提供一個integration by part + odd function的解法: integral x*sin(x)/ (1+cos(x)^2), x from 0 to pi ----integration by part----> [x * (-arctan(cos(x))) ], x from 0 to pi + integral arctan(cos(x)), x from 0 to pi. 前者算出pi^2/4；後者為0，因為 arctan(cos(x)) 在[0, pi] 區間是odd function，所以0 到pi的積分=0。兩者總結，得到答案是pi^2/4。 arctan(cos(x)) 在pi/2兩側是odd function的原因是: cos(x)在[0, pi]區間是odd function, range是[-1, 1], arctan在 [-1, 1]區間是odd function，兩個odd function做composition仍是odd function。proof: Let f, g be odd functions. Then f(g(-x)) ----g is odd---> f(-g(x)) ---f is odd---> -f(g(x)). So f(g(x)) is odd.
香港的觀衆們：這題不會的話，M2基本上level 5 也有點抓不住呢。 不需要用到King property （不過這也是很多時候較難的題目的技巧）,不過類似，只需要利用even/odd和sin cos之間的互換： 記得 sin(pi/2 - x) = cos x; cos(pi/2-x) = sinx; let x = pi/2-u int x sinx/ (1+cos^2 x) dx from 0 to pi -> -int (pi/2-u) cos u/(1+sin^2 u) du from pi/2 to -pi/2 -> int (pi/2) cos u/(1+sin^2 u) du from -pi/2 to pi/2 (u cos u/ 1+sin^2 u 是 odd function 所以積分是0 在 -pi/2到pi/2裏面; 而另一個則是even -> factor of 2 and from 0 to pi/2） 然後 let t= sin u -> (pi) int 1/(1+t^2) dt from 0 to 1-> 這個是典型的arctan integral -> pi * arctan(1) = pi^2/4
@@johntse57705*既同學,所謂既Koop sub，只係將前人既解題方式，用商業手段包裝既手法，如果你真係5*同學仔，好開心「時下既年輕人」都會上youtube學下野，但同時又唔知補習社「幫同學仔快速記憶既方法」，其實係咪真係幫助到大家，由學習數學，學得到思考問題既角度。 以前讀AL pure maths既「同學仔」路過😂
這部影片裡有證明： th-cam.com/video/bXVltAPB1L8/w-d-xo.html
當黑筆紅筆都得拿出第三支筆時：
提供一個integration by part + odd function的解法: integral x*sin(x)/ (1+cos(x)^2), x from 0 to pi ----integration by part----> [x * (-arctan(cos(x))) ], x from 0 to pi + integral arctan(cos(x)), x from 0 to pi. 前者算出pi^2/4；後者為0，因為 arctan(cos(x)) 在[0, pi] 區間是odd function，所以0 到pi的積分=0。兩者總結，得到答案是pi^2/4。
arctan(cos(x)) 在pi/2兩側是odd function的原因是: cos(x)在[0, pi]區間是odd function, range是[-1, 1], arctan在 [-1, 1]區間是odd function，兩個odd function做composition仍是odd function。proof: Let f, g be odd functions. Then f(g(-x)) ----g is odd---> f(-g(x)) ---f is odd---> -f(g(x)). So f(g(x)) is odd.
太牛啦!我從幾年前就在你的原頻道看過你解微積分，結果現在竟然開中文頻道解台灣的題目，果然數學無國界
原來"不直接積分"才是正解XD
看不到曹老師帥氣的樣子，還有單手換筆的技巧啊
DSE 一定要知道，每年必考題
謝謝老師 我一覺到天亮
可以讓x提出來變成pi/2，但前提是你要把sinx/1+cos^2(x)整理成f(sinx)的形式，才可以這樣做。
香港的觀衆們：這題不會的話，M2基本上level 5 也有點抓不住呢。
不需要用到King property （不過這也是很多時候較難的題目的技巧）,不過類似，只需要利用even/odd和sin cos之間的互換：
記得 sin(pi/2 - x) = cos x; cos(pi/2-x) = sinx; let x = pi/2-u
int x sinx/ (1+cos^2 x) dx from 0 to pi -> -int (pi/2-u) cos u/(1+sin^2 u) du from pi/2 to -pi/2
-> int (pi/2) cos u/(1+sin^2 u) du from -pi/2 to pi/2 (u cos u/ 1+sin^2 u 是 odd function 所以積分是0 在 -pi/2到pi/2裏面; 而另一個則是even -> factor of 2 and from 0 to pi/2）
然後 let t= sin u
-> (pi) int 1/(1+t^2) dt from 0 to 1-> 這個是典型的arctan integral
-> pi * arctan(1) = pi^2/4
這題沒有任何part a part b的話基本只有5* 5**的才會吧，但如果有引導的話確實不算特別難
所以我最後選M1了🙈🙈
2020 M2 5* 路過
我第一眼的反應就是 let u = π - x
補過 Koopa 的應該都知道這是 "Koop sub" 的其中一種
@@johntse57705*既同學,所謂既Koop sub，只係將前人既解題方式，用商業手段包裝既手法，如果你真係5*同學仔，好開心「時下既年輕人」都會上youtube學下野，但同時又唔知補習社「幫同學仔快速記憶既方法」，其實係咪真係幫助到大家，由學習數學，學得到思考問題既角度。
以前讀AL pure maths既「同學仔」路過😂
@@johntse5770嗰個koopa 又喺度將已經有嘅嘢代自已名當神技😂
工作兩年已經忘了怎樣處理，不用考試就滿有趣
我從很多日本的數學演示者示範的，看到過很多次這類過程
積積硬硬的。
My first intuition would be using 'u = x - pi/2' to get rid of the u*cos(u) part with the properties of odd functions.
不知道為什麼我的演算法推了這個給我😂😂😂
明明就在講中文英文 我沒有一個字聽得懂
去年考研数学这种题看到就会，今年上岸后马上就忘光了😂
深入淺出、講解的很好！
辛苦了 謝謝老師
好厲害!!😄😄😄😄
最後那句“不夠位置”真是太好笑了哈哈哈哈
😆
定积分经常出现影片中的情况，一通演算下去，会得到一个 I=xxx + I 或者 I=xxx·I 的形式
變數變換，let u = pi - x.
其實台大大學部的微積分2就會考這種題目，不過會有一點引導
挑戰100題積分👉 th-cam.com/video/uo2xhhy0uso/w-d-xo.html
大神💯👍
積你太美
所以拍跟0為什麼一開始就歪了
菲赫金哥尔兹《微积分学教程》第二卷的原题，基本的换元公式
大陸稱為：區間再現
一個高一生在旁邊像猴子一樣聽這道題...
抱歉問一下，x=pi-x帶入，dx應該要多一個負號?
請問定積分 f(x)dx = f(a+b-x)dx 的證明可以在哪一部影片看到呀？謝謝
資訊欄裡的第一部影片
@@bprptw 謝謝您
曹老師居然連低卡也有涉獵
真的很玄
還是推甄好了😂
我他媽竟然看完了⋯⋯
這題不會，回家務農啦，還考什麼研究所
我覺得老師可以研究一下香港的高中數學延伸部份單元二(M2 代數與微積分)的DSE考試題目 裏面有很多不同的微積分題目 我老師說能在這份試卷拿到5* * (最高等級)的人寥寥無幾 就算是我老師也最高只能拿到5 * 老師可以挑戰一下嗎🙏🏻🙏🏻(有分中文及英文版本 老師的話應該英文版本比較合適你)
2022嗰份☠️
今年2023拿了5**😎
@@pneujai +1, for both math and m2
香港alevel年代的純數是真難，DSE的M2簡單很多了，主要是計算題基本沒有證明題，解題的方法也沒那麼多樣
@@squirrel7910 是的 所以這三個多月自學PMaths 把2013-2000的試卷都做完了
當作預習year 1
曹老師，之前都是看您的白板教學，第一次看到電子畫面，請問這是用平板? 搭配的是哪一套軟體或app? 謝謝~
👋 因為我人現在在台灣 家裡沒有白板但是又很想錄這一題！ 我是用iPad, good notes, screen record, “crop”, and a mic. 都在iPad上做好。
太棒了，以後也許我可以練習用這種方式教學，謝謝~@@bprptw
@@bprptw你之前説好幾年沒回來，原來現在在台灣啊？
@@呂永志-x7o 對 十七年沒回台 今年總算回來了 😄
白板去哪了？
0:03開始看不懂了
別讀工科了
我個人的想法是，把分子變成cos(ax)，先用不定積分，積分完之後對a微分，就可以得到原本問題的不定積分解，再帶入上下界即可?
怎樣變？
應該不是說變，我的意思是直接算分子是cos(ax)的解，算完對a微分就會變成題目要的樣子，有點類似Feymann tech
@@wonghingyip8073
可是分子換成cosax之後是不是積不太出來
為甚麼看完之後，感覺到一切也回到起點呢？剛才的我也在看了甚麼呢
老師可以請您講中文嗎
?
不是這個積0到pi 根本不用積用複變算留數就可以有答案了嗎
这就是分部积分啊，作为中山大学的学生这都不会做😢
轴对称了解一下
我到現在還是搞不懂學了微積分可以用在哪些地方?
主要是學概念，但這麼多積分技巧真的duck不比
各種 財務金融 工程 電腦科學 訊號處理 物理 你想得到的非純文領域幾乎都用得到
我大一學完微積分想說再也不要碰這鬼東西，結果現在工作在搞流體力學還是整天在微分方程
資料科學一天到晚用到喔，日常生活中都有機器學習的模型，各種手機電腦的功能，都是建立在這方面的基礎，其實大家都是默默在使用沒發現而已
@@nanaba2989 雖然道理是這麼說，不過一般模型底層做BP也是普通的偏微分，正常推演也挺少需要套解題技巧下去變著方式解的...
更何況function寫完後，其他人也是call來用，到頭來大家都在用，真正得會的人還是不多
樓主大概不是得會的那群😅
看到封面 0到pi x 乘sinx 結束了xd
這題滿簡單的吧
這題考N次了
浪費生命解這個幹嘛⋯⋯一段時間沒碰還不是都忘光
那你吃飯幹嘛…. 一段時間後還不是都會餓
@@bprptw 這個回答好棒XD
會說這種話的人，人生應該也沒什麼目標跟理想了吧
不知道為什麼台灣的大學沒什麼在教king property
因為現實的問題用電腦積就好了，
為什麼要學到這麼毛皮的作題技巧?
對 我在念資工微積分也沒講到 簡單歸簡單 屬於那種看過才簡單的題目
我是覺得這個性質很有趣 我之前也是在日本專門積分的yt頻道看到的
老師你好，本題有一個類似的變形，但難度高很多
將分母1+cos^2x改成1+sin^2x，分子改成xcosx，一樣能算出答案(上下限不變)
老師有看到的話可以挑戰一下
另外，影片中的題目使用IBP即可，dx轉dcosx，後項積分為0，算前面的-xarctanx即可
這只有一種解法而已嗎？不懂King property難道就無解了？
IBP就可以了
看不懂😢（高一生）
之前看過其他 youtuber 講過這題「怪物積分」😂 講的不錯~ th-cam.com/video/iTWW3EyLnSY/w-d-xo.html
這什麼東西
King property
不知道为什么给我推送了这个视频，但一眼就知道属于非常基础的题，对任意函数f，xf(sinx)在(0,π)上的积分，等于π/2f(sinx)在(0,π)上的积分
大陆研究生入学考试基本不会考这种基础题了
就king property，但其實一般臺灣的大學生不知道這個東西。只能說中國人多，所以考題套路要夠多才能刷掉足夠多的人
的確，大一微積分已經教了，這不會就...
@@Super-gt9lk 是的，大陆的考研数学是所有高校统一命题，要有一定区分度，不然大家都去考清华了。但是标题说是台大的研究生考试，确实很难想象考这么基础的
@@gailefrankie9849 大陆的本科生也未必都会，但想读研究生的话基本都要掌握的
为什么要背这种property，我是学数学的都没听说过😅
就個考題也要被某些人自卑的人拿來填滿優越感，真是莫名其妙😌
原來看到題目有興趣想算也能被你當成自卑，看來你的眼界是真的很低
Not hard!
身為頂大物理系學士現在竟然連這種簡單的積分都要忘了😂😂
這應該不太算簡單的積分, 至少要轉好幾個彎或清楚好幾個關節才能解不然會卡住啦...
碩士+1
我們系主任一直是物理系數學只是工具，會用就好，重要的是物理的image
這算中高階題了，要會分部積分、變數代換 ，還繞了一下題目本身不直接解出，一定要作過類似題型，不然臨場是寫不出來的。不作微積分20年了，也只能瞪出分部積分跟變數代換，忘記最後一個技巧了。
就只是簡單的King Property。😂