✓ Решаем задачу от ChatGPT: 𝑎² + 𝑏² = 2ⁿ | Ботай со мной
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 23 พ.ย. 2023
- Смотрите запись образовательной конференции YaC/e по ссылке: yace.yandex.ru/?...
Решаем задачу от ChatGPT: Докажите, что для любых натуральных чисел 𝑎≠𝑏, уравнение 𝑎² + 𝑏² = 2ⁿ, не имеет решений, где 𝑛 натуральное число.
Книжка по комбинаторике: trushinbv.ru/kombinatorika
Как поддержать канал:
Bitcoin: bc1qwzx9t9mz5h5q8sgtz74mdgedxd5wu0g9kq6q5m
Ethereum: 0xAE872DcA8B135cf62Df4B36bE576a2EE64c6066a
Регулярная помощь (Boosty): boosty.to/trushinbv
Регулярная помощь (TH-cam): th-cam.com/users/trushinbvjoin
Регулярная помощь (Patreon): / trushinbv
Регулярная помощь (Sponsr): sponsr.ru/trushinbv
Разовая помощь (Ю-money, бывшие Яндекс.Деньги): yoomoney.ru/to/410011017613074
Разовая помощь (PayPal): paypal.me/boristrushin
Разовая помощь (Donation Alerts): www.donationalerts.com/r/bori...
Разовая помощь (Сбер): 2202 2001 0398 5451
В этом учебном году я веду три курса:
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 0 до 70 баллов (10-11 класс)»: trushinbv.ru/ege70
Подойдёт и десятиклассникам, которые хотят уже за год до ЕГЭ стабильно решать на 70+, и одиннадцатиклассникам, которые почти ничего не знают, но хотят за год выйти на приличные баллы. На курсе освоим как всю тестовую часть, так и многие задачи из сложной части ЕГЭ.
✔ «Подготовка к ЕГЭ по профильной математике с 60 до 100 баллов (11 класс)»: trushinbv.ru/ege100
Для тех, кто уже знает математику на базовом уровне, и хочет за год освоить её на 90+. Там, в основном, будем учиться решать задания из сложной части ЕГЭ, но залезем немного и в некоторые содержательные задания из тестовой части.
(Если у одиннадцатиклассника есть достаточная мотивация, можно параллельно учиться сразу на двух этих курсах - trushinbv.ru/egepack - их программы согласованы между собой)
✔ «Подготовка к перечневым олимпиадам по математике (10-11 класс)»: trushinbv.ru/olymp
В первую очередь этот курс для одиннадцатиклассников, которые освоили стандартную школьную программу хотя бы на «четыре», и хотят за полгода подготовиться к олимпиадам типа Физтех, Ломоносов, ОММО и ПВГ, чтобы попробовать зацепиться за диплом хотя бы в одной из них.
Кроме того, доступны мои прошлогодние курсы в записи:
✔ «Подготовка к ОГЭ»: trushinbv.ru/oge9
Это запись большого годового курса, который я провел пару лет назад. В этом году у меня не будет новых курсов для 9 класса.
✔ Мини-курсы по отдельным заданиям ЕГЭ:
- Теория вероятности с нуля и до ЕГЭ (Задания 3 и 4): trushinbv.ru/egeTV
- Уравнения и неравенства (Задания 12 и 14): trushinbv.ru/egeAL
- Стереометрия (Задание 13): trushinbv.ru/egeST
- Экономические задачи (Задание 15): trushinbv.ru/egeEC
- Планиметрия (Задание 16): trushinbv.ru/egePL
- Задачи с параметром (Задание 17): trushinbv.ru/egePR
- Теория чисел (Задание 18): trushinbv.ru/egeTC
✔ Мини-курсы по перечневым олимпиадам:
- Олимпиада Физтех: trushinbv.ru/fizteh
- Олимпиада ОММО: trushinbv.ru/ommo
- Олимпиада Ломоносов и ПВГ: trushinbv.ru/lomonosov
Другие курсы Фоксфорда: trushinbv.ru/courses
Репетиторы Фоксфорда: trushinbv.ru/coach
Магазин мерча: trushinbv.ru/shop
Книжка от Трушина: trushinbv.ru/book
вКонтакте: ege_trushin
TikTok: / trushinbv
Twitter: / trushinbv
Instagram: / trushinbv
Telegram: t.me/trushinbv
Facebook: / trushinbv
TH-cam: / trushinbv
Личный сайт: TrushinBV.ru
"Когда что-то про двойку, бывает полезно подумать". Самое лучшее, что я сегодня услышал
Для меня такие задачки уже давно не являются чем-то супер-сложным, но почему-то всё равно интересно смотреть, как БВ объясняет их простыми словами😄
Нейросеть никогда не заменит такого классного преподавателя!
Боюсь, что нейросетям будет сложно заменить такого преподавателя, как вы. Так что благодарим вас за бескорыстный труд и старания! Лично я не представляю, что бы делал без ваших видео.
устала от подготовки к егэ по математике. Зашла в ютуб. Что я начала смотреть:
Это интереснее, чем егэ )
Борис, с удовольствием приобрёл вашу книжку по комбинаторике. Буду изучать и ждать следующую книжку по теории чисел.
КНИЖКА ПО ТЕОРИИ ЧИСЕЛ? Ждём!!) коллекция получается уже)
Ждём по тригономе и матане
Нейросети уже не отвечают на вопросы, а задают их, а люди пытаются решить)
И скоро они начнут требовать)
Нейросети уже решают на сколько люди полезные.
Скоро они заменят людей
Нет, они агрегируют то что написали люди, когда пишут нейросеть чтото сделала это не более чем реклама
Спорили три дурака и один математик. Силы были равны
Доброго времени суток, уважаемый Борис. Спасибо большое, что ты все эти годы с нами , постоянно радуешь нас , совершенствуешься и совершенствуешь контент для нас. Вот узнал, что относительно недавно твоя книга вышла о комбинаторике и я с WB сразу же ее заказал. Возможно есть в планах у тебя, чтобы ты сделал небольшое видео по книге ? Было бы интересно послушать из уст автора, а так с удовольствием прочитаю как придет, и соответственно буду ждать следующую книгу от тебя. Всего самого наилучшего тебе ! С уважением , твой преданный поклонник.
Всё наоборот. Книга написана по мотивам роликов. Там даже есть QR-коды со ссылками на ролики )
Надеюсь, книга выйдет хотя бы в мае, чтобы перед егэ почитать успеть)
очень круто! спасибо! люблю теорию чисел, правда только начинаю, очень интересно и вроде не сложно пока
Второе доказательство гораздо прозрачнее, интересная задача, интересное видео. Спасибо!
Борис, поздравляю с интеграцией, очень рад, что вы находите разные источники дохода. Спасибо за разбор интересных задач, готовлюсь к поступлению в этом году в хороший вуз по мат.профилю, ваши видео очень помогают с этим. Я не из лицея и не из школы, по типу 279. Своими силами стал программистом, но вот с математикой всегда было не очень хорошо. решил повысить свою экспертность в одном из в топовых вузов СПБ, тк уткнулся в потолок в решении задач с использованием сложных алгоритмов. Мне уже 24, что довольно много, но я все равно хочу пройти этот непростой путь.
Ах-ха-ха, 24 это довольно много... Смещьная щютка ))))
@@MrDjaaxtu ну для сдачи егэ, тем более если я поступлю, то учится буду до 29 лет. Это пол жизни, если вдуматься) Хотелось бы иметь что-то большее, чем диплом к этому времени
@@user-tl5js5ow3d ты в 60 помирать собрался?)
да и хз, в российском вузе знаний тебе не дадут, у системы другая задача, так что если тебе уже не нужна корка, то учись просто самостоятельно, на курсах или с репетитором
Красота!
Спасибо, очень круто!
Пусть (a,b) - наименьшая пара (по сумме). Тогда оба числа нечетные.
Тогда ((a+b)/2)^2 + ((a-b)/2)^2 - тоже решение. Но сумма (a+b)/2 + (a-b)/2 = a < a+b
Купил вашу книгу в эл. формате, так как живу зарубежом.. Буду, с вашего позволения, с учениками решать.
a^2+b^2=2^n - докажем, что для произвольной пары a, b нет таких n:
Найдем все подходящие n.
Пусть k - максимальное такое число, что 2^k|a и 2^k|b. Если 2k>n, то левая часть делится на (2^k)^2, а левая - нет. Противоречие. Тогда очевидно, что n>=k. Делим обе части уравнения на (2^k)^2. Получим:
(a/2^k)^2+(b/2^k)^2=2^(n-2k)
Очевидно, что не может быть такого, что a/2^k и b/2^k одновременно четные т.к. иначе k не максимальное.
Рассмотрим три случая:
1) n-2k=0 => (a/2^k)^2+(b/2^k)^2=1, что невозможно.
2) n-2k=1 => (a/2^k)^2+(b/2^k)^2=2 что невозможно
3) n-2k>=2 => правая часть делится на 4, а левая имеет остаток 0+1=1 или 1+1=2 - противоречие.
Ч.Т.Д.
Борис с годами только краше
ЖДЕМ ТЕОРИЮ ЧИСЕЛ!!!
Какая кофта❤ С первого видео ботай со мной❤❤❤
Я её делал на пятилетие канала )
trushin.printdirect.ru/index.php?action=addtocart&product=8934525
10:00 примерно, метод бесконечного спуска
Пусть, начиная с некоего n есть такие a и b, что a^2+b^2=2^n тогда, (a+b)^2+(a-b)^2=a^2+2ab+b^2+a^2-2ab+b^2=2a^2+2b^2=2^(n+1) и. т. д.
тоесть после n всегда исполняется это равенство. но если пойти в другую сторону, и предположить, что a=x+y b=x-y где x, y целые числа. это всегда можно сделать, потому что a,b одной четности -> x,y тоже одной четности -> p^2+q^2=2, а таких чисел нет. тождество доказано.
Если а и b четные, то выносим общий множитель 2^k за скобки так, чтобы хотя бы одно из чисел было нечетным (т.к. оба числа четные, то k>=1). Тогда получаем a'^2+b'^2 = 2^(n-2k) - натуральное, т.е. (n-k) > 0, а все свелось к случаям одного или двух нечетных...
Решение через "вынос" степень 2 из а и б красивое, даже очевидно после осознания)
Вот так вот мне чатгпт решил эту задачку:
Для начала заметим, что квадрат любого натурального числа даёт остаток 0 или 1 при делении на 4. Это можно легко проверить, рассматривая все возможные остатки при делении натуральных чисел на 4.
Теперь предположим, что у нас есть решение уравнения 𝑎² + 𝑏² = 2ⁿ, где 𝑎 и 𝑏 - натуральные числа, а 𝑛 - натуральное число. Тогда 𝑎² и 𝑏² дают остатки 0 или 1 при делении на 4. Поскольку сумма двух чисел, дающих остаток 0 или 1 при делении на 4, не может давать остаток 2 при делении на 4, то уравнение не имеет решений.
Таким образом, мы доказали, что для любых натуральных чисел 𝑎≠𝑏, уравнение 𝑎² + 𝑏² = 2ⁿ не имеет решений, где 𝑛 - натуральное число.
Здравствуйте , будет интересно увидеть Ваш разбор следующей красивой задачки про «двух муравьев и тетраэдр»!
На поверхности равногранного тетраэдра сидят два муравья. Докажите, что они могут встретиться, преодолев в сумме расстояние, не превосходящее диаметра окружности, описанной около грани тетраэдра.
Задачка из Шестнадцатой устной олимпиада по геометрии
И.Ф Шарыгина 2018 года
Здравствуйте, Борис. Прекрасный ролик! На мой взгляд, также ещё стоит оговорить в начале, что 0 здесь не входит в натуральные числа (хотя чаще всего это подразумевается изначально)
Ну, в русскоязычной традиции это по умолчанию так )
@@trushinbv но по ISO не так, а чатгпт к русскоязычным традициям отношения не имеет )))
@@jcrkaну, спросите его, что он считает натуральными числами )
Wikiпедия по этому поводу говорит следующее: "В первом случае ряд натуральных чисел начинается с единицы, во втором - с нуля. Не существует единого для большинства математиков мнения о предпочтительности первого или второго подхода (то есть считать ли ноль натуральным числом или нет). В подавляющем большинстве российских источников традиционно принят первый подход[13]. Второй подход, например, применяется в трудах Николя Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств. Наличие нуля облегчает формулировку и доказательство многих теорем арифметики натуральных чисел, поэтому при первом подходе вводится полезное понятие расширенного натурального ряда, включающего ноль[13]."
Выходит, что задача a^2+b^2=2*n - абсолютно про то же самое - про чётность, да и вообще все задачи, где в одной части уравнения есть явно чётный/нечётный результат можно решать этим способом? Красота же!
Ну в твоей задаче очевидно бесконечно много решений
👏👏👏👏👏👏👏👏👏
Я в школе был слаб на математику , да и не любил я точные науки поскольку у меня там ничего не получалось , мне 30 и у меня появился интерес к точным наукам , поскольку понимаю , что решение задач благостно влияет на интеллектуальные способности и развивает мышление , может у меня что нибудь и выйдет толковое , очень на это надеюсь
Очевидно, 2 случая: а и б четные или а и б нечетные, минимальная сумма квадратов натуральных чисел 1+4=5, значит при n=3, при а и б четных левая часть делится на 4, разделим на 4, тогда должно существовать решение для n=k-2, что противоречит предположению индукции, для нечетных а и б подставим вместо них 2c+1 и 2d+1, раскорем скобки, увидим что левая часть не делится на 4, значит k
Нужен парадокс про коз и двери)
Парадокс простой, если забыть про интуицию и честно расписать вероятности. Более очевидно если дверей было миллион, например
@@St.Ananas, а, ну всё понятно теперь, видео не нужно
@@majestick видео от Трушина всегда нужны
@@St.Ananas, тогда зачем это "парадокс простой блаблабла"?
@@majestick блаблабла? Ты предложил тему для видео, я посчитал, что ты реально не знаешь, вот и кратко объяснил
Пахнет гауссовыми числами)
Вопрос не по теме. Насколько тяжело пишется (книги имею в виду) и как приходят идеи тем рукописи? Есть ли тематическая связь между темами книг, ну кроме математики как таковой, либо это чистое наитие?
В моем случае все просто. Я учил комбинаторике учеников последние 20+ лет. За это время вырабатываются идеи, как это делать наиболее доступным способом. Эти идеи вылились в десяток роликов на этом канале. В итоге по мотивам роликов написана книга. То есть, в каком-то смысле, книжка написана не за полгода, а за 20 лет )
@@trushinbv Отрадно. Как известно не каждый хороший учитель является хорошим писателем (творцом легкоусвояемого учебника в данном случае) и наоборот. Так что остаётся порадоваться за вас и тех кто может учиться у вас. Благодарю! Успехов вам и салам алейкум.
теория чисел от Б.Трушина? да это будет моей настольной книгой .. Когда???
Надеюсь, что весной уже выйдет. Мне ещё нужно дописать )
А есть возможность разложить это на ряд Тэйлора?
И нельзя ли доказать это по радикальному признаку Коши что ряд 2^n будет расходится?
Что именно разложить? Это же задача в целых числах
Индукцию замутить можно по-другому.
Т.к. a и b одинаковой четности, то a = p - q, b = p + q.
Поэтому p^2 + q^2 = 2^{n-1}. И так далее
А как доказать, что a^n+b^n не равно 2^xn (х-это любой множитель)?
Можно сослаться на Великую теорему Ферма )
@@trushinbv но ведь это элементарно.
Если (a^n+b^n)=2^n,
то их среднее арифметическое тоже должно дать 2^n. Более того, раз 2^n у нас целое число, то оно должно стоять симметрично в ряду чисел между a^n и b^n. Но это невозможно, так как степень бОльшего числа смещает среднеарифметическое ближе к себе от центра. Кроме того, есть другая формула, которая позволяет высчитывать как раз центральное среднеарифметическое между a и b. Вот она: (a+b)^n. Вот она способна дать среднеарифметическое 2^n, а также их общую сумму 2^n. А первая, так как она раскладывается иначе, получается, не способна. Что думаете?
@@trushinbv вот, кстати, раз уж такое дело, моё доказательство теоремы Ферма.
В чём суть данной задачи? Всем известна теорема Пифагора a²+b²=c². Пьер Ферма построил свою теорему на базе теоремы Пифагора, но вместо степени 2 взял степень n. И сформулировал он свою задачу таким образом:
При степени n>2 уравнение aⁿ+bⁿ=cⁿ невозможно получить в целых числах a, b и c. Нужно понять, верное это утверждение или ложное, и либо доказать его, либо опровергнуть. Итак, перед нами стоит задача доказать, что в этом уравнении либо "a", либо "b", либо "c" будут нецелыми. Если это удастся, мы докажем теорему Ферма.
Левую часть уравнения aⁿ+bⁿ можно представить, как среднее арифметическое между двумя членами и записать, например, как dⁿ+dⁿ. Объясню поподробнее... Если мы возьмём n=3, то перед нами по сути будет сумма двух кубов, имеющих разный объём. Если сложить их общий объём и разделить на 2, то мы получим два одинаковых куба с точно таким же общим объёмом, как и у первых двух. Получится a³+b³=d³+d³=c³. Этот же принцип работает и со всеми остальными степенями.
aⁿ+bⁿ=dⁿ+dⁿ
dⁿ+dⁿ=cⁿ
2dⁿ=cⁿ
c=d*ⁿ√2 (корень в степени n).
При умножении d на ⁿ√2 будет получаться нецелое число. Осталось доказать то, что d ни при каких условиях не может быть равно d=ⁿ√(2˟ⁿ¯¹). Если бы это было так, то это разрушило бы всё наше доказательство теоремы, так как при умножении на ⁿ√2, получалось бы целое число. Пояснение: в скобках после 2 написано xn. Это означает, что вместо x может быть любое числовое значение.
Итак, если d=ⁿ√2˟ⁿ¯¹, то c=ⁿ√(2˟ⁿ¯¹)(ⁿ√2). Значит cⁿ=2(2˟ⁿ¯¹)ⁿ=2˟ⁿ
Если aⁿ+bⁿ=cⁿ, то aⁿ+bⁿ=2˟ⁿ.
Следовательно, dⁿ+dⁿ=2˟ⁿ, а значит dⁿ=2ⁿ
Получается, dⁿ у нас всегда целое число, а также оно является степенью 2, также, как и "d". И если у нас "a" и "b" тоже целые числа, то "d" в числовом ряду должно стоять ровно посередине между "a" и "b", чтобы удовлетворять равенству с 2ⁿ. Это невозможно, потому что при сложении разных чисел с одинаковыми степенями (aⁿ+bⁿ) большее число сместит среднеарифметическое в свою сторону. "d" всегда будет немного смещено в сторону "b". Это также доказывается наличием иной формулы ((a+b)/2)ⁿ. Именно здесь у нас получается d, которое способно быть равным 2ⁿ, так как стоит ровно посередине между двумя целыми числами. Но вы согласитесь, что (aⁿ+bⁿ)/2 и ((a+b)/2)ⁿ - это две разные формулы, раскладываются по-разному и дают разные среднеарифметические d. Если в случае второй формулы d может быть равно 2ⁿ, то логично, что оно не может быть таковым в первом случае.
Получается, что dⁿ не может быть равно 2ⁿ, cⁿ не может быть равным 2˟ⁿ, а значит d не может быть равно ⁿ√2˟ⁿ¯¹ и давать целое число при умножении на ⁿ√2.
Подытожим! Любая степень n в уравнении aⁿ+bⁿ=cⁿ всегда будет приводить к уравнению c=d*ⁿ√2 без исключений. Следовательно, теорема Ферма о том, что при степени n>2 уравнение aⁿ+bⁿ=cⁿ невозможно получить в целых числах a, b и c, доказана.
@@gappovа в какой момент вы будете рассматривать числа d=m•ⁿ√(2˟ⁿ¯¹), где m не равно 1
@@trushinbv в этом нет смысла. Если вы умножите m на ⁿ√(2˟ⁿ¯¹) и получите таким образом целое число, то потом вам придется это дело умножить ⁿ√2, чтобы получить c. Вы придете либо к иррациональному числу, либо снова к формуле вида ⁿ√(2˟ⁿ¯¹)(ⁿ√2).
чатгпт 4 правильно решил эту задачу, возможно она действительно легкая
Или возможно чатгпт решает сложные задачи 😏
@@xy-box задача легкая, ее решить сможет хоть 7 классник
@@sabyrzhan1 Не является ли чудом то, что мир получил искусственную личность по интеллекту не меньше умного семиклассника?
a^2+b^2+n^2 = x m,y mx y = h
Классное видео. Но вот только первое рассуждение про выход на противоречие вроде бы ошибочно, ибо пара (m; l) - решение уравнение m^2 + l^2 = 2^(n-2), а не исходного, поэтому противоречия и нет никакого, ведь мы выбирали (a; b) из решений a^2 + b^2 = 2^n. В остальном неплохая и вполне себе приятная задача!
Так о противоречии в уравнении пары (m;l) и не сказано ничего. Сказано, что можно дальше бесконечно повторять ту же процедуру и противоречие неизбежно появится.
@@nekto_izvestniy нет, в первом рассуждении идёт речь о том, что мы выбираем какую-то пару решений с минимальным элементом и получаем из неё пару с меньшим элементом, но это не так.
Мы выбираем «минимальную» пару чисел, сумма квадратов которых равна степени двойки. И находим ещё меньшую. Нам не важно какой именно степени двойки
@@trushinbv а, имелась в виду любая степень двойки, тогда это имеет смысл, хорошо
Последний подход с выделением 2^k куда яснее. С предыдущим «бесконечным делением и вычитанием» у меня возникало опасение «а что будет, если n-2p вдруг станет отрицательным начиная с некоторого шага p», которое, наверно, можно легко развеять, но всё равно такое рассуждение отдаёт некоторой нестрогостью.
Так правая часть равна левой, а там всегда сумма двух натуральных чисел
Coriolis Effect,Squares for measurement,and circumference spherical measurements
оп, идей для видео резко возросло
Не понял почему a=2^k*c :(
Ну, просто из числа вынесли максимальную степень двойки, на которую оно делится
здравствуйте, Борис, как соединить 4 города (в углах квадрата 1км×1км) кратчайшим количеством дорог?
Моя попытка решения (видео не смотрел дальше начала, чтобы попытаться решить самому):
Сначала заметим, что правая часть равенства чётная, потому a и b либо оба тоже четные, либо оба нечетные. Теперь рассмотрим два простых случая, n = 1 и n = 2. Для обоих доказательство элементарно, достаточно перебрать все варианты.
Теперь допустим, что равенство не выполняется при n = k, и рассмотрим равенство a^2 + b^2 = 2^(k+2), которое эквивалентно:
(a/2)^2 + (b/2)^2 = 2^k
В начале мы определили, что a и b или оба четные, или оба нечетные. Если они оба четные, то их половины натуральные числа, и мы приходим к противоречию. Если же они оба нечетные, то их половины будут иметь форму x + 0.5 и y + 0.5, где x и y натуральные числа. (x + 0.5)^2 + (y + 0.5)^2 = x^2 + y^2 + x + y + 0.5, то есть не натуральное число, тогда как 2^k число натуральное, что также приводит к противоречию.
Таким образом, проведя индукцию дважды от наших двух базисов (n=1 и n=2), можно доказать что равенство не выполняется ни для каких натуральных n, a и b, QED.
А к какому противоречию вы пришли, когда а и b оба нечетные?
@@trushinbv Противоречию между равенством (a/2)^2 + (b/2)^2 = 2^k и фактом, что правая часть натуральная а левая нет. Очевидно, что ненатуральное число не может быть равно числу натуральному. Теперь когда я посмотрел видео, могу сказать что этот шаг по сути эквивалентен вашему рассуждению о делимости на 4 (4:25).
@@drarenthiralas1683а, всё. Я понял! )
Благодарю, получилось интересно! Мелкий комментарий - наверное, если бы я давал где-нибудь эту задачу (в свои прежние годы мелкого репетиторства, например), я бы, вероятно, переформулировал её как "докажите, что, если a^2 + b^2 = 2^n, a, b, n - натуральные, то a = b". Суть, очевидно, та же, но в оригинальной формулировке двойное отрицание ("если не равно, то не существует") несколько сбивает с толку.
Все вопросы к чатуGPT )
Не нарушая общности предположим a
Вы рассматриваете только случаи, когда b делится на a?
@@trushinbv Да, что-то я маху дал. На самом деле a и b только лишь не имеют общего множителя. Т.к. если он не кратен 2, то ясно тут степени 2^n не будет. А если кратен , то ясно, что есть решения для таких a^2+b^2 , когда он не кратен, надо искать их. Либо тогда d не целое число , а в дальнейшим доказательстве предполагалось, что оно целое.
Тогда можно зайти так . Если a^2+b^2 = 2^n , то очевидно что (a+b)^2-2ab=2^n . Следовательно a+b - чётное число, иначе у нас получается складывание вычитание нечётного и точно чётного. Тогда верно равенство и (a+b)^2/2-ab=2^(n-1) .Причём (a+b)^2/2 - точно чётное. Но при этом a и b нечётные , иначе бы имели общий множитель. А раз так, то ab - нечётное число , как и вся сумма.
@@user-tz9km6mz5jа почему они не могут быть оба четными? Что плохого в том, что они оба делятся на 2?
@@trushinbv , тогда см. выше , где комментарий про "маху дал". Если у нас есть верное решение вида (2а)^2+(2b)^2=2^n , где 2 - это вынесенный общий множитель, то будет верным и решение a^2+b^2=2^(n-2) , где уже хотя бы a или b нечётное. А мы доказали, что оно неверное.
Борис Викторович, у вас замечательная книга по теории чисел! Но когда читал решение этой задачи, подумал, не будет ли неполным первое решение по принципу крайнего, если не доказать, что существует самое маленькое из всех меньших чисел, исходя из того, что a,b - натуральные, а при бесконечном уменьшении степени двойки их сумма станет рациональной. Ведь нельзя получить противоречие, если вдруг изначальное утверждение будет неверным, исходя просто из предположения
Мы предположили, что есть решение (а; b) и показали, что тогда а и b четные и есть решение (a/2; b/2). И так далее
То есть эти числа должны делиться на любую степень двойки, а так не бывает
@@trushinbv Ааа, понял, спасибо!
Vector Law of 3rd Law of Physics:a^2+b^2+n^2 = x m,y mx y = h
a^2 + (a + k)^2 = 2^n
a^2 + a^2 + 2*a*k + k^2 = 2^n
2 * (a + k) * a + k^2 = 2^n
Возможно выполняется при чётном k
2 * (a + k + 2*k^2 / a) = 2^n | : 2
Пусть g = n - 1
(a^2 + a*k + 2*k^2) / a = 2^g
Отсюда следует, что если уравнение и имеет решение, то a = 2^t
Тогда
2^(2t) + 2^t * k + 2*k^2 = 2^(g + t)
Пусть g + t = y
2^(2t) + k * 2^t + 2*k^2 = 2^y
2*k^2 = 2^y - 2^t * (2^t + k) | :2
k^2 = 2^y - 2^t * (2^t + k)
k^2 = 2^y - 2^t * 2^t - 2^t * k
Как видим, правую часть нельзя представить в виде квадрата суммы или разности из-за знака минус перед третьим слагаемым, а следовательно, правая часть не может быть квадратом числа. Пришли к противоречию. Ч.т.д.
А как из того, что выражение нельзя представить как квадрат суммы/разности следует, что это не квадрат числа? Как вы, например, 3^2 + 4^2 представите в виде квадрата суммы/разности?
@@trushinbv да, как-то не подумал об этом. Спасибо за ответ! Немного намудрил. То, что выражение справа нельзя представить, как квадрат суммы/разности не означает, что оно не может равняться квадрату числа.
Кстати, раз уж Вы написали, Борис, хочу поблагодарить Вас за одну решённую проблему, которая ломала мне мозг, раз уж Вы уведомление об ответе, наверняка получите. Я говорю про ролик, где Вы разбирали треугольники степеней, где в последнем ряду получался ряд одинаковых чисел факториала степени. Несколько лет назад дошёл до этой интересной фичи математике. Решил записать такие треугольники до 7 степени и везде работало. Вот это у меня тогда крыша слетела, думал, что открыл новый инструмент, который поможет математикам, пытался рассказать нескольким преподавателям в ВУЗе, но все только чесали репу. Забавно. Но некоторым данная фича очень понравилась. В общем, реакция окружающих ещё больше убедила заниматься дальше проблемой, но ни в какую, прям как с гипотезой Колатца, которую я уже год доказываю, составил 3 мат модели, а в итоге ни черта. И тут вдруг примерно год назад увидел тот ролик, который Вы выпустили про эти блин самые треугольники. Я просто в шоке и восторге сидел от того, что я наконец понял тайну это фичи. Больше всего пронзило облегчение от того, что задача наконец решена и больше не придётся с этим мучаться. А ведь это было так просто, но всё же интересно. В общем, спасибо большое! Советую Вас всем знакомыи школьникам. Надеюсь, от меня пришло несколько человек, кто тоже захочет просвещаться)
А можно ли сказать что во втором случае(где m^2+l^2=2^n), что если мы будем продолжать уменьшать m и l то n стремится к нулю, а 2^n стремится к единице, а значит и сумма квадратов стремится к единице - а мы доказали что такого быть не может
Задача для самостоятельного решения: доказать, что a^n+b^n=c^n не имеет решений
(доказательство уместить на полях тетради)
Ферма так писал;)
Имеет, при натуральных числах и n
@@anyamyakisheva правильно, условие такое)
@@worldOFfans хорошо, в таком случае решения есть.
Стоит отдельно отметить, что формулировка олимпиадной задачи может быть такой: "Найдите все тройки натуральных чисел (a, b, n) такие, что ...". И тройка (1, 1, 2) находится очень быстро, а дальше важно не "расслабиться и закурить", а доказать, что иных троек не существует.
Подходит же любая вида (2^k; 2^k; 2k+1)
Привет. Посмотри эту задачу с точки зрения двоичной системы записи числа. 2 в степени N это 1000...00
И как показать, что сумма квадратов такой не бывает?
если бы мы допускали возможность a=b, то какое противоречие бы мы получили, говоря о том, что числа не могут бесконечно делиться на 2?
Мы бы пришли к решению 1+1=2
В условии не указано что а, в, n расположены в одной системе счисления- значит это можно использовать... Ваяйте, творите!)
А какая разница, в какой системе счисления вы это рассматриваете? )
выглядит как надкус ферма.
Интересно, но хочется более простое что-то. Вроде справа двойка и давайте сократим все двойки и посмотрим что будет/останется
Думаю, что шумиха вокруг ИИ сильно раздута. В лучшем случае, мы имеем инструмент, заменяющий "систему номер 1" по терминологии авторов книги "Думай медленно и быстро". Это освобождает ресурсы для творчества, которое машинное обучение заменить не в состоянии.
Нет никакой шумихи. А Расскажите что вы будете делать с 10 млрд творческими людьми без работы?
@@xy-box История учит нас, что когда заканчиваются одни профессии, начинаются другие. Вспомните хотя бы истоию про машинистов паровозов.
На 11:00 вывод о четности|нечетности c и d не понятен,🤔 быстро полскочили
0 (ноль) - натуральное число или (какое)?
Если 0 - натуральное число, то a=0, b=1, n=0 - вролне себе решение
Нет, 0 - не натуральное (
@@trushinbv А к какой группе чисел он относится?
@@MsAlexandr76к целым, рациональным, вещественным и т.д. )
Можно даже более слабое условие поставить: a может быть равно b, если они не являются степенями двойки
тогда выходит 2*a^2=2^n
в целых числах решения не будет.
Он когда нибудь тронется 😂
a=1, b=0. 1^2+0^2=2^n, n=0. Единственное решение 😁
0 не натуральное число
@@777ProRoblox77 докажите 🤣
@@user-pb2sx9xq5g меня учили тому, что в натуральные числа 0 не входит, а вот в целые уже входит
@@777ProRoblox77а ещё учили что из отрицательных чисел корень не извлечь
@@777ProRoblox77 то, что 0 входит в натуральный ряд легко доказывается. Вас там учили как доказывать математические утверждения? Самый простой способ - через сумму натурального ряда. 1+2+3+...=-1/12. Прибавляем ноль: 0+1+2+...=-1/12. сумма не изменилась, а следовательно 0 входит в этот ряд. А насчет стандартов обучения есть ГОСТ Р 54521-2011 в котором указан стандарт натурального ряда N (0, 1,2,3...) и ряда N*(1,2,3..). Математически они эквивалентны, исторически 0 действительно не включался в натуральный ряд, но после работ Бурбаки по теории множеств было доказано что {0}=0 такой же член натурального ряда и как {1}=1 или {2}=2.
А, разве не "бесконечный спуск" Ферма?
Programs in Computers
Докажите что если |a(n+2)-a(n)| стремится к нулю следует что |a(n)/n| стремится к нулю
ну если считать 0 натуральным числом, то вроде есть решение когда a=1 b=0 n=0
Допууустим....Что если, как вариант 6^2+8^2=10^2=100...но 100 это 2^4 в системе счисления с основанием 4, а правая часть уравнения имеет основание системы счисления 10... Форма записи соответствует условию прозвучавшему в ролике? Несомненно да! ...ведь про систему счисления не говорилось в ролике ни слова... Значит можно показать допустим еще похожий пример 5^2+12^2=13, где число 13 это 2^3 в системе счисления с основанием 5 , а левая сторона в системе счисления с основанием 10...внешне равенство соблюдается? Всë также несомненно - да! Условие поставленное в задаче выполнено.
Tan(90°)=π/2 Такое доказательство, найдете ошибку?:
Tan(y) это длина луча z от оси oх, до точки пересечения этого луча с лучом h из центра 1-й окружности под углом у. Для 90° мы получаем 2 || прямые, пересечения нет. Но, это только в плоской геометрии, в геометрии шара || прямые сходятся на "севере" и "юге" шара. Ось ох это экватор. Значит наш треугольник имеет 1 точку "север" и 2 точки на экваторе. || прямые равны вне зависимости от того каким будет 3-й угол. Равны они 2π/4 или π/2.
по стандарту ISO ноль - это натуральное число (в отличии от РФ), казалось бы странно, что американский чатгпт предложил такую задачу с очевидным решением 0,1,0 ))))
Вы у него спросите. Он не считает ноль натуральным
Я конечно всё понимаю и видео хорошее и мужик отличный, но можно с помощью геометрии сразу понятно обьяснить. а^2 и b^2- это квадраты со сторонами а и b, при условии что а не равно b они образуют так называемую лесенку, а 2^n это, при нечетных прямоугольник, при четных квадрат. Ну и соответсвенно из двух разных квадратов (a и b) собрать квадрат невозможно. Прямоугольник можно, но соотношение сторон будет не 1:2. В общем геометрически проще и нагляднее доказать
Но 3^2 + 4^2 = 5^2. Можно из двух квадратов собрать квадрат )
Ну всё, БТ окончательно коммерциализировался
Если бы ноль был натуральным...
0^2+1^2=2^0
😂
Эта задача - боян. Лично я ее видел раз 20. Никакой ChatGPT её не придумывал. Ты решил прогнать легенду о происхождении задачи, чтобы протащить в ролик свою конференцию.
Но как протащить ролик он спросил у чатгпт. И тот ответил как) =
задайте в джипити чат решить полином 5 й степени, и он начнет молотить ПОЛНУЮ Х..Ю, при этом даже не попробует провести какие то логические рассуждения. Он просто тянет из Интернета все что там есть, и сразу становится понятно , что это не интеллект а чесатель по уже написанному. Там БЛИЗКО НЕТ ничего Интеллектуального. Интеллект действует ПО ДРУГОМУ.
Задайте на сессии студенту, не ходившему ни на одну пару, доказать теорему и он начнет молотить ПОЛНУЮ Х..Ю, при этом даже не попробует провести какие-то логические рассуждения. Он просто тянет из интернета всё, что там есть, и сразу становится понятно, что это не интеллект, а чесатель по уже написанному. Там БЛИЗКО НЕТ ничего Интеллектуального
:)
На Хабре была статья, это почти Т9 на стероидах, она хорошо связывает слова и всё
На тебя похоже...
@@DentArturDentкак же ты его урыл😂
я конечно понимаю, что логариθмы вышли из моды, что теория чисел рулит, чётные нечётные, всё такое, но...
не проще ль доказать, что для
2 log_2 a + 2 log_2 b = 2 log_2 ab
нет значений n∊ℕ если a≠b, a∊ℕ, b∊ℕ
а иначе если a=b
2 log_2 a² = 4 log_2 a
= n∊ℕ -> a = 2^(n/4)
Но логарифм суммы не равен сумме логарифмов. Вы решаете задачу, когда в левой части не сумма квадратов, а их произведение
@@trushinbvай, и точно же
@@trushinbv так, если не равен (сложение квадратов), то для a=b
n = 2 log_2 a + 1
для a≠b
n = 2 log_2 a + log_2 (1 + (b/a)²)
где второе слагаемое не может быть целым для любых a≠b, a≠0, b≠0 (*
*) без потери общности, из пары a и b первое пусть бо́льшее, a > b, тогда в скобках что-то меньшее двух и бо́льшее единицы, не включая 1 и 2, то есть результат логарифма нецелый в любом случае различия a и b
@@vadiquemyselfтак и первое слагаемое - нецелое. А в сумме - целое )
@@trushinbv тогда ещё проще, без логариϑмов
(a+b)² = 2^n + 2ab
a+b = 2 √( 2^(n-2) + ab/2 )
корень √( 2^(n-2) + ½ab ) только тогда целый, когда
2^(n-2) + ½ab = w² - квадрат целого, w = ½(a+b) ∊ ℕ
a≠b -> ab ≥ 2 -> ½ab ∊ ℕ
2^(n-2) ∊ ℕ для всех n > 2
½(a+b) ∊ ℕ -> возможные решения могут быть среди пар типа
b = 3a, a² + (3a)² = 10a² = 2·5 a²
b = 5a, a² + (5a)² = 26a² = 2·13 a²
b = 7a, a² + (7a)² = 50a² = 2·5·5 a²
b = 9a, a² + (9a)² = 82a² = 2·41 a²
...
среди сумм 1 + (2k+1)² = 2( 1 + 2k(1+k) ) не может быть степени двойки для k>0 (тем более, *чётной* степени двойки для корня из a²)
Я дизлайкаю за любое использование ИИ в роликах. Пока эпоха дипфейков окончательно не наступила, для меня любое человеческое ценнее. Я надеюсь что люди постепенно будут это осознавать и начнут максимально отказываться от ИИ, ограничиваясь только узкими областями где это действительно необходимо.
Да, штаны только подтянем и начнем отказываться
@@harry-smith404 а на обывателей и не стоит надеятся, потому что они в основной массе безответственны, безприинципны и глупы. Им дали цацку, которая за них дипломы пишет и поздравления начальнику на днюху, они и пускают слюни. Задумываться о последствиях будут большие дяди на законодательном уровне, когда пойдет по п...де авторское право, когда внезапно появятся целая плеяда музыкантов, писателей, художников, выдающих сгенерированную цифровую парашу за своё творчество, активизируются всякого рода мошенники, которые синтезированным голосом родственников будут вытаскивать деньги у пенсионеров, разгорятся всякого рода судебные и политические скандалы, где несуществующие сгенерированные ролики и фото будут выдаваться как факты и доказательства. Но большие дяди почему то пока что молчат...
Сама нейросеть то решила задачу?
Математик ты хороший, а препод из тебя никакой
Спасибо )
@@trushinbvХарош)
Какая ужасная доска, отвратительно бликует.
xex)