Различные принципы непрерывности | матан
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 30 ก.ค. 2018
- Математический анализ 004
Различные принципы непрерывности
В этом выпуске проговорим про
- принцип Дедекинда;
- принцип верхней грани;
- принцип Кантора;
- принцип Архимеда;
- принцип математической индукции
и связях между ними.
003: trushinbv.ru/studentam/1-kurs/...
002: trushinbv.ru/studentam/1-kurs/...
001: trushinbv.ru/studentam/1-kurs/...
Библиотека курсов онлайн-школы Фоксфорд: foxford.ru/library/courses?re...
Онлайн-курсы с Борисом Трушиным:
11 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике. Часть C (задания 13-19):
foxford.ru/courses/940/landin...
11 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике. Часть B (задания 1-12):
foxford.ru/courses/939/landin...
10 класс. Подготовка к ЕГЭ по математике:
foxford.ru/courses/938/landin...
9 класс. Подготовка к ОГЭ по математике:
foxford.ru/courses/937/landin...
Личный сайт: TrushinBV.ru
ЕГЭ и ОГЭ по математике | Борис Трушин: ege_trushin
Группа сайта TrushinBV.ru: trushinbvru
Личная страница: trushinbv
Группа сайта: / trushinbv
Личная страница: / boris.trushin
TH-cam-канал: / trushinbv
![[TH] VCT Masters Shanghai Playoffs DAY 2 // PRX vs G2 | EDG vs TH](http://i.ytimg.com/vi/T5j2XVcDFs0/mqdefault.jpg)
В классное время живём... Вроде дома, а можно заниматься с лучшим преподавателем математики
В университете все те вещи, про которые Вы говорите, проговорили оочень быстро. Благодаря Вам, все разложено по полочкам)))
Борис, я студент 1 курса МФТИ, и вы меня просто спасаете своими видео...ОГРОМНОЕ СПАСИБО! Если бы не вы, я бы так и не понимал математический анализ... Приходим к выводу, что вас очень - ОЧЕНЬ не хватает в МФТИ - возвращайтесь пожалуйста, мы все вас очень ждем! Также я думаю, что подобные тематические плейлисты по высшей математике будут ПРЕДЕЛЬНО полезны абсолютно каждому студенту. Например по аналитической геометрии или ОКТЧ. Спасибо за ваше внимание и спасибо за ваш труд. С любовью, ваш постоянный зритель.)
А кто у вас лектор?
@@trushinbv, лектор - Корчагин Антон Игоревич. Он неплох, но он не объясняет, как вы, прямо на пальцах, чтобы все стало понятно на 100%.
@@trushinbv, возможно это так сказываются временные рамки на определенную тему...
Не знаю такого (
Вы на каком факультете?
@@trushinbv, я на ФИВТ - ФПМИ.
Хочется поблагодарить Вас от всей души! Честно, искренне. Вы настолько понятно объясняете,что мне стыдно что-то не понять . Лучший учитель!
Спасибо за лекцию!
Борис, как всегда спасибо за видео ;)
Очень хорошое видео, продолжайте это нужное дело.
Спасибо огромное
Спасибо за цикл
Борис Викторович, сейчас началась Высшая математика, пока не получается прочувствовать все темы настолько же ясно, насколько это было с ЕГЭ. Смотрю Ваши видео и всё становится понятнее.
Подскажите, что можно почитать/посмотреть/порешать, чтобы получить полную ясность?
@@user-dg8so5zb3m Лекции в универе зачастую менее информативны(хоть это и МГУ..). В большинстве случаев даётся формула и разбираются только те задачи, которые нам встретятся в контрольной(и ни шагу в сторону). Чувствую себя бухгалтером, который просто "жонглирует" чиселками...
Спасибо за видио.
Спасибо!
Спасибо большое за Вашу работу, начинаю вникать! Но лично мне в этом видео не хватило конкретных примеров...
Вы классный
Спасибо
отлично
Кайф...
Аксиома Архимеда позволяет избежать в упорядоченных числовых системах бесконечно большие и бесконечно малые ЧИСЛА. Например, присоединить к числовой прямой несобственную точку. Хотя физики обходят Архимеда: возьмём бесконечно малый объём dV...
Здравствуйте
Помогите пожалуйста:
А почему Принцип Дедекинда следует из Принципов Кантора и Ахимеда? Почему из Кантора - понятно, но зачем нужен принцип Архимеда додумать не могу
@Иван Иванов а как принцип Архимеда это гарантирует?
Подозреваю, что без принципа Архимеда нельзя утверждать, что существует отрезок с длиной меньшей чем любое действительное число.
Покажите пример, как доказать обратное, что прямая линия имеет разрыв
10/10
от не совсем понятно почему правило "что можем прибавить +1" работает после b, что если в нашей вселенной при достижения верхней границы(если такая есть) это бы правило переставало работать. типа b+1=b, тогда все доказательство лишено смысло. да для квадрилиона натуральных чисел это работает а потом бац и упирается в это грань, как например скорость света, склько не сложи скоростей а больше "с" быть не может.
А где можно посмотреть вывод из принципов Кантора и Архимеда принципа Дедекинда? Хотя бы схему доказательства...
Принцип Дедекинда math.nsc.ru/~wwwdyat/MA2010/Lecture_Notes/chapter01.pdf
Принцип Кантора это Лемма о вложенных отрезках она есть у Бориса в одном из предыдущих видео
Принцип архимеда elar.urfu.ru/bitstream/10995/28697/1/978-5-7996-1340-2_2014.pdf 42 страница
Вообще скачай нормальный PDF сборник лекций по матану и листай, читай для начала это лучше учебника, чтобы в основы вникнуть
Вывод принципа Дедекинда есть в книжке у фихтенгольца вроде там же за аксиому принимается принцип Архимеда и с помощью этого всего этого доказывается принцип Коши-Кантора
Math by autist Dima G. Я знаю содержание этих принципов. Меня интересует как из Архимеда+Кантора вывести Дедекинда.
Евгений Дахно В Фихтенгольце не совсем то, что мне нужно. Там строится теория иррациональных чисел, на основе рациональных. Долго и мучительно. Принцип Кантора понятен интуитивно (почти очевидный геометрический факт), принцип Архимеда тоже. Я бы с удовольствием взял их как аксиому непрерывности и сделал бы следствием теорему о верхней грани. Но для этого нужно доказательство принципа Дедекинда.
Увидел в учебнике Л.Д. Кудрявцева прямое доказательство теоремы о верхней грани с использованием принципа вложенных отрезков и принципа Архимеда. Так что вопрос можно считать закрытым.
Откуда берётся принцип математической индукции? Мы его проходили краем, но без доказательства. Не совсем понял: в видео доказательство этого принципа или нет?
Математической индукцией принято называть аксиому, которая позволяет распространять утверждения на все натуральные числа. В смысле же непрерывного множества действительных чисел, построенного тем способом, который использует автор, натуральные числа нужно "создать", т.е. предъявить множество, которое удовлетворяет аксиомам. Так что математическую индукцию приходится доказывать, чтобы утверждать, что сложением единичек мы получим множество натуральных чисел. Ответ: да, доказан метод математической индукции, но в системе значительно более широкой, чем натуральная арифметика.
Mark Shevelev спасибо
есть вопрос по поводу доказательства принципа Архимеда:
если b = supN, то между b и b - 1 обязательно найдётся натуральное, а если b окажется натуральным, то b - 1 тоже будет натуральным и между двумя натуральными натурального уже не найдётся((( что делать в таком случае???
Максим, я пришла к выводу, что, если мы берём натуральное b, то в неравенстве n > b - 1 число n мы примем как раз за это натуральное b. При желании можно вынести это в частный случай, где верхняя грань, ограничивающая натуральные числа, входит в это самое множество чисел. Иначе говоря, в промежутке (b - 1; b] мы всегда имеем хотя бы одно натуральное число b
@@karinamononoke3280 понял, спасибо большое)))
А вот почему в доказательстве принципа Архимеда sup N принадлежит множеству R?
Потому что натуральные числа вводятся как подмножество вещественных, получающееся в результате неограниченного прибавления 1. Т.е. более строго N - это минимальное по включению множество такое, что оно содержит 1, и для любого n из N оно содержит и (n+1)
Непонятно, каким образом получилось доказать индукцию. Т.е. явно показано, что 1 2 3 и 4 принадлежат А, но вдруг есть такое P, что мы его как-то пропустили. На какие именно аксиомы из списка мы опирались, чтобы индукцию не пришлось брать за аксиому?
На пальцах получается, что для P, которое не попало, нужно построить множество {P, P-1, P-2, P-3, ... }, причём ни одно из этих чисел не должно попасть в 1, 2, 3 или 4. Затем ухищрениями с точной нижней гранью доказать, что 1, всё же, принадлежит этому множеству. Как-то так. Но это нужно как-то точно проделать.
Если так не получится, то нужно брать индукцию аксиомой.
По определению натуральных чисел это множество вида: 1, 2=1+1, 3=2+1, ...
Вы нигде не используете того факта, что применяется операция именно суммы. Не будете же Вы утверждать, что мат. индукция выводится при любой операции следования.
В старинной книге Липмана Берса есть более содержательное доказательство. Строится множество непопавших натуральных, находится его нижняя грань (по пути используется лемма, что эта гнать принадлежит самому множеству). Либо найденная грань равна 1 и приходим к противоречию, либо не единице, тогда находим предшествующее, оно уже в A, значит и грань в A - противоречие. Но это значительно более содержательно вашего доказательства. Где же "честность"? =)
Давайте еще раз )
Мы не можем ничего пропустить. По нашему определению любое положительное число это сумма единичек.
Фактически принцип матиндукции для нас является определением.
Более "содержательное доказательство" требуется при других подходах к действительным числам и, соответственно, натуральным. А в качестве его это нужно брать при поэтапном построении натуральные-рациональные-действительные, если мы хотим ввести множество натуральных чисел сами по себе, без предварительного введения действительных.
Борис Викторович, тут к доказательству две претензии. 1. Собственно, что означает многоточие (или "и так далее") в определении натуральных чисел - аксиомами это никак не регулировалось. На это вы отвечаете, если я правильно понял, что это и есть по сути индукция и получается, что мы доказываем индукцию через индукцию. Хорошо, почему бы и нет, мы можем понимать индукцию как часть определения множества натуральных чисел, но тогда вылезает вторая претензия. 2. С чего мы взяли, что множество натуральных чисел (как множество для которого выполняется аксиома индукции) вообще существует в R.
Борис Викторович, благодарю Вас, за уроки, что Вы преподаёте нам в виде роликов! Математику можно понять в любом варианте: в книге, в школе, в вузе, в видеоуроке... Главное - не придумывать себе своеобразное понимание того, что нам в понятном варианте всем преподносят. Изобретаем "лишний" велосипед....
P. S. Это на своём опыте...
А это правда что натуральных чисел столько же сколько и нечетных?
Об этом вы узнаете в следующей серии )
Мусинский дневник Но если рассматривать теорию множеств Кантора то можно прийти к выводу что точек на плоскости столько же сколько и точек на прямой
Да и вообще все это следует что любое счетное множество равномощно множеству натуральных чисел.
Полностью согласен
На бесконечности да. Как только задать этим множествам верхние грани и если числовые значения этих граней будут равны (идея заключается в том, чтобы сделать эти множества конечными на некотором промежутке), то множ. натур. чисел будет мощнее
Интересная теорема. Но можно же взять и так же сказать, существует такое а, что оно на 0,0000000...1 больше n. Тогда получится, что множество R накрывает множество N. Они же оба бесконечные.
К тому же множество R содержит множество N, а значит число а само может быть натуральным... Хотя с другой стороны если а будет натуральным, то можно к n прибавить 1, и оно все-таки будет больше. Насчет того что вы сказали. Если а будет равно какому-то к+0,0000000000001(к - натуральное число), то можно прибавить к числу к 1 и все встанет на свои места:k+0,0000000000001
Тогда а=n
я не понял в чем суть принципа Архимеда, если с той же логикой можно утверждать ,что для любого натурального числа найдется вещественное больше данного натурального. Объясните если не прав
Смысл в том что мы для любого действительного числа можем найти натуральное которое будет больше него.
4,5
Юрій Ярош также можем сказать, что 5.5>5 и е>2
@@nabee7879 Ну да. Можем.
@@nabee7879 Утверждение что для любого натурального существует вещественное больше него правдиво, но его очень просто доказать и при этом не нужно использовать аксиому полноты.
Для чего нам нужно использовать и принцип Кантора и принцип Архимеда для доказательства принципа Дедекинда, если только одного принципа Кантора достаточно для того, чтобы доказать принцип Дедекинда?
Я просто не понимаю, с принципа Архимеда у нас следует определение супремума и характеризация натуральных чисел (объяснение, что n2 = n1 + 1).А с принципа Кантора на прямую следует принцип непрерывности, что существует такое c, что a
Метод математической индукции это же аксиома?
Это метод.
Разве в доказательстве принципа математической индукции вы не использовали это самую индукцию, сказав "и так далее"? Да, 1 принадлежит А, 2 тоже, 3 тоже, а какова гарантия, что дальше будет так же? Никакие аксиомы из названных этого не гарантируют.
Четных больше нечетных, т.к. у них в команде 0 есть.)
Но, видимо, все-таки оба множества счетные.
Здравствуйте, а вы преподаете матан так как вы видите это правильным, или так как преподавали на физтехе?
да, и да )
Есть ли ошибка в моих рассуждениях?
{Принцип верхней грани}=>{Принцип Кантора}
Совершаем те же выкладки, что совершал Борис Викторович при доказательстве принципа Кантора в предыдущем ролике вплоть до момента, когда получаем, что для любого а из А и b из B a
Верно. 𝑎≤𝑐 по определению верхней грани. 𝑐≤𝑏, поскольку каждое 𝑏∈𝐵 ограничивает сверху множество 𝐴, а 𝑐 - наименьшее из таких чисел.
@@antoshal Спасибо.
Но n же не натуральное число, так как ми к b' прибовляем какие-то не целое число чтобы получить n (n из принципа Архимеда)
+++
А можем ли мы в Вашей системе доказательств утверждать (см. 2:37), что если множество N ограничено сверху, то существует sup N?
Насколько я понял, Вы делаете такой вывод на основе теоремы о существовании верхней грани, которую доказывали на основе аксиомы непрерывности Дедекинда.
Но аксиома непрерывности Дедекинда не работает на множестве натуральных чисел!
Значит, и Ваш вывод о существовании sup Т неверен!
Это так?
Если еще актуально: Принцип Дедекинда, естественно, не верен на N (имеется в виду неверность ровно того же утверждения, только в котором R всюду заменили на N. Можно привести пример двух таких подмножеств натуральных чисел X и Y, что будет верно x
@@pavelpavel3773 погодите, вы сами говорите, что принцип Дедекинда не работает на натуральных числах. А БВ применяет его для доказательства теоремы архимеда от противного. Так разве можно? 🧐
Алексей Алимаскин, всё просто: N определяется в данной системе как подмножество R. Так что N - это некоторое множество вещественных чисел, и если оно вдруг ограничено, то у него и супремум есть, в точности по той самой теореме
@@pavelpavel3773 вы ошиблись, в вашем примере вполне очевидно, что [1
если множество ограничено то оно имеет верхнюю грань... так оно же этой верхней гранью и ограничено :D это какое то словоблудие. типа если кастрюля накрыта крышкой то у кастрюли есть крышка, капитан очевидность )))))))
КОШЕРНО
От Вас не ожидал путаницы между верхней гранью и точной верхней гранью
В разных подходах разная терминология )
Слишком растянуто говоришь; кому надо, может на паузу поставить в любой момент.
ставь на 2х, в чем проблема, все видео смотрю в 2х :)
Таким макаром, можно и видео не смотреть, а читать учебник.
@@Incognito-be3sv так читай, кто мешает