Множества - Принципы математического мышления - уровень 5 из 5
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 30 มี.ค. 2020
- 12:40 Теорема Кантора
➖➖➖➖➖➖
Весь курс: • Язык математики - Прин...
➖➖➖➖➖➖
Заказ футболки ALL you need is MATH: printdirect.ru/storefront/sha...
➖➖➖➖➖➖
📄✏ Материалы и задачи к курсу:
savvateev.xyz/mt/5
➖➖➖➖➖➖
Поддержите канал - станьте патроном:
/ savvateev
➖➖➖➖➖➖
Автор курса: Алексей Савватеев
Автор идеи, продюсер, монтажер: Егор Кузьмичев
Автор материалов к курсу: Павел Иванов
Выпускающий редактор: Дарья Федорова
Дизайнер обложки: Кирилл Кучин
Студия записи: svetak.ru - ภาพยนตร์และแอนิเมชัน
Когда ты, как и Кантор, не понимаешь теорему Кантора:
Знаете, я и сам своего рода ученый
Но Кантор может объяснить в каком именно месте ему непонятно. )
Но кантор составил теорему и доказательство теоремы, хотя и сам её не понял.
Почти ничего не понятно, но почему то очень интересно и хочется побольше таких видео
_"…Взять бы этого Кантора, да за такие доказательства года на три в Соловки! …"_ (с) М.Булгаков, "MATH-тер и М.", 2020
С футболкой отличная тема, всегда приятно видеть внимание к деталям!
5:00
"конференция по короновирусу была отменена в связи с короновирусом" (с)
Отличная идея с оформлением, освещением, и тд ...
Объяснение теоремы Кантора для гуманитариев:
В тоталитарном обществе живёт
A чисел. У каждого числа есть набор интересов. Есть группы по интересам чётных, простых, отрицательных, маленьких(
Круть)
Для гуманитариев можно еще проще... реальное число подмножеств для множества А - это 2^A, что и было сказано в видео. Это не просто обозначение, это реальное их число, которое можно назвать множеством B. Например, для множества A = {1, 2, 3} будет 8 подмножеств (эти 8 подмножеств мы и называем множеством B) - 1) пустое, 2) {1}, 3) {2}, 4) {3}, 5) {1, 2}, 6) {1, 3}, 7) {2, 3}, 8) {1, 2, 3}. Как видим множество B = 2^A неравномощно A (оно больше, содержит 8 элементов, а А содержит только 3). И это неспроста, так как функция 2^n растет гораздо быстрее, чем растет аргумент n, то 2^n > n (для любого n = 1,..., N). В множестве 2^A всегда будет больше элементов, чем в A. А раз в одном множестве элементов больше, чем в другом, то они неравномощны. Но это объяснение для конечных множеств. Для счетных теорему Кантора думаю тоже можно объяснить проще.
@@user-ts1kn7xx6j проблема в том,что такими рассуждениями и между 0 и 1 тоже бесконечное число дробных чисел,но мощности натуральных и рациональных множеств равносильны,что опять же было доказано в видео. Сама логика конечно есть в этом,но её всё равно нужно принять на веру,потому что в бесконечном множестве в принципе нельзя делать какие-либо утверждения о количестве элементов. Посмотрите например про Число Грэма или число TREE,так вот,они все равно будут меньше Алефа нуль,то есть мощности самого маленького бесконечного множества,хоть и сами эти числа не записать никакими простыми числами,либо нотации использовать,либо гипероператоры. Эти один из самых сложных и интересных разделов математики как по мне.
Алексей, было бы интересно, если бы вы могли сделать некоторую систематизацию дисциплин математики, т.е. некоторое дерево познания со спецификаций решаемых задач (понятно, что сложно, но это был бы вызов).
очень красиво. спасибо
Так запутанно излагать несложные, в общем то, вещи, это надо иметь талант)
Согласен, объясняет очень непонятно, мне проще оказалось погуглить и почитать док-во официальное, несмотря на то, что пришлось ознакомиться с терминологией.
оффигенно!
Спасибо Вам за лекции. Просмотрел все Лекции которые идут (6 недель) ну и досматриваю эти лекции. Спасибо за информацию и за старание!
Мне нравится больше всего теория Кантора. Ну и теория собственно корень из двух - это божественные теории.
Алексей Владимирович, в этом контексте было бы интересно узнать, что Вы думаете о конструктивизме в математике.
Анекдот: Заходят в бар одновременно бесконечное число математиков) Бармен: "Кто будет пиво?", (небольшая пауза), первый математик - "все" =)))) :-D
Тупой анекдот
Бармен должен спросить не "кто будет пиво?", а "Все будут пиво?". Иначе смысл анекдота теряется.
Анекдот, заходит в бар бесконечное количество программистов, бармен спрашивает кто будет пиво, после недлительной паузы нулевой програмист говорит всё
@@user-yp7xd9tk5i Они должны были сказать это хором.
@@tojikistonvataniazizam484 почему? Да, смысл неточный. Там в оригинале было что 2 математика говорили не знаю, а потом третий сказал все. Но прежде чем говорить что анекдот тупой, надо его смысл понять
Спасибо
Вот только сейчас начал понимать подмножиства. Вроде бы и просто объяснил. Но..
Про Гильберта понял. Бесконечность
Тот момент, когда понял доказательство (спустя минут 30), но не осознал)
Здравствуйте. Если у кого-то будет минутка ответить на мои 2 вопроса, то буду премного благодарен.
1. В книге Гельфонда "Решение уравнений в целых числах" сказано, что любое уравнение 2 степени от 2 переменных сводится к уравнению Пелля. Нигде не могу найти доказательство этого факта.
2. В беседе с отцом Пантелеймоном Алексей упомянул, что диофантово уравнение x^2 + y^2 = k(xy + 1) имеет решения только при k равному точному квадрату. Нигде не могу найти доказательство этого факта.
Заранее спасибо)
для подобного Теореме Кантора было бы интересно видеть визуальные представления.
Да, согласен, учитывая, что это диагональный метод Кантора, и само название располагает к визуализации теоремы.
очень интересно Вас слушать (Вы препод от бога ))) ). Жаль мне понять не дано
Пора записывать конспекты лекций, пока идёт карантин
Есть ссылка на ВК Кирилла Кучина, дизайнера обложки? Интересный стиль, хотелось бы узнать, как такое свечение создается
19:43 действительно
Если между элементами бесконечных множеств можно установить взаимооднозначное соответствие, это не значит, что в этих множествах одинаковое количество элементов, а значит, что они равномощны. Это только для конечных множеств, если они равномощны, то содержат одинаковое количество элементов.
Есть ли у "равномощности" какой либо иной смысл кроме взаимосоответствия?
@@DenisSvistoplasov Само понятие "МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА" не имеет никакого смысла.
Ну вообще-то это именно это и значит. Бесконечности у счетных множеств одинаковые с точки зрения количества элементов. Как бы это наш мозг не пытался поставить в штыки. Целых чисел больше натуральных в 2 раза? 2*бесконечность = бесконечность. Увы, но их одинаково. Одинаково также количество натуральных и рациональных. А вот количество вещественных больше. Там уже бесконечность действительно другая. И мощности разные, соответственно. У них есть и специальные обозначения даже, алеф-нуль - для счетных, алеф-один - для континуальных
Да, помню в Зориче ещё было ) Вы очень хорошо рассказываете, с эмоциями. Это потрясающе круто ! Всегда удивляюсь этому. Кстати, будет ли видео на другом канале , как вы громите совок ?)
скоро, скоро! Там Григоров будет его громить :0-))
Алексей, Вы доказываете что A не равномощно 2^A, но когда гуглишь теорему Кантора пишут что А МНЕЕ мощно, какое определение теоремы все таки верное
P.S. все доказательства (которые я видел) включающие переход от неравномощности к меньшей мощности А вызывают вопросы (если все таки верно второе хочется задать еще вопрос)
Знаю как минимум одно множество целиком и полностью удовлетворяющее требованиям Кантора 😊. Это множество - **ДЕНЬГИ**. С другими можно поспорить, требуется доказать их соответствие, а с деньгами всё очевидно. 1:09
Какие последующие проекты будут?
Алексей, вот вы говорите, что понять доказательство очень сложно, но что обозначает понять? Представить как-то себе в голове как это происходит или что?
Просто сами рассуждения и выводы из них вроде понятны более менее всем, но видимо "понять" 'это что-то более серьезное, расскажите пожалуйста, что в вашем смысле обозначает "понять", "осознать"?
Прочувствовать на глубине, осмыслить в связи с целом и единым, с деталями. Как видишь следствия и причины но уже интуитивно
В данном случае речь о "принять", "согласиться". Чистый мозг по началу сопротивляется, когда ему втирают какую-то дичь. Но, если вы его убедите, что "он тупой, если не может с этим согласиться", то вскоре он либо таки уверует, отключив критическое мышление и всякие попытки разобраться, либо разочаруется в предмете, где господствует мистическое мышление. К сожалению, даже в математике есть такие области.
Задача с бродобреем решается в рамках содержательной логики очень просто. Бродобрей это тот кто бреет бороду другому человеку. В момент когда человек с функцией бродобрея бреется сам, он не является бродобреем.
Обратное отображение: 2z+1 (если z неотрицательно) и -2z (если z отрицательно)
Поправлю вас, 2z+1 если z положительно и -2z если не положительно, иначе нулья не будет в образе
@@kamen-mani поправка отклоняется. Наш образ - множество натуральных чисел и ноль там ни к чему!
Бывает и так и так... но мы доказываем что этого вообще не бывает. В фонд золотых цитат! Боюсь у не математиков в этот момент мозг отключился
вопрос по доказательству т. Кантора: каким образом из того что не существует такого d чтобы из него выводить всё нужное B по вот этим условиям невключения b в рассчитываемом подмножестве, каким образом из этого следует 2^A не равномощно A, и в какую стороне неравномощно? 2^A мощнее? как вообще сравнить на равномощность одно множество и множество множеств, которым является 2^A? и почему вы говорите что поиск это типа ф^-1?
Внимательно изучил эту теорему и пришёл к выводу. Пустое множество нарушает теорему Кантора. У пустого множества есть только одно подмножество, поскольку 2^0=1 и взаимооднозначное соответствие между множеством и его множеством подмножеств имеет место быть
Нет, какой элемент ты поставишь в соответствие с подмножеством пустого множества, если в пуст. множ. нет элементов? Не думай, что ты умнее всех математиков и смог опровергнуть фундаментальную доказанную теорему, которую проверили очень много раз.
ramg согласен, ошибся. Так как множество пустое, то мощность пустого множества n=0 меньше мощности множества подмножеств пустого множества 2^0=1
А где док-во определения строгости знака и в какую сторону он идёт?
Алексей, откройте секрет, как Вы пишете справа налево?))
DrBullet это еще ладно, у меня вот учительница вверх тормашками пишет
Он наверное реверсирует видео
@@nberz692то есть при записи он еще и говорит в обратном порядке
Не, ну, в принципе, всё понятно... 🙄
Вот, если ещё т. Гёделя "вкурить", то можно считать, что при любых дальнейших "раскладах" жизнь была не равномощна пустому множеству! 😂
Брадобрей Критянин находясь между двумя множиствами устанавливает между ними биекцию. Школьники возмутились и направили на него Гилберта, но покушение отменилось из-за короновируса.
(С) то что мне приснится сегодня...
С целыми числами весьма спорное утверждение (что они счётны по натуральным). Если обратиться к ряду Лорана, то здесь абсолютно очевиден смысл отрицательных коэффициентов разложения в функциональный ряд, который может быть по мощности явно не бесконечным, а скорее порядку и кратности полюсов. При этом, в случае существенно особых точек ничто нам не мешает забыть лишь про натуральные числа и по полной использовать целые. Если использовать терминологию единичных смещений - то вновь-таки натуральные нужно дополнять по смыслу при перемещении влево, тогда как целые не нуждаются в оном. Покрытием метрики 1 или 2 между числами да, отождествит движения вправо и влево, но опять же для натуральных надо додумывать логику движения влево от единицы (или нуля, как предлагается). Кольца вычетов по модулю в языках программирования на примерах массивов это решают (например, индекс -1 означает последний элемент некоторого набора n - размерности вектора). Но тут вопрос о смысле всё же. И натуральные явно проигрывают целым.
смотрю по плейлисту Курс «Математическое мышление»
в плейлисте от третьего видео сразу перескок на пятое
хочу четвертое видео
Исправили!
Да, с брадобреем немного неточно. Не тех кто не умеет, а просто тех кто не бреется сам. Сам то он умеет и значит может себя брить.
спасибо, согласен с поправкой !!
Если интересует корректный разбор этих парадоксов и канторова метода в частности, то рекомендую это видео: th-cam.com/video/9kPxFtRefac/w-d-xo.html
Брадобрей не существует, т. к. пересечение множеств "бреются сами" и "не бреются сами" пустое.
Если Кантор был бы прав, то дальше изучать математику было бы не интересно. Можно, например, предположить, что число ноль и число бесконечность не являются числами или не совсем числами, а тогда чем они являются?
А как на счёт ∅ пустого множества
Помогите, пожалуйста, с задачей, не могу разобраться:
A={x£R/x²+3x-4=0}
Мне кажется, задача не полная. Там x принадлежит, найти нужно.
А что сложного? По условию множество А это множество всех x принадлежащих вещественным числам, удовлетворяющие уравнению x^2+3x-4=0. Это уравнение легко решается по формулам Виета. x1=-4, x2=1. Можно подставить и проверить. Так как в поле вещественных чисел у многочлена второй степени не бывает больше двух корней, то мы уже нашли все корни уравнения. Таким образом, ответ A={-4,1}. Надеюсь помог.
а какая формула биекции рациональных в натуральные ?
если биекция задается в одну сторону, то в обратную сторону задается биекция обратная данной.
Ещё момент.
Единичное множество состоит как минимум из двух элементов: один - его нет, второй оно есть, и всё меду ними есть элемент единичного множества. То е, даже не два, а три 😏.
Но и это ещё не всё 😊
Единичное множество является элементом любого множества. ЛЮБОГО! То е,
А оно мене надо?
В софизме про критянина (именно так мне преподнесли его в первый раз) допущена грубая ошибка т.к. утверждение верное, критянин врёт но его ложь в том что все критяне врут, правда в том что врут не все критяне и тот который утверждает врёт. логика не нарушена. Но если преподнести его как: "один критянин утверждает что он постоянно лжёт", то тут утверждение уже носит парадоксальный характер. Брадобрей в праве бриться как угодно, так как в утверждении сказано что он бреет всех кто не умеет бриться, про остальных ничего не сказано, вне зависимости от его выбора утверждение верно
2:24 Интересный вариант: брадобрей - женщина...
Я дошел до самого конца, и вышло так, что не понимаю самого последнего...
Допустим, у меня есть множество натуральных чисел. И скажем, у меня есть подмножество "Б", которое указано числом, скажем "2". Чтобы условие (где ни один элемент подмножества "Б" не используется указателем на это подмножество) выполнялось, предположим, что это подмножество состоит из чисел "3" и "4".
Допустим, подмножество "Д" указано числом "4" и состоит из трех чисел "2", "7" и "8". При таких значениях условие (где существует такой элемент подмножества "Д", что является указателем на подмножество "Б") тоже выполняется. Поэтому на ваш последний вопрос (принадлежит ли тот элемент подмножества "Д" подмножеству "Б") я могу ответить, что нет. И при этом никакого противоречия не возникает.
В чём моя ошибка рассуждения?
На 6:04 разве после пересаживаний тот кто сидит на последнем месте (∞-ом) не должен остаться стоять? Так как ∞ мест а нужно ∞+1 мест чтобы сесть, а ∞+1 = ∞😐
нет, потому что последнего места нет, а ∞+1=∞
Про теорему Кантора. А что если каждому элементу множество поставить в соответствие 0 или 1 (принадлежит подмножеству или нет), тогда есть взаимно однозначное соответствие. Просто идем по порядку от 0 до бесконечности, каждое числу соответствует i-тому элементу, преобразуем номер в двоичный вид и получаем некоторое подмножество, где j-тый двоичный разряд говорит нам о том принадлежит элементу подмножеству или нет. Ну и от самого числа отнимаем 1, чтобы захватить пустое множество. Т.е. 1 элемент (1-1 = 0 = 0(в двоичной)) => пустое множество; 2 элемент ( 2-1 =1 =1 (в двоичной))=> подмножество из первого элемента; 3 элемент (3-1=2=10 (в двоичной)) подмножество из второго элемента; 4 элемент (4-1=3=11(в двоичной)) => подмножество из 1 и 2 элементов и т.д.
Это не биекция, а сюръекция. Т. К. под элемент i попадут подмножества с мощностью i-1. А их количество >= 1
@@the_last_genius1672 есть исходное множество А и множество всех подмножеств Z. Перенумеруем А, т.е. из множества X, которое из нат. Чисел состоит, построим биекцию. Получаем АX, т.к. рассматриваем бесконечное множество А, то X=N (мн-во нат. Чисел). Каждому из Х ставим число в двоичном виде (мн-во Bin), из двоичного представления - это биекция, т.е. XBin. Из описанного в коменте выше алгоритма, строим подмножество, т.е. множеству Bin ставим в соответствие подмножество А (элемент мн-ва Z), т.е. Bin->Z - это как минимум инъекция, а т.к. каждому элементу Z можно поставить единственное представление в Bin, то Z->Bin,а значит BinZ. Из всего этого получаем AZ, т.е. биекция. В чем не прав?
@@denisivanov1549Здесь связь отображений Bin A и Bin Z не может быть установлена биективно, потому что в Z использовано больше элементов (2^n), чем в A(n - мощность A). Напрямую A Z не построится только потому, что равномощные подмножества A зайдут в один и тот же элемент A. Можете поразмышлять
@@the_last_genius1672 если говорить о количестве элементов, то к примеру мощность натурального множества чисел и целых чисел (положительные и отрицательные) равны, хотя очевидно на каждое натуральное приходится 2 числа из всех целых. Но упор ставится на том что их количество бесконечно. Уместно ли тогда говорить о количестве? Для конечных множеств согласен. По поводу равномощных подмножеств, если несложно покажите на примере.
@@denisivanov1549 с чего ты взял, что на каждое натуральное число приходится 2 целых?
Как Алексей пишет задом наперед зеркально и левой рукой??? :оо
Или можно зеркально отобразить запись
Если мы верим, что вещественные числа - это все точки на прямой, то, факт что множество вещественных чисел не равномощно множеству натуральных очевиден: все рациональные числа можно накрыть отрезком любой сколь угодно малой длины (подумайте почему). Если бы вещественных чисел было бы столько же, сколько натуральных, их бы тоже можно было накрыть таким отрезком и тогда расстояние между любыми двумя точками прямой было бы сколь угодно малым, а это явное противоречие, тому что мы знаем о прямой :)
Чтобы это формализовать, нужно еще рассуждений на страницу. Еще хочу заметить, что если два множества равномощны, то если одно можно накрыть отрезками сколь угодно малой длины из этого не следует что и второе можно. Например канторово множество равномощно всей прямой, но его можно покрыть отрезками сколь угодно малой длины
@@namespace17 жесть, если так. Я не знал такого:))) а можешь объяснить почему так? Или дай направление, куда сходить почитать
@@namespace17 вообще прямая равномощна отрезку, не понимаю зачем канторово множество. Но если мы фиксируем отрезок, нам все равно не удастся покрыть его сколь угодно малым отрезком.
Ни на что не претендую, но мое рассуждение кажется мне корректным, хотя я не знаю как правильно его формализовать
@@dmitrypetrov8491 Что именно объяснить?
А дальше что будет?
Про первый "парадокс" подумал так: если он говорит правду, то получается парадокс, а значит он врёт, что "все ... (забыл как их автор назвал, этих людей) всегда врут", следовательно, если он не может говорить правду, то он врёт, что "все ... всегда врут", на самом деле не все врут, но некоторые, например, он.
Целое больше суммы частей
Блин, только сейчас понял, у Савватеева ведь футболка отзеркалена, получается хахах
битрейта видео нужно бы добавить, на темном фоне артефакты не строго соответствует придирчивому человеку на самоизоляции :)
Мне почему-то не очень очевидно, что существует подмножество В где {b є А, и b не є F(B)}. Это разве не нужно доказывать?
П.С. Знаю о диагональном методе кантора, но почему-то выглядит не очевидно то, что вообще можна такое подмножество выбрать
Такие вещи определяются аксиомами. Обычно математики используют набор аксиом ZFC, среди них есть аксиома, которая говорит что из любого множества можно извлечь подмножество, элементы которого удовлетворяют некому свойству.
@@namespace17 Ок, как тогда быть с таким свойством?
BcA; B={b не є А}. Тоесть подмножество всех елементов, которых нет. На ум приходит пустое подмножество. Но тогда неправильным будет утверждение: Существует {b є B}, так как множество пустое. Или правильным?
@@romanburtnyk Да, будет пустое, и утверждение что в нем существует элемент будет ложно. Не понятно, почему это вас смущает. В доказательстве теоремы Кантора мы же не ищем элемент данного подмножества.
@@namespace17 Да, точно, вы правы. Я просто перепутал "Существует d : Ф(d)=B и Существует d є B". Тоесть, если B пустое множество, то оно должно быть не пустым. Шикарно.
А если взять не 2стнпеньА, а взять от -1 до 1 в степени А, та же двойка но и 0.
Это не простое возведение в степень, а отображение из множества А в {0, 1}
@@ilyaisko да я о другом. 2 кой что обозначают в данном уравнении?
"...бустрофедончик..". :))))
Не могу понять, почему эту теорему нельзя применить к рациональным или целым числам. Разве и те, и другие не содеражат в себе натуральные как подмножества? Тогда получается, что рациональные и целые несчетны, но это неверно
Странное соответствие между N и Z, понятно, что натуральных чисел меньше, чем целых. Доказательство, по определению всего натуральных чисел N, а целых -- Z. Но, между N и Z расположено еще O P Q R .... X Y чисел, а значит Z больше чем N, так как в ряду чисел стоит намного правее, что формально можно записать Z > N, ч т д
Чувак, эти множества бесконечны, этим всё объясняется
@@lefrut6016
чел выше, конечно, фрикует, но я равномощность N и Z на кончиках пальцев так и не ощутил, хотя математический подход прекрасно понятен😁
Я не понимаю, Алексей отзеркален и его футболка изначально отзеркалена? Или как эта чудо-доска вообще работает?
Да, футболка специальная.
Рисунок на футболке отзеркален. Т.к. при обычной съемке челка всегда зачесана направо, а здесь - налево :)
А каково ему писать, вы не задумывались? :)
Степан Дубровный так в том и прикол что он нормально пишет,но видео отзеркаленено но при этом футболка заранее отзеркаленая
@@user-fk6rg4sm7w Чёлка зачёсывается по направлению роста волос. У разных людей волосы растут в разных направлениях.
Ну короче, теорема Кантора для чайников: в любом множестве больше подмножеств, чем самих элементов этого множества. Для конечных множеств это довольно очевидно, а вот для бесконечных - таки интересно.
Ответ на вопрос про брадобрея не определен!
Проведем разбор суждения "Брадобрей СПБ бреет всех, кто не умеет бриться сам".
Субъект: мужчины, которые не умеют бриться.
Предикат: мужчины, которые пользуются услугами брадобрея.
Это суждение вида Все S есть Р.
Субъект и предикат находятся в отношении подчинения.
Термин "мужчины, которые пользуются услугами брадобрея" НЕ распределен, а значит не исключено, что в множество всех мужчин, которые пользуются услугами брадобрея, входят и те, которые умеют бриться, а следовательно и брадобрей может входить в это множество, а следовательно он может брить себя сам... а может и не брить.
Из посылки не следует с достоверность ни одно, ни другое.
Для полной картины нужно было снять кольцо с правой руки и надеть на левую🤔
Попросите его в следующих видео здороваться левой, и сидеть в интервью с противоположной стороны!
Но для любого числа n из N мы имеем два числа: n и -n из Z. И где здесь взаимооднозначное соответствие?
Вы рассматриваете другое отображение (n -> n И n -> -n) и оно естественно не взаимно-однозначное, равномощность же следует из того, что МОЖНО построить НЕКОТОРОЕ соответствие, которое будет взаимно однозначным. Например такое, из N в Z:
0 -> 0, 1 -> 1, 2 -> -1, 3 -> 2, 4-> -2, 5 -> 3, ..., n -> (-n/2, если n - четное или (n-1)/2, если n - нечечтное), где n - натуральное
тогда из Z в N будет выглядеть так: z -> (2z-1, если z>0 или -2z, если z
Если мы рассуждаем о количестве элементов бесконечного множества, мы утверждаем, что бесконечность - это число?
Вопрос математикам: в классе есть самый лучший ученик по математике, знает все на отлично делает все домашние задания, как этому ученику поставить 3 по итогам учебной четверти?
Если бы математика была бы такой допотопной, то вселенной не существовало! (для математиков, физиков и ч.т.т.)
Возникающее в конце доказательства противоречие может доказывать не только ложность исходного предположения, т.е. равномощность A и 2^A, но также невозможность построения множества B. В случае если A - множество натуральных чисел, то имеет место быть как раз вторая ситуация. А еще я открою Вам жуткую тайну, уважаемый Алексей Владимирович. Математика, к каким бы изощренным средствам она ни прибегала, не в состоянии предоставить полностью корректное доказательство существования несчетных множеств. Каждое подобное доказательство неизбежно будет содержать скрытую антиномию.
Мироздание это Противоречие Теоремы Кантера :D :D :D
Что-то мне непонятно, а какой практический смысл сравнивать абстрактные мощности бесконечных множеств?
Шень?
Я всегда вру!
Так и есть! Доказано.
Неправда. Допустим, это правда, тогда ты всегда врёшь, то есть всё, сказанное/написанное тобой - неправда, но ты это сказал/написал - противоречие. Допустим, это неправда. Получается, что ты врёшь не всегда или не врёшь, и противоречий не возникает, ведь ты реально врёшь не всегда... Стоп... Если ты (не считая эту фразу, потому она непонятно что) говорил/писал всегда ложь, то...
P.s. получается, что если ты (не считая эту фразу, потому что она непонятно что) всегда врал, то утверждение ни правда, ни ложь, но если ты (не считая эту фразу, потому что она непонятно что) когда-то говорил/писал правду, утверждение 100% неверно ⇒не достаточно информации для определения правдивости/ложности/странного состояния данного высказывания
В своём ролике я упомянул и процитировал Ваш видеоролик. 05-10. ЛОГИЧЕСКИЙ ФАНТАЗМ №10: БЕСКОНЕЧНЫЕ ПАРАДОКСЫ МНОЖЕСТВ: th-cam.com/video/uh8i52X79d0/w-d-xo.html :-)
У меня батя запил после теории Кантора. 10 лет держался (
У меня родственник с погонялом Кантор сказал что пора найти невесту незная того что я уже почти женат
А если кроме шуток, вопрос автору или, кто в теме. А является ли формулировка теоремы Кантора принципиально корректной? Я не силен в вопросе, но не является ли она философским софизмом, и/или результатом неполного описания всех чисел? Такая примитивная аналогия, например, папуасы не знают про отрицательные числа, и формулируют теорему, что не существует взаимного соответствия между N и Z просто потому что они не осознают Z. и дальше по Кантору приводят доказательство...
не, тут всё формально верно. Просто вывод контринтуитивен. Но иначе и быть не могло, ведь откуда тут взяться интуиции, если мы в повседневной жизни никогда не встречали ничего по-настоящему бесконечного и понятия не имеем как оно себя ведёт. Вот представьте себе ситуацию, что есть некий мальчик, и дед мороз вдруг решил, что на своих волшебных санях он прилетит к мальчику за 20 минут до полночи, потом ещё раз за 10 минут до полночи, потом за 5 минут до полночи и будет продолжать так прилетать каждый раз как до полночи будет оставаться ровно половина времени от прошлого прилёта. И каждый раз прилетая к нему он будет оставлять по одной конфете. Сколько конфет будет у мальчика в полночь? - ну тут всё просто, так как дед мороз успеет прилететь бесконечное количество раз, то и конфет будет бесконечное количество.
Но теперь давайте немного изменим задачу, и пускай у деда мороза все конфеты будут пронумерованы, а прилетая к мальчику он будет давать ему 2 следующие конфеты из своего мешка, но при этом будет забирать у мальчика и съедать конфету с наименьшим номером. Сколько конфет останется у мальчика в полночь?
Тоже бесконечное количество? - тогда назовите номер хотя бы одной конфеты, которая останется у мальчика в полночь :))
Казалось бы как ни крути, а суть действий деда мороза с точки зрения мальчика не меняется, каждый раз после прилёта деда мороза у него становится на одну конфету больше. Но вот настоящее математическое чудо, во втором случае в полночь у мальчика не остаётся конфет, потому что хоть дед мороз и приносил на одну конфету больше, чем съедал, но прилетев бесконечное количество раз он успел съесть все конфеты которые принёс. Какой бы номер конфеты не был бы назван, она неизбежно была съедена дедом морозом по условию задачи.
Вот так же с целыми и рациональными числами. Казалось бы на любом конечном участке числовой прямой рациональных чисел в бесконечное количество раз больше, чем целых, но вот на всей бесконечной числовой прямой их внезапно магически одинаковое количество :)
@@nikolaymatveychuk6145 хммм.. призадумался, за ответ спасибо
@@nikolaymatveychuk6145 таак, я привел пример с д Морозом своему ребенку - 10 лет. Концепцию бесконечности она приняла и согласилась. А вот вам решение второй части примера, где д. Мороз съедает конфету с наименьшим номером - дословно "у мальчика будет последняя конфета, потому что д Мороз всегда оставляет последнюю конфету, съедая предыдущую" ))
@@igors1131 нет такого понятия как "последняя конфета", потому что конфет бесконечное число. Это как сказать "наибольшее положительное число". Вот не получится, потому что наибольшего числа нет, ведь для каждого числа есть число, которое на 1 больше. Вот и с конфетами так же, учитывая, что их бесконечное количество, то какую бы конфету мы не выбрали, а всегда была конфета, которая была после неё, то есть не было никакой "последней" :)
@@nikolaymatveychuk6145 почему-то подумалось, что совершенно внезапно парадокс Ахиллеса и черепахи успешно разрешается, если время не является бесконечно делимой величиной, т.е. существует квант времени :-)
Из курса я понял только одно. Чтобы следить за мыслью, нужно сначала выучить математическую нотацию и терминологию, а иначе просмотр такого рода лекций есть бессмысленная трата времени :)
Посмотри все предыдущие 4 выпуска, там все использующиеся в этом видео термины объясняются
Куда пропал 4 уровень из 5?
Александр Дубасов никуда он не пропал, есть на канале
th-cam.com/video/vjJwmACdD_U/w-d-xo.html
Теорема Кантора содержит в себе ошибку(зачеркнуть) неполноту доказательства
Ок. d не принадлежат b и d принадлежит b одновременно и Вы утверждаете что это невозможно.
Хорошо.
Тогда есть единичное множество. Определите его. Просто дайте определение единичного множества и всех его элементов 😊, при том что есть только единичное множество и более ничего.
а почему в Отеле все заняли себе место ??? оО ведь Формально Они Все имеют Место но Фактически 1 всегда Перемещается оО это если только для самого Г уже за ранее было место оО просто он Вредный и Выкинул того Кто ближе :D :D :D
Как говаривала училка математики моего брата, у меня она вела только несколько уроков: "Математика познаётся на деньгах!"
Таки о чём это я, о деньгах и о задаче Кантора. Есть монета и она фальшивая. И? Она принадлежит к множеству монет и не принадлежит, и это одновременно.
Вообще существует доказательство того , что Кантор с этой теорией ошибся. То есть множества А и 2^А РАВНОМОЩНЫ. Доказательство строится аналогично тому, как доказывается равномощность натуральных и рациональных чисел.
Жаль этот комментарий затеряется здесь никем не замеченный.🤔
Пусть N = Бесконечность.
Утверждение не существует N + 1
Потому что если существует N + 1, то N конечное число.
Потому что N не включает в себя N + 1.
И вообще N это не число а множество чисел.
Что за бред ты несёшь? N + 1 = ∞ + 1 = ∞, с чего бы N не существовать? N не включает в себя N + 1 только потому, что N не множество, N - это объект, бесконечность (по условию), такой объект не может содержать других объектов.
А дальше ты просто забываешь условие... В условии N - это объект, принадлежащий ℝ с ^, а потом ты говоришь, что это вообще множество......... Да, буквой N обозначают множество натуральных чисел (обычно ℕ, а не N), но если мы в условии этой буквой обозначили переменную, то при написании этой буквы подразумевается эта переменная. Вообще, лучше не обозначать переменные буквой 'N', как и 'e', 'i', 'π', 'Σ', 'Q', 'Z', 'H', 'C', 'R'. Те, которые обозначают множества впринципе можно использовать, если сами множества обозначать по другому ( использовать 'ℕ' 'ℚ', 'ℤ', 'ℍ', 'ℂ', 'ℝ' вместо 'N', 'Q', 'Z', 'H', 'C', 'R').
@@F_A_F123 Я не имел в виду, что N это множество натуральных чисел. Просто бесконечность это не число. Нужно наверное сначала дать определение, что такое бесконечность. А мое условие простое. Формализуюю его так.
Определения. Бесконечность, это множество всех чисел.
Как можно множеству всех добавить еще одно. По определения множество всех должно влючаты и то одно, что мы хотим добавить к нему.
Поэтому и бесконечность + 1 не существует. Иначе это не бесконечность согласно определения ...
Правда не знаю можно ли добавлять число множеству.
Возможно и в етом проблема. Для моего довода нужно принять определение добавления числа множеству.
К множеству можно добавить только, то число, которого нет во множестве . И результатом будет новое множество, включая это число.
А {a, a1, a2}
+
b
=
A1 {a, a1, a2, b}
@@lembergman5151 странное определение бесконечности. Я знаю что это не число
@@lembergman5151 более хорошее определение бесконечности(∞): lim(x→0) 1/x, плюс бесконечности (+∞): lim(x→0+0) 1/x и минус бесконечности (-∞): lim(x→0-0) 1/x. Множество всех чисел называется множеством всех чисел, а не бесконечностью. Добавление числа a к множеству A - тоже самое что добавление к множеству A множества состоящего только из одного числа - a и выглядит так: A∪{a}. Вообще, вот объединение множеств A и B: A∪B.
@@F_A_F123 Должен признаться вам, что я не помню что такое лимит.
Когда вспомню, тогда и отпишу, согласен ли я с вашим определением или нет.
Но работать с бесконечностью как с множеством тоже плохая идея, потому что когда мы говорим 1, 2, 3 ... +∞. Мы имеем в виду бесконечность как самое большое число.
Иначе если это множество то это выражение не имеет смысла ....
Новое определение.
+∞ это самое большое число.
Согласно новому определению
+∞ + 1 не существует. Так как не может быть большего за самое большое ....
А как вспомню лимиты напишу имеет ваше определение смысл или нет.
а если вся бригада брадобреев бреет члена своей бригады, то в этом рекурсивном процессе и этот член тоже берет себя, но он же не бреется сам по себе без бригады, аналогичные процессы могут происходить и в множестве неких вральманов - игроков человечьими словами, которых неодушевлённые по-человечески машины могут и не понимайть и не манипулироваться по-человечески в процессах производства прибавочной стоимости множества ценных бумаг
Автор ролика не силён в логике. Он говорит, что когда критянин говорит: «Все критяне всегда лгут», то ЯКОБЫ этому утверждению нельзя поставить значение истинности. Но это элементарно, Ватсон. Утверждение «Все критяне всегда лгут» очевидно ложно и никаких проблем не возникает. Обратное утверждение «Не все критяне и не всегда лгут» - истинно. Никаких нигде противоречий нет.
0 не является натуральным числом N начинается [1...
а вы узнайте, прежде чем писать. это дело всего лишь соглашения, а не незыблимая истина.
например во франции 0 является натуральным числом, у нас нет. но это всего лишь дело соглашения
соглашусь по причине: рациональное число можно представить как отношение целого к натуральному и если избавить натуральный ряд от нуля, тогда и проблема деления на ноль отпадет
@@megdu_prochem_kruglyi_god и куда она денется?
выродится)
@@megdu_prochem_kruglyi_god В делении на ноль говорится вообще про любые числа, а не про натуральные или целые. Не понятно, как переименование вхождения нуля в натуральные числа, помогут в этом.
как ты пишешь так чтоб мы видели нормально ?
Доказательство не конструктивное. Откуда нам знать, что результат такого доказательства такой, потому что он верный, а не потому что математика противоречива?
th-cam.com/video/4sONmqMh_0M/w-d-xo.html новое, а вдруг...
Забавно, что в принципе, любому человеку очевидно, что множество целых чисел содержит в себе множество натуральных, но им не исчерпывается. Вы начинаете проводить взаимно-однозначное соответствие в определённом порядке и говорите, что его можно провести исчерпывающим образом, приводя аналогию со стульями. Но если мы будем проводить это соответствие другим образом, а именно: единица соответствует единице, двойка двойке, и так до бесконечности, то очевидно, что отрицательные числа не участвуют в этом процессе. И таким образом, как можно говорить о взаимно-однозначном соответствии , если очевидно, что разные способы проведения этого соответствия приводят к разным выводам. Но даже и это только в том случае, если Ваше утверждение о том, что такое соответствие можно провести, верно. Ну, проведите его до конца, т.е. до бесконечности. Тогда это можно считать доказанным. Но для этого понадобиться бесконечное время. Ну тогда, что мы можем видеть в любой момент этого процесса? Что элементов в одном множестве всё равно больше, чем в другом.
Понятно, что сказать: "прямая длиннее луча", звучит как бред. Но очевидно ведь, что прямая и луч находятся в пространстве, и у каждой точки есть координаты. И вы не сможете в реальности провести взаимно-однозначное соответствие между множествами координат всех точек луча и прямой. Давайте наложим луч на прямую и посмотрим. А если рассуждения не имеют никакого отношения к реальности, то как можно быть уверенным в выводах? И зачем такие рассуждения? Могут ли они привести к истине? Сомневаюсь.
1. Парадокс лжеца - "это утверждение ложно". Тут всё просто и парадокса нет, на самом деле это просто ложное утверждение, а парадокс возникает из-за нарушения закона непротиворечия. Мы исходим из двух противоречивых предпосылок
- утверждение верно тогда и только тогда, когда верно утверждаемое им
- это утверждение является верным, если ложно утверждаемое им
Но мы так привыкли к первой из них, что просто её не проговариваем. Ну правда, давайте попробуем предположить, что мы и правда основываемся только на указанном одном утверждении. Что там написано? - ну видимо,что есть некое утверждение A (это), которое ложно. То есть формально эта предпосылка будет записана как A = FALSE. А потом нам задают вопрос "является ли утверждение A (это самое) ложным?". Ну как бы чего спрашивать, если одним предложением ранее сами написали ответ? :) Вот это и доказывает, что проблема возникает из-за того, что набор предпосылок к рассуждению совсем другой.
2. Парадокс брадобрея - "брадобрей брил в своём городе всех, кто не брился сам. Кто брил брадобрея?". Ну тут ещё проще. Мы получаем противоречивый результат, потому что исходим из ложной предпосылки. Всё ведь просто: брадобрей брил в своём городе НЕ всех, кто не брился сам.
3. Из-за описанного выше всегда считал метод доказательства от противного скользкой дорожкой. Если ведётся строгая формальная запись рассуждений, то там ошибка будет почти очевидной (хотя, думаю, тоже не всегда), но если формальная запись не ведётся, то там такого надоказывать можно... ну представьте, что мы постулируем верность условий задач в двух пунктах выше и начинаем от противного доказывать, что брадобрей себя брил, и что "это утверждение ложно" является верным - да запросто... доказывается от противного в 2 действия :)
ко второму пункту правка (не хочу править на месте, а то ютуб почему-то комментарии начинает прятать и в самый низ опускать в выдаче). Немного неправильно сформулировал задачу и решение. Задача "брадобрей бреет всех жителей деревни, которые не бреются сами, и только их. Бреет ли брадобрей сам себя?". Ответ: "Брадобрей бреет не только тех, кто не бреется сам, исходное условие задачи неверно"
@@nikolaymatveychuk6145 вроде как, классическое решение - брадобрей не житель деревни...
@@user-jl7py6gi6q нет. Он по условию житель деревни.
Тут, как и в случае с парадоксом лжеца, просто имеем противоречивый набор предпосылок:
1. Брадобрей брил всех, кто не брился сам
2. Брадобрей не брил тех, кто брился сам
Запишем это всё формально. Начнём с перечисления суждений:
A - человека бреет брадобрей
B - человек бреется сам
Запишем наши предпосылки формально:
1. !B → A // Если человек не бреется сам, то его бреет брадобрей
2. B → !A // Если человек не бреется сам, то его бреет брадобрей
Выразим для удобства операцию импликации через логическое ИЛИ и проверим могут ли эти суждения быть верными одновременно
(!B → A) ∧ (B → !A) = (B ∨ A) ∧ (!B ∨ !A) = (B ∧ !B) ∨ (B ∧ !A) ∨ (A ∧ !B) ∨ (A ∧ !A) = (B ∧ !A) ∨ (A ∧ !B)
Как видим выражение будет верным только если одно из суждений верно, а другое ложно, что строго формально доказывает ошибку в условии задачи.
Он что, пишет зеркально?
Не понимаю, откуда в множестве N может взятся 0! Шо за бред? Это N+ не иначе!!!