СК проводить не стал и угол альфа находить тоже. После нахождения Х провёл высоту СН, которая разделила АD пополам. Из треугольника ACH нашёл катет (высоту т.е.) и далее площадь трапеции.
Найди AC=x=√3, опустим высоту h из B на AC. По т. Пифагора h=√(1+(√3/2)^2)=1/2. Площадь треугольника ABC √3/4, тогда площадь S(ACD)=kk×S(ABC)=3S(ABC), так как k=3/√3. Площадь трапеции сумма площадей двух треугольников S=4S(ABC)=4×√3/4=√3.
Решение 11-классника, но мне оно больше нравится, чем 8-классника (привет Кате!) После проведения CK || AB нам известны CK = 1 и KD= 2, а также соотношения между двумя углами: теорема синусов здесь так и лезет: 1/sin α = 2/sin(180° - (α + 2α))= 2/sin 3α Отсюда по правилу пропорции sin 3α = 2sin α. И применяем формулу синуса тройного угла: 3sin α - 4sin³α = 2sin α, откуда sin α = 1/2, α = 30°. Далее можно найти высоту BH = AB•sin 60° = √3/2, и готово: S = (1/2)•(AD + BC)•BH = (1/2)(3 + 1)•√3/2 = √3.
1) Провожу СК||АВ, рассматриваю ромб АВСК.В нем АВ=ВС=СМ=АМ=1,ВМ и АС - диагонали, они пересекаются в точке О , перпендикулярны и являются биссектрисами противоположных углов.Т.к угол А =2а, то угол ВСА=а, 2)Из подобия тр-ов АВС и АСD (по трем углам) нахожу стороны АС=СD=|/3, ( извините , |/ это значок корня квадратного),а затем вычисляю высоту в равнобедренном треугольнике АСD h=половине |/3, а площадь S=(1+3)×h/2=|/3.
Можно было сразу провести высоту из вершины C. Получим прямоугольный треугольник ACH; AH=3/2, AC=√3. CH^2=(√3)^2-(3/2)^2= 3/4; CH=√3/2. И проще, и короче. Но все же слишком легкая задача.
Опустим высоту ВМ из В. Опустим Высоту СТ из С. Так как треугольник АСД равнобедренный, ТА=АД/2=1,5. АМ=АТ-МТ=1,5-1=0,5. Отсюда по теореме Пифагора находим высоту, а потом и площадь.
Практически так же решал в уме. Только КС мысленно проводить не стал, сразу h провёл. Высота поделит основание равнобедренного треугольника пополам, а косинус альфы - 3, делённое на 2, делённое на корень из 3. Или корень из 3 на 2. А раз альфа 30 градусов... ну и так далее, как на видео.
Проведем отрезок СС1 к стороне АД так что СС1=АВ Угол ВАС1= ВСС1 Треугольник СС1Д равнобедреный СС1=С1Д=1 Проведем отрезок ВВ1 перпендикулярно АД Пусть АВ1=х, тогда С1Д= 3-1-2х=1=> х=1/2 ВВ1=sqrt(1²-(1/2)²)=sqrt(3)/2 Площадь АВСД=sqrt(3)
Конечно, решение правильное и тоже быстрое, но может быть все-таки еще быстрее просто опустить высоту в любом из этих двух равносторонних треугольников, и сразу же получить, что угол альфа равен 30 градусам. С другой стороны, я все-таки уже человек пожилой, поэтому не могу вспомнить, как решал бы, если бы учился в школе. Ну а высоты, это те же проекции, т.е тот путь, который становится наиболее естественным после получения высшего образования
ну я тут только тангенсы мои любимые могу предложить... опустим перпенд из точек В и С на AD... обозначим соответственно М и К... KD=t... AM=2-t... угол D обозн за х... tgx=h/t... tg2x=h/(2-t)... по удвоенному танг h/(2-t)=(2h/t)/(1-(h/t)^2)... упростим 1/(2-t)=2t/(t^2-h^2)... так, теперь к левому углу... (sin2x)^2=h^2... отсюда (tg2x)^2=h^2/(1-h^2)... то есть 1/(2-t)^2=1/(1-h^2)... h^2=4t-t^2-3... подставляем в то, которое после слова "упростим" 2t^2-4t+3=2t(2-t)... 4t^2-8t+3=0... t=3/2... h^2=6-9/4-3...h=√3/2....S=√3
Сечем АД двумя точками Е и F на три равные части. Проводим АС, ЕС и FC (F -- та, что справа). ЕС -- сторона ромба АВСД и равна 1. Е -- центр окружности радиусом 1 и треугольник АСF - вписанный и прямоугольный. Откуда α+2*α=90 и α=30. Высота трапеции равна √3/2. Ответ: √3
Можно также разделить высотами от малого основания на прямоугольник и два подобных расово верных прямоугольных треугольника, и уже от их свойств плясать. Что малый, скажем, АВЕ, подобен большому - CBF, доказать несложно. Тогда, из пропорций, АЕ=½, значит, высота ВЕ=√1-¼=√¾=√3/2. И дальше уже по накатаной: S=(√3/2)*(1+3)/2=(√3/2)*4/2=2√3/2=√3. Этот путь гораздо короче и прямолинейнее. Удивлён, что вы выбрали другой, Валерий.
1) Что значит расово верных ?? 2) А Вы их подобие доказать пробовали? У них равны катеты(высота трапеции), в одном угол 2α, а в другом α. По какому признаку они подобны? Если нетрудно ( а Вы пишете, что несложно) , приведите доказательство. Очень хочется увидеть! И потом, Вы, вероятно, имели ввиду СDF, а не CBF?
@@SB-7423 пробовал. Если углы α, 2α и 90 - это может быть только правильный треугольник. Т. е. расово верный. Стыдно, голубчик - лурчанку надо знать, десу!☝😉Потому что 3α=90°⇒α=30°, 2α=60°. Хорошо знакомый по школе треугольник-линейка. У которого главное свойство - гипотенуза вдвое длиннее малого катета. Как видите, сработало - ответ совпал, значит я прав.
@@zawatsky В левом треугольнике углы 2α и 90 - 2α .Пусть α=20, тогда углы левого треугольника 40 и 50!! А правого- 20 и 70!!. Они подобны?? Взрослый человек, а пишете ерунду. Действительно стыдно! Где Вы взяли 3α без линии СК?? Что Вы складываете столы со стульями? 2α в левом, а α-в правом! Только после проведения отрезка СК это выяснится! Только с Вашими высотами ничего не выйдет. Именно для этого Казаков и провёл СК! А пассаж : ответ совпал, значит я прав просто смешон!! Жаль, что Вы этого не понимаете!
@@SB-7423 очень обидные ваши слова, милейший! Слона-то вы и не видите. Вырежьте прямоугольник с верхней и нижней сторонами 1 из композиции - что получите? - Правильно! Треугольник со сторонами 1, 3-1=2 и двумя острыми углами в пропорции 1 к 2. Несложно заключить, что это самый большой из правильных треугольников, составленный из этих двух, а верхний его угол, соответственно - прямой. Поделить его вдоль высотой на два вышеупомянутых подобных - дело техники, шестой класс, ЕМНИП. Что, съели? Кто из нас под стол пешком ходит, а? Как мудро сказано в одном фильме, человек становится взрослым когда у него пропадает желание это доказывать - принцип каждый раз работает. Как я и сказал, ответ совпал не просто так.
@@zawatsky Вы, конечно, можете вырезать и выбросить внутренний прямоугольник, сдвинуть правый треугольник на 1 влево( то есть совместить CH и ВЕ) и получить один треугольник, составленный из левого и правого. Точка Д перейдет в некоторую точку Д1, точка С в точку В. В новом треугольнике АВД1 АВ=1, АД1=2, угол А = 2α, угол Д1 равен α. И что?? На основании какой теоремы можно немедленно сказать, что он прямоугольный и 2α+α=90?? Доказать это можно, но ничуть не проще, чем это сделал автор! Так к чему эти претензии к В.В. : "..Удивлён, что вы выбрали другой, Валерий."? То, что Вы предлагаете, доказать даже сложней. Можно применить подобие, а можно теорему синусов. Но просто так это НИОТКУДА не следует1 Вы выдаёте детские "хотелки" за геометрию.Еще раз: никакими детскими рассуждениями о школьной линейке НЕВОЗМОЖНО обосновать тот факт, что треугольник АВД1 прямоугольный. ЭТО НАДО ДОКАЗЫВАТЬ! Хоть сто раз повторяйте, что в нем одна сторона вдвое больше другой, и один угол вдвое больше другого! Именно это я и хотел отметить! Я уже несколько раз комментировал Ваши "доказательства" и убеждался, что с геометрией у Вас большие проблемы.
провёл бисектрису, тк углы a равны то стороны равны. и доказательство что это бисектриса как в видео. по подобию нахожу правую сторону. 1/x = x/3. x = \|3|. по теореме косинусов у треугольника косинус угла равен -1/2, значит угол 120*. проведём высоты, получатся треуг-ки с углом 30гр ну и сами понимаете что значит, потом по высоте и основанию суммы треугольников и выйдет 3\/3| : 4 + \|3| : 4 = \|3|
Я провёл из т. В прямую ВК || CD и получил треугольник с углами альфа и 2альфа и сторонами 2 и 1. Написал теорему синусов: 2/sin(180 - 3alpha) = 1/sin(alpha) и доказал, что альфа - 30 градусов. Ваше решение добрее!
вот вы обижаетесь, что я пишу, что можно проще и в уме решать..... здесь опять же так же , и без уравнений и корней- провели как и у вас СК, а потом СМ, чтобы АВСМ получилась равнобедренная. Ясно, что АК=1, СМ=МД=1, ну и КМ тоже=1. Треуг. КСМ равносторонний со стороной 1, углы сразу получаются 60 и 30. Ну а дальше элементарно.
Трапеция АВСD - равнобедренная, после того как вы докажете, что диагональ СМ= АВ или что треугольник АВК - равносторонний.То, что трапеция равнобедренная, хорошо видно, когда вы уже найдете угол а=30°( при проверке).Я пока не вижу этого доказательства.Подскажите, если располагаете временем
Во-первых, я не обижаюсь (на зрителей), а полемизирую (спорю). Во-вторых, у вас оригинальное решение (красивое), но как заметили, пропущен 1 важный шаг: угол AMC= 2а, а угол D = a, откуда следует (по теореме о внешнем угле), что тр-к CMD - равнобедренный, откуда и следует MD=CM=AB=1. В-третьих, зрителю, конечно, интересно найти решение покороче авторского ( и это правильно). Но иногда он лукавит, пропуская шаги, а иногда автор (я) преследует другие образоватльные цели и предлагает более общие пути, менее оригинальные, но которые можно повторить. Кто ж догадается зеркалить трапецию, как вы? Так что вы большой молодец (тоже без обид).
СК проводить не стал и угол альфа находить тоже. После нахождения Х провёл высоту СН, которая разделила АD пополам. Из треугольника ACH нашёл катет (высоту т.е.) и далее площадь трапеции.
Я тоже так думаю. И не нужны какие-то дополнительные построения.
Найди AC=x=√3, опустим высоту h из B на AC. По т. Пифагора h=√(1+(√3/2)^2)=1/2. Площадь треугольника ABC √3/4, тогда площадь S(ACD)=kk×S(ABC)=3S(ABC), так как k=3/√3. Площадь трапеции сумма площадей двух треугольников S=4S(ABC)=4×√3/4=√3.
Отлично.
Решение 11-классника, но мне оно больше нравится, чем 8-классника (привет Кате!)
После проведения CK || AB нам известны CK = 1 и KD= 2, а также соотношения между двумя углами: теорема синусов здесь так и лезет:
1/sin α = 2/sin(180° - (α + 2α))= 2/sin 3α
Отсюда по правилу пропорции sin 3α = 2sin α. И применяем формулу синуса тройного угла:
3sin α - 4sin³α = 2sin α, откуда sin α = 1/2,
α = 30°.
Далее можно найти высоту BH = AB•sin 60° = √3/2, и готово:
S = (1/2)•(AD + BC)•BH = (1/2)(3 + 1)•√3/2 = √3.
Тоже через теорему синусов, но для △ADE (где E - пересечение продолжений AB и CD).
1) Провожу СК||АВ, рассматриваю ромб АВСК.В нем АВ=ВС=СМ=АМ=1,ВМ и АС - диагонали, они пересекаются в точке О , перпендикулярны и являются биссектрисами противоположных углов.Т.к угол А =2а, то угол ВСА=а, 2)Из подобия тр-ов АВС и АСD (по трем углам) нахожу стороны АС=СD=|/3, ( извините , |/ это значок корня квадратного),а затем вычисляю высоту в равнобедренном треугольнике АСD h=половине |/3, а площадь S=(1+3)×h/2=|/3.
Отлично.
Теперь геометрия становится одним из моих любимых предметов. Благодарю Вас.
ЭТО НАША РАБОТА!
треугольник ACD равнобедренный, значит высота СН является медианой, значит DH = 1,5
а дальше из треугольника CDH по теореме Пифагора находим СН
Можно было сразу провести высоту из вершины C. Получим прямоугольный треугольник ACH; AH=3/2, AC=√3. CH^2=(√3)^2-(3/2)^2= 3/4; CH=√3/2. И проще, и короче. Но все же слишком легкая задача.
А как получилось, что AH=3/2, если провелена только высота?
@@АлексейСаныч-ц2лЭто, видно, уже после того, как получили √3
@@АлексейСаныч-ц2л ∠CAD=∠D=⍺; ∆ACD - равнобедренный; высота, проведенная к основанию, является медианой.
∠CAD= ∠D=⍺, ∆ACD - равнобедренный; высота, проведенная к основанию, является медианой, поэтому AH=DH=3/2.
@@Olga-fv6jyэто верно. А √3?
Опустим высоту ВМ из В. Опустим Высоту СТ из С. Так как треугольник АСД равнобедренный, ТА=АД/2=1,5. АМ=АТ-МТ=1,5-1=0,5. Отсюда по теореме Пифагора находим высоту, а потом и площадь.
Спасибо.
Практически так же решал в уме. Только КС мысленно проводить не стал, сразу h провёл. Высота поделит основание равнобедренного треугольника пополам, а косинус альфы - 3, делённое на 2, делённое на корень из 3. Или корень из 3 на 2. А раз альфа 30 градусов... ну и так далее, как на видео.
Отлично.
Проведем отрезок СС1 к стороне АД так что СС1=АВ
Угол ВАС1= ВСС1
Треугольник СС1Д равнобедреный СС1=С1Д=1
Проведем отрезок ВВ1 перпендикулярно АД
Пусть АВ1=х, тогда С1Д= 3-1-2х=1=> х=1/2 ВВ1=sqrt(1²-(1/2)²)=sqrt(3)/2
Площадь АВСД=sqrt(3)
Конечно, решение правильное и тоже быстрое, но может быть все-таки еще быстрее просто опустить высоту в любом из этих двух равносторонних треугольников, и сразу же получить, что угол альфа равен 30 градусам. С другой стороны, я все-таки уже человек пожилой, поэтому не могу вспомнить, как решал бы, если бы учился в школе. Ну а высоты, это те же проекции, т.е тот путь, который становится наиболее естественным после получения высшего образования
Да, варинатов полно. Если бы мы с вами решали на скорость (и на деньги), думаю я показал бы класс!
Точно такое же решение хотел здесь привести. Только я начинал с СК. Доказал, что это ромб и рассмотрел подобие.
ну я тут только тангенсы мои любимые могу предложить... опустим перпенд из точек В и С на AD... обозначим соответственно М и К... KD=t... AM=2-t... угол D обозн за х... tgx=h/t... tg2x=h/(2-t)... по удвоенному танг h/(2-t)=(2h/t)/(1-(h/t)^2)... упростим 1/(2-t)=2t/(t^2-h^2)... так, теперь к левому углу... (sin2x)^2=h^2... отсюда (tg2x)^2=h^2/(1-h^2)... то есть 1/(2-t)^2=1/(1-h^2)... h^2=4t-t^2-3... подставляем в то, которое после слова "упростим" 2t^2-4t+3=2t(2-t)... 4t^2-8t+3=0... t=3/2... h^2=6-9/4-3...h=√3/2....S=√3
Отлично!
Продлил стороны трап. до треугольника. И, через подобие, решил. ( Sтрап. = 8/9 от Треуг.)
супер.
Сечем АД двумя точками Е и F на три равные части.
Проводим АС, ЕС и FC (F -- та, что справа). ЕС -- сторона ромба АВСД и равна 1. Е -- центр окружности радиусом 1 и треугольник АСF - вписанный и прямоугольный. Откуда α+2*α=90 и α=30.
Высота трапеции равна √3/2.
Ответ: √3
Можно также разделить высотами от малого основания на прямоугольник и два подобных расово верных прямоугольных треугольника, и уже от их свойств плясать. Что малый, скажем, АВЕ, подобен большому - CBF, доказать несложно. Тогда, из пропорций, АЕ=½, значит, высота ВЕ=√1-¼=√¾=√3/2. И дальше уже по накатаной: S=(√3/2)*(1+3)/2=(√3/2)*4/2=2√3/2=√3. Этот путь гораздо короче и прямолинейнее. Удивлён, что вы выбрали другой, Валерий.
1) Что значит расово верных ?? 2) А Вы их подобие доказать пробовали? У них равны катеты(высота трапеции), в одном угол 2α, а в другом α. По какому признаку
они подобны? Если нетрудно ( а Вы пишете, что несложно) , приведите доказательство. Очень хочется увидеть! И потом, Вы, вероятно, имели ввиду СDF, а не CBF?
@@SB-7423 пробовал. Если углы α, 2α и 90 - это может быть только правильный треугольник. Т. е. расово верный. Стыдно, голубчик - лурчанку надо знать, десу!☝😉Потому что 3α=90°⇒α=30°, 2α=60°. Хорошо знакомый по школе треугольник-линейка. У которого главное свойство - гипотенуза вдвое длиннее малого катета. Как видите, сработало - ответ совпал, значит я прав.
@@zawatsky В левом треугольнике углы 2α и 90 - 2α .Пусть α=20, тогда углы левого треугольника 40 и 50!! А правого- 20 и 70!!. Они подобны?? Взрослый человек, а пишете ерунду. Действительно стыдно! Где Вы взяли 3α без линии СК?? Что Вы складываете столы со стульями? 2α в левом, а α-в правом! Только после проведения отрезка СК это выяснится! Только с Вашими высотами ничего не выйдет.
Именно для этого Казаков и провёл СК! А пассаж : ответ совпал, значит я прав просто смешон!! Жаль, что Вы этого не понимаете!
@@SB-7423 очень обидные ваши слова, милейший! Слона-то вы и не видите. Вырежьте прямоугольник с верхней и нижней сторонами 1 из композиции - что получите? - Правильно! Треугольник со сторонами 1, 3-1=2 и двумя острыми углами в пропорции 1 к 2. Несложно заключить, что это самый большой из правильных треугольников, составленный из этих двух, а верхний его угол, соответственно - прямой. Поделить его вдоль высотой на два вышеупомянутых подобных - дело техники, шестой класс, ЕМНИП. Что, съели? Кто из нас под стол пешком ходит, а? Как мудро сказано в одном фильме, человек становится взрослым когда у него пропадает желание это доказывать - принцип каждый раз работает. Как я и сказал, ответ совпал не просто так.
@@zawatsky Вы, конечно, можете вырезать и выбросить внутренний прямоугольник, сдвинуть правый треугольник на 1 влево( то есть совместить CH и ВЕ) и
получить один треугольник, составленный из левого и правого. Точка Д перейдет в некоторую точку Д1, точка С в точку В. В новом треугольнике АВД1 АВ=1,
АД1=2, угол А = 2α, угол Д1 равен α. И что?? На основании какой теоремы можно немедленно сказать, что он прямоугольный и 2α+α=90?? Доказать это можно,
но ничуть не проще, чем это сделал автор! Так к чему эти претензии к В.В. : "..Удивлён, что вы выбрали другой, Валерий."? То, что Вы предлагаете, доказать даже
сложней. Можно применить подобие, а можно теорему синусов. Но просто так это НИОТКУДА не следует1 Вы выдаёте детские "хотелки" за геометрию.Еще раз:
никакими детскими рассуждениями о школьной линейке НЕВОЗМОЖНО обосновать тот факт, что треугольник АВД1 прямоугольный. ЭТО НАДО ДОКАЗЫВАТЬ!
Хоть сто раз повторяйте, что в нем одна сторона вдвое больше другой, и один угол вдвое больше другого! Именно это я и хотел отметить! Я уже несколько раз
комментировал Ваши "доказательства" и убеждался, что с геометрией у Вас большие проблемы.
решение не смотрел, но можно через подобие треугольников ABC u ACD AC=sqrt(3) тогда h = sqrt(3)/2. S=sqrt(3)
АС-биссект. (отсекает равнобедр. тр-ник). Сл-но, АСД --тоже равнобедрен. и подобн. ВМ и СК --высоты. АК=3,5, МК=1, сл-но, АМ=1/2. ВМ=\/3/2. S abcd=\/3
провёл бисектрису, тк углы a равны то стороны равны. и доказательство что это бисектриса как в видео. по подобию нахожу правую сторону. 1/x = x/3. x = \|3|. по теореме косинусов у треугольника косинус угла равен -1/2, значит угол 120*. проведём высоты, получатся треуг-ки с углом 30гр ну и сами понимаете что значит, потом по высоте и основанию суммы треугольников и выйдет 3\/3| : 4 + \|3| : 4 = \|3|
Я провёл из т. В прямую ВК || CD и получил треугольник с углами альфа и 2альфа и сторонами 2 и 1. Написал теорему синусов: 2/sin(180 - 3alpha) = 1/sin(alpha) и доказал, что альфа - 30 градусов. Ваше решение добрее!
Отлично.
вот вы обижаетесь, что я пишу, что можно проще и в уме решать..... здесь опять же так же , и без уравнений и корней- провели как и у вас СК, а потом СМ, чтобы АВСМ получилась равнобедренная. Ясно, что АК=1, СМ=МД=1, ну и КМ тоже=1. Треуг. КСМ равносторонний со стороной 1, углы сразу получаются 60 и 30. Ну а дальше элементарно.
Пишите, что мне на умных людей обижаться. Задача - тренажер, имеет 30 решений. Вперед!
Трапеция АВСD - равнобедренная, после того как вы докажете, что диагональ СМ= АВ или что треугольник АВК - равносторонний.То, что трапеция равнобедренная, хорошо видно, когда вы уже найдете угол а=30°( при проверке).Я пока не вижу этого доказательства.Подскажите, если располагаете временем
Во-первых, я не обижаюсь (на зрителей), а полемизирую (спорю). Во-вторых, у вас оригинальное решение (красивое), но как заметили, пропущен 1 важный шаг: угол AMC= 2а, а угол D = a, откуда следует (по теореме о внешнем угле), что тр-к CMD - равнобедренный, откуда и следует MD=CM=AB=1. В-третьих, зрителю, конечно, интересно найти решение покороче авторского ( и это правильно). Но иногда он лукавит, пропуская шаги, а иногда автор (я) преследует другие образоватльные цели и предлагает более общие пути, менее оригинальные, но которые можно повторить. Кто ж догадается зеркалить трапецию, как вы? Так что вы большой молодец (тоже без обид).
КС развернул в другую сторону
Норм!
Пифагор для треугольника СDK, где СК - высота /АСD - равнобедренный, потому высота является и медианой: h^2 + 1,5^2=3/
Супер!
Либо это задача слишком легкая, либо я стал слишком умен, чтобы решать сложную геометрию и до чего-то додумываться))
Стал-стал. Это для поступающих!