時已經巧妙避過了這些問題呢？
不是one to one 嗎？(・∀・)
對欸，sin cos也不是一對一函數
@@v61605 抱歉我文組的 請問這不是one to one 嗎？ 還是我圖形搞錯了🤔
@@ARMY-mj1bw sin是多對一啊x=0和x=2pi時sinx都是0
@@ななばなこ 所以說沒有違反本片提及的一對多吧.... One to one 一個x只會得出一個y 我想sin 和cos 都是符合one to one 的吧.....
6:07 不可以～昧塞誒 是台語呢！
對啊 哈哈
not injective?
Yup
已購買 小孩很愛吃
🤣🤣🤣🤣🤣🤣
講清楚一下, 1-x^2 在 [-1, 1] 不是一對一所以在這里不能使用
如果你把這個積分從 [-1, 1] 拆開為從 [-1,0] 再去 [0,1] , 那1-x^2可以用但是沒幫助... 哈哈
花了點時間看過中英文版的一堆留言後, 我建議有機會要詳細講一下 u-sub 到底是怎麼來的, definite / indefinite integration & antiderivative 和FTC 的關係
要把邏輯關係 (if-then) 帶進去, 不能只單單用計算心態, 才能理解為什麼你第二行的「等於🟰」一開始已是invalid
Injectivity 只是一個sufficient condition, 但不是necessary, 所以「不是1-to-1 不代表不能用」; 就算是 multivariable 的 change of variables 也是一樣的, diffeomorphism / non-zero Jacobian 只是part of assumption.
為什麼刪除了我的留言和解法呢?
@@rickyng1823 欸 我沒有啊 我現在注意到你的留言 可能符號太多YT先擋著
@@bprptw 無辜的被刪了🥲 可能因為我把解放在Dropbox有link (其實我想私給你, 但沒辦法)
@@rickyng1823 你22小時前的留言還在 我真的沒看到你別的留言
第一：1-x^2是非單射函數
第二：把它當作半圓看就好啦🙂
(或是三角代換法🙂🙂)
這種pitfall類型的錯誤引導是很好的思考訓練
很多人一開始學微積分
都淪陷在記很多方法去解積分
卻沒搞清楚使用方法的前提
真的太谢谢你这期视频了，幸好有你我才找到了我的问题。
老師，我要給你個讚!!!
謝謝老師教我們萬能解法
哈哈哈😆
這題是不是之前 Shorts 有出現過然後我回說要分段 😂 因為不是 one-to-one
我知道大家都想說半圓啦 😅 但是那是這題剛好，我把 1 跟 x² 係數改一下半圓招就會不太好用啦～還是學學代換吧
不必那麼麻煩把係數改掉，把定積分改成不定積分就好🤣
還有我感覺做u-sub時只時按程序來做的，沒有考慮過why it works.
老師最後不要走那麼快啦🤣🤣
😂😂😂
所以主要原因是Usub不能随便用在积分范围内非单调函数上
所以答案要這樣解？ 四年沒有碰積分了 依照提示 x=sin(y) 所以定積分的上下限就是反三角函數 正好兩邊都是很好取得的值 上限0.5pi 下限1.5pi 原式可以改寫成cos平方的定積分
印象中那就是需要分部積分的地方 du=cos(y)dy, v=cos(y) 原式又等於(cos(y)*sin(y)+y)/2 下限減上線 就是0.75pi-0.25pi=0.5pi 現在做微積分定積分題應該不用去寫回原式x吧 有要求者見諒了
可是我們在做
(2x-3) (x²-3x+5) dx 的時候，不是也把u設為x²-3x+5) 嗎？ x²-3x+5不也是非一對一的函數嗎？ 為何此時這樣假設就可以呢？
那是不定積分
如果是定積分的話，要看在積分上/下限範圍內x^2-3x+5是不是1-1，是的話就可以這樣變換
所以你這題如果是從x=0積到x=3的話，變數變換的時候就沒辦法直接把上下限換掉，只能把不定積分求出來後再求從0積到3的結果
@@littlehei9979 他問的是做變數變換的時候為什麼能令變數=x^2-3x+5，而不是能不能用圖像解的問題
這是個非常好的問題, 因為真正滿分的理由不是 definite integral 或是indefinite integral, 也不是 u 是否1-to-1
你這個例子就是換成是定積分, from x = 0 to x = 3 也是完全合理, u = x^2 - 3x +5 在 [0, 3] 也不是 1-to-1, 而 u-sub 後會變成 from u = 5 to u = 5, 而且答案也的確是 0
這裡真正的理由其實是, 不管是否definite or indefinite integral, 我們做的這些題目時真正做的是 “找 antiderivate”, 然後是用了 Fundamental Theorem of Calculus 去把微分和積分聯繫起來, 我們並不是真的由 Riemann Sum的定義出發去找積分
所以, 不管你是u-sub, trig-sub, 還是更基本的積分問題, 這些的前題在於你是真的「能」找出一個function F, where dF/dx = f, such that
\int_a^b f dx = F(b) - F(a)
U-sub 和 trig-sub 都是在這個「前提」下應用 Chain rule 而得出來的
在片的例子裡, u = 1-x^2 其實就是選錯了, 所以在沒有FTC 支持的前題下只有更錯 (就是片中 u-sub後, 第一條等式由 “=“ 開始就錯了, 就算能把 ??? 寫出來都是錯的); 相反, 只要 FTC 的條件是對的, 就算 u 不是1-to-1, 你也可以用 u-sub, 就如你的例子一樣
至於1-to-1 的問題, 其實是另一回事來, 甚至不關事的…
如果 f 是有antiderivative on interval I, 而 a < b in I, 而 u 是differentiable on [a, b] 的話, 那麼 Chain Rule 就會得出 F(u) 是 f(u) u’ 的 antiderivative, 而 FTC 就給出
\int_a^b f(u(t)) u’(t) dt
= F(u(b)) - F(u(a))
= \int_u(a)^u(b) f(x) dx
由始至終, 這裡並沒有任何要求 1-to-1, even or odd 這些條件的, 只有對 antiderivative, differentiability, 及 domain的要求.
拆成[-1,0]與[0,1]去做這題積分就可以Let u=1-x^2了吧？
這樣就不是從0到0
所以也沒必要討論了
确实可以，但是dx等于什么没法找到
@@douglasmacarthur8482
为何找不到
不就是用 dx = (dx/du) du
从u=1-x^2，可得：
当 x ∈ [-1,0]，x = -√(1-u)
当 x ∈ [0,1]， x = √(1-u)
所以
当 x ∈ [-1,0]，dx/du = d[√(1-u)]/du = -1/[2√(1-u)]， dx = -du/[2√(1-u)]
当 x ∈ [0,1]， dx/du = d[-√(1-u)]/du = 1/[2√(1-u)]， dx = du/[2√(1-u)]
这个积分拿Casio FX991的积分来算的话，计算器都会卡一会😂😂
世界果然沒有這麼美好XD
唉 啊
所以是因為它不是單射（injective［fr.］)是嗎🤔
對
變數變換不能用一對多函數。知道了，但為什麼不行?
是多對一老哥函數哪來的一對多
因為
做變數變換時
我們需要把 dx 用 (dx/du) du 代換掉
如果同1個u值會對應到不同x值
那你算(dx/du)時會有不只一個解
這不同的解其實對應到不同的x區間
也就是說你必須把x分段去做
你實際去算算看 dx/du 應該就會看出問題了
@@wyiynhd 感謝！
有些畫圖就知道答案，折線圖，半圓😊
是不是u-sub後中間的integral 有機會出現constant term (理應是pi/2, 但實際上可能沒幫助, 因為還難解了),
那個contant 不會受upper and lower limit 的影響, 所以說到底 還是要處理中間的integral?
圖表上來說 u-sub 後的function, 在u=0時, 他有兩個solutions(兩點), 那兩點能連成一線, 那一條線的area 就是pi/2?
(我亂來的)
sinx cosx 也不是one to one 啊，是不是意味著 當我們使用u=sintheta 時，也要考慮upper lower bound呢? 而我們之所以不用考慮，是否因為老師出題目時已經巧妙避過了這些問題呢？
不是one to one 嗎？(・∀・)
對欸，sin cos也不是一對一函數
@@v61605 抱歉我文組的 請問這不是one to one 嗎？ 還是我圖形搞錯了🤔
@@ARMY-mj1bw
sin是多對一啊
x=0和x=2pi時sinx都是0
@@ななばなこ 所以說沒有違反本片提及的一對多吧....
One to one 一個x只會得出一個y
我想sin 和cos 都是符合one to one 的吧.....
6:07 不可以～昧塞誒 是台語呢！
對啊 哈哈
not injective?
Yup
已購買 小孩很愛吃
🤣🤣🤣🤣🤣🤣