мне кажется, иллюстрацию (правда на несколько более продвинутом уровне восприятия) можно искать в Топологии. Полагаю, >> Система вложенных многообразий имеет общую точку, а может и еще точнее - некое множество точек (для некоторых случаев) Если кто-то знает, как называется эта Теорема, просигнальте, плз!
Спасибо большое за такие подробные видео, я учусь на первом курсе и на лекциях вообще ничего мне не понятно. Вот первые три видео с общей длительностью примерно час дали мне гораздо большее понимание темы, чем 4 часа трёх лекций у меня в универе
Спасибо за ювелирность в логике. Десятками лет не понимала эту тему, а тут от Вас за какие-то минуты стало всё убедительно ясно. Здоровья и счастья на долгую жизнь я Вам желаю!
@@vickpukhov8398 по сути вместо ε > 0 → ∃n ∈ ℕ : bₙ - aₙ < ε проще написать ∄ε : 0 < ε < bₙ - aₙ | ∀n ∈ ℕ Я просто восстановил причинно-следсвтенную связь так, чтобы она читалась слева направо, а не с вывернутыми руками наизнанку через заднюю полусферу)) И я хз, нафига нам все восприятие усложняют... У меня воспоминание с 1ого курса, что матан - это жуть. Хотя фактически это только из-за того, что преподы пишут так, как принято, и не уделяют достаточно времени и внимания возможным упрощениям того самого, "как правильно"... P.s.: кстати, что забавно, Трушин тут тоже дает классические формулировки)
Относительно системы вложенных интервалов, вместо нестрогого неравенства получается строгое a_n < b_m, и формально аксиома непрерывности неприменима. На пальцах, правда, совсем непонятно, почему эта аксиома неприменима... Дедекинду, видимо, тоже было непросто =)
Действительно получается строгое неравенство, а раз оно строгое, то аксиома непрерывности неприменима, так как она действует только для нестрогих неравенств. А не строгое оно потому, что строгое неравенство не может задать отношение порядка на множестве, так как не выполняется условие рефлексивности.
У меня тоже на этом месте затык. По идее она как раз должна работать: если взять классическое неравенство и убрать равенство (в рифму, лол), то мы всё ещё имеем два множества, где для всех a и b: a
Присоедняюсь к вопросу. Почему должно быть больше и равно в аксиоме непрерывности. Для отношения порядка равенства найдется С которая будет больше или равно, а для строгово неравнества С2
Мне кажется, что когда имеется ввиду бесконечная система вложенных отрезков, то мы бесконечно убираем а_n и b_n из изначального множества точек, в некоторых системах вложенных интервалов все точки рано или поздно исключатся из множества точек
Круто! В химии все равно есть граница деления вещества, атом, там, электрон, нейтрино, но математика ушла дальше, сколь угодно малый отрезок) математика чхала на границы, математика - мама анархия
это совсем не химия. Это квантовая физика. Уточню. Данное минимальное расстояние существует и равно длине определелённой через постоянную Планка - Дирака - планковская длина
и кстати в этом и есть вся прелесть, что физики описывают наш мир с той позиции что пространство-время дискретно, аналогично как вычислительная техника создаёт модели, но математика доказывает о существовании таких понятий как непрерывность, помогает своими методами предсказывать и объяснять то о чём мы не знаем. А ведь понятие непрерывности оно и есть фундамент анализа, фундамент дифуров и т.д. Парадокс, но непрерывность доказывает истины и свойства дискретного мира. И тот кто хорошо разбирается в вопросе меня тоже наругает и скажет что дискретность эта условна и я с этим соглашусь, но она очень хорошо работает сейчас.
В Википедии случайно наткнулся на последовательность вложенных интервалов, которая не содержит общей точки (0, 2^{-n}). Если бы это был отрезок [0, 2^{-n}], то 0 как границу можно было бы использовать как общую точку, а в интервале такой точки найти нельзя. Об этом, видимо, говорил Борис, когда упоминал о "каком-то важном свойстве отрезков" =)
Но это верно только если считать пустое множество интервалом. Т.е. это будет верно просто по определению. Но если пустое множество - не интервал, то как доказать, что интервалы (0, 1), (0, 1/2), (0,1/4), (0, 1/16)… не содержат общей точки (хоть для R, хоть для Q).
@@sibedir мне кажется, дело в том, что, грубо говоря, левая точка всех интервалов одна и та же, т.е. 0, а правая постоянно смещается, т.е. область значений, удовлетворяющих интервалу a(n) будет постоянно уменьшаться, при том что нельзя будет однозначно найти наименьшее её значение (ведь 0 не входит), и какое бы мы маленькое ԑ не взяли, найдётся такое a(n+k), где k - целое, что числа из интервала a(n+k) не будут содержать число ԑ, в силу принципа непрерывности. Может быть, это было криво, но я понял всё именно так)
Не очень понятно в чем противоречие. (0, 2^{-n}) если n от 1 до бесконечности, все начинается с отрезка (0;5) правая граница которого увеличивается с ростом n . Почему, например, число 3 не является общей точкой для всех них?
@@NlkitaRomanov Наибольший отрезок не (0;5), а (0;0.5). Следующий (0;0.25), и далее граница сдвигается влево. Число 3 ни одному из отрезков не принадлежит.
БВ, скажите пожалуйста, прав ли я. С интервалами не зайдет самый последний шаг в доказательстве существования общей точки, т.к. если a не больше чем с, и с не больше чем b, то это не значит, что с находится в интервале (a,b)(например, 5 не лежит в интервале (5,3)). Можно ли надеяться, что когда-нибудь Вы дойдете до обобщения: теоремы о вложенных компактах?)
Подскажите пожалуйста, почему в определении вложенных отрезков - неравенство строгое a(n) < b(n) 1:15, при этом в докозательстве используется формула a(n)
@@ZandanD a < b - эта запись означает a ≤ b & a ≠ b по определению из 1-го видео из серии. a ≤ b & a ≠ b ⇒ a ≤ b по очевидной причине: если A & B, то любое из A и B (где A и B - высказывания по математической логике (или суждения, что-то типо такого))
По определению отрезка в него включены две точки, его ограничивающие. А по определению системы вложенных отрезков весь отрезок вложен в предыдущий (в том числе те самые две точки). Вопрос: что не так с этой логикой? Возникает ощущение, что придется вкладывать отрезки друг в друга, пока мы не дойдем до такого, который не будет включать в себя одну из точек, его ограничивающих.
В интервале нет общей точки Потому что находя какую-то точку в интервале Мы берём ее за одну из границ(допустим левую) а правую оставляем Потом так же берём точку из нового интервала и так же делаем ее левой границей нового А правую границу оставляем на месте И так далее Поскольку граница не является точкой внутри интервала Мы можем взять любую точку и сделать её границей
По сути задача на знание аксиоматики. Если ты не знаешь об аксиоме непрерывности, ты никогда не докажешь эту теорему. По-моему даже Зорич писал, что аксиому непрерывности можно доказать из этой теоремы.
@@johnwatson122 Потому что программа 8 класса слишком понятна, геометрия не особо интересна, Олимпиады пока ничего не дают, а лезть в тригонометрию не очень хочется. Ну по крайней мере у меня так
@@mradvocat если олимпиады пока ничего не дают, это как бы не поводо их не ботать. Разбирать задачи со всеросса 9-ого щас было бы в разы полезнее программы первого курса
Мне вот интересно, к чему стремится длина отрезка? Если не говорить, что к 0 (поскольку ноль это ничто), то к математической точке, именно к той, которая и является единственно общей для всех отрезков!
Для a индексы идут по воз-нию слева направо, для b - справа налево. Начинаем с [an; bn], вкладываем в него [an+1; bn+1] и т.д.: [..[..]..] «bn» означает, что данный «конец» относится к an, а не то, что он идёт первее b-шек с большими индексами
Борис Викторович, маленький вопрос: не понимаю, почему общая точка системы стягивающихся отрезков единственна, ведь фактически точка имеет размер(длину, если угодно) равную 0, но если внутри отрезка одна такая точка, то и сам отрезок имеет длину 0, но отрезок с длиной 0-это не отрезок, а точка. И тогда не может идти речь о системе отрезков=> таких точек должно быть ∞ много для любого сколь угодно малого отрезка (достаточно брать точку с координатой, равной среднему арифметическому двух соседних точек). Даже если рассматривать длину как предел, он будет не равен нулю, а лишь стремится, что опять же лает возможность наличию ∞ числа точек
Так в геометрии вроде рассматриваются отрезки длины 0. Это означает, что начало и конец этого отрезка - одна и та же точка. Хотя, в школе, возможно, об этом и не говорят))
@@trushinbv , а может ли отрезок содержать, допустим, 1 точку? Ведь это не проиворечит условию: отрезок это ограниченный с двух сторон участок прямой. Точка в каком-то смысле является с двух сторон ограниченным участком прямой.
Здравствуйте. Посоветуйте , пожалуйста , что выбрать , между цифровыми технологиями в приборостроении в ИТМО и информационной безопасностью в Бонче. Какое из направлений перспективней и намного ли лучше ИТМО как IT вуз ?
Андрей Сахно много плохих отзывов в интернете , мол ИТМО - только бренд, поэтому я и выбираю. А также я не знаю , какое из направлений перспективней , поэтому я и спрашиваю тут
Если (an;bn) интервал и an=bn, то получается, что внутри этого интервала нет точек вообще. А значит нет точки, принадлежащей всем интервалам. Похоже на правду?)
Артём Юлосков так если an=bn, то это точка, а не отрезок, а речь о системе отрезков Как я понимаю, в интервал (an;bn) точки an и bn в принципе не входят=> достаточно взять любое n, для того, чтобы an или bn не принадлежали хотя бы одному отрезку(тому, концами которого являются)
Борис Викторович, а не могли бы вы пожалуйста объяснить в комментарии или в другом видео(желательно :) ) другую конструкцию построения системы вложенных отрезков, что мол берется отрезок длины [a, b] и точкой (a+b)/2 делится на два равных отрезка. Далее, берется один из этих отрезков и обозначается [a1, b1]. Далее берется этот же отрезок [a1, b1] о опять делится пополам. Что мне не понятно здесь, так это то, что a, a1, a2, an - это получается одна точка. Хотя должно быть a
Здравствуйте. Был на олимпиаде когда был в 9 класс, там на областном этапе была задача "В длинном коридоре растилают дорожки, каждая из которых занимает всю ширину коридора. Докажите, что если каждая дорожка пересекается с каждой, то есть 1 точка, в которая принадлежит всем дорожкам" является ли эта задача, цель которой доказать теорему непрерывности множества действительных чисел по кантору?
Борис Викторович, добрый день, когда Вы сказали о лемме вложенных отрезков Кантора-Коши, я не мог не вспомнить о лемме Гейне-Бореля, скажите,пожалуйста, как доказать,что отрезок = компакт и чем отличается компакт от покрытия и разбиения множеств, заранее благодарю
Возьмем в качестве примера для вложенных интервалов (0;1/n). Если существует точка С, принадлежащая всем интервалам, то она положительна. Но увеличивая n сколь угодно долго, мы уменьшим правую границу настолько, что точка C выпадет начиная с некоторого интервала. Получили противоречие. Значит принцип вложенных интервалов не работает для этого примера, а значит неверна и теорема о вложенных интервалах ( из-за наличия контрпримера). Как то так....
Точка С не сможет выпасть за ноль, так как она находится в интервале (0;1/n).Даже если взять в качестве n бесконечность, то мы получим 1/бесконечность, а это будет бесконечно малое число, но неравное нулю, а значит мы всегда сможем найти "эпсилон"
@@nikolas444 вы не правы. Вот почему: Проведем сечения(два) s1 и s2 и, если разность между ними будет меньше любого наперед заданного числа, допустим е, то эти числа( между сечениями) будут равны, следовательно: lim(n-->+●●) (1/n)=0, так как 1/●●-0
Давайте посмотрим: отрезок это учаток прямой, ограниченный двумя точками. Тоесть, эти точки входят в него. Интервал, как, надеюсь, вы помните из школы, это могут быть вот [ такие скобки или вот ( такие. Вторые скобки(круглые) означают, что точка, указанная в них( ближайшее число к этим скобкам( например, (0.5;5) означает, что 0.5 и 5 не входят) не входит. Значит, если мы рассмотрим систему вложенных ИНТЕРВАЛОВ, то увидим, что, допустим, (0;7) и в нем (3;6), второй интервал не содержит 3 и 6, а значит, при сближении к одному из этих чисел, мы получим пустой интервал, например, (3;3).
На пальцах понятно про вложенные отрезки, непонятности возникают в формулах. Почему bₙ₊ₘ ≤ bₘ, если m и n - натуральные числа. Отсюда же вообще не очевидно, что {[aₙ₊ₘ; bₙ₊ₘ]} ∈ {[aₙ; bₙ]}, ведь bₙ₊ₘ по определению больше bₙ при любых натуральных m и n
5:58 Почему a_(n+m) ≤ b_(n+m), ведь у отрезка правый конец не может совпадать с левым концом, иначе это просто точка. Или существует запись, например [4;4] = 4 ???
Правильно ли я думаю, что в системе стягивающехся интервалов общей точки нет. Если система нестягивающайся то такаю точка есть и не одна, их бесконечное количество.(это и для отрезков тоже подходит) Соответственно в системе вложенных интервалов либо общей точки нет вобще(если это стягивающейся), либо их бесконечное количество(нестягивающейся).
Вы неправы. Вот почему: интервалы, как вы помните, надеюсь, о школьного курса, могут иметь вот [ такие скобки, и в этом случае, у них есть общая точка, вы описали случай только вот ( таких скобок.
Почему в доказательстве того, что может быть как минимум одна точка в каждом отрезке из системы вложенных отрезков, Мы используем б_n? Почему нельзя было просто сказать а_н
Я не могу ничего нагуглить про систему вложенных интервалов.....Всё только про отрезки... Подскажите, пожалуйста, где можно посмотреть доказательство теоремы про интервалы или хотя бы как она точно называется? Даже в книжке по мат анализу это только как упражнение
@@MrKesseker речь идёт о вещественных числах, а на числовой прямой вещественных чисел нет двух рядом лежащих, между любыми двумя бесконечное множество можно вставить, поэтому не получится пустого интервала.
Исходя из теоремы: "Стягивающаяся система вложенных отрезков имеет ровно одну точку, принадлежащую всем отрезкам." Следует, что в предельном отрезке множества вложенных отрезков, границы отрезка [an, bn] равны. т.е. являются самой этой общей точкой. Если допустить обратное an < bn, то между двумя точками на числовой прямой лежит бесконечное количество точек. А значит в предельном отрезке не одна точка, что противоречит доказанной теореме. Однако такое условие an = bn противоречит второй строчке из определения вложенных отрезков ∀n∈N → −∞
@@kykripchannel4814 Есть у вас система вложенных отрезков: [-1; 1], [-1/2; 1/2], [-1/3; 1/3], [-1/4; 1/4], [-1/5; 1/5], и т.д. Что вы называете "предельным отрезком"?
@@shakuroff_ildar я дам: вложенный отрезок: от длинной 6 лежит в длине 10 вот таким образом: ○○●●●●●●○○ А теперь в отрезок 6 вписываем еще отрезки другой длины и вот вам задача: где тут начало или конец?
Не заметила, в какой момент мы установили взаимно-однозначное соответствие между вещественными числами и точками прямой. Выражусь точнее: об этом не было сказано ни слова.
@@trushinbv А на слайде 0:54 что там в последней строке? ) Я понимаю, конечно, что в данном случае это просто такое себе "название для интервала". Но хотелось бы посмотреть, как вы доказываете упомянутое соответствие, потому что даже в самых фундаментальных учебниках оно утверждается голословно. И я не возьму в толк, почему их авторы так делают. Например, у Зорича это просто позорнейший параграф. И Вы тоже уже в пятом ролике (про счётные множества) начинаете рисовать числовую прямую, как будто оно уже доказано..
@@andynaz7044 а вы про это. Это всего лишь название. Никто не говорит, что «числовая прямая» это ровно та прямая, что была в евклидовой геометрии. И ее удобно использовать для визуализации, - если число больше, то точка правее. Только и всего )
5:18 не понятно, почему b n+m b m. Я извиняюсь, схрена ли. Вот есть отрезок а [1;5], есть отрезок b [2, 4]. Мы взяли какое-то m, пусть m = 1. Ну чтобы отрезки стали а [2;6] и b [3;5]. m же любое может быть, да? НУ И КАКИМ ОБРАЗОМ 5 < 1 @@@@@ P. S. Я понимаю, что я неправильно представила, просчиталась, НО ГДЕ
m и n это не координаты краёв отрезков на числовой оси, а индексы этих координат. Т.е., например, первый отрезок с правым краем b1=5 (левый край в примере не важен, пусть для простоты у всех отрезков будет а=0), следующий, второй отрезок имеет координату правого конца b2=4. По условию, если отрезки вложенные, то у каждого следующего правый край меньше-равен предыдущего. b2
круто! спасибо! получается у так называемого стягивающего интервала нет ни одной общей точки? и если бы была он бы превратился бы в полуинтервал как минимум
@Тонзиллит почему не существует? Если n не бесконечное количество - то точка же обязательно найдётся, около 0. Ну это из моей логики. Тоже не могу представить, как вложенные интервалы могут не иметь общей точки
Пусть n=3. Сложно в представлении когда отрезок под номером 4 (n+1) меньше , чем отрезок под номером 3. И почему-то такие элеементарные вещи именно у меня в голове никак не укладываются.
Объяснение, почему бесконечная система вложенных интервалов не имеет общей точки: Поскольку у нас система интервалов, а не отрезков, мы не можем конец следующего интервала поставить в конец предыдущего, то есть левый конец постоянно уходит вправо, а правый - влево. Длина интервала при этом постоянно уменьшается. Чтобы система оставалась бесконечной, нужно, чтобы интервалы были отличны от 0 (иначе следующий после нулевого невозможно будет определить, ибо он должен быть короче 0, что невозможно), соответственно, интервалы убывают по длине бесконечное количество времени. Если в какой-то момент выбрать точку, которую мы захотим считать общей, в любом случае следующим интервалом можно выбрать такой, что один конец будет бесконечно близок к другому, а выбранная точка останется как бы за бортом. Поэтому какую бы мы точку не брали, её в любой момент можно оставить за пределами следующего интервала. Соответственно, ни в один момент времени невозможно определить общую точку, в отличие от бесконечной системы вложенных отрезков, где можно дойти до отрезка с длиной 0, который и будет являться общей точкой для всех отрезков. При этом бесконечность системы не нарушится, ибо последующие отрезки будут совпадать с первым нулевым. Таким образом, общая точка в бесконечной системе отрезков существует лишь потому, что такая система может дойти до нулевого отрезка (причём до этого момента общую точку опять-таки невозможно определить, а после включения нулевого отрезка можно), а система интервалов не может
1) - загуглить бином ньютона 2) - вывести его же посредством свойств степеней, допустим так : ((((x-3)^2)^2)×(x-3)), или еще более прямо - пять раз умножить эту скобку. Можно попробовать все подряд, чтобы почувствовать, что это одно и то же
Борис Викторович,хотелось бы видеть геометрические интерпретации теорем,я думаю так будет проще понять.А так лекции замечательные.
мне кажется, иллюстрацию (правда на несколько более продвинутом уровне восприятия) можно искать в Топологии. Полагаю,
>> Система вложенных многообразий имеет общую точку, а может и еще точнее - некое множество точек (для некоторых случаев)
Если кто-то знает, как называется эта Теорема, просигнальте, плз!
Спасибо большое за такие подробные видео, я учусь на первом курсе и на лекциях вообще ничего мне не понятно. Вот первые три видео с общей длительностью примерно час дали мне гораздо большее понимание темы, чем 4 часа трёх лекций у меня в универе
Спасибо за ювелирность
в логике. Десятками лет не понимала эту тему, а тут от Вас за какие-то минуты стало всё убедительно ясно. Здоровья и счастья на долгую жизнь я Вам
желаю!
Система вложенных интервалов
@@vickpukhov8398 по сути вместо
ε > 0 → ∃n ∈ ℕ : bₙ - aₙ < ε
проще написать
∄ε : 0 < ε < bₙ - aₙ | ∀n ∈ ℕ
Я просто восстановил причинно-следсвтенную связь так, чтобы она читалась слева направо, а не с вывернутыми руками наизнанку через заднюю полусферу))
И я хз, нафига нам все восприятие усложняют... У меня воспоминание с 1ого курса, что матан - это жуть. Хотя фактически это только из-за того, что преподы пишут так, как принято, и не уделяют достаточно времени и внимания возможным упрощениям того самого, "как правильно"...
P.s.: кстати, что забавно, Трушин тут тоже дает классические формулировки)
Борис Викторович, словами не передать как я Вам блогодарен. Как только получу первую зарплату, сразу отблогадарю деньгой за Ваш труд.
и как, получил, отблагодарил?)
О боже, спасибо, как хорошо на вечер послушать, закрепляет материал с пары.🙏🙏🙏
спасибо большое! В университете диктуют трындец как быстро, не успеваю понять, о чем идет речь :)
Спасибо! Прекрасный цикл лекций. Беру их в качестве основы для работы классе с математическим уклоном.
Огромное спасибо за эту серию видео, за такое чёткое введение действительных чисел.
Спасибо за видео! Надеюсь курс будет большим и затронет все темы "первого" анализа...
Большое спасибо!учусь на вмк на первом курсе,очень помогло видео!!!
Спасибо огромное ! Специально ставлю лайки на видео, которые даже не смотрю. Вы очень доходчиво объясняйте!
Все отлично ! Больше видео !!! Спасибо за Ваши труды !
Спасибо! Хоть кто-то убогим в математики подал руку помощи.
Сам ты убогий а мы просто учимся
Относительно системы вложенных интервалов, вместо нестрогого неравенства получается строгое a_n < b_m, и формально аксиома непрерывности неприменима. На пальцах, правда, совсем непонятно, почему эта аксиома неприменима... Дедекинду, видимо, тоже было непросто =)
+, тоже так думаю, согласен ))
Действительно получается строгое неравенство, а раз оно строгое, то аксиома непрерывности неприменима, так как она действует только для нестрогих неравенств. А не строгое оно потому, что строгое неравенство не может задать отношение порядка на множестве, так как не выполняется условие рефлексивности.
У меня тоже на этом месте затык. По идее она как раз должна работать: если взять классическое неравенство и убрать равенство (в рифму, лол), то мы всё ещё имеем два множества, где для всех a и b: a
Присоедняюсь к вопросу. Почему должно быть больше и равно в аксиоме непрерывности. Для отношения порядка равенства найдется С которая будет больше или равно, а для строгово неравнества С2
Мне кажется, что когда имеется ввиду бесконечная система вложенных отрезков, то мы бесконечно убираем а_n и b_n из изначального множества точек, в некоторых системах вложенных интервалов все точки рано или поздно исключатся из множества точек
Спасибо Вам за вашу работу!
Круто! В химии все равно есть граница деления вещества, атом, там, электрон, нейтрино, но математика ушла дальше, сколь угодно малый отрезок) математика чхала на границы, математика - мама анархия
это совсем не химия. Это квантовая физика. Уточню. Данное минимальное расстояние существует и равно длине определелённой через постоянную Планка - Дирака - планковская длина
и кстати в этом и есть вся прелесть, что физики описывают наш мир с той позиции что пространство-время дискретно, аналогично как вычислительная техника создаёт модели, но математика доказывает о существовании таких понятий как непрерывность, помогает своими методами предсказывать и объяснять то о чём мы не знаем. А ведь понятие непрерывности оно и есть фундамент анализа, фундамент дифуров и т.д. Парадокс, но непрерывность доказывает истины и свойства дискретного мира. И тот кто хорошо разбирается в вопросе меня тоже наругает и скажет что дискретность эта условна и я с этим соглашусь, но она очень хорошо работает сейчас.
Ага, и без стакана портвейна бывает трудно разобраться.
Вечный вопрос: люди открыли математику или изобрели..
Спасибо! Понятно, четко изложено.
Все получилось, очень круто! Продолжай, отличные видео)
В Википедии случайно наткнулся на последовательность вложенных интервалов, которая не содержит общей точки (0, 2^{-n}). Если бы это был отрезок [0, 2^{-n}], то 0 как границу можно было бы использовать как общую точку, а в интервале такой точки найти нельзя. Об этом, видимо, говорил Борис, когда упоминал о "каком-то важном свойстве отрезков" =)
+, тоже об этом думал))
Но это верно только если считать пустое множество интервалом. Т.е. это будет верно просто по определению. Но если пустое множество - не интервал, то как доказать, что интервалы (0, 1), (0, 1/2), (0,1/4), (0, 1/16)… не содержат общей точки (хоть для R, хоть для Q).
@@sibedir мне кажется, дело в том, что, грубо говоря, левая точка всех интервалов одна и та же, т.е. 0, а правая постоянно смещается, т.е. область значений, удовлетворяющих интервалу a(n) будет постоянно уменьшаться, при том что нельзя будет однозначно найти наименьшее её значение (ведь 0 не входит), и какое бы мы маленькое ԑ не взяли, найдётся такое a(n+k), где k - целое, что числа из интервала a(n+k) не будут содержать число ԑ, в силу принципа непрерывности. Может быть, это было криво, но я понял всё именно так)
Не очень понятно в чем противоречие. (0, 2^{-n}) если n от 1 до бесконечности, все начинается с отрезка (0;5) правая граница которого увеличивается с ростом n . Почему, например, число 3 не является общей точкой для всех них?
@@NlkitaRomanov Наибольший отрезок не (0;5), а (0;0.5). Следующий (0;0.25), и далее граница сдвигается влево. Число 3 ни одному из отрезков не принадлежит.
Спасибо за работу, очень интересно 😊
Годнота^^
Больше мат. анализа можалуйста! Просто супер.
Борис, спасибо за интересный матан! Жалко, что Вы его у нас не вели, когда я учился на Физтехе =)
Готовлюсь сейчас к коллку по этим видосикам)
@@ДуджиМодульный лол
понимаю
@@leralera1261 хор6)
@@ДуджиМодульный харош
У меня только 24
@@leralera1261 из скольки?
Спасибо за лекции.
Большое спасибо!
Спасибо за новое видео)
БВ, скажите пожалуйста, прав ли я. С интервалами не зайдет самый последний шаг в доказательстве существования общей точки, т.к. если a не больше чем с, и с не больше чем b, то это не значит, что с находится в интервале (a,b)(например, 5 не лежит в интервале (5,3)). Можно ли надеяться, что когда-нибудь Вы дойдете до обобщения: теоремы о вложенных компактах?)
Спасибо!
Спасибо за видео!
Спасибо за матан!
Подскажите пожалуйста, почему в определении вложенных отрезков - неравенство строгое a(n) < b(n) 1:15,
при этом в докозательстве используется формула a(n)
ошибка видимо
Это не ошибка, если а < b, то а ≤ b
@@F_A_F123почему так?
@@ZandanD
a < b - эта запись означает a ≤ b & a ≠ b по определению из 1-го видео из серии.
a ≤ b & a ≠ b ⇒ a ≤ b по очевидной причине: если A & B, то любое из A и B (где A и B - высказывания по математической логике (или суждения, что-то типо такого))
Просто если рассмотреть случай, когда a_n = b_n, то теорема тоже будет работать
до экзамена 4 дня, работаем работаем
По определению отрезка в него включены две точки, его ограничивающие. А по определению системы вложенных отрезков весь отрезок вложен в предыдущий (в том числе те самые две точки). Вопрос: что не так с этой логикой?
Возникает ощущение, что придется вкладывать отрезки друг в друга, пока мы не дойдем до такого, который не будет включать в себя одну из точек, его ограничивающих.
Кто-нибудь объяснит, почему слева Аn
потому что не Bn, а Bm
по определению n>m bn>=bm an
Как я понял, у b увеличение индекса означает движение по отрезку не вправо, а влево. То есть а и b идут навстречу.
Спасибо
2:25 перевернутый символ объедения означает что отрезок должен быть строго меньше предыдущего?Может быть такое что все отрезки одинаковые?
Это значит, что один является подмножеством другого.
Да, они могут совпадать.
@@trushinbv после твоих лекций ко мне приходят адски практичные мысли
В интервале нет общей точки
Потому что находя какую-то точку в интервале
Мы берём ее за одну из границ(допустим левую) а правую оставляем
Потом так же берём точку из нового интервала и так же делаем ее левой границей нового
А правую границу оставляем на месте
И так далее
Поскольку граница не является точкой внутри интервала
Мы можем взять любую точку и сделать её границей
Так блин непрерывность - между двумя любыми точками есть всегда ещё куча точек. А совпадать границы интервала не могут
Всё отлично. Не хватает только вставок в начале видео)
теперь они в конце ))
10:37 мы вводили это свойство через аксиомы? вроде нет
По сути задача на знание аксиоматики. Если ты не знаешь об аксиоме непрерывности, ты никогда не докажешь эту теорему. По-моему даже Зорич писал, что аксиому непрерывности можно доказать из этой теоремы.
Борис, в определении системы вложенных отрезков указано a_n < b_n, но ведь речь об отрезках, поэтому неравенство должно быть нестрогим a_n
Тоже пришел к такому выводу.
У отрезка не могут совпадать границы
a_n и b_n - границы отрезка, причём тут строгость/нестрогость? Просто когда левый и правый конец отрезка совпадают становится скучно
Что-то восьмикласснику стало сложно, но все равно буду пытаться понимать.
А зачем восьмикласснику материал первого курса?
@@johnwatson122 Потому что программа 8 класса слишком понятна, геометрия не особо интересна, Олимпиады пока ничего не дают, а лезть в тригонометрию не очень хочется. Ну по крайней мере у меня так
@@mradvocat если олимпиады пока ничего не дают, это как бы не поводо их не ботать. Разбирать задачи со всеросса 9-ого щас было бы в разы полезнее программы первого курса
Мне вот интересно, к чему стремится длина отрезка? Если не говорить, что к 0 (поскольку ноль это ничто), то к математической точке, именно к той, которая и является единственно общей для всех отрезков!
непонятно, почему bn+m≤bm. ведь если индекс больше, то значит и точка правее?
Вроде из-за того ,что отрезок [a n+m;b n+m] лежит внутри отрезка [a n;b m]
@@sizhe8614 так мы именно это и пытаемся доказать. вот я и не понимаю из чего следует, что число с большим индексом меньше
Для a индексы идут по воз-нию слева направо, для b - справа налево. Начинаем с [an; bn], вкладываем в него [an+1; bn+1] и т.д.: [..[..]..]
«bn» означает, что данный «конец» относится к an, а не то, что он идёт первее b-шек с большими индексами
@@bad-_-boy У нас по определению для любого натурального n [an; bn]надмножество[an+1; bn+1].
Самое элегантное доказательство, которое я видел
Борис Викторович, маленький вопрос: не понимаю, почему общая точка системы стягивающихся отрезков единственна, ведь фактически точка имеет размер(длину, если угодно) равную 0, но если внутри отрезка одна такая точка, то и сам отрезок имеет длину 0, но отрезок с длиной 0-это не отрезок, а точка. И тогда не может идти речь о системе отрезков=> таких точек должно быть ∞ много для любого сколь угодно малого отрезка (достаточно брать точку с координатой, равной среднему арифметическому двух соседних точек). Даже если рассматривать длину как предел, он будет не равен нулю, а лишь стремится, что опять же лает возможность наличию ∞ числа точек
В каждом отрезке точек, конечно бесконечно много. Но в итоге оказывается, что есть ровно одна, которая принадлежит всем отрезкам.
Так в геометрии вроде рассматриваются отрезки длины 0. Это означает, что начало и конец этого отрезка - одна и та же точка. Хотя, в школе, возможно, об этом и не говорят))
@@trushinbv , а может ли отрезок содержать, допустим, 1 точку? Ведь это не проиворечит условию: отрезок это ограниченный с двух сторон участок прямой. Точка в каком-то смысле является с двух сторон ограниченным участком прямой.
2:30 тут разве не нужно добавить то, что в b1, b2 ... bn каждый следующий меньше предыдущего? немного не понимаю
На счёт интервалов. Когда мы доказали для отрезков, то заключили, что a
👏
Здравствуйте. Посоветуйте , пожалуйста , что выбрать , между цифровыми технологиями в приборостроении в ИТМО и информационной безопасностью в Бонче. Какое из направлений перспективней и намного ли лучше ИТМО как IT вуз ?
BOBAH выбирать между ИТМО и бончем, мдаааа. Бонч по сравнению с ИТМО галимая шарага, иди в ИТМО
Андрей Сахно много плохих отзывов в интернете , мол ИТМО - только бренд, поэтому я и выбираю. А также я не знаю , какое из направлений перспективней , поэтому я и спрашиваю тут
Найди в вк студентов того и другого вуза и пообщайся))
А в коммах под видосом на ютубе могут быть совершенно рандомные люди
@@VoFFchik007 И что? Куда поступил, как учёба? Интересно). Доволен выбором?
@@ДавидГригорьев-ф3ж Поступил в ИТМО, выбором доволен. Учиться тяжелее, чем в Бонче или Политехе (по словам друзей), но терпимо.
Если (an;bn) интервал и an=bn, то получается, что внутри этого интервала нет точек вообще. А значит нет точки, принадлежащей всем интервалам. Похоже на правду?)
Артём Юлосков так если an=bn, то это точка, а не отрезок, а речь о системе отрезков
Как я понимаю, в интервал (an;bn) точки an и bn в принципе не входят=> достаточно взять любое n, для того, чтобы an или bn не принадлежали хотя бы одному отрезку(тому, концами которого являются)
Серёжа Каштанов в условии сказано, что an может быть равно bn
У меня такая же идея. Правда странно как-то называть (a_n, a_n) интервалом... Это ну совсем идет в разрез с интуицией =)
см. 0:40
по определению у интервала разные концы
По определению вложенных отрезков an
Если верно строгое неравенство, то нестрогое верно тем более )
@@trushinbv Получается отрезок с одинаковыми концами, т.е. точка? Или я что то не правильно понимаю? Заранее спасибо за ответ!
@@fokysnik1802 нет. Я говорю лишь о том, что для отрезка верно и нестрогое неравентсво
Борис Викторович, а не могли бы вы пожалуйста объяснить в комментарии или в другом видео(желательно :) ) другую конструкцию построения системы вложенных отрезков, что мол берется отрезок длины [a, b] и точкой (a+b)/2 делится на два равных отрезка. Далее, берется один из этих отрезков и обозначается [a1, b1]. Далее берется этот же отрезок [a1, b1] о опять делится пополам.
Что мне не понятно здесь, так это то, что a, a1, a2, an - это получается одна точка. Хотя должно быть a
То сть как бы нет никакой вложенности.
Борис, а как вы относитесь к работам Алексея Савватеева? Интересно мнение профессионала
а что с ним может быть не так?
Если под его работами вы называете научно-популярные видео, то то, что я видел достаточно интересно.
Если вы про научные работы, то я их не читал.
Здравствуйте. Был на олимпиаде когда был в 9 класс, там на областном этапе была задача "В длинном коридоре растилают дорожки, каждая из которых занимает всю ширину коридора. Докажите, что если каждая дорожка пересекается с каждой, то есть 1 точка, в которая принадлежит всем дорожкам" является ли эта задача, цель которой доказать теорему непрерывности множества действительных чисел по кантору?
условие не полное, кмк
А ответ в сл. видео будет? Очень интересно его узнать
Борис Викторович, добрый день, когда Вы сказали о лемме вложенных отрезков Кантора-Коши, я не мог не вспомнить о лемме Гейне-Бореля, скажите,пожалуйста, как доказать,что отрезок = компакт и чем отличается компакт от покрытия и разбиения множеств, заранее благодарю
Так? - Ну, вроде так!)
Верно ли,что примером системы вложенных интервалов, не имеющих общей точки, является любая стягивающаяся система вложенных интервалов?
Возьмем в качестве примера для вложенных интервалов (0;1/n). Если существует точка С, принадлежащая всем интервалам, то она положительна. Но увеличивая n сколь угодно долго, мы уменьшим правую границу настолько, что точка C выпадет начиная с некоторого интервала. Получили противоречие. Значит принцип вложенных интервалов не работает для этого примера, а значит неверна и теорема о вложенных интервалах ( из-за наличия контрпримера). Как то так....
Ну не могу я этого понять. Ну ладно, пусть С выпало, но для любого положительного С есть С1, которое >0 и 0 и
Точка С не сможет выпасть за ноль, так как она находится в интервале (0;1/n).Даже если взять в качестве n бесконечность, то мы получим 1/бесконечность, а это будет бесконечно малое число, но неравное нулю, а значит мы всегда сможем найти "эпсилон"
Слишком сложный пример, но я понял, вроде, правильно.
@@nikolas444 вы не правы. Вот почему: Проведем сечения(два) s1 и s2 и, если разность между ними будет меньше любого наперед заданного числа, допустим е, то эти числа( между сечениями) будут равны, следовательно: lim(n-->+●●) (1/n)=0, так как 1/●●-0
Если идут интервалы, то док-во рушится на этапе c-c'
Давайте посмотрим: отрезок это учаток прямой, ограниченный двумя точками. Тоесть, эти точки входят в него. Интервал, как, надеюсь, вы помните из школы, это могут быть вот [ такие скобки или вот ( такие. Вторые скобки(круглые) означают, что точка, указанная в них( ближайшее число к этим скобкам( например, (0.5;5) означает, что 0.5 и 5 не входят) не входит. Значит, если мы рассмотрим систему вложенных ИНТЕРВАЛОВ, то увидим, что, допустим, (0;7) и в нем (3;6), второй интервал не содержит 3 и 6, а значит, при сближении к одному из этих чисел, мы получим пустой интервал, например, (3;3).
А верно ли, что любая стягивающаяся система вложенных интервалов, не имеет ни одной общей точки?
Кажется я начинаю понимать только после обдумывания и перепросмотра видео.
На пальцах понятно про вложенные отрезки, непонятности возникают в формулах.
Почему bₙ₊ₘ ≤ bₘ, если m и n - натуральные числа.
Отсюда же вообще не очевидно, что {[aₙ₊ₘ; bₙ₊ₘ]} ∈ {[aₙ; bₙ]}, ведь bₙ₊ₘ по определению больше bₙ при любых натуральных m и n
Один отрезок ледит внутри другого. У которого номер больше, тот и лежит внутри другого.
Извините, а может ли система вложенных отрезков быть одной точкой?
Да
5:58 Почему a_(n+m) ≤ b_(n+m), ведь у отрезка правый конец не может совпадать с левым концом, иначе это просто точка. Или существует запись, например [4;4] = 4 ???
Но, например, для отрезка [2; 3] верно утверждение 2 ≤ 3. Разве нет? )
@@trushinbv Да верно. А тогда можно было написать a_(n+m) < b_(n+m) ? Просто с нестрогим неравенством я подумал, что равенство когда-то выполняется
Честно говоря, на 5:10 не понял, почему b_(n+m)
Потому что отрезок с большим номером лежит внутри отрезка с меньшим. А b_(n+m) и b_m -- это правые концы отрезков.
Кажется наше доказательство подойдёт и для интервалов, но если взять (0,1/n), то тут нет общей точки (
Похоже что на 5:40 ошибка, между a(n+m)
Но если верно неравенство "a < b", то неравенство "a
@@trushinbv Спасибо. Мне сложно даётся без примеров 😀
Правильно ли я думаю, что в системе стягивающехся интервалов общей точки нет.
Если система нестягивающайся то такаю точка есть и не одна, их бесконечное количество.(это и для отрезков тоже подходит)
Соответственно в системе вложенных интервалов либо общей точки нет вобще(если это стягивающейся), либо их бесконечное количество(нестягивающейся).
Вы неправы. Вот почему: интервалы, как вы помните, надеюсь, о школьного курса, могут иметь вот [ такие скобки, и в этом случае, у них есть общая точка, вы описали случай только вот ( таких скобок.
Зачем доказывать, что an
Это дано для конкретного отрезка. Мы же доказываем для разных.
Почему в доказательстве того, что может быть как минимум одна точка в каждом отрезке из системы вложенных отрезков,
Мы используем б_n? Почему нельзя было просто сказать а_н
Правильно ли я понял, что последовательность длин стягивающихся отрезков - это бесконечно малая последовательность???
да, это же ведь из определения следует
Что такое эпсилон?
Буква греческого алфавита
Я не понимаю, это отрезок вкладывается в другой , или один является продолжением другого?
вложеный то есть вкладывается)
@@НогНог-х6ж весь?
Не получилось понять где не проходит доказательство для отрезков
Я не могу ничего нагуглить про систему вложенных интервалов.....Всё только про отрезки... Подскажите, пожалуйста, где можно посмотреть доказательство теоремы про интервалы или хотя бы как она точно называется? Даже в книжке по мат анализу это только как упражнение
Нашли?
@@thestranger2306 неа
О какой теореме про интервалы вы говорите?
10/10
в случае с интервалом выражения a[n]
Именно, мы, в конце приближений, получаем пустой интервал, допустим, (3;3).
@@MrKesseker но сверху написано, что концы интервала всегда разные
@@АгатаЩеблецова и... что?)
@@MrKesseker речь идёт о вещественных числах, а на числовой прямой вещественных чисел нет двух рядом лежащих, между любыми двумя бесконечное множество можно вставить, поэтому не получится пустого интервала.
@@user-zx1cf3ef1w а как же 0,(9) и 1?
Вижу Трушина, ставлю Дробышевского!!!!!!!!
если рассматривать интервалы, а не отрезки, то в итоге получится строгое неравенство а
Исходя из теоремы:
"Стягивающаяся система вложенных отрезков имеет ровно одну точку, принадлежащую всем отрезкам."
Следует, что в предельном отрезке множества вложенных отрезков, границы отрезка [an, bn] равны. т.е. являются самой этой общей точкой.
Если допустить обратное an < bn, то между двумя точками на числовой прямой лежит бесконечное количество точек. А значит в предельном отрезке не одна точка, что противоречит доказанной теореме.
Однако такое условие an = bn противоречит второй строчке из определения вложенных отрезков
∀n∈N → −∞
Почему ваш «предельный отрезок» является одним из отрезков исходной системы?
@@trushinbv а как иначе? Разве предельный отрезок может не входить в отрезки исходной системы?
@@kykripchannel4814 Есть у вас система вложенных отрезков:
[-1; 1], [-1/2; 1/2], [-1/3; 1/3], [-1/4; 1/4], [-1/5; 1/5], и т.д.
Что вы называете "предельным отрезком"?
@@trushinbv самый последний элемент системы [-1/∞;1/∞], если так можно выразиться
@@kykripchannel4814 но в системе нет такого отрезка
11:05 честно сложно в это поверить ведь утверждение с-с'≤с-а(n) действует только если с меньше чем с' и а(n).
У меня вопрос 5:51.
Почему a(n+m)
Получается, если будет система вложенных отрезков , то их общей точкой будет начало или конец. А если это интервал , то этого не будет
@Эдуард 1 давайте пример если можно
@@shakuroff_ildar я дам: вложенный отрезок: от длинной 6 лежит в длине 10 вот таким образом:
○○●●●●●●○○
А теперь в отрезок 6 вписываем еще отрезки другой длины и вот вам задача: где тут начало или конец?
Не заметила, в какой момент мы установили взаимно-однозначное соответствие между вещественными числами и точками прямой.
Выражусь точнее: об этом не было сказано ни слова.
Так про это и не было речи пока. Мы даже не определяли, что такое прямая
@@trushinbv А на слайде 0:54 что там в последней строке? )
Я понимаю, конечно, что в данном случае это просто такое себе "название для интервала". Но хотелось бы посмотреть, как вы доказываете упомянутое соответствие, потому что даже в самых фундаментальных учебниках оно утверждается голословно. И я не возьму в толк, почему их авторы так делают. Например, у Зорича это просто позорнейший параграф.
И Вы тоже уже в пятом ролике (про счётные множества) начинаете рисовать числовую прямую, как будто оно уже доказано..
@@andynaz7044 а вы про это. Это всего лишь название. Никто не говорит, что «числовая прямая» это ровно та прямая, что была в евклидовой геометрии. И ее удобно использовать для визуализации, - если число больше, то точка правее. Только и всего )
@@trushinbv Вообще-то, именно об этом и говорили такие математики, как Кантор и Дедекинд. )
@@andynaz7044 я говорю, что в этом ролике никто про это не говорит )
5:18 не понятно, почему b n+m b m. Я извиняюсь, схрена ли. Вот есть отрезок а [1;5], есть отрезок b [2, 4]. Мы взяли какое-то m, пусть m = 1. Ну чтобы отрезки стали а [2;6] и b [3;5]. m же любое может быть, да? НУ И КАКИМ ОБРАЗОМ 5 < 1 @@@@@
P. S. Я понимаю, что я неправильно представила, просчиталась, НО ГДЕ
m и n это не координаты краёв отрезков на числовой оси, а индексы этих координат.
Т.е., например, первый отрезок с правым краем b1=5 (левый край в примере не важен, пусть для простоты у всех отрезков будет а=0), следующий, второй отрезок имеет координату правого конца b2=4. По условию, если отрезки вложенные, то у каждого следующего правый край меньше-равен предыдущего. b2
круто! спасибо! получается у так называемого стягивающего интервала нет ни одной общей точки? и если бы была он бы превратился бы в полуинтервал как минимум
Не понимаю, как вложенные интервалы могут не иметь общей точки.
Аксиома о непрерывности не выполняется
@Тонзиллит как насчёт х=1/n+1??
@Тонзиллит почему не существует? Если n не бесконечное количество - то точка же обязательно найдётся, около 0. Ну это из моей логики. Тоже не могу представить, как вложенные интервалы могут не иметь общей точки
Ну представь точку поставишь не в центре и всё
ну почему я ничего не понимаю.....как на 5:34 получилось это равенство, почему bм больше.......
Я так и не понял почему Bn+m
Пусть n=3. Сложно в представлении когда отрезок под номером 4 (n+1) меньше , чем отрезок под номером 3. И почему-то такие элеементарные вещи именно у меня в голове никак не укладываются.
Объяснение, почему бесконечная система вложенных интервалов не имеет общей точки:
Поскольку у нас система интервалов, а не отрезков, мы не можем конец следующего интервала поставить в конец предыдущего, то есть левый конец постоянно уходит вправо, а правый - влево. Длина интервала при этом постоянно уменьшается. Чтобы система оставалась бесконечной, нужно, чтобы интервалы были отличны от 0 (иначе следующий после нулевого невозможно будет определить, ибо он должен быть короче 0, что невозможно), соответственно, интервалы убывают по длине бесконечное количество времени. Если в какой-то момент выбрать точку, которую мы захотим считать общей, в любом случае следующим интервалом можно выбрать такой, что один конец будет бесконечно близок к другому, а выбранная точка останется как бы за бортом. Поэтому какую бы мы точку не брали, её в любой момент можно оставить за пределами следующего интервала. Соответственно, ни в один момент времени невозможно определить общую точку, в отличие от бесконечной системы вложенных отрезков, где можно дойти до отрезка с длиной 0, который и будет являться общей точкой для всех отрезков. При этом бесконечность системы не нарушится, ибо последующие отрезки будут совпадать с первым нулевым. Таким образом, общая точка в бесконечной системе отрезков существует лишь потому, что такая система может дойти до нулевого отрезка (причём до этого момента общую точку опять-таки невозможно определить, а после включения нулевого отрезка можно), а система интервалов не может
Может, если бы были интервалы, нельзя было найти такой номер последовательности а(n+m), принадлежащий концам интервала.
Почему не N0, тогда мы минуем элемент с индексом n , если m = 1, тогда рассматриваем n + 1 и игнорируем n?
А как такое преобразовать: (x-3)^5 ?
1) - загуглить бином ньютона
2) - вывести его же посредством свойств степеней, допустим так :
((((x-3)^2)^2)×(x-3)), или еще более прямо - пять раз умножить эту скобку.
Можно попробовать все подряд, чтобы почувствовать, что это одно и то же
+
Спасибо за видео, но без примеров с цифрами непонятно ничего, к сожалению
С первого просмотра не всосал как то, две предыдущие темы попроще были))
Я один ничего не понял?