ОЛИМПИАДА ПОЛИТЕХА ДЛЯ ШКОЛЬНИКОВ. Круг и два квадратика. Найди радиус!
ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 18 พ.ค. 2024
- Два квадрата с площадями 1 и 4 стоят на прямой вплотную друг к другу. Окружность касается этой прямой и проходит через вершины квадратов как показано на рисунке. Найти радиус окружности.
Уравнение окружности с центром (0;R): x²+(y-R)²=R² запишем для точек касания с квадратиками в систему
x²+(1-R)²=R² и (x+1)²+(2-R)²=R², которая имеет решения (x;R): (-1;1) и (1;5).
Подходит под рисунок только R=5
Решение x=-1; R=1 не противоречит вашей трактовке условия. Просто рисунок будет другой, но все условия исходной постановки задачи будут выполняться: окружность касается оси x, касается верхнего левого угла малого квадрата и верхнего левого угла большого квадрата
Лучше не переходить к иррациональным уравнениям, а записать систему на R и x которую легко решить вычитая одно уравнение из другого: R^2=(R-1)^2+x^2 , R^2=(R-2)^2+(x+1)^2
СПАСИБО ЗА ВАШЕ МНЕНИЕ. Моя цель была - повторить решение иррационального.
Хорошая задача. Но! Каюсь, не люблю, когда в геометрической задаче появляются такие иррациональные уравнения или уравнения третьей степени. Я продлила стороны квадратов вверх от точек касания до пересечения с окружностью. Получила равнобедренную трапецию, вписанную в окружность. Назовем ее ABCD, начиная от вершины зеленого квадрата против часовой стрелки. В трапеции проведем высоту BH и диагональ BD. Зачем? Я буду искать радиус R как радиус окружности, описанной около ∆ABD. Есть такая формула R=ab/(2h) (стороны a, b и высота h выходят из одной вершины). AB=√2, BH=1, BD=√((2R-3)^2+1^2); R=√2*√((2R-3)^2+1^2)/(2*1). После возведения в квадрат получим квадратное уравнение R^2-6R+5=0; R=5.
Отлично. Но моя цель совсем другая - прокачать алгберу через геомтеоию, т.к. ученики сейчас готовятся к экзаменом. Математика - единая наука. Тцум мы с Декартом едины. Но только тут.
Без иррациональности. Выбрав начало координат в центре жёлтого круга, запишем ур-ия х² + (1 - R)² = R², (x + 1)² + ( 2 - R)² = R². Приравняв левые части ур-ий, получим х = R - 2. Подставив это значение х в 1 или 2 ур-ие, получаем кв.ур-ие R² - 6R + 5 = 0. R = 5, корень R =1 нас не устраивает (левые верхние углы квадратов будут внутри окружн., а не снаружи). ДЗ. В общем виде получаем ур-ие: (в/а - 1) R - в²/2а)² + (R - a)² = R². Очень хотелось бы посмотреть как Валерий Владимирович его решит. Или решит своим способом. Ведь ДЗ даётся всегда не от фонаря? В комментах никто не решил ДЗ, а В.В. уже неделю молчит. А зачем тогда задание?
Спасибо. К сожалению, нет времени решать. Подождем зрителей.
Геометрически при R=1, центр окружности находится в в правом верхнем углу зелёного квадратика. Спасибо за аналитическое решение.
И вам. Да, если дать текстом без рисунка, то его нужно бы засчитать тоже.
Вы меня опередили.. Со вторым решением R = 1. А засчитывать в любом случае нужно оба.
Без систем уравнений и квадратных уравнений. Проводим хорду по точкам касания обоих квадратов до пересечения с касательной имеющейся на рисунке. по теореме пересекающихся хорды и касательной находим и X =3 и Y=4. Дальше R = (R-2)²+16. и все😃
Спасибо.
посмотрел... ну мой подход похож на маэстро... небольшие различия... а треуги рассматривали одни и те же... спасибо)
Есть окружность, проходящая через точки (0,0) (а,1) (а+1,2), причем в нуле она касается горизонтальной прямой, что "замыкает" условие. У задачи есть два решения, одно из ролика R=5 и второе "паразитное" R = 1, при котором точки (-1, 1) и (0,2) лежат на окружности. На чертеже в ролике такая окружность будет расположена так - центр в середине левой стороны большего квадрата, там, где вершина меньшего, а проходит она через те же вершины квадратов, касаясь горизонтальной прямой в точке С (обозначения из ролика). Вполне себе решение, имеющее геометрический смысл.
Супер!
Пишу замечательный комментарий
Спасибо.
Через три точки можно построить лишь одну окружность. Если симметрично отразить и решать, то радиус не изменится. Т.о. имеем систему из 3-х уравнений окружности с 3-мя неизвестными для 3 точек: (2;2);(3;1);(b;0):
(2-a)^2+(2-b)^2=r^2
(1-a)^2+(3-b)^2=r^2
a^2=r^2
a>0;b>0;r>0
Подставляем a вместо r, вычитаем из первого второе, расписываем разности квадратов, получаем линейное:
b=a+1.
Дальше решаем квадратное для a, находим r.
Решаем, получаем: a=5; b=6; r=5. Центр окружности (6;5). Примечание: кубики влево симметрично для удобства перекинули перед решением.
Ответ:r=5.
Спасибо.
Спасибі!
Отл
х расстояние до зеленного, у хорда от красного вверх.
Квадрат касательной(х+1)^2=4+4*у, х^2=у+3. х=3, у=6. имеем длину хорды 6 и расстояние до нее 4. R=5.
Сторона малого квадрата =1, сторона малого квадрата =2 .К малому квадрату - R*2=(R-1)*2+X*2 , большему - R*2= (R-2)*2+(X+1)*2 , преобразовав уравнения и вычтя из второго первое , получаем 4+2Х-2R=0 , откуда X=R-2 , подставляя в первое уравнение - R*2=R*2-2R+1+(R-2)*2 , -2R+1+R*2-4R+4=0 , R*2-6R+5=0 , R1,2=3+-\/9-5=3+-2 , R=3+2=5 . Второе значение не может удовлетворять условиям задачи .
Тоже сделали 2 треугольника.
Но решали в другом порядке.
По Пифагору имеем 2 уравнения:
R^2 = (R-1)^2 + x^2, что после приведения получается что x^2 = 2R-1
И второй
R^2 = (R-2)^2 + (x+1)^2, что после приведения даёт x=R-2
Подставляем х в первое полученное и получаем R^2-6R+5=0
Корни 1 и 5
Если картинки нет, а просто сказано, что есть некая окружность которая касается прямой на которой лежат квадраты и одинаковые углы каждого квадрата (например левый верхний) а квадраты лежат на одной прямой и вплотную друг к другу. То оба варианта верны. Окружность будет тогда в точке правый верхний угол маленького квадрата и вторая с радиусом 5.
Отлично.
решил используя свойства пересекающихся хорд
Отлично.
Сложновато с радикалами. Без букв сложно, но я попробую.
Соединил центр с т. пересечения верхней стороны зелёного с левой стороной розового.
Нетрудно показать, что продолжение этого отрезка попадёт в середину нижней стороны розового. х = R - 2. (R - 2)² + (R - 1)² = R². R² - 6R + 5 = 0. R = 5. Хотя бы без радикалов.
точно так же решал как у вас, ну и еще одним способом, похожим на автора, но без радикалов, они там ни к чему
«продолжение этого отрезка попадёт в середину нижней стороны розового» - это частный случай, когда линия идёт углом 45°. как будете решать, если значения площадей квадратов будут другими?
@@alexandermorozov2248 Будем решать проблемы по мере их поступления😁
А я другим путём решил: сначала провел радиус параллельный касательной, далее из точки на окружности (этого радиуса) опустил перпендикуляр на касательную, доказал этот перпендикуляр пересекает касательную ровно в середине стороны (лежащей на касательной) большего квадрата квадрата . Исходя из этого получил что величина аналогичная "y" на рисунке равна R-1. Там получается прямоугольный треугольник диагонально семитричный розовому. У него катеты R-1, R-2 и гипотенуза R. По теореме Пифагора получаем то же самое квадратное уравнение причем сразу без сложных подкоренных выражений.
Отлично.
Вот вам задачка посложнее: назовите хотя бы 1 практическое применение задачи из видео.
Опишите, в каком таком практическом случае вы можете к некой оси, валу, трубе, шару пристыковать без зазора два кубика или прямоугольника, но не можете напрямую измерить диаметр.
Спасибо за красивые идеи!
А вы уйдите от кубиков, а перенесите задачу на план местности, когда обозначены габариты от объектов, а нужно построить дугу дороги...
@@gfffoto5787, отлично! Ещё штуки три применения и можно будет победителя среди решений задач определять.
План местности - принимаю как решение без вопросов!
если обозначить расстояние от нижней точки касания окружности до левого нижнего угла единичного квадрата за t, то пропифив два треуга (продлив налево верхние грани квадратиков ) имеем: r^2=t^2+(r-1)^2 и r^2=(t+1)^2+(r-2)^2... то есть t^2-2r+1=0 и t^2+2t-4r+5=0... то есть, приравнивая 2r, получаем t^2+1=t^2/2+t+5/2... умножаем на два обе части, получаем кв ур-е t^2-2t-3=0... t=3... r=5
Отлично.
решил так: пусть точка А - начало отсчета в системе координат. Тогда уравнение окружности с центром (0,R) и точки с кoординатами (m;1); (m+1;2) (m=AB) принадлежат окружности. 2уравнения с m,R -> m=3 R=5
Супер-задача!! Я нашла еще два отличных решения. Но зачем писать, если вы не читаете.
Как это, не читаю, акститесь Ольга. Вас читаю в первую очередь!! Всегда (не всегда отвечаю).
Для вас же задачу и придумывал!
@@GeometriaValeriyKazakov Отвечать на все комменты - не будет времени работать. Я не про ответ. Просто намекните, что прочитали. Этого мне будет достаточно.
Отличная задача!
Спасибо. САААААМ придумал!
Спасибо
Продлим вертикальную сторону большрго квадрата и получим хорду z, вертикальную сторону маленького получим хорду z+2 , т, о касательной и секущей даст х*х=z+3 и z=х*х-3, второй раз та же теорема (х+1)(х+1)=2(х*х-1) и квадратное уравнение х*х-2х-3=0 положительный корень х=3 и теперь посмотрим на треугольник с катетами z и 2у , z=6 2у=8 значит диаметр=10 а радиус=5 !
Почему корень R=1 не подходит? Центр окружности будет лежать на середине левой стороны большого квадрата в точке касания с малым квадратом, а сама окружность будет касаться указанных по условию задачи точек
Спасибо. Подходит, если задача дана текстом.
Обойдёмся без иррациональных уравнений, однако будет система 2-х уравнений, и 2 неизвестных.
От (B) - вертикально вверх 1 до окружности, и по Пифагору, R^2 = x^2 + (R - 1)^2
То же от точки (C): R^2 = (x + 1)^2 + (R - 2)^2
Две точки, и два уравнения. Раскрываем скобки, приводим подобное, и:
x^2 - 2*R + 1 = 0 // Умножаем на 2
x^2 + 2*x - 4*R + 5 = 0 // вычитаем из умноженного первого, уничтожая (R)
x^2 - 2*x - 3 = 0, x1 = -1, x2 = 3, откуда из x2 - подстановкой в первое - получаем R = 5. Это Ответ.
Лёгкая задача. Неужели это олимпиада? Исключительно из любви к искусству..
Как-то пролетел я на простоте задачи..
Центр окружности (A0), верхние левые углы квадратов, соответственно, (B1) & (C1). Система координат. Точка (A) = (Zero).
Толкуем x1 = -1. Тогда подстановкой - получим R = 1. Положение центра окружности A0 (0; R) = A0(0; 1). Но (x) - это положение точки (B) на оси, оно будет тогда B(-1; 0), положение C(xB+1; 0) = C(0; 0). Соответственно, точки углов квадратов, принадлежащих окружности, будут B1(-1; 1); C1(0; 2)
То есть, (CC1) - это будет диаметр окружности, точки (A) & (C) - совпадут, (A) - как и раньше - точка касания, точка (B1) - левый край горизонтального диаметра.
Два решения!
R1 = 1, центр A0(0; 1), левые нижние углы квадратов B(-1; 0), C(0; 0) = A
И второе, основное: R2 = 5, центр A0(0; 5), левые нижние углы квадратов B(3; 0), C(4; 0)
Ну виден же Египетский. 3-4-5....😅
А если не виден: S1=Q,S2=G, что тогда?
Способ посчитать x: соединить прямой вершины квадрата, что на окружности и пересечь с касательной в точке S. Тогжа SA^2=√2*2√2 (квадрат касательной) тогда SA=2, AB=3 и 2R-1=3*3=9 и R=4
Точнее R=5 и в общем случае можно повторить способ этот же, только там будет что-то чуть более неприятное
Спасибо.
@@user-um1gn8hs5f Согласен.
Соединим т.А с т. касания большого квадратика и окр. в т. М , получим тр. АМС . где 2МС=АС , откуда АМ =2*^из 5. Опустим перпендикуляр из ц. окр. т. О на АМ в т. N . Тр.AON подобен тр.АМС , 2AN=ON . AN=^из 5 . По т. Пифагора R=5 .
По фактическим данным и результату, да: 2*MC = AC, но это потому, что (AB) = 3. Но это ещё надо найти, однако..
Если будут другие сочетания длин сторон квадратов, то и (AB) - будет другого сочетания. Кстати, надо решить в общем виде..
Проведем прямую из т. М через вершину маленького квадратика до пересечения с АС, она пройдет под углом 45 , проведем линию по верхней грани маленького квадратика , она разделит МN пополам, также эту среднюю линию пополам , откуда АС=2МС
Как-то слишком запутано. При данных размерах квадрата АB=R-2
И можно просто записать R^2 = (R-1)^2 + (R-2)^2. Если все раскрыть получим то же самое уравнение R^2 -6R + 5 = 0.
Оба корня являются решениями, но именно для этого рисунка подходит только 5. (С радиусом 1 центр окружности должен лежать на 1 выше точки С)
R=1 тоже проходит, но без рисунка если. Чужое решение после своего всегда кажется похуже и запутанным. Поверьте мне, как тренеру: у нас САМЫЕ ОПТИМАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ, которые годятся для всех случаев. Решите при S1=Q,S2=G.
@@GeometriaValeriyKazakov Ну совсем не оптимальные! Пожалуйста - 4 действия без радикалов. x1 = x
y1 = 1 - R
x2 = x + 1
y2 = 2 - R
RR = xx + 1 + RR - 2R
RR = xx + 1 + 2x + 4 + RR - 4R
xx - 2R + 1 = 0
2xx - 4R + 2 = 0
xx + 2x - 4R + 5 = 0
xx - 2x - 3 = 0
R = (xx + 1)/2
D = 4 + 12
x = 3
R = 5
Осталось только доказать, что АВ=R-2. Поскольку мне, например, это не очевидно...
@@mikepaderin2619Если соединить две точки касания квадратов с окружностью, и в получившемся равнобедренном прямоугольном треугольнике провести высоту - то продолжение этой высоты пройдет через центр окружности (перпендикуляр к середину хорды) и через середину нижней стороны квадрата с площадью 4.
Тогда расстояние между А и серединой нижней стороны квадрата R, а АВ = R-2
@@Snuryus последнее вновь не так очевидно, как хотелось бы (почему большой треугольник стал вдруг равнобедренным со сторонами = R?)
а у меня вышло только что R = x + 2
Кажется, вы немного кликбейтите. Для олимпиады очень простая задача.
Да, и практически во всех роликах, я уже об этот говорил. С другой стороны, есть разные уровни олимпиад. И эта задача - точно не тривильная из учебника без звездочки. Решите ее при S1=Q, S2=G и тогда посмотрим. Она жэ усложняется на раз.
@@GeometriaValeriyKazakov Аналитически если решать, то нет. Задача сводится к решению квадратного уравнения. Из системы исходных 3-х уравнений известных точек на окружности всё-равно получатся линейные уравнения связи координат центра окружности и радиуса.
x^2+y^2 = r^2, т.А(0;-r)
Отлично.
Блин ожидал я геометричнское решение((( не нужно иметь талант что все привести к одному уравнению и решать алгебру)). А вот были у вас задачи нетривиальные найти угол. И говорили, можно косинусы синусы вспомнить но мы пойдем ИНТЕРЕСНЫМ путем))) примерный сценарий СУММА УГЛОВ НАМ НИЧЕГО НЕ ДАЕТ. АГА ПРОВОДИМ РАЗ ЛИНИЯ ДВА ЛИНИЯ. ТУТ РАВНОБЕДРЕННЫЙ, ТАМ РАВНОБЕДРЕННЫЙ. ВОТ МЫ И НА ФИНИШНОЙ ПРЯМОЙ.
Не ролик а детектив какой-то))
Так задач у нас - море! Есть всякие решения. Здесь я порокачал иррац ур, а геому оставил зрителю. Найдите вот чистое геометрическое, но свое.
Устная задача. R = 5