Благодарю. Я решил достройкой симметричного треугольника и формулой полупроизведения сторон на синус 30 град. Потом всё это разделил пополам. ДЗ легко решить методом Никиты: высоту тругольника легко вычислить. Она выходит в 4 раза меньше гипотенузы.Значит угол альфа= 15 град.
Достраиваем к этому треугольнику такой же, чтобы было 2 стороны по 8 и угол между ними 30°. Учитывая, что площадь этого треугольника в 2 раза больше заданного то площадь треугольника АВС будет равна 8*8*sin30°/4= 8.
Если решать с помощью тригонометрии, то вообще ничего не надо достраивать. Находим один катет, это 8*sin15, второй - 8*cos15. Площадь треугольника - половина произведения его катетов. Перемножаем, преобразовываем, там получается синус двойного угла, получаем 8.
метод - почесать левой рукой правое ухо - (значки для комментов 4²15°√4⊥∠45⁰ ½∠▲²∆ α β γ) - допустим, у нас нет под рукой таблиц синусов-тангенсов. Зеркалим ▲АВС по АС, получаем ▲АВВ1 с ∠30⁰. Из т.В опускаем на АВ1 высоту в т. М. ∠В1ВМ = 15⁰ как образованный взаимо перпендикулярами ВС и СА к ВМ и МА. Зеркалим и левый ▲ВВ1М относительно ВМ, получив аналогично большому т. М1. Итак мы имеем удвоенный искомому▲ВВ1А, в котором часть - ▲ВМА ищем по Пифагору, т.к при суммарном ∠А = 30⁰ высота ВМ = ½ВА = 4, а вторая часть, ▲ВМВ1 ищется как половина ▲ВВ1М1 с ∠при вершине = 30⁰ и высотой = 4. Тоже по Пифагору. Сложив, вычев и разделив пифагоровы горы вычислений, находим S▲АВС
Проводим медиану с точки С прямого угла. Получаем два равновеликих равнобедренных треугольника. Углы в них найти несложно: в одном 15:15:150, а в другом 30:75:75. Несложно найти и боковые стороны в них: они все равны 4. Находим по формуле S=1/2*a*b*sinC площадь треугольника с углом 30 градусов. S=1/2*4*4*sin30°=4. Площадь всего представленного треугольника в 2 раза больше: S∆ABC=4*2=8
Вот я допустим, тригонометрию не знаю ( всамделе), но где-то слышал о катете о 30 градусах. Строю треуг. -- равнобедренный с углом при вершине 30 градусов и боковушками по 8 (удвоенный заданный). Провожу высоту из основательной вершины. Она равна 4. Откуда площадь нового треугольника = 16, а заданного =8 Ответ:8
'Свет мой, зеркальце..." (С) Вместе с зеркальным отражением снизу получим основание 8, красивый угол 30, высоту 4. Умножаем 4 на 8 и дважды делим на 2. 8.
BC/AB = sin 15 (Здесь и далее все значение угла в градусах, разумеется) AC/AB = cos 15.Площадь S (ABC) = AC*BC/ 2 = AB*sin 15 AB* cos 15 /2 = AB^2 *1/2 sin 30 * 1/2 = 64 *1/2*1/2*1/2 = 8 (используется формула синуса двойного угла)
Я решил легче за 20 секунд: сделал прямоугольником и между диагоналей 30 градусов. Площадь четырехугольника 8*8*sin30/2 . Площадь этого треугольника палавина-8.
В прямоуг. тр-ке с углами 15 и 75 высота к гипотенузе всегда вчетверо меньше гипотенузы, значит она равна 2. Площадь тогда равна (2*8)/2=8. Я, кстати, искренне не понимаю, почему этот и в самом деле крайне полезный (и ведь довольно очевидный же!!!!) факт не обнародуют в школе...
@@dmirtydimitryk1915 я тоже. Кстати, можно использовать формулу через сторону и синусы трёх углов, но это просто использовать калькулятор- кто теперь помнит значение синуса 15 или выводит его ?
Для ученкиа 7 класса - это олимпиадная. И она давалась на ФПМ в апреле 20... года. Жаль, вас не было тогда в 7 классе. вы бы сразу поняли. Олимпиадные - те которые не подходят под известный алгоритм нахождения площади. Треубут дополнилльного потсроения. @@dmirtydimitryk1915
Было? Достроить до равнобедренного. Площадь искомая равна половине площади равнобедренного. S=(1/2)*(1/2)*8*8*sin(30°)=8*8/2/2/2=8*8/8=8 Вроде самое простое, в уме.
ДЗ: S тр. = ha/2 = 1. а = √8 значит 1 = h√8/2 значит h = 2/√8 =1/√2. Из разобранной задачи мы уже знаем, что высота прямоугольного треугольника с углом 15 градусов равна 1/4 гипотенузы. h/a = 1/√2√8 = 1/4. Угол α = 15 градусов. Задача решена! Ну и можно построения с медианой произвести и более подробно расписать)
ДЗ в решении смешанный метод алгебры и тригоноиетрии с геометрией... Найдем сторону квадрата- это гипотинуза в рассматриваемом треугольнике. Затем обозначаем катеты через х и у и выразим площадь треугольника 1/2ху=1. Откуда ху=2. Теперь выразим синус и косинус искомого угла альфа. Перемножим эти два равенства левую на левую а правую на правую сторону в равенствах. Получим ху/8 = синусальфа×косинус альфа. Тогда ху=4×синус2альфа=2. И получаем синус2альфа=1/2, следовательно 2×альфа=30°. И искомый угол альфа =15°
Прекрасная в своей простоте задача.Все способы решения хороши.Для себя я выбрал бы триго,но триго не годится для 8 класса.Так что придется идти вместе с удивительно красивой девочкой Катей.
Сначала, как всегда, решаю до просмотра. Имеем: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. один катет это гипотенуза умножить на синус угла, другой- гипотенуза на косинус. Имеем: половина от квадрата гипотенузы на синус и на косинус угла. Вспоминаем тригонометрию: 2*синус*косинус= синус двойного угла. Теперь площадь = четверть квадрата гипотенузы на синус 30 градусов, или (синус 30 есть 1/2) - восьмая часть квадрата гипотенузы Результат: одна восьмая от восемью восемь , или восемь. Теперь смотрю ролик.... Да, геометричекие методы красивы.
Спасибо за разные способы решения.
Очень понравились все способы. Особенно красиво для школьников, которые ещё не знакомы с тригонометрией.
Согласен.
Благодарю. Я решил достройкой симметричного треугольника и формулой полупроизведения сторон на синус 30 град. Потом всё это разделил пополам.
ДЗ легко решить методом Никиты: высоту тругольника легко вычислить. Она выходит в 4 раза меньше гипотенузы.Значит угол альфа= 15 град.
Здорово!
У Никиты - самый геометричный способ!
Абсолютно согласен.
Интересны и второй ,и третий способы. Спасибо!
Согласен.
Достраиваем к этому треугольнику такой же, чтобы было 2 стороны по 8 и угол между ними 30°. Учитывая, что площадь этого треугольника в 2 раза больше заданного то площадь треугольника АВС будет равна 8*8*sin30°/4= 8.
Самый красивый 3-ий способ.
Согласен.
Задача решается устно!!
Если решать с помощью тригонометрии, то вообще ничего не надо достраивать. Находим один катет, это 8*sin15, второй - 8*cos15. Площадь треугольника - половина произведения его катетов. Перемножаем, преобразовываем, там получается синус двойного угла, получаем 8.
Спасибо.
Все методы хороши. Первый более универсальный, он хорошо подходит для решения дз. Ответ те же самые 15 градусов, если в арифметике не напутал.
Согласен.
метод - почесать левой рукой правое ухо - (значки для комментов 4²15°√4⊥∠45⁰ ½∠▲²∆ α β γ) - допустим, у нас нет под рукой таблиц синусов-тангенсов. Зеркалим ▲АВС по АС, получаем ▲АВВ1 с ∠30⁰. Из т.В опускаем на АВ1 высоту в т. М. ∠В1ВМ = 15⁰ как образованный взаимо перпендикулярами ВС и СА к ВМ и МА. Зеркалим и левый ▲ВВ1М относительно ВМ, получив аналогично большому т. М1. Итак мы имеем удвоенный искомому▲ВВ1А, в котором часть - ▲ВМА ищем по Пифагору, т.к при суммарном ∠А = 30⁰ высота ВМ = ½ВА = 4, а вторая часть, ▲ВМВ1 ищется как половина ▲ВВ1М1 с ∠при вершине = 30⁰ и высотой = 4. Тоже по Пифагору. Сложив, вычев и разделив пифагоровы горы вычислений, находим S▲АВС
добавляем зеркальный прямоугольник, из угла 75 градусов опускаем высоту, она равна 4, площадь двойного 4х8/2=16, нашего половина, т. е. 8
Спасибо.
Проводим медиану с точки С прямого угла. Получаем два равновеликих равнобедренных треугольника. Углы в них найти несложно: в одном 15:15:150, а в другом 30:75:75. Несложно найти и боковые стороны в них: они все равны 4.
Находим по формуле S=1/2*a*b*sinC площадь треугольника с углом 30 градусов. S=1/2*4*4*sin30°=4.
Площадь всего представленного треугольника в 2 раза больше: S∆ABC=4*2=8
Спасибо. А вы за какой метод?
@@GeometriaValeriyKazakovМетод Кати самый простой и быстрый, на мой взгляд.
Спасибо. Мне тоже нравится. Он - геометрический.@@P.S.Q.88
@@GeometriaValeriyKazakov 🙏
@@P.S.Q.88
Вот я допустим, тригонометрию не знаю ( всамделе), но где-то слышал о катете о 30 градусах. Строю треуг. -- равнобедренный с углом при вершине 30 градусов и боковушками по 8 (удвоенный заданный). Провожу высоту из основательной вершины. Она равна 4. Откуда площадь нового треугольника = 16, а заданного =8
Ответ:8
Да, вы совпали со способом 2. Позд.
можно во втором способе использовать S=0.5*a*b*sin 30 и результат поделить на 2
Да, конечно!
Так же
@@galinaberlinova3896
Sin15º=BC/AB; Cos15º=CA/AB; BC=AB*Sin15º; CA=AB*Cos15º; Площадь прямоугольного треугольника ABC= (BC*CA)/2=(8*Sin 15º)*(8*Cos 15º)/2= 32*Sin 2*15º/2= (32*(1/2))/2=32/4=8 единиц ^2; приложение к решению: используемые формулы :Sin(2x)=2*Sin(x)*Cos(x); Sin(30º)=1/2
Спасибо.
'Свет мой, зеркальце..." (С)
Вместе с зеркальным отражением снизу получим основание 8, красивый угол 30, высоту 4. Умножаем 4 на 8 и дважды делим на 2. 8.
Спасибо.
BC/AB = sin 15 (Здесь и далее все значение угла в градусах, разумеется) AC/AB = cos 15.Площадь S (ABC) = AC*BC/ 2 = AB*sin 15 AB* cos 15 /2 = AB^2 *1/2 sin 30 * 1/2 = 64 *1/2*1/2*1/2 = 8 (используется формула синуса двойного угла)
Спасибо.
Я решил легче за 20 секунд: сделал прямоугольником и между диагоналей 30 градусов. Площадь четырехугольника 8*8*sin30/2 . Площадь этого треугольника палавина-8.
Мне все нравится,кроме тригонометрии.
Вариант задачи-близнеца: Прям. треугольник, угол А =15 градусов. Известна разность катетов (в-а). Найти площадь тр-ка. (Ответ: 0.25 (......)**2 )
Согласен!
15 градусов. Корень из 8 сторона квадрата и гипотенуза ВКС. S= 1/2 * 8cos&sin&=4cos&sin&= 2sin2&=1. Значит sin2&=1/2, 2&=30, &=15.
Согласен.
Теорема синусов, я всегда ей пользовался и во время института.
Спасибо. Теорема косинусов.
Отразить относительно длинного катета, получив 30 градусов и высоту двойного треугольника.
Спасибо. Вы за какой метод?
№2@@GeometriaValeriyKazakov
Из 4х треугольников сделать ромб, а дальше 8*8*sin30=32 и поделить на 4
ОТлично!
Первый способ отличный
В прямоуг. тр-ке с углами 15 и 75 высота к гипотенузе всегда вчетверо меньше гипотенузы, значит она равна 2. Площадь тогда равна (2*8)/2=8. Я, кстати, искренне не понимаю, почему этот и в самом деле крайне полезный (и ведь довольно очевидный же!!!!) факт не обнародуют в школе...
Отлично. Таких мелких свйоств очень много. У Киселева он был.
Почему обозначения углов против часовой стрелке? Отлично, что у прямого С ,.
Спасибо.
В первом методе катет "а" не нужно искать. Достаточно катета "в". есть две стороны и угол между ними. Дальше понятно. это более рационально.
Согласен.
Описать окружность, из радиусов угол 30°, (по свойству.) Дальше как в 3 способе
Да, с окружостью отлично!
Пифагор и теорема о биссектрисе- долго.
Этот треугольник - половина равнобедренного с углом при вершине 30 , делим его площадь 8×8×sin30÷2 пополам. 8.
Отлично!
Как бы да - очевидное решение. Я не не понял что в этой задаче олимпийское?
@@dmirtydimitryk1915 я тоже. Кстати, можно использовать формулу через сторону и синусы трёх углов, но это просто использовать калькулятор- кто теперь помнит значение синуса 15 или выводит его ?
Для ученкиа 7 класса - это олимпиадная. И она давалась на ФПМ в апреле 20... года. Жаль, вас не было тогда в 7 классе. вы бы сразу поняли. Олимпиадные - те которые не подходят под известный алгоритм нахождения площади. Треубут дополнилльного потсроения. @@dmirtydimitryk1915
За видео. Все способы хорошие, но голосую за Никиту.
Интересно а 5-6 класс бы решил такое?
Оимпиадники решили бы. У Спивака (МГУ)
Было?
Достроить до равнобедренного. Площадь искомая равна половине площади равнобедренного. S=(1/2)*(1/2)*8*8*sin(30°)=8*8/2/2/2=8*8/8=8
Вроде самое простое, в уме.
Отлично!
У таких треугольников площадь всегда равна гипотенузе?
Не, если взять 4, то уже нет.
ДЗ: S тр. = ha/2 = 1. а = √8 значит 1 = h√8/2 значит h = 2/√8 =1/√2. Из разобранной задачи мы уже знаем, что высота прямоугольного треугольника с углом 15 градусов равна 1/4 гипотенузы. h/a = 1/√2√8 = 1/4. Угол α = 15 градусов. Задача решена! Ну и можно построения с медианой произвести и более подробно расписать)
Отлично!
ДЗ в решении смешанный метод алгебры и тригоноиетрии с геометрией...
Найдем сторону квадрата- это гипотинуза в рассматриваемом треугольнике. Затем обозначаем катеты через х и у и выразим площадь треугольника 1/2ху=1. Откуда ху=2.
Теперь выразим синус и косинус искомого угла альфа. Перемножим эти два равенства левую на левую а правую на правую сторону в равенствах. Получим ху/8 = синусальфа×косинус
альфа. Тогда ху=4×синус2альфа=2.
И получаем синус2альфа=1/2, следовательно 2×альфа=30°. И искомый угол альфа =15°
Отлично. Спасибо.
@@GeometriaValeriyKazakov 👌👍
Супер
Ну, спасибо!
Я решил способом семиклассника в 9 классе, кайф
Супер!
Прекрасная в своей простоте задача.Все способы решения хороши.Для себя я выбрал бы триго,но триго не годится для 8 класса.Так что придется идти вместе с удивительно красивой девочкой Катей.
Передам привет!
Голосую за первый способ.
Спасибо. Отлично.
Я начал, как Катя. Получил 3к с 30 градусами
Отлично!
1 и 3 метод
Спасибо. Я тоже! Никаких отражений. Все по-честному!
Задача устеая
Спасибо. А задача китайский 8-классников какая - письменная? Нужно отметить. Пропускаете
Второй метод.
Согласен!
Сначала, как всегда, решаю до просмотра. Имеем: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов. один катет это гипотенуза умножить на синус угла, другой- гипотенуза на косинус. Имеем: половина от квадрата гипотенузы на синус и на косинус угла. Вспоминаем тригонометрию: 2*синус*косинус= синус двойного угла. Теперь площадь = четверть квадрата гипотенузы на синус 30 градусов, или (синус 30 есть 1/2) - восьмая часть квадрата гипотенузы Результат: одна восьмая от восемью восемь , или восемь.
Теперь смотрю ролик....
Да, геометричекие методы красивы.
Только что хотел это написать.
Ну, вот мы мыслим абсолютно одинаково!