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これ誘導ついてテストで出た笑笑
新解法のmod4やmod8を使う話に聞き覚えがあって高校時代のノート引っ張り出してきたら全く同じ話をされてた...もう大学院生だけどあの頃ちゃんと授業聞いてれば大学入試で失敗することなかったんだって後悔しました...
これ教えてくれる先生すげぇ...
@@半クラ-h7p ついでに、ちゃんとノートを残している事も、見つけられる事も。
a=1のとき3+3^b=6^cとなり3で割れる回数に着目するとc=1=bとなる.b=1のとき2^a+4=6^cでありa=2の場合不適a>2の場合2で割れる回数に着目するとc=2でありa=5となる.c=1のときa=b=1.以下a,b,cは全て2以上の時を考える.mod 4よりbは奇数,mod3よりaも奇数.よってa=2x+1,b=2y+1とおくと2×4^x+3×9^y+1=6^cでありmod 8として4≡6^cであるからc=2であり2×4^x+3×9^y=35.(x,y)=(1,1)である.以上より求めるものは(a,b,c)=(1,1,1),(5,1,2),(3,3,2) 予選かな？多分
流石数学オリンピック！良い問題。
右辺は 6のc乗=2のc乗×3のc乗左辺にある 3のb乗+1を8で割った余りは4又は2なので2の2乗では割り切れるが2の3以上の乗数では割り切れない、これに2のa乗を足した数は2の3乗では割り切れ得るが2の4以上の乗数では割り切れない.さらに左辺にある2のa乗+1は3の倍数でなければならないのでaは奇数、するとaが3以上の奇数だとすると、左辺のmod8は4又は2となるので2の3以上の乗数では割り切れない。よってc=1又は2である。それぞれについて調べ 1,1,1 3,3,2 5,1,2 の三通りの解を得る。
数オリ問題もっと動画にして欲しいです！数オリって発想だと思われがちだけど意外とパターンで解けるのもあるし
この問題で想定されている本解かと思います。あと数オリ本選で最易レベルです。
確かにmod8とかを考えるのは定石ではありますね、、、(できるとは言ってない)
ガックリ😞💨。
これで最易なのか…
おいおい、漢字間違えてるぞ。易じゃ無くて難だろ？(そうだと言ってくれ…)
@@user-fo9fo5ys4x 何だよ
自分が学生のときにこんな解説の動画があったら良かったな
面白い問題ですね。コメント欄を見るとmod8という数字が独り歩きしていて、応用が利かなそうな雰囲気なのが気になりました。式の形から考えてcの上限を決めたい。範囲を絞るためには、cが一定以上の時にずっと0になるmodを考えたい。c=2の時は解をすぐに思いつくから、c=3から0になるように素因数の3乗で見てみよう。という発想かと思います。それが新解法なのかと言うと....なんだかちょっと大袈裟な気もしますが。
なるほど、そういうことか。なぜmod8なのかわかりました
この頃はめっちゃ勢いあって楽しい！最近は何か元気なさそうに見えて心配💦
aで場合分けしてからcで絞るように発想を転換するのむずいわー！mod8使うためにc≧3を見つけにいくのか
5:31 細かいですが9で括るとき先にb≠1を示した方がいいんじゃないですかね
細かい
パスラボ、問題に伝説ってつけがち
整数全然勉強してなくてやばいから教科書とチャートとパスラボでどんな整数問題も解けるように頑張ります！！
6進数表記をしたら単純な繰り上がりのロジックで割と簡単に解けました。
@SNOW nice 2の累乗と3の累乗の下3桁(6進数表示)を調べると解けます。循環や繰り上がりの有無等を整理すると、有限個のペアしかないことがわかります。
一瞬手が止まりそうな問題こそ差がつくのでしっかり復習しておきます！
今回の新解法、京大や一橋大で出題されそうな予感😇初見で解けなくても学びと感動があればokです^_^
mod9は、どのようなときに使いますか？
i guess Im randomly asking but does someone know of a tool to get back into an instagram account?I was dumb forgot my login password. I love any tips you can offer me.
もうずっと確率整数でいい
ちょうど今年数オリやろうと思っていたので、ありがたいです😊受験生だけども…
面白い問題だなぁ。mod8 で解けたとき感動しそう☺️
2^aと3^bで解と係数との関係を使おうと少し考えて見て特に何も無かったので撤退。とりあえず、特殊解を探すことにしてC＝4まで調査、c≧3は解なしと当たりを付けてmod216で計算して答えでましたそのあと動画を見て(5,1,2)の組み合わせを数え忘れてました 何をやっていたんだ
去年の自分これ解け切ってんの草超人かな
実験の仕方がよくわからない…うまく実験するコツみたいなのを動画にしていただけたら嬉しいです！modって5以上は使ったことなかったな…
nを法とする原始根にしらべてみよう2^a 3^b どちらも 8 の 原始根ではないので ポイント
この問題の解法京大のp^q+q^pが素数の証明と共通
指数入っている実験はデカいところの上限を決めたいのではなから6^cから攻めると尺が半分になります
感動しました！
今日の問題解いてみたけどムリ！
慶應医学部受験する予定の高3です、初見で見ましたがけっこう難しいです😅2018の本選解いたんですけどなんとか4割解けました🤣
パスラボの整数問題すきすぎる
整数問題はやっぱおもろいなー
めちゃめちゃめちゃ震えた！！！！！！！！！
うまいな〜
式の見方によっては「因数分解できない！」と簡単に断言はできないよね。1を移行すれば6^c-1=(6-1)(...)と因数分解できるし2^a+1, 3^b+1もa,b奇数なら因数分解できる。移項して6^c-2^a, 6^c-3^bも場合により2^c, 2^aや3^c,3^bでくくれる。 そう発想できない人が余りに着目して解けるとしたら... なんだかなぁと思ってしまう。先の方法ではうまく行かないから別の手を考える，その分岐点は何なのかを教えて。
6^c-1の因数分解詳しく知りたいです。
mod2mod3mod6だけで考えようとしてしまうのが盲点ですね
僕はlogの2,3,6だけで考えようとしてしまいました
鈴木貫太郎さんも2年前に解説されていましたね。鈴木さんも大きな流れは同じでしたが、高校生向けに二項定理を使ったり、分かりやすかった印象があります
9:12 のくまたんの返事ワロタ
mod2.4で無理な時は8.16と増やしていくのは常識ですよね〜
Twitterのこの回答のリンク貼ってもらえるとありがたいです！
パスチャレがんばります！
いやぁすごい…あとでしっかり復習しなくちゃ
これが伝説の難問ってどんな世界線で生きてきたんだよトイレしながらでも解けるわ
この2人強すぎて草
2が奇数乗のとき、mod9で余り8にならないなぁと思って解きました。でもmod8のほうが簡単ですねー
おはようございます！
着想 c≧3は実験困難 c≦2が示せたらすごい嬉しいc≧3ではmod8や27において6^c≡0やなあ mod8やるか。a=2だなぁ (3^b)+5=6^c左辺は3の倍数にならないので、等号不成立。よってc=1,2のみ考える。
Wonderful !!
おもしれぇー！！
もちろんこの解答も良いと思いますが、6^c が、cが3以上のときに8の倍数になるからmod8に着手するのでも良いかもせれませんね！
動画内でそう言ってるくね？
あいだまんもどぶろっくのネタ好きなんですね笑今日の問題は解けなかったので後で解き直そうと思います！
将来医者になれなかったらジャパネットタカタに……といつも思いながら見させてもらってます😆
結果的に本解と同じ感じになったけど、余りでごり押して遠回りしてしまった、、、
実験してもその結果からどういうことが言えるのかがわからなくて詰む。
塾で習いましたこの発想。実際に一橋大学で出ています。
塾で習ったのは、mod6→mod12の発想です
ほんまにパスラボといえば整数みたいなとこある！
遠回りしすぎて2^3^(k-1)≡1(mod3^k)の証明になってしまった…
息抜きに数列とかベクトルしてくれてもええんやで…(整数が苦手なだけ)
お忙しいとは思いますが鉄壁ライブ続編お願いします(;_;)
センター試験みたいな問題もやって下さい。
東ティモール代表もっと他にやることあるだろw
今日は貫太郎問題も難しいんで、解けない問題が溜まっちゃうよ❗
まだ解けん❗aが奇数と、2^a+3^bが5の倍数から先に進めん❗どーしよ。そろそろ動画見るべきか？
見ちゃった😆❗けど、方向性違ってたから見て良かった。c≧3の時、a＝2で偶数だから矛盾、というが、問題の初期条件をa,b,c≧0にすると、(a,b,c)＝(2,0,1)も解になるので、aが奇数とは限らなくなるため、この手は使えなくなるぞ❗
楽しむのは良いことですがコメ欄にカクイミナクネ？
mod5とmod6でも行けそう
いつどうのmod を使うのかはまだわかんね🤣誰か教えてくれませんか。。。。
なるほど
帰納法でC＝3以上で存在しないこと示しました～
2^a＋3^b－6^c=－1というのは分かる
編集前投稿。何も見ないで書き込み。両辺6^(-c)ばいする。cが最小aが最大。編集後投稿。cが小さいくらいは見抜けたか
これ最初に『因数分解できないかな』って考えたんだけどできなくて、でもそしたらすばるさんが『因数分解考えてみましょう』って仰って『お！もしかしてできるんか！？』やっぱできなくて上げて下げて上げて下げてたくさんの感情を6時台から味わいました笑笑
朝の短時間ですごい…！もうこの問題の解法は忘れられないはず！
はい！今日学校で友達に教えてきました！modとかは中3でまだ習ってないのでそこは言葉で説明しました〜ありがとうございますm(__)m
いつも数学の問題は毎回解かせて貰っていますが、今回の解法は思い付きませんでした。modを拡張するとは、恐れ入りました。降参です。
mod8の威力すごいねmod8で3^nは1と3しか繰り返さない
初見→実験因数分解→範囲絞る→余り注目指数の場合 余りに注目←mod利用！
最高！！！
これが第2問とかいうやばさ
ログ使おうとしたワイ
俺も笑
今日のはよくわからんかった
c=2までゴリ押しで行ったw
数学得意な人は解いてみてください！modなどを使う整数問題です！1^2+2^2+…+n^2=m^2の自然数解m,nの組みをすべて求めよ
簡単すぎワロタ全部1じゃん合格しちゃうけどいいですか？No全て求めるのが問題です
難しいな〜
高田社長？
高校数学の美しい物語でやったことあったわ
良問のとこにありましたね笑
3の指数はmod8に弱い!
関連動画に鈴木氏の1年前に出した同じ問題出てきて草
無理。aが奇数までしか分からん
これって何年生の知識をつかってるの？
青チャートの数Aの整数問題やってると詳しく載ってますよ
合同式！
１を二で割るとなんであまりが1なのかがわからん
商が0やからあまり 1 簡単に言うと1÷2=0余り 1ってことや。 1以上を入れると余りが負の数になってしまい余りは0以上であるという事に反してしまうますから。商は0で余りが1になります
口調草
@@yukintama 記述式でもそう書いてそー
今思ったけど鏡って世界一イケメンだよね 眠かったので許してください笑
東ティモールが渋いってなんやねん
自力だったら(a,b,c)=(1,1,1)だなあ。そっからどうしよう。因数分解と範囲と余りっていうのは覚えてるけど手の出しようがないなあ。とか思うのに動画の解説見たらするする入ってくるすごい（笑）凄さを感じるとともに自分の数弱さを思い知る。整数問題がんばろう。
今日のはパスチャレもむずかったw
おはようございます
modは二項定理とセットで理解しなきゃ話にならんよな。(□+1)^n(mod □）の形をなるべく作る。ここからやね。
ちょっと裏技要素が大きいですね。解けなかったの悔しい。modを増やすやり方を引き出しとして覚えます！
mod216でごり押してしまった、、、
できる？
声が無理です
ハートついてて草そーゆーのはいちいち言わないで、黙って動画閉じたらいいんだよ^_^
東大過去問でも見たことない
No English substitute?!
0も自然数なら(2,0,1)も解
mod8とmod9か？第一感
これは解けなかった
この問題もどんなにつまっても30分もあれば解けそうな問題だけど、制限時間は数時間レベルなんだよな・・・数学オリンピックの問題の中で簡単な問題はあまりにも簡単だから、とあるクイズでは本来2時間かけて解く問題を制限時間20分にして解かせていたぞｗ
8で割る
んんんー難しい、、
整数問題はなんとなくわかるけど文字にできずにめっちゃもやもやする。(￣▽￣;)
これ誘導ついてテストで出た笑笑
新解法のmod4やmod8を使う話に聞き覚えがあって高校時代のノート引っ張り出してきたら全く同じ話をされてた...
もう大学院生だけどあの頃ちゃんと授業聞いてれば大学入試で失敗することなかったんだって後悔しました...
これ教えてくれる先生すげぇ...
@@半クラ-h7p
ついでに、ちゃんとノートを残している事も、見つけられる事も。
a=1のとき3+3^b=6^cとなり3で割れる回数に着目するとc=1=bとなる.b=1のとき2^a+4=6^cでありa=2の場合不適a>2の場合2で割れる回数に着目するとc=2でありa=5となる.c=1のときa=b=1.以下a,b,cは全て2以上の時を考える.mod 4よりbは奇数,mod3よりaも奇数.よってa=2x+1,b=2y+1とおくと2×4^x+3×9^y+1=6^cでありmod 8として4≡6^cであるからc=2であり2×4^x+3×9^y=35.(x,y)=(1,1)である.以上より求めるものは(a,b,c)=(1,1,1),(5,1,2),(3,3,2) 予選かな？多分
流石数学オリンピック！
良い問題。
右辺は 6のc乗=2のc乗×3のc乗
左辺にある 3のb乗+1を8で割った余りは4又は2なので2の2乗では割り切れるが2の3以上の乗数では割り切れない、これに2のa乗を足した数は2の3乗では割り切れ得るが2の4以上の乗数では割り切れない.
さらに左辺にある2のa乗+1は3の倍数でなければならないのでaは奇数、するとaが3以上の奇数だとすると、左辺のmod8は4又は2となるので2の3以上の乗数では割り切れない。
よってc=1又は2である。それぞれについて調べ 1,1,1 3,3,2 5,1,2 の三通りの解を得る。
数オリ問題もっと動画にして欲しいです！
数オリって発想だと思われがちだけど意外とパターンで解けるのもあるし
この問題で想定されている本解かと思います。あと数オリ本選で最易レベルです。
確かにmod8とかを考えるのは定石ではありますね、、、(できるとは言ってない)
ガックリ😞💨。
これで最易なのか…
おいおい、漢字間違えてるぞ。
易じゃ無くて難だろ？
(そうだと言ってくれ…)
@@user-fo9fo5ys4x 何だよ
自分が学生のときにこんな解説の動画があったら良かったな
面白い問題ですね。コメント欄を見るとmod8という数字が独り歩きしていて、応用が利かなそうな雰囲気なのが気になりました。式の形から考えてcの上限を決めたい。範囲を絞るためには、cが一定以上の時にずっと0になるmodを考えたい。c=2の時は解をすぐに思いつくから、c=3から0になるように素因数の3乗で見てみよう。という発想かと思います。それが新解法なのかと言うと....なんだかちょっと大袈裟な気もしますが。
なるほど、そういうことか。なぜmod8なのかわかりました
この頃はめっちゃ勢いあって楽しい！最近は何か元気なさそうに見えて心配💦
aで場合分けしてからcで絞るように発想を転換するのむずいわー！mod8使うためにc≧3を見つけにいくのか
5:31 細かいですが9で括るとき先にb≠1を示した方がいいんじゃないですかね
細かい
パスラボ、問題に伝説ってつけがち
整数全然勉強してなくてやばいから教科書とチャートとパスラボでどんな整数問題も解けるように頑張ります！！
6進数表記をしたら単純な繰り上がりのロジックで割と簡単に解けました。
@SNOW nice
2の累乗と3の累乗の下3桁(6進数表示)を調べると解けます。
循環や繰り上がりの有無等を整理すると、有限個のペアしかないことがわかります。
一瞬手が止まりそうな問題こそ差がつくのでしっかり復習しておきます！
今回の新解法、京大や一橋大で出題されそうな予感😇
初見で解けなくても学びと感動があればokです^_^
mod9は、どのようなときに使いますか？
i guess Im randomly asking but does someone know of a tool to get back into an instagram account?
I was dumb forgot my login password. I love any tips you can offer me.
もうずっと確率整数でいい
ちょうど今年数オリやろうと思っていたので、ありがたいです😊
受験生だけども…
面白い問題だなぁ。
mod8 で解けたとき感動しそう☺️
2^aと3^bで解と係数との関係を使おうと少し考えて見て特に何も無かったので撤退。
とりあえず、特殊解を探すことにして
C＝4まで調査、c≧3は解なしと当たりを付けてmod216で計算して答えでました
そのあと動画を見て(5,1,2)の組み合わせを数え忘れてました
何をやっていたんだ
去年の自分これ解け切ってんの草
超人かな
実験の仕方がよくわからない…
うまく実験するコツみたいなのを動画にしていただけたら嬉しいです！
modって5以上は使ったことなかったな…
nを法とする原始根にしらべてみよう
2^a 3^b どちらも 8 の 原始根ではないので ポイント
この問題の解法京大のp^q+q^pが素数の証明と共通
指数入っている実験はデカいところの上限を決めたいのではなから6^cから攻めると尺が半分になります
感動しました！
今日の問題解いてみたけどムリ！
慶應医学部受験する予定の高3です、初見で見ましたがけっこう難しいです😅
2018の本選解いたんですけどなんとか4割解けました🤣
パスラボの整数問題すきすぎる
整数問題はやっぱおもろいなー
めちゃめちゃめちゃ震えた！！！！！！！！！
うまいな〜
式の見方によっては「因数分解できない！」と簡単に断言はできないよね。
1を移行すれば6^c-1=(6-1)(...)と因数分解できるし2^a+1, 3^b+1もa,b奇数なら因数分解できる。
移項して6^c-2^a, 6^c-3^bも場合により2^c, 2^aや3^c,3^bでくくれる。
そう発想できない人が余りに着目して解けるとしたら... なんだかなぁと思ってしまう。
先の方法ではうまく行かないから別の手を考える，その分岐点は何なのかを教えて。
6^c-1の因数分解詳しく知りたいです。
mod2mod3mod6だけで考えようとしてしまうのが盲点ですね
僕はlogの2,3,6だけで考えようとしてしまいました
鈴木貫太郎さんも2年前に解説されていましたね。鈴木さんも大きな流れは同じでしたが、高校生向けに二項定理を使ったり、分かりやすかった印象があります
9:12 のくまたんの返事ワロタ
mod2.4で無理な時は8.16と増やしていくのは常識ですよね〜
Twitterのこの回答のリンク貼ってもらえるとありがたいです！
パスチャレがんばります！
いやぁすごい…
あとでしっかり復習しなくちゃ
これが伝説の難問ってどんな世界線で生きてきたんだよ
トイレしながらでも解けるわ
この2人強すぎて草
2が奇数乗のとき、mod9で余り8にならないなぁと思って解きました。でもmod8のほうが簡単ですねー
おはようございます！
着想 c≧3は実験困難 c≦2が示せたらすごい嬉しい
c≧3ではmod8や27において6^c≡0やなあ mod8やるか。a=2だなぁ (3^b)+5=6^c
左辺は3の倍数にならないので、等号不成立。よってc=1,2のみ考える。
Wonderful !!
おもしれぇー！！
もちろんこの解答も良いと思いますが、6^c が、cが3以上のときに8の倍数になるからmod8に着手するのでも良いかもせれませんね！
動画内でそう言ってるくね？
あいだまんもどぶろっくのネタ好きなんですね笑
今日の問題は解けなかったので後で解き直そうと思います！
将来医者になれなかったらジャパネットタカタに……といつも思いながら見させてもらってます😆
結果的に本解と同じ感じになったけど、余りでごり押して遠回りしてしまった、、、
実験してもその結果からどういうことが言えるのかがわからなくて詰む。
塾で習いましたこの発想。実際に一橋大学で出ています。
塾で習ったのは、mod6→mod12の発想です
ほんまにパスラボといえば整数みたいなとこある！
遠回りしすぎて2^3^(k-1)≡1(mod3^k)の証明になってしまった…
息抜きに数列とかベクトルしてくれてもええんやで…(整数が苦手なだけ)
お忙しいとは思いますが鉄壁ライブ続編お願いします(;_;)
センター試験みたいな問題もやって下さい。
東ティモール代表もっと他にやることあるだろw
今日は貫太郎問題も難しいんで、解けない問題が溜まっちゃうよ❗
まだ解けん❗aが奇数と、2^a+3^bが5の倍数から先に進めん❗
どーしよ。そろそろ動画見るべきか？
見ちゃった😆❗
けど、方向性違ってたから見て良かった。
c≧3の時、a＝2で偶数だから矛盾、というが、問題の初期条件をa,b,c≧0にすると、(a,b,c)＝(2,0,1)も解になるので、aが奇数とは限らなくなるため、この手は使えなくなるぞ❗
楽しむのは良いことですがコメ欄にカクイミナクネ？
mod5とmod6でも行けそう
いつどうのmod を使うのかはまだわかんね🤣
誰か教えてくれませんか。。。。
なるほど
帰納法でC＝3以上で存在しないこと示しました～
2^a＋3^b－6^c=－1
というのは分かる
編集前投稿。
何も見ないで書き込み。両辺6^(-c)ばいする。cが最小aが最大。
編集後投稿。
cが小さいくらいは見抜けたか
これ最初に『因数分解できないかな』って考えたんだけどできなくて、でもそしたらすばるさんが『因数分解考えてみましょう』って仰って『お！もしかしてできるんか！？』やっぱできなくて上げて下げて上げて下げてたくさんの感情を6時台から味わいました笑笑
朝の短時間ですごい…！もうこの問題の解法は忘れられないはず！
はい！今日学校で友達に教えてきました！modとかは中3でまだ習ってないのでそこは言葉で説明しました〜ありがとうございますm(__)m
いつも数学の問題は毎回解かせて貰っていますが、今回の解法は思い付きませんでした。modを拡張するとは、恐れ入りました。降参です。
mod8の威力すごいね
mod8で3^nは1と3しか繰り返さない
初見→実験
因数分解→範囲絞る→余り注目
指数の場合 余りに注目←mod利用！
最高！！！
これが第2問とかいうやばさ
ログ使おうとしたワイ
俺も笑
今日のはよくわからんかった
c=2までゴリ押しで行ったw
数学得意な人は解いてみてください！modなどを使う整数問題です！
1^2+2^2+…+n^2=m^2の自然数解m,nの組みをすべて求めよ
簡単すぎワロタ
全部1じゃん
合格しちゃうけどいいですか？
No
全て求めるのが問題です
難しいな〜
高田社長？
高校数学の美しい物語でやったことあったわ
良問のとこにありましたね笑
3の指数はmod8に弱い!
関連動画に鈴木氏の1年前に出した同じ問題出てきて草
無理。aが奇数までしか分からん
これって何年生の知識をつかってるの？
青チャートの数Aの整数問題やってると詳しく載ってますよ
合同式！
１を二で割るとなんであまりが1なのかがわからん
商が0やからあまり 1 簡単に言うと1÷2=0余り 1ってことや。 1以上を入れると余りが負の数になってしまい余りは0以上であるという事に反してしまうますから。商は0で余りが1になります
口調草
@@yukintama 記述式でもそう書いてそー
今思ったけど鏡って世界一イケメンだよね 眠かったので許してください笑
東ティモールが渋いってなんやねん
自力だったら(a,b,c)=(1,1,1)だなあ。そっからどうしよう。因数分解と範囲と余りっていうのは覚えてるけど手の出しようがないなあ。とか思うのに動画の解説見たらするする入ってくるすごい（笑）
凄さを感じるとともに自分の数弱さを思い知る。整数問題がんばろう。
今日のはパスチャレもむずかったw
おはようございます
modは二項定理とセットで理解しなきゃ話にならんよな。
(□+1)^n(mod □）の形をなるべく作る。ここからやね。
ちょっと裏技要素が大きいですね。解けなかったの悔しい。modを増やすやり方を引き出しとして覚えます！
mod216でごり押してしまった、、、
できる？
声が無理です
ハートついてて草
そーゆーのはいちいち言わないで、黙って動画閉じたらいいんだよ^_^
東大過去問でも見たことない
No English substitute?!
0も自然数なら(2,0,1)も解
mod8とmod9か？第一感
これは解けなかった
この問題もどんなにつまっても30分もあれば解けそうな問題だけど、制限時間は数時間レベルなんだよな・・・
数学オリンピックの問題の中で簡単な問題はあまりにも簡単だから、とあるクイズでは本来2時間かけて解く問題を制限時間20分にして解かせていたぞｗ
8で割る
んんんー難しい、、
整数問題はなんとなくわかるけど文字にできずにめっちゃもやもやする。(￣▽￣;)