Hello^^ Nice to meet you. I am a Korean math teacher. I also ask for a lot of subscriptions and likes. Thank you very much. th-cam.com/video/A2X5S9ewJM4/w-d-xo.html
与えられた方程式の右辺の分数がもう少し小さい値であれば、m の範囲が狭くなるので、 その範囲内の各々に対応する n の値があるかどうかしらみつぶしに調べる手もありますね。3変数以上（例：l, m, nを自然数として、1/l+1/m+1/n=11/6 を満たす l, m, n の値を求めよ。）だと動画のような分母を払って処理というわけにはいかないでしょうし…。
Hello^^ Nice to meet you. I am a Korean math teacher. I also ask for a lot of subscriptions and likes. Thank you very much. th-cam.com/video/A2X5S9ewJM4/w-d-xo.html
Hello^^ Nice to meet you. I am a Korean math teacher. I'm greeting you because it reminds me of writing. Korean mathematics is also very attractive^^ It's okay to watch my video. I also ask for a lot of subscriptions and likes. Thank you very much. th-cam.com/video/A2X5S9ewJM4/w-d-xo.html
Hello^^ Nice to meet you. I am a Korean math teacher. I also ask for a lot of subscriptions and likes. Thank you very much. th-cam.com/video/A2X5S9ewJM4/w-d-xo.html
この1冊で高校数学の基本の90%が身につく「中学の知識でオイラーの公式がわかる」amzn.to/2t28U8C
オイラーの公式Tシャツ、合言葉は「貫太郎」です。www.ttrinity.jp/p/248613/
過去動画の大学別・分野別の検索はHPからkantaro1966.com
平方数にする部分とmod3を使う部分に感動すると同時に、最後の６８６８の書き直す感じが好きすぎる
The simpler it looks, the harder the question is.
mとnの最大公約数をg、m=g•m', n=g•n' (m'≦n')とする。
与式⇔3g•m'n'=202(m'+n')
m'n'とm'+n'は明らかに互いに素。よってm'n'は202の約数。
(m', n')=(1, 2) (1, 101) (1, 202) (2, 101)
このうち、m'+n'が3の倍数になるものは、(m', n')=(1,2) (1,101)
このときgの値はそれぞれ101, 68
よって(m, n)=(101, 202) (68, 6868)
mとnの入れ替え忘れてたわ…
めっちゃいい問題だなぁ
m=ra, n=rb （rはm, nの最大公約数）とすれば左辺＝a+b/rab. これを訳文して3/202になるが、a+bとabは互いに素なので分母のabは約分されない. よってabは202の約数で、かつ分子のa+bが3の倍数ということから(a,b)=(1,2),(2,1),(101,1),(1,101)となる.
最後のmod3を使うやり方は思いつかなかったです。面白かったです
今日の駿台共通テスト模試の問題で同じような話題が整数問題で取り上げられてました！
仲間よ！！
別件ですが、何名の方がコメントにて、ご自身が受けたであろう特定の模擬試験の業者名・テスト名を出しているのは問題ではないでしょうか。
今年は特に新型コロナの影響で試験日程が学校とか地域で例年よりかなりイレギュラーな日程設定となっていることもありますが、そうでなくとも、全国で特定のある日時にしか受験できないタイプの模試ではない場合、これから当該の模試を受験する方がおられることが想起される中で、「あの模試（業者名・テスト名が出た状態です。）では（先生の）いついつの動画と同じまたは類似問題が出た」という旨のコメントの記載を放置した場合、当該業者からコメント内の当該文言の修正やそれを含んだコメントの抹消を求められる可能性を排除できません。自身がこれから受ける模試についてのコメントを見た方がその模試の得点に影響を与えるおそれがあるという意味で、業者に間接的な影響（解答データを正しく採取できなくする。）を与えてしまっていないかと思われます。
最近も1件同様の事案がございましたが、当該文言の修正・抹消等の対応をコメントをなさった各人が行ったことにより、善処済みですが、当該業者が動く前に本日の分についても善処された方が良いのではないかと思います。
もっとも、業者名もテスト名もない、「この間受けた（校外）模試」などとコメントに書いただけですと、どの「（校外）模試」なのかを特定できないというのがあるので、そのような問題はないと考えます。
分母が101の倍数であることからも、エジプト式分数を意識しているように思えますね。
以下の式変形も参考に書いておきます。φ（．．）
①3/202より小さい最大の単位分数を考える(単位分数分解)
1/68が該当するので、式に代入すると、3/202-1/68=1/6868となり、この解が該当する。
②3/pqという分数に対し、a=(p+1)/3を考える
この時、
1/aq+1/apq=(p+1)/apq=3/pq
となるため、aq, apqが解となる。
設問の場合は、
(ア)p=101, q=2とすると、a=34 ⇒aq=68, apq=6868
(イ)p=2, q=101とすると、a=1 ⇒aq=101, apq=202
③3/pqという分数に対し、a=(p+q)/3を考える
この時、
1/ap+1/aq=(p+q)/apq=3/pq
となるため、ap, aqが解となる。
ただし今回の設問の場合は、p=101, q=2とすると、a=103/3となり該当する解は無い。
設問が3/404とかなら、p=101,q=4,a=35なので、ap=3535,aq=140、1/140+1/3535=3/404となるんですけどね(;^_^A
535,aq=140、1/140+1/3535=3/404となるんですけどね(;^_^A
十分性には関しては、
補題: 1/a+1/b=r (rは正の有理数)を満たす自然数の組(1≦a≦b)は有限個しかない
ので全部の組み合わせを確認すればよいことから示せます。
r=1/a+1/b≦2/a より a≦2/r なので、高々有限個のaを確認すればよい。
テストで解くのは大変ですが(;^_^A
良問！と叫びたくなりました よく ｔｈｉｋ ｕｐできますね 両辺 ３倍し因数分解するとこが巧妙な技
色んな方がmod3を意外だったと言っているので、思い付かなかったのは私だけではないと知り少し安心。合同式はゆとりのため教科書から削除されてたので、沢山使って慣れようと思います。
m、nは自然数だし式も単純そうだから論理的に導けなくても何とかなりそうと思ったが…（202，101）の組み合わせはすぐわかるけど（68，6868）のほうは論理的に導かなきゃ無理だな それには2乗の形を作るなど色々式変形したりmod使ったりその組み合わせを考えたりでかなり難しいなあと感じました。見た目は簡単そうなんだけどね…
少なくとも1方が101の倍数であることは明らかなので、対称性を利用し n は101の倍数であるとする。
① mも101の倍数の場合
m=101a , n=101b とおけば、1/a+1/b=3/2 から (a,b)=(1,2),(2,1)
② mは101の倍数でない場合
mとnの最大公約数をGとすれば m=aG , n=101bG で a は 101 とも b とも互いに素である
202(aG+101bG)=3×101abG² より 2+202b/a=3bG で a,b はともに2の約数だが、互いに素であるから両方が2にはなりえず、また一方が1で他方が2は、左辺が3の倍数にならないので (a,b,G)=(1,1,68)
①②より、対称性を戻して (m,n)=(101,202),(202,101),(68,6868),(6868,68)
すみません、aは101の倍数になれないので1か2(2の約数)というのはわかったのですが、bが2の約数というのはどのようにしてわかったのでしょうか？
@@コメントしかしない-t6e
2/b+202/a=3G だからです
右辺の分数を見た時、これが①そのまま②約分した結果の2パターンがあると思いました。
①は取り敢えず分子を1と2に分けて完了{m,n}={101,202}
問題の②ですが、約分された結果であると仮定すれば、約分される前の数を特定出来れば十分なので
k(k≧2の整数)として、これを右辺に乗算したものを考えました
整理すると1/m+1/n=k(3/202)
これを整理して、分子と分母それぞれの係数比較を行うと、以下の通りになります。
mn=202k,m+n=3k、これをmとkのみの表現に整理するとm^2-3km+202k=0
後は…気合()
今日のテスト頑張ってきます！
駿台？
落ち着いて問題を良く読み、考えれば大丈夫です。朗報を、待っています。
Good luck！ Do your best ！
頑張れーー
自分も中学校のだけど明日テストあるから頑張ります！
あーあー さん 🙏
お互い頑張りましょう！
1/m+1/n=3/202
⇔3mn=202m+202n
⇔n=202m/(3m-202)
より
(m,n)が自然数
⇒gcd(202m,3m-202)=3m-202
（202mを3m-202で割った余りを考えて）
⇔gcd(m+202・67,3m-202)=3m-202
（3と3m-202は互いに素だから）
⇔gcd(3m+3・202・67,3m-202)=3m-2
⇔gcd{(3m+3・202・67)-(3m-202),3m-202}=3m-202
⇔gcd(3・202・67+202,3m-202)=3m-202
⇔gcd{202(3・67+1),3m-202}=3m-202
⇔gcd{202^2,3m-202}=3m-202
よって3m-2は202^2の約数である。
(1)3m-202=202^2,101^2,2^2,202のときは
2≡1(mod 3)よりあり得ない。
(2)3m-202=101のとき
は
(m,n)=(101,202)
(3)3n-202=2のとき
は
(m,n)=(68,6868)
(4)3m-202=101^2・2のときは
(m,n)=(202,101)
(5)3m-202=2^2・100のときは
(m,n)=(6868,68)
Hello^^ Nice to meet you. I am a Korean math teacher.
I also ask for a lot of subscriptions and likes. Thank you very much.
th-cam.com/video/A2X5S9ewJM4/w-d-xo.html
最初、不定方程式みたく202(m+n)=3mnだから、としましたがこの先がどうすることも出来なくなり、因数分解の形に変形することで解けました。
昔から整数問題好きです。
箸休めに私が小学生の時に作った問題を一つ
「野球の問題です。
ある打者がヒットを一本打ったところ、打率がぴったり6厘上がりました。ヒット後の打率を求めなさい。」
簡単すぎるとは思いますが動画で解説して頂けると問題作ってから数十年ぶりに表舞台に出た感じになります。
この問題、初めて解けたかも
解法が思い付かず、、ぱっと見で101,202の組み合わせだけって話かと思ったらまだ存在するんですね
2*101(m+n) = 3*m*n から mが101の倍数として一般性を失わないとして、m=101m'(m':自然数)とおくと、(3m' - 2)(3n - 202) = 2*2*101と変形できて、3m'-2>0から3n-202>0で(3m'-2, 3n-202) = (1,404),(2,202),(4,101),(404,1),(202,2)(101,4)となりこのうちm'とnがともに自然数なのは(m',n) = (68,68), (1, 202),(2, 101)で(m,n)=(6868,68),(101,202),(202,101)あとはnが101の倍数のときを追加。
3/202はどんな数なのか。1/x+1/y=c/ab…A、a,b:異なる素数、無論c/abは既約、便宜上x
全部（ｍ、ｎ）を算出しました。最後には、mod3を使うとは、さすがですね。
nを小さい方だとすると、1/n＝3/202-1/mより1/n＜3/202より68≦n,またm≧nになるためには1/n≧3/202×2を満たす必要があるためn≦133よって68≦n≦133とゴリ押ししようにも66通りじゃ無理ですね
Putnam Exam 2018:A1
(1/a + 1/b=3/2018)の類題かと思いましたが、
コメント欄にあるエジプト式分数、初めて知りました。その中でも
"強欲算法"なるものがあって、
X͟ ₌ ͟ ͟1 ͟ ₊ X͟-(Y͟m͟o͟dX͟)
Y ⌈Y/X⌉ Y⌈Y/X⌉ ←天井関数
3/202=1/68 +1/6868が算出できるんですね。勉強になりました。
両辺を3倍すると1/(2×101)=1/404+1/404=1/203(1+1/202)=1/103(1/2+1/101)=1/2(1/102(1+1/101))=1/101(1/3(1+1/2))となるので、分母が3の倍数になるのは後の2つのみですね。
同じやり方でした。
しかし、101＆202は、式を見た時点で気付くべきだったなぁ。シマッタ😅。
同じ解き方でしたが，他に解法はなさそうですね。
因数分解そのものは中3でも可能なレベルなので，高校入試で出題されても不思議じゃないかも。
与えられた方程式の右辺の分数がもう少し小さい値であれば、m の範囲が狭くなるので、 その範囲内の各々に対応する n の値があるかどうかしらみつぶしに調べる手もありますね。3変数以上（例：l, m, nを自然数として、1/l+1/m+1/n=11/6 を満たす l, m, n の値を求めよ。）だと動画のような分母を払って処理というわけにはいかないでしょうし…。
@@PC三太郎 なるほど
その例題だと対称性を使った不等式評価になりますね
数字が小さいから為せる業ですが☺️
無理やり積の形にしてやると言葉は悪そうですけれど、やってることはエレガントで感動しました。
わたしの場合、3mn＝202(m+n)とはしたものの、101,202しかみつけられず...
マイナスは検討しなくていんですか？
結論的にはないのですが、その「ない」ということを示す必要がありますね。私の答案のPDFではマイナスになる場合がない根拠を示してあります（私の大元のコメントを参照願います）。
pc3taro ありがとうございます
pc3taro めっちゃ分かりやすかったです笑
私は、(2の2乗)×(101の2乗)において、2数の積の組み合わせを全て考え、問題に当てはまる答えをチェックして、やっと解答にたどり着きました。かなり時間がかかり、とても疲れました。
やはり、貫太郎先生のmod3を、使った解法がスマートでした。
ありがとうございました。
確かにmod3で処理すれば，より美しく絞り込めますが，mとnの対称性から，mとnの大小関係を限定して検討できることと，約数の総数が9個であることだけを考えて，5通りまで絞ることは可能ですね。
@@KT-tb7xm 様 貴重なアドバイスを、ありがとうございました。
チェックする数が相当な場合は、適切な方法を考えなければならないですね。
@@中村吉郎 さん
絞り込みの練習も確かに必要ではあるんですが，絞り込むことに注力しすぎて，結果的に1つ1つ検討した方が速かったり，絞り方を間違ったりというリスクもあるので，自分は少し考えて妙案が思いつかない場合は，面倒でも1つ1つやってしまう場合もあります😅受験生だとそうはいかないと思いますが，自分は受験生でもないので，所要時間にはあまり拘らないようにしています😀どちらかというと，最短ルートを考えるよりも，大学生終盤や大学院生の研究のように，「いきなり答えなんてそうそう出るものではなく，まずはあれこれ解き方を模索してみる」という感覚に近いですね😄
@@KT-tb7xm 様 貴殿の考えに同感です。色々な数学の難しい問題で、私自身かなり勉強が積み重なって行かなければ、早く解く方法は見つけられないと思います。急がば回れですね。
話は違いますが、私は今独学で電気工事士の資格取得に向けて、細々と毎日勉強を続けています。何度も同じ内容を勉強していると、だんだん要領が良くなり、理解が深まります。
やはり、苦労してこそ身に付くことが、有ります。なんとかして、まずは筆記試験を突破して、技能試験に進みたいです。ありがとうございました。
@@中村吉郎 さん 健闘を祈ります👍
A: Rumus fraksional masalah integer
B: Menghitung kecepatan Bapak Guru dalam mendaki gunung kembar menggunakan rumus fraksional masalah integer.
追記、定義、公式、基礎からやり直します。
m(3n-202) = 202n
の式からm,n自然数のとき
3n-202 ≠ 101, 1 なので
3n-202 = 2 もしくは 3n-202 = n
と決めて2ペアだせましたが、これだと十分性の説明がうまく出来なかった…
Hello^^ Nice to meet you. I am a Korean math teacher.
I also ask for a lot of subscriptions and likes. Thank you very much.
th-cam.com/video/A2X5S9ewJM4/w-d-xo.html
(サムネみただけでの解答方針)対称性からm,nの大小設定をして片一方の動く範囲絞る
おはようございます
大体同じような形でやって解けました
この問題の解法は見た瞬間に浮かびましたが、数年前では多分解けなかったでしょうね
これ簡単！と思いきや因数分解出来ず…mnの係数が平方根だからうまくいくんですね。
また最後の答えの絞り方にmod3を使用したのは目から鱗です。これを知っていれば時間短縮、計算ミス防止が出来ますね。
数日忙しいため、動画の視聴のみでした。m nを解にもつ二次方程式の解と係数の関係から攻め、解を得ました。動画で解法を確認します。
この方法だと101と202の組み合わせしか導けませんでした。いろいろ検討しましたが、理由がわかりません。
@@hasebetoshiaki9338 どのように解かれたのか，詳細は分かりませんが，仮にその方法で正しく解けた場合，68*6868とか101*202が出てくることになるので，相当大変そうですね…💧
@@KT-tb7xm さん mn=202a m+n=3aとおき、m nが解になる二次方程式を立てました。判別式が平方数になるのが十分条件なので、a(9a-808)=A^2としました。a=9a-808=A,a=1 & 9a-808=A^2, a=A^2 &9a-808=1の中で整数解になるものを解の候補としました。結果、前述の解しか導けませんでした。
Hasebe Toshiaki
(m+n)/mn=3/202なので
m+n=3k, mn=202kと置いて
x²-3kx+202k=0の判別式
D=(3k)²-4(202k)=t²をとくと
9k²-2³•101k=t²(今回必要十分条件)
両辺9倍,和差積が使えるよう変形
➡︎(9k-2²•101)²-2⁴×101²=9t²
➡︎(9k-2²•101)²-9t²=2⁴×101²
(k,t)=(101,101)(2312,6800)となり
m+n=3k=303or6936
m-n= t =101or6800でm,n求まった
@@hasebetoshiaki9338さん 上の方が書かれたとおりなのだと思いますが， Hasebe Toshiakiさんの場合，Aが素数という前提が無意識に入ってしまっていると思います。しかし実際はAが素数とは限らないので，積がA^2となる2数が(A^2,1)だけとは限りません。
古代エジプトの単位分数和で全部表現する話ですね。通分して分母が202になって、かつ足してもそんなに大きくならないはずだからということで、ぱっと見で片方だけ出して満足してしまいました。もう１個は絶対気づかないです。やっぱり適当に当てはめて満足せずにちゃんと式を立てて解かないとだめですね（式を立てれば解けたとは言っていないw）。
合同式で絞り込むのが鮮やかですねぇ。
仮に、与式をいきなり3で割った場合、一体どういうルートになったんでしょうね…
まぁ、202は３で割り切れないわけだから、その余りから引っ張り出す方法もありそう。
結局は合同式にたどりつくわけですけども、m,n の候補が絞り込めれば、あとは力技で行けるのでしょうね。
mod3のあたりから考えるのが辛くなってしまいました😅このあたりが高偏差値の方との分かれ目なんでしょうね、、
僕も今年阪大受けますが後半戦は頭痛かったです笑
おはようございます？
なんかもう完全に生活パターンが世間様と逆になってしまった･･･。
概ね貫太郎先生と同じ解法。とは言うものの貫太郎先生ほどエレガントではないのもいつもと同じでした。
まず最初の因数分解。無理矢理因数分解できない！と思いつつ、それでもとりあえず無理矢理因数分解して
(3m-202)(n-202/3)=202²/3 で、あ、両辺3倍してやればいいとなり
(3m-202)(3n-202)=2²･101²
3ｍ-202 から 3n-202 を引くと3の倍数になるから mod 3で考えると振り分け方が絞られるみたいな感じでした。（繰り返しになりますが、貫太郎先生ほどエレガントではない。）
本日も勉強になりました。ありがとうございました。
平方数ってそんな便利なのか…
最近受験を意識し始めた高2です。
これからお世話になります。
Love ur channel, but i dont understand japanese.. So sometimes hv trouble to understand :)
m,nの何れかは少なくとも202の因数を持つので、n=101aと置くと少しですが計算量が減りますね。
これと似た問題が上位校の算数の入試問題でも出る
範囲を絞ろうとしたが上手くいかず、積の形に変形で上手くいきました。
101が素数かどうか落ち着いて考えた
一ツ橋模試で同じようなの出ましたね！
8/31 某twitterアカウントからはっせされたツイートのために復習に来ましたごめんなさい。
エジプト式分数を求めるときに似とる。
配分のパターンを調べなかったから全通り考えて
解くハメになりました。時短のためにも絞り込みは
大切ですね。しかし整数問題で答えが4ケタになる
ものって見たことがなかったなー。
方針通りに答えを出せましたが、計算をもっとシンプルに出来たんですね…
202を因数分解してから，カンで（202,101）という答えのペアを３秒で見つけましたが、後はわかりませんでした。
解と係数の関係で解いてったけど68,6868がどうしても出てこない。。。なんでや。。。
(m+n)/mn=3/202なので
m+n=3k, mn=202kと置いて
x²-3kx+202k=0の判別式
D=(3k)²-4(202k)=t²をとくと
(k,t)=(101,101)(2312,6800)となり
m+n=3k=303or6936
m-n= t =101or6800でm,n求まった
. k=2312となったときの、3k+tと3k-tの値はそれぞれkを用いてどう表しましたか？
少年D
3k±tだと難しいので
3行目以降判別式=
9k²-2³•101k=t²(今回必要十分条件)
両辺9倍,和差積が使えるよう変形
➡︎(9k-2²•101)²-2⁴×101²=9t²
➡︎(9k-2²•101)²-9t²=2⁴×101²
(k,t)=(101,101)(2312,6800)となり
m+n=3k=303or6936
m-n= t =101or6800でm,n求まった
. ありがとうございます！
判別式が「素数の2乗」という前提で考えてしまっているのではないでしょうか？実際のところ，判別式が平方数になる必要はありますが，それが素数の2乗とは限らず，例えば判別式の値をa^2と置いたとして，積がa^2となる2数が(a^2,1)だけとは限りません。
今日が試験本番なので、今までのことをぶつけてきます！！
夕陽。 さん 🙏
この数字には「イチ足すイチ足すイチはサン」算数を教わった頃の初心を忘れていませんか？と言うメッセージが含まれていると、私は感じます。
おはようございます。散歩中に、牛蛙(食用蛙🐸)の鳴き声を、久しぶりに聞きました。
散歩をすると、記憶力が少しずつ良くなっている気がします。
さぁ、数学を勉強します。
Hello^^ Nice to meet you. I am a Korean math teacher.
I'm greeting you because it reminds me of writing.
Korean mathematics is also very attractive^^
It's okay to watch my video.
I also ask for a lot of subscriptions and likes. Thank you very much.
th-cam.com/video/A2X5S9ewJM4/w-d-xo.html
Dear@@TV-my1lm Thank you very much for your nice message. Von voyage ! Take care of yourself !
一橋のタクシー数の問題思い出した
なるほど！
分子を１+２に分けて、ひとつの答はすぐに見つけられたのですが、…。
今日の駿台共通テスト模試にも誘導で同じ問題が出てまたし(*^^*)
さて
受験生ですがmodやり直しますかね
駿台模試で出たわ
mだけで強引に括って同じ形にしてから3倍したンゴ
因数分解してからそれぞれにmod3したら余り2やったよい
直感的に{m,n}={101,202 }が思い付いた
Hello^^ Nice to meet you. I am a Korean math teacher.
I also ask for a lot of subscriptions and likes. Thank you very much.
th-cam.com/video/A2X5S9ewJM4/w-d-xo.html
面白いけど、昔はこんな発想できてたのかな。一応数学は
得意だったけど
こんばんは👦。整数問題は、小学算数からの積み重ねがきちんとできているか、問われている気がします。理解不足の穴を埋めていかないと、解けないですね。
👍️いたしました☺️。
Wulamujiang-San ın selamını getirdim
mod使わなくてもできるのに
modって何なんだよ！！！！！ふざけるなぁ！！wwwwwww
ｍがプラスで、ｎがマイナスのやつもあるな って自然数は正だった！ 余計な事言った
通分してた。。(´・ω・`)
最初から躓いてました。。
基本の無理やり因数分解も何回か出てきてるのに
思いつきませんでした。。
勉強になります。