Решение за секунду взгляда на чертеж. Поворот треуг. ВМС на 180 градусов по часовой вокруг М. Формула Герона для получившегося треугольника. Апд. Получается Пифагоров треугольник. Герон не нужен )
Если продлить медиану на её длину, получим ABCD параллелограмм по признаку. Тогда стороны тр. BCD равны 6, 8 и 10 сл-но угол ВСD= 90°, сл-но площадь BCD= 6×8:2=24 сл-но площадь АВС= 24.
@@GeometriaValeriyKazakov Спасибо! При решении одной из предыдущих задач, вы вспоминали теорему, обратную теореме Пифагора, о которой я забыла. Вот и пришлось вспомнить.
Ну типа дважды (вниз и разворот вокруг т.М) зеркалим АВС к АС, А* к С и С* к А, получаем четырехугольник АВСВ* с диагональю ВВ* равной 10 - "случайно" имеем два египетских треугольника (х2), и никак иначе. Площадь одного = 6 х 8 х 1\2 = 24
Продлить ВМ на такое же расстояние,провести параллельно АВ и ВС,получим параллелограм,сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон,получим,что АС равна 10,тр-к АВС -прямоугольный, площадь=24(полупроизведение катетов).
Люблю решения, в которых проводится единственная дополнительная линия. А то пока на парте слюнявым пальцем рисуешь задание и проводишь больше, думать уж не над чем, задание высохло. Для меня, наверное это было основным стимулом находить короткие решения. 😅
Домашнее задание: ВМ-медиана к АС, АМ=СМ, Разворачиваем ∆ВСМ относительно точки М на 180◦, отрезок МС совместится с отрезком АМ, так как АМ=СМ, Получим ∆АВD со сторонами: АВ=13; ВD=14(так как ВD=2*BM=2*7=14); AD=BC=15. B ∆ABD, AD²=AB²+BD²-2*AB*BD*cos∠ABD, 15²=13²+14²-2*13*14*cos∠ABD, 225=169+196-2*13*14*cos∠ABD, cos∠ABD=5/13, sin∠ABD=√(1-cos²∠ABD), sin∠ABD=√(1-(5/13)²)=√(144/169)=12/13, sin∠ABD=12/13. S(ABC)=S(ABD), S(ABD)=1//2*AB*BD*sin∠ABD, S(ABD)=1/2*13*14*(12/13)=14*6=84, S(ABC)=84. Ответ: S=84.
Д.З. Очень понравился способ WX-78 разрезать треугольник по медиане и соединять части по своему усмотрению, думаю это может помочь в решении. Предварительно площадь будет равна площади треугольника со сторонами 13; 14; 15.
Обозначил равные отрезки через x: AM = CM = x. Составил уравнение: квадрат площади треугольника ABM равен квадрату площади треугольника BCM, где площади выражаются по формуле Герона. Нашёл x и нашёл площадь ABC. Спасибо.
Я попробовал решать через интегралы. Рассмотрим сторону 8 и 5. Больше будет 8, значит пусть эта сторона будет линейной функцией y=kx+b. Число b здесь можно опустить и перед нами график функции у=kx. Х=5, у=8, подставляем. 8=5k. k=1,6. Получается график функции у=1,6x. Предел интегрирования - 5, под интеграл подставляем функцию. Int(5; 0) (1,6xdx)=0,8x²=0,8*25=20. Тоже самое делаем со вторым треугольником, находим площадь, складываем
Можно просто достроить до параллелограмма ABCD, тогда AC-диагональ, находим её из формулы AC²+BD²=2(AB²+BC²). Затем находим площадь треугольника по герону.
я решил через формулу Герона. Все ниже приведенные вычисления производил в уме. Треугольники АВМ и СВМ имеют равные площади, т.к. у них общая высота и сторона. Пусть АМ = СМ = х Тогда квадрат площади АВМ равен: (11+x)*(11-x)*(х+1)*(х-1)/16 А квадрат площади СВМ равен: (13+х)*(13-х)*(х+3)*(х-3)/16 Приравняв эти выражения, получим, что х = 5. Тогда площадь одного из треугольников равна SQRT(16*6*6*4/16) = 12 А площадь АВС = 24
верно подмечено, я просто дальше не решал и не думал и поэтому даже не заметил потому что не собирался решать до конца вычисляя ) Ну теперь тогда придется = 24.
В обычном классе формулы нахождения длины медианы в треугольнике через длины всех сторон треугольника не было и задача решалась через теорему косинусов и приравнивания одинаковых значений косинуса одного угла ,но в разных треугольниках.
А проще ? Достроить прямоугольник параллельными АВ = 6 см , ВС = 8см . S прямоугольника = 6 * 8 = 48 , а S треугольника = половине площади прямоугольника 48 : 2 = 24 см квадратных .
Предположим что это прямоуг. треугольн. Тогда гипотенуза АС по теореме Пифагора- 10, а точка М-центр описанной окружности, и медиана ВМ(радиус этой окружности)должна быть-5,что и в самом деле! Значит АВС -действительно-прямоугольный, и площадь S=AB*BC/2=6*8/=24. Никаких дополнительных построений!
Только благодаря подходящим числам можно, ничего не решая, понять, что М - центр описанной окружности для треугольника АВС и площадь вычисляется как 6*8/2.
90° реальных инженерных задач решается методом Монте-Карло потому что зависимости слишком сложные для анализа. Даже при машинном проектировании где подбор параметров автоматизирован. На данный треугольник можно посмотреть с Пирамиды Хеопса и, предположив что там Египетские штаны, решить ее в 1 ход, получив 24. А вот если не прокатило то только тогда приступать к плану Б и закапываться в формулы
Это настораживает (90% метод Монте-Карло). Что тогда говорить про остальные сферы деятельности, например медицину. Есть какие-нибудь данные на этот счет?
@@user-vm4sz1qn2s Инженер не изобретает болты а подбирает нужные из готовых и только если нужных нет проектирует специальный. В лунной экспедиции использовали фломастеры или специальные цанговые карандаши по 100 баксов чтобы по кораблю не летала графитовая пыль. СССР использовал восковые карандаши, которые не очень хорошо пишут. Потом НАСА предложили на пробу серийную шариковую ручку, способную писать на потолке и они после тестов купили их по 6 баксов. В более строгом смысле метод Монте-Карло это способ поиска минимума сложных функций с множеством переменных. Тем более что поведение, например, транзисторов только в первом приближении описывается формулами, чего может не хватить и считать приходится по графикам. За медицину не скажу. Мне на врачей везло. ЗЫ на тему есть статья в Вике. Там больше чем учили в Радиотехе про сферы применимости. Медицины там нет.
Можно много перечислить мелких: удваивание угла, распрямление ломаной, поворот, симметрия. Но основных два, те что я и сказал. Да, ыв неткорых задах оппускают, чтобы высечь трегольник с углом, например, 30.
@@GeometriaValeriyKazakov они равны, как радиусы. Точка М - центр описанной окр. У прямоугольного треугольника центр окр. делит гипотенузу пополам. Угол В - вписанный угол, опирающийся на диаметр. По теореме о вписанных углах, В = 90, тогда по т. Пифагора АС= 10. Может что то я упустила, давно не решала, но мне кажется, что все логично.
Найдите ошибку в моём решении если она есть. Предположим, что угол В прямой, значит по теореме Пифагора АС=10 и медиана равна половине гипотенузы(всё сходится) а значит треугольник АВС прямоугольный и площадь равна (6*8)/2=24
Спасибо. Ошибка следующая: а вдруг эти данные задачю два или три треугольника, один прямоугольный, а остальные нет. Число делится на 5 и на 2, значит, это число 10. Верно?
Здравствуйте Валерий. Благодарю за задачу. Предлагаю треугольник МВС повернуть относительно точки М по часовой стрелке на 180 градусов. Точка М останется на месте. Точка С совпадет с А. В -> В1. Полученный треугольник АВВ1 и изначальный АВС - равновеликие. Новый треугольник АВВ1 будет иметь стороны 6, 8 и 10. Это прямоугольный треугольник - по обратной т Пифагора. Его площадь равна: 6*8/2= 24. Не ругайте ,если ошибся.
ДЗ решается аналогично. Изначальный треугольник будет равновеликий с треугольником со сторонами 13, 15 и 14. Полупериметр р=21. S=√(21*8*6*7)=√((3*7)(4*2)(3*2)*7)=3*7*4=84.
Итак - поворот вокруг точки М .... Получаем треугольник со сторонами 6, 8 и 10. А дальше по формуле Герона S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), где p - полупериметр. p=(6+8+10)/2=12. S = √12*6*4*2=24
Так понимаю 2 и 3й варианты сработали потому что треугольник оказался прямым, а стороны целыми числами так легче увидеть " египетский" треугольник? Вообщем задача изначально подогнана под красивое решение.
@@user-hb2pi6zu1n диагональ в 2 раза больше только если знать что угол при вершине 90°, а в условии об этом ни слова! Иначе: 1е это радиус описаной окружности. 2е решение в этом случае очевидно: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катитов!
Валера! Вы знаете мою не любовь к каким бы то ни было дополнительным построениям. Если учетверенный квадрат медианы к основанию равен сумме квадратов боковых сторон, то это основание - гипотенуза. Спасибо за внимание.
Очень сложно. Надо достроить до параллелограмма . Тогда получим треугольник Со сторонами 6,810 полупериметр будет 12. Тогда площадь будет равна =корень р*(р-6)*(р-8)*(р-10), = корень из 12**6*4*2=корень из 12*12*2*2=24. Задача решена причем в уме.
Спасибо. Такие мелочи мы опускаем, отсавляя зрителю. Ведь в общем случае Герон, а а 6,8,10 - даже говорить стыдно моим олимпиадным зрителям. Но в принципе, вы правы.
Да, согласен. Прозвучало 6, 8, 9 - египетский, думается все знают треугольничек 3, 4, 5 который по обратной Пифагора прямоугольный. Но, вы правы, можно было нарисовать прямой угол. Всего не предедусмотриш. На канале одни олимпиадники. @@user-bi7fh8cp9g
ДЗ: с продлением медианы и получением пар - мма всё становится абсолютно очевидным: S заданного ▲ = S ▲ с основанием, = двойной медиане. Очень познавательная задача. @@GeometriaValeriyKazakov
Вообще в идеале надо в геометрии запретить алгебру, а в системе линейных уравнений внести ясность. Даже метод сложения учат не в чистом виде а кашу, немного складывают а потом все равно применяют метод подстановки. Так что нету метода сложения, есть гибрид.
Аналитическая и алгебраическая геометрия рассмеются вам в лицо) А если вы думаете, что в геометрии действительно нужно запретить алгебру, попробуйте решить эту задачу чисто геометрическим способом: th-cam.com/video/N0VqRdxF3C0/w-d-xo.htmlsi=2CS-vvk5EgfB5gdd
Все же геометрия не только для забавы. Без вычислений она всякий практический смысл потеряет. Взять хотя бы астрономию, она всегда держалась на геометрии (через измерение углов). И как здесь без вычислений? Что бы осталось?😉
Во-первых, не ругайтесь. Это лучше с друзьями так. Во-вторых, проведите сами эту высоту, и что вы получите? Три отрезка, а какой длины? х, y и x+y. И какие уравнения вы составите? А оба наших решения устные, на 2 секунды точно.И для интереса почитайте пост выше: К.
Ладно, мир. Да, это алгебрический способ. Сводится к системе, и он не короткий. Могу записать (для других зрителей), где проекция 6 на AC- это x. проекция 5 - это y, MC = x+y, проекция 8 - это x+2y. Получим: 36-x^2=25-y^2, 64-(x+2y)^2=25-y^2. Система 2-й степени и у меня быстро не решилась. Попробуйте. @@igvil5561
![Тестовый вопрос, на который все ответили неверно [Veritasium]](/img/n.gif)
Решение за секунду взгляда на чертеж. Поворот треуг. ВМС на 180 градусов по часовой вокруг М. Формула Герона для получившегося треугольника.
Апд. Получается Пифагоров треугольник. Герон не нужен )
Да, это так!
Ну, это классика. Тр-ник со сторонами 6 и 8 и медианой 5 между ними может быть только египетским! (6*8)/2=24
Да, конечно! А со сторонами 13, 15 и медиианой 7?
Предположим B=90° получим AC=2×5=10. По теореме обратной т. Пифагора 36+64=100, предположение верно. Тогда S=6×8/2=24. Спасибо за разные способы.
Сосчитала в уме 6*8:2=24, всего лишь достроить до паралираграма и разделить на 2.
Ещё способ: ВМК=МКС, медиана ВМ равна половине основания АС, сл-но уг.В прямой. S= 6х8/2=24
Отлично!
Если продлить медиану на её длину, получим ABCD параллелограмм по признаку. Тогда стороны тр. BCD равны 6, 8 и 10 сл-но угол ВСD= 90°, сл-но площадь BCD= 6×8:2=24 сл-но площадь АВС= 24.
Супер!
@@GeometriaValeriyKazakov Спасибо! При решении одной из предыдущих задач, вы вспоминали теорему, обратную теореме Пифагора, о которой я забыла. Вот и пришлось вспомнить.
Согласен, египетский треугольник за версту виден.
Ну типа дважды (вниз и разворот вокруг т.М) зеркалим АВС к АС, А* к С и С* к А, получаем четырехугольник АВСВ* с диагональю ВВ* равной 10 - "случайно" имеем два египетских треугольника (х2), и никак иначе. Площадь одного = 6 х 8 х 1\2 = 24
Отлично!
Продлить ВМ на такое же расстояние,провести параллельно АВ и ВС,получим параллелограм,сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон,получим,что АС равна 10,тр-к АВС -прямоугольный, площадь=24(полупроизведение катетов).
Спасибо!
Люблю решения, в которых проводится единственная дополнительная линия. А то пока на парте слюнявым пальцем рисуешь задание и проводишь больше, думать уж не над чем, задание высохло. Для меня, наверное это было основным стимулом находить короткие решения. 😅
Надо взять на вооружение слюнявый палец😂
Домашнее задание:
ВМ-медиана к АС, АМ=СМ,
Разворачиваем ∆ВСМ относительно точки М на 180◦, отрезок МС совместится с отрезком АМ, так как АМ=СМ,
Получим ∆АВD со сторонами: АВ=13; ВD=14(так как ВD=2*BM=2*7=14); AD=BC=15.
B ∆ABD, AD²=AB²+BD²-2*AB*BD*cos∠ABD,
15²=13²+14²-2*13*14*cos∠ABD, 225=169+196-2*13*14*cos∠ABD, cos∠ABD=5/13,
sin∠ABD=√(1-cos²∠ABD), sin∠ABD=√(1-(5/13)²)=√(144/169)=12/13, sin∠ABD=12/13.
S(ABC)=S(ABD), S(ABD)=1//2*AB*BD*sin∠ABD,
S(ABD)=1/2*13*14*(12/13)=14*6=84, S(ABC)=84.
Ответ: S=84.
Отлчино.
Д.З. Очень понравился способ WX-78 разрезать треугольник по медиане и соединять части по своему усмотрению, думаю это может помочь в решении. Предварительно площадь будет равна площади треугольника со сторонами 13; 14; 15.
Конечно. 84
Классная задача, спасибо!
И вам.
Благодарю за решение!!!
И я вас.
Обозначил равные отрезки через x: AM = CM = x. Составил уравнение: квадрат площади треугольника ABM равен квадрату площади треугольника BCM, где площади выражаются по формуле Герона. Нашёл x и нашёл площадь ABC. Спасибо.
Да, в общем отлично!
Я попробовал решать через интегралы. Рассмотрим сторону 8 и 5. Больше будет 8, значит пусть эта сторона будет линейной функцией y=kx+b. Число b здесь можно опустить и перед нами график функции у=kx. Х=5, у=8, подставляем. 8=5k. k=1,6. Получается график функции у=1,6x. Предел интегрирования - 5, под интеграл подставляем функцию. Int(5; 0) (1,6xdx)=0,8x²=0,8*25=20. Тоже самое делаем со вторым треугольником, находим площадь, складываем
Отличная идея!
А зачем
Можно просто достроить до параллелограмма ABCD, тогда AC-диагональ, находим её из формулы AC²+BD²=2(AB²+BC²). Затем находим площадь треугольника по герону.
я решил через формулу Герона. Все ниже приведенные вычисления производил в уме.
Треугольники АВМ и СВМ имеют равные площади, т.к. у них общая высота и сторона.
Пусть АМ = СМ = х
Тогда квадрат площади АВМ равен:
(11+x)*(11-x)*(х+1)*(х-1)/16
А квадрат площади СВМ равен:
(13+х)*(13-х)*(х+3)*(х-3)/16
Приравняв эти выражения, получим, что х = 5.
Тогда площадь одного из треугольников равна
SQRT(16*6*6*4/16) = 12
А площадь АВС = 24
Отлично.
Треугольник АВС прямоугольный: 6²+8²= х²;
Х=10. Следовательно S этого треуг. = (6×8)/2=24см².
Если не использовать данные медианы.
Дорисовываем тр-ик МСД так что т. М середина БД. Тр-ки АВМ и ДМС равны и искомая S = S ВСД со сторонами 10, 8, 6 находится по формуле Герона.
Отлично!
10, 8, 6 стороны прямоугольного треугольника (египетский тр-к). S= 6×8:2= 24.
верно подмечено, я просто дальше не решал и не думал и поэтому даже не заметил потому что не собирался решать до конца вычисляя ) Ну теперь тогда придется = 24.
Достраиваем до прямоугольника, а любой треугольник это половина площади прямоугольника. 6×8÷2=24
А че сразу прямоугольника. А где прямой уголок? По условию такого нет! См. ДЗ там точно нет.Но спасибо.
Достраиваем прямоугольник со сторонами 6 и 8, его площадь 48, половина 24
Правильно!
В обычном классе формулы нахождения длины медианы в треугольнике через длины всех сторон треугольника не было и задача решалась через теорему косинусов и приравнивания одинаковых значений косинуса одного угла ,но в разных треугольниках.
Да, была в углубленных. Сейчас в моем учебнике как следствие дается. Но олимпиадники обязаны знать. Хотя можно на косинусе.
А проще ? Достроить прямоугольник параллельными АВ = 6 см , ВС = 8см . S прямоугольника = 6 * 8 = 48 , а S треугольника = половине площади прямоугольника 48 : 2 = 24 см квадратных .
Вы гордитесь мной, а я восхищаюсь Вашими уроками, Валерий!
3. вращаем МВС на 180 до совпадения точки С и А. тогда все 3 стороны известны и формула Герона
Супер!
Предположим ABC прямоуг, гипотенуза по Т.Пфагора 10, по св-ству медиана равна 1/2 гипотенузы. Из этого следует что он прямоуг и S =ab/2 т.е 24
Спасибо.
Здрасьте. Хочу вести свой канал. Не подскажете вы в какой программе рисуете всё это?
В зуме
@@GeometriaValeriyKazakov а самих чертежов вы сами рисуете? если да то где?
В корел дро
@@madiyardauletiyarov4559
@@GeometriaValeriyKazakov спасибо
Предположим что это прямоуг. треугольн. Тогда гипотенуза АС по теореме Пифагора- 10, а точка М-центр описанной окружности, и медиана ВМ(радиус этой окружности)должна быть-5,что и в самом деле! Значит АВС -действительно-прямоугольный, и площадь S=AB*BC/2=6*8/=24. Никаких дополнительных построений!
Спасибо.
Продление медианы это гениально и просто. Я решил двумя спослбами, но это просто феертя!!!
Треугольники равновелики, стороны AM и MC обозначил за x. Дальше Герон и счетная планиметрия
Отлично.
ДЗ. Продлеваем медиану за основание треуг на отрезок, равный ей, и соединяем конец этого отрезка с любой вершиной основания. По теореме Герона S = 84.
Отлично!
Только благодаря подходящим числам можно, ничего не решая, понять, что М - центр описанной окружности для треугольника АВС и площадь вычисляется как 6*8/2.
Да, а так находимм площадь вспомогательного тр-ка по трем сторонам как умеем.
Если дополнить до параллелограмма ,то по свойству диагоналей находим третью сторону треугольника
90° реальных инженерных задач решается методом Монте-Карло потому что зависимости слишком сложные для анализа. Даже при машинном проектировании где подбор параметров автоматизирован. На данный треугольник можно посмотреть с Пирамиды Хеопса и, предположив что там Египетские штаны, решить ее в 1 ход, получив 24. А вот если не прокатило то только тогда приступать к плану Б и закапываться в формулы
Это настораживает (90% метод Монте-Карло). Что тогда говорить про остальные сферы деятельности, например медицину. Есть какие-нибудь данные на этот счет?
@@user-vm4sz1qn2s
Инженер не изобретает болты а подбирает нужные из готовых и только если нужных нет проектирует специальный. В лунной экспедиции использовали фломастеры или специальные цанговые карандаши по 100 баксов чтобы по кораблю не летала графитовая пыль. СССР использовал восковые карандаши, которые не очень хорошо пишут. Потом НАСА предложили на пробу серийную шариковую ручку, способную писать на потолке и они после тестов купили их по 6 баксов.
В более строгом смысле метод Монте-Карло это способ поиска минимума сложных функций с множеством переменных. Тем более что поведение, например, транзисторов только в первом приближении описывается формулами, чего может не хватить и считать приходится по графикам.
За медицину не скажу. Мне на врачей везло.
ЗЫ на тему есть статья в Вике. Там больше чем учили в Радиотехе про сферы применимости. Медицины там нет.
Помимо продления и проведения параллельной есть еще третий вариант - проведение перпендикуляра.
Можно много перечислить мелких: удваивание угла, распрямление ломаной, поворот, симметрия. Но основных два, те что я и сказал. Да, ыв неткорых задах оппускают, чтобы высечь трегольник с углом, например, 30.
После слов "МК перпендик к ВС" получаем АВ перпендик к ВС и S = 1/2 * 6*8 = 24.
Спасибо.
А я бы решила через радиус описанной окр. ВМ=АМ=МС=5. Формула площади: S= abс/4R . 480/20=24. Только надо сначала доказать, что В= 90.
Спасибо, а почему ВМ=АМ=МС=5. Елси после нашего начало, то сложно, но с друми числами норм.
@@GeometriaValeriyKazakov они равны, как радиусы. Точка М - центр описанной окр. У прямоугольного треугольника центр окр. делит гипотенузу пополам. Угол В - вписанный угол, опирающийся на диаметр. По теореме о вписанных углах, В = 90, тогда по т. Пифагора АС= 10. Может что то я упустила, давно не решала, но мне кажется, что все логично.
Найдите ошибку в моём решении если она есть.
Предположим, что угол В прямой, значит по теореме Пифагора АС=10 и медиана равна половине гипотенузы(всё сходится) а значит треугольник АВС прямоугольный и площадь равна (6*8)/2=24
Спасибо. Ошибка следующая: а вдруг эти данные задачю два или три треугольника, один прямоугольный, а остальные нет. Число делится на 5 и на 2, значит, это число 10. Верно?
В большом множестве задач прячется дьявольский треугольник 3-4-5.
Согласен.
Здравствуйте Валерий. Благодарю за задачу.
Предлагаю треугольник МВС повернуть относительно точки М по часовой стрелке на 180 градусов.
Точка М останется на месте. Точка С совпадет с А.
В -> В1.
Полученный треугольник АВВ1 и изначальный АВС - равновеликие.
Новый треугольник АВВ1 будет иметь стороны 6, 8 и 10. Это прямоугольный треугольник - по обратной т Пифагора.
Его площадь равна:
6*8/2= 24.
Не ругайте ,если ошибся.
ДЗ решается аналогично.
Изначальный треугольник будет равновеликий с треугольником со сторонами 13, 15 и 14.
Полупериметр р=21.
S=√(21*8*6*7)=√((3*7)(4*2)(3*2)*7)=3*7*4=84.
Повернув треугольник таким образом, Вы получите ровно такой же треугольник, как и был )))
@@Dmitriy-A в данном случае да. Но зато решается легче,чем с изначальным 😉.
Итак - поворот вокруг точки М .... Получаем треугольник со сторонами 6, 8 и 10. А дальше по формуле Герона S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)), где p - полупериметр. p=(6+8+10)/2=12. S = √12*6*4*2=24
Отлично! Спасибо.
В задаче прямоугольный треугольник. Поэтому все проще.
А почему он прямоугольный. Вроде не дано!
@@GeometriaValeriyKazakov не дано но видно по размерам. 3,4,5. Медиана 2,5..
Если бы другие размеры то решать нужно.
Это не дано.
Если развернуть правый треугольни,то выходит египетский.Естественно 2 острых в прямоугольном дадут 90. Получается то же египетский.
Мой любимый совет: "Видишь медиану - дли ее в два раза." Спасибо за задачу!
И вам спасибо!
24. Устная задача. Д.З. 84.
Спасибо. На канале полно письменных
6 8 10 египетский треугольник
Спасибо.
Спасибо большое Валерию Конакову за эту передачу как решать геометрические задачи
Это очень очень полезно для детей которые хотят быть умными
Спасибо.
Кто помнит, что в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов сторон, те легко решили.
Конечно, тем более, что я напомнил,
Третий способ можно еще упростить. Поскольку угол МКС 90°, значит АВС тоже прямой и тогда S равно АВ х ВС / 2 = 6 х 8 / 2 = 24
Спасибо. А как ДЗ?
@@GeometriaValeriyKazakov а шото сложно)))
@@miguelitonegrito именно третий способ разбивает тр. на 4 равновеликих S=84
Дз: 84 по Герона вышло, если поделить нигде не забыл
ДЗ да. Спасибо.
Так понимаю 2 и 3й варианты сработали потому что треугольник оказался прямым, а стороны целыми числами так легче увидеть " египетский" треугольник? Вообщем задача изначально подогнана под красивое решение.
Спасибо. Наши решения подходят под любые размеры! (См. дз). Конечно, для красоты и запоминания взяты удобные размеры.
😊Можна всегда найти по формуле Герона
@@user-hb2pi6zu1n можно... после того как найдёшь 3ю сторону.
@@user-jz7ct6cq8g Так умножай медиану на 2 - получаешь диагональ паралелограмма , а это и есть третья сторона треугольника, равновеликого данному .
@@user-hb2pi6zu1n диагональ в 2 раза больше только если знать что угол при вершине 90°, а в условии об этом ни слова!
Иначе:
1е это радиус описаной окружности.
2е решение в этом случае очевидно: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катитов!
Валера! Вы знаете мою не любовь к каким бы то ни было дополнительным построениям.
Если учетверенный квадрат медианы к основанию равен сумме квадратов боковых сторон, то это основание - гипотенуза.
Спасибо за внимание.
Согласен. Попробуйте ДЗ.
Треугольник прямоугольный.
Сам признался?
Очень сложно. Надо достроить до параллелограмма . Тогда получим треугольник Со сторонами 6,810 полупериметр будет 12. Тогда площадь будет равна =корень р*(р-6)*(р-8)*(р-10), = корень из 12**6*4*2=корень из 12*12*2*2=24. Задача решена причем в уме.
А я в 7 классе. где нет параллеограммов.
@@GeometriaValeriyKazakov а там и параллелограмма не нужен. Достаточно треугоульнк достроить продлить диагональ и все. И формула Герона.
24 ед.²
С помощью формулы нахождения медианы решается😊
Да, при красивых стороонах!
6×8=48/2=24
Спасибо. 24. А ДЗ?
Может казаки так и решают шашкой свои задачи.
Так точно!
У меня получился ответ: 18
Я нашёл высоту по уравнению через Пифагора, как: 6²-х²=8²-(10-х) ². И в итоге ответ получил 18, а не 24
Не доказано, что треугольник ABD прямоугольный. (хоть он и прямоугольный по пифагоровой тройке, напрямую мы этого не знаем)
Спасибо. Такие мелочи мы опускаем, отсавляя зрителю. Ведь в общем случае Герон, а а 6,8,10 - даже говорить стыдно моим олимпиадным зрителям. Но в принципе, вы правы.
Тут ответ виден устно, т к Вы выбрали Египетский. Если конечно не требуется доказательство.
Спасибо. Если так написать на экзамене, то что получит ученик? И что насчет ДЗ?
@@GeometriaValeriyKazakov я так понимаю, в огэ , ЕГЭ 1 й части именно так. Или доказательство требуется? Да, спасибо за канал! :)
Это прямоугольник?
Неизвестно! Вот такие дела
@@GeometriaValeriyKazakov да, в условии это не прозвучало, а потом - произведение катетов.
Да, согласен. Прозвучало 6, 8, 9 - египетский, думается все знают треугольничек 3, 4, 5 который по обратной Пифагора прямоугольный. Но, вы правы, можно было нарисовать прямой угол. Всего не предедусмотриш. На канале одни олимпиадники. @@user-bi7fh8cp9g
Сначала доказать прямоугольность треугольника абс через длину половины гипотенузы и медианы. А потом катет на катет
То есть, у вас - алгебраический, как я и советовал? Отлчино. Здесь равнопровно. А вот в ДЗ уже по-другому.
@@GeometriaValeriyKazakov я ваши видео не смотрю, а решаю сам). Отличная тренировка мозгов в 40+
А если провести высоту из точки B?
Можно, а дальше?
@@GeometriaValeriyKazakov там два равновеликих треугольника получатся же? Высота общая, формула одна вторая а на аш... Чего то не хватает?
@@GeometriaValeriyKazakov или так. Сумма квадратов катетов равна 100. Значит ли это, что треугольник прямоугольный и, соответственно, ответ 6*8/2=24
Два равновеликих со сторонами 6 и 5, 5 и 8. И дальше?@@Greekmagican
@@GeometriaValeriyKazakov а значит при равных площадях мы можем приравнять формулы Герона для этих треугольников?
6*8/2=24.
Спасибо.
24
super!
6×8:2😅
Отлично! Садитесь.
И ровно минута нужнаичтобы решить эту задачу.
Тренированному - да. Школьнику - не получится. Проверьте.
в уме посчитал, что будет 24
А ДЗ в уме?
ДЗ ответ: 42
Маловато будет!
Точно! Но 13, 14, 15 ДАЕТ 84?
Через формулу Герона ))) уравнение, уберем корень : с каждой стороны 4 скобки. АМ = МС = х. Ответ в итоге верный)))
ДЗ = 84. Спасибо за задачку.
И вам!
6х8=48. 48:2=24. не?
А почему 6*8?
@@GeometriaValeriyKazakov всё про100. любой треугольник - это половина параллелограмма.
Да, только площадь п-мма s=ah@@svinx88
Если в задаче есть величина ВМ=5, ее тоже надо использовать.
24?
Верно.
Я сразу увидела 6 на 8 будет 48 и пополам 24, зачем эти формулы?
А кто шепнул, что угол прямой? Я не говорил такого, зуб даю.
я сразу увидел, что ты подгонщица
@@MrArcan10 Наверное вы правы, на самом деле я разметчик и глаз мой фотерпас, без замера вижу и мм ,и градусы.
Задача пустяковая для любого кто знает классику прямоугольного треугольника соотношение 3 4 5 отсюда всё в уме
Спасибо. А что с ДЗ, там нет классики?
Алгебраически тупо, но эффективно.
Высота ▲ВНМ выражается из ▲АВН (1-е ур-е) и из ▲ВНС (2-е ур-е). Решение системы даёт АС = 10. Угол прямой, S = 24.
Во-во!
ДЗ: с продлением медианы и получением пар - мма всё становится абсолютно очевидным:
S заданного ▲ = S ▲ с основанием, = двойной медиане.
Очень познавательная задача.
@@GeometriaValeriyKazakov
Вообще в идеале надо в геометрии запретить алгебру, а в системе линейных уравнений внести ясность. Даже метод сложения учат не в чистом виде а кашу, немного складывают а потом все равно применяют метод подстановки. Так что нету метода сложения, есть гибрид.
Аналитическая и алгебраическая геометрия рассмеются вам в лицо)
А если вы думаете, что в геометрии действительно нужно запретить алгебру, попробуйте решить эту задачу чисто геометрическим способом:
th-cam.com/video/N0VqRdxF3C0/w-d-xo.htmlsi=2CS-vvk5EgfB5gdd
Все же геометрия не только для забавы. Без вычислений она всякий практический смысл потеряет. Взять хотя бы астрономию, она всегда держалась на геометрии (через измерение углов). И как здесь без вычислений? Что бы осталось?😉
прАВИЛЬНО!@@alexsokolov8009
Дискуссия@@user-vm4sz1qn2s
Это же прямоугольный треугольник, где АС ДИАМЕТР
Просто опустить высоту разбить на три отрезка АС и по Пифагору получаем 10 и по формуле Герона площадь 24. Зачем дорисовывать кучу хрени???
Во-первых, не ругайтесь. Это лучше с друзьями так. Во-вторых, проведите сами эту высоту, и что вы получите? Три отрезка, а какой длины? х, y и x+y. И какие уравнения вы составите? А оба наших решения устные, на 2 секунды точно.И для интереса почитайте пост выше: К.
@@GeometriaValeriyKazakov три отрезка и три уравнения с высотой Пифагора. Высота 4,8. отрезки сами найдёте
Ладно, мир. Да, это алгебрический способ. Сводится к системе, и он не короткий. Могу записать (для других зрителей), где проекция 6 на AC- это x. проекция 5 - это y, MC = x+y, проекция 8 - это x+2y. Получим: 36-x^2=25-y^2, 64-(x+2y)^2=25-y^2. Система 2-й степени и у меня быстро не решилась. Попробуйте. @@igvil5561
Еще можно черезh. sqrt(64-h^2)-sqrt(36-h^2)=2 sqrt(25-h^2). Тоже стремненько, но интересненько. Отсюда, да, h =4,8. Но как?