"Мы любим всё - и жар холодных числ, и дар божественных видений. Нам внятно всё: и острый галльский смысл, и сумрачный германский гений" А.Блок, "Скифы".
Ураа, алгебра подъехала) Сначала подумал про формулы Виета, но потом сообразил, что полный квадрат (x+y+z)² = x² + y² + z² + 2(xy + xz + yz) сразу дает ответ 1
ДЗ-1 перемеожил два первых, отминусовал оттуда квадрат третьего нулевого. Получилось модуль разностей (х-z) и (у-t) равен единице. Продолжив мучения нашел, что х=±1 y=0 z=±1 t=0 с точностью до перестановок. Ответ:0 ..... ДЗ-3 Наконец-то диафантка моя, диафантулечка! Разложение египтянки 1/1. x≤y≤z. Очевидно, Х≤3. Первый вариант {3;3;3). При Х=2 Y≤4. Второй вариант {2;4;4}. Третий вариант {2;3;6}. Солдат Цифиркин стрельбу закончил
ДЗ1. Выразим из первых двух уравнений , x²=1-y² и z²=1-t² , перемножым левые и правые части получим х²*z²=1-t²-y²+yt повторим тоже выразив y² и t² получим y²*t²=1-x²-z²+xz и тепер складываем левые и правые части етих уравнений х²*z²+y²*t²=1-t²-y²+yt+1-x²-z²+xz=yt+xz=0 , так как сумма квадратов равна 0 , то каждый из их равен 0 , следовательно в каждой паре - xz, yt один из множителей =0 , следовательно либо х=t=0 либо z=y=0, так как и в искомом xy+zt 'эти пары являются множителями каждого из слагаемых то их сумма равна 0. Алгебра дается не легко, практики (да и знаний) не хватает , но решение получилос на мой взгляд симпатичное .
ДЗ: 1. Сделаем параметризацию окружностей: x = cos(phi), y = sin(phi), z = cos(psi), t = sin(psi). Тогда из третьего уравнения cos(psi - phi) = 0, значит, psi = phi + pi/2 + pi*k, k - целое. Отсюда находим z и t через phi: z = - sin(phi)*(-1)^k, t = cos(phi)*(-1)^k. Таким образом, xy + zt = cos(phi)sin(phi) - sin(phi)*(-1)^k * cos(phi)*(-1)^k = 0 3. Понятно, что любая перестановка на x, y, z также будет решением, поэтому будем считать, что x = 1/z. Поскольку 1/x + 1/y + 1/z = 1
Такое впечатление, что в ДЗ №2 что-то не так с условием, не поверю, что восьмиклассники это решат. Или может быть я ошибся, впрочем, вот моё решение. Решаем сперва первое равенство: сгруппируем слагаемые x³ - y³ = z(x² - y²), откуда x = y (1) или x² + xy + y² = z(x+y) (2). Теперь решим второе равенство, тоже сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель: y³ - z³ = x²(y - z), y = z (3) или y² + yz + z² = x² (4) Теперь рассмотрим все возможные системы. (1) & (3): x = y = z, тогда 1/x + 1/y + 1/z = 3/x, x≠0 (1) & (4): x = y y² + yz + z² = x² => x² +xz + z² = x² => z = -x или z = 0. Последний случай отбрасываем, потому что иначе мы не сможем определить значение 1/z. Значит, 1/x + 1/y + 1/z = 1/x, x≠0 (2) & (3): y = z x² + xy + y² = z(x+y) => x² + xz + z² = xz + z² => x = 0, но 1/x не определено в таком случае, значит, этот вариант невозможен. (2) & (4): x² + xy + y² = z(x+y) y² + yz + z² = x² Поскольку x≠0, и оба уравнения системы являются однородными второй степени, мы можем поделить обе части каждого уравнения на x². Обозначим заодно y/x = a, z/x = b, тогда система примет вид: 1 + а + а² = b(1 + a) a² + ab + b² = 1 Заметим, что a = -1 не является решением, так как иначе в первом уравнении системы будет 1 = 0. Умножим левую и правую часть второго уравнения на (1+а)² и используем первое уравнение: (a+a²)² + (a+a²)(1+a+a²)+(1+a+a²)² = (1+a)² Если мысленно заменить a + a² = t, то левая часть будет в виде t²+t(1+t)+(1+t)² = 3t²+3t+1. Значит, 3(a²+a)²+ 3(a²+a)+1 = a²+2a+1 После сокращения на 1 видим, что a = 0 является корнем уравнения, но тогда y = 0 и 1/y не определено. После деления на а и приведения подобных приходим к кубическому уравнению: 3а³ + 6а² + 5а + 1 = 0, которое имеет единственный действительный корень: а = -2/3 + (1/3)cbrt(5/2 + sqrt(29)/2) + (1/3)cbrt(5/2 - sqrt(29)/2). Найдём теперь 1/x + 1/y + 1/z = 1/x * (1 + 1/a + 1/b) = 1/x * (1 + a)³/(a + a² + a³) Упрощать последнее я, пожалуй, не буду, поскольку в этом немного смысла)
Мне кажется, что все гораздо проще. С самого начала уравнения системы однородные. если поделить каждое из них на z^3 и обозначить : а=x/z, b= y/z, то получим систему : {a^3+b^2=b^3+a^2, a^3+b^2=1+a^2*b}. Она имеет решения : (1, 1) или (-1, -1). Отсюда x = y = z = t или x = y = - z = t. Дальнейшее я привел выше минут 50 назад.
@@alexsokolov1729 У системы есть еще два решения для a и b, которые не подходят (0.1), (1,0) . Есть и еще пара, которую я не проверял. Возможно и эта пара даст решение. Потому и написал, что может быть решение не вполне полное. Могу проверить.
Нет, не подходит. Это все! Вы считаете, что то, что Вы привели не сложнее??? Сколько строчек я написал? Проверьте хорошенько своё решение. Других решений, кроме приведенных мной, нет. Если Вы считаете, что есть, приведите х, у, z ( z можно принять за параметр), тогда проверим.
Ну a = 0 и b = 0 не подойдут по той же причине, что и у меня: получится x = 0 или y = 0, что вызовет деление на ноль. Я тут присмотрелся к вашей системе и увидел, что, в общем-то, то же самое выходит: a = b, второе условие после деления на (a-b), b = 1 и ещё одно условие, после деление на (b-1). Так что это один и тот же метод, получается
@@GeometriaValeriyKazakov У меня не получяется , везде суммы трех множителей и если x=y=z то все сходится при любых значениях , хорошо бы обяснение или разбор.
@@vkr122 В Д.З.-2 ответ вовсе не 0 ! Вот решение, которое я выложил три дня назад. В Д.З.-2 у меня получилось : x=y=z=t ∈ R, тогда 1/x+1/y+1/z=3/t, or x=y= -z=t ∈ R, тогда 1/x+1/y+1/z=1/t . Как оказалось после тщательной проверки, есть еще решение: 1/x+1/y+1/z= - 1.8288/t, t=z, x=0.90033t, y=-0.25384t. С самого начала уравнения системы однородные. если поделить каждое из них на z^3 и обозначить : а=x/z, b= y/z, то получим систему : {a^3+b^2=b^3+a^2, a^3+b^2=1+a^2*b}. Она имеет решения : (1, 1) или (-1, -1) или (0.90033, -0.25384).
@@SB-7423 Спасибо , ваше решение видел но не углубился ,, теперь понятно , я нашел только первых два , до кубической системы не добрался. Вы молодец , у вас хорошие решения, рад за вас!
@@vkr122 Спасибо. Ваши решения ничуть не уступают. Вы часто приводите красивые решения. Я всегда просматриваю комментарии. Мне еще многому нужно учиться.
Меня колошматит от однородных систем. Так и не учился. Чоли у вас через тангенсы-котангенсы? Или вектора? Я "решал" эмпирически, т е от балды. Положил х=z, нашел {2/3;-1/3;2/3} и искомое =1 А чоли единица -- инвариант?
![เขามัทรี - เอ็กซ์ ศุภกฤต - จอนนี่มิวสิค [ Official MV ]](http://i.ytimg.com/vi/AS9ufKuQIVs/mqdefault.jpg)
"Мы любим всё - и жар холодных числ, и дар божественных видений. Нам внятно всё: и острый галльский смысл, и сумрачный германский гений" А.Блок, "Скифы".
Красивое алгебраическое решение. Спасибо.
Изящно и просто.
Спасибо!
Ловко у вас получилось😊
Да. Но ДЗ посложнее.
Ураа, алгебра подъехала)
Сначала подумал про формулы Виета, но потом сообразил, что полный квадрат (x+y+z)² = x² + y² + z² + 2(xy + xz + yz) сразу дает ответ 1
Конечно. Хорошо, что сами!
ДЗ-1 перемеожил два первых, отминусовал оттуда квадрат третьего нулевого. Получилось модуль разностей (х-z) и (у-t) равен единице. Продолжив мучения нашел, что х=±1 y=0 z=±1 t=0 с точностью до перестановок. Ответ:0
.....
ДЗ-3
Наконец-то диафантка моя, диафантулечка! Разложение египтянки 1/1.
x≤y≤z. Очевидно, Х≤3. Первый вариант {3;3;3). При Х=2 Y≤4. Второй вариант {2;4;4}. Третий вариант {2;3;6}. Солдат Цифиркин стрельбу закончил
Супер. Спасибо, что решаете ДЗ!
ДЗ1. Выразим из первых двух уравнений , x²=1-y² и z²=1-t² , перемножым левые и правые части получим х²*z²=1-t²-y²+yt повторим тоже выразив y² и t² получим y²*t²=1-x²-z²+xz и тепер складываем левые и правые части етих уравнений х²*z²+y²*t²=1-t²-y²+yt+1-x²-z²+xz=yt+xz=0 , так как сумма квадратов равна 0 , то каждый из их равен 0 , следовательно в каждой паре - xz, yt один из множителей =0 , следовательно либо х=t=0 либо z=y=0, так как и в искомом xy+zt 'эти пары являются множителями каждого из слагаемых то их сумма равна 0. Алгебра дается не легко, практики (да и знаний) не хватает , но решение получилос на мой взгляд симпатичное .
Согласен. Спасибо.
А это не тот случай когда двое говорят на чёрное, что это белое, а третий пытается узнать почему?
Спасибо.
ДЗ:
1. Сделаем параметризацию окружностей:
x = cos(phi), y = sin(phi),
z = cos(psi), t = sin(psi).
Тогда из третьего уравнения
cos(psi - phi) = 0, значит, psi = phi + pi/2 + pi*k, k - целое. Отсюда находим z и t через phi:
z = - sin(phi)*(-1)^k, t = cos(phi)*(-1)^k.
Таким образом, xy + zt = cos(phi)sin(phi) - sin(phi)*(-1)^k * cos(phi)*(-1)^k = 0
3. Понятно, что любая перестановка на x, y, z также будет решением, поэтому будем считать, что x = 1/z. Поскольку 1/x + 1/y + 1/z = 1
А зачем так сложно? Если, к примеру, x≤y≤z, то 1/x+1/y+1/z x
@@SB-7423попробуйте решить 1/x + 1/y + 1/z + 1/t = 1 перебором)
@@alexsokolov1729 Во-первых, это не перебор (всего лишь от 1 до 3). Во-вторых, я решал конкретную задачу.
@@SB-7423 Здорово, что решили проще) Я предложил вам посмотреть на общую задачу, но не хотите, как хотите)
Очень интерсно. Дело не в сложности. задча - повод!
Такое впечатление, что в ДЗ №2 что-то не так с условием, не поверю, что восьмиклассники это решат. Или может быть я ошибся, впрочем, вот моё решение.
Решаем сперва первое равенство: сгруппируем слагаемые
x³ - y³ = z(x² - y²), откуда
x = y (1) или
x² + xy + y² = z(x+y) (2).
Теперь решим второе равенство, тоже сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель:
y³ - z³ = x²(y - z),
y = z (3) или
y² + yz + z² = x² (4)
Теперь рассмотрим все возможные системы.
(1) & (3): x = y = z, тогда 1/x + 1/y + 1/z = 3/x, x≠0
(1) & (4):
x = y
y² + yz + z² = x² => x² +xz + z² = x² => z = -x или z = 0. Последний случай отбрасываем, потому что иначе мы не сможем определить значение 1/z. Значит, 1/x + 1/y + 1/z = 1/x, x≠0
(2) & (3):
y = z
x² + xy + y² = z(x+y) => x² + xz + z² = xz + z² => x = 0, но 1/x не определено в таком случае, значит, этот вариант невозможен.
(2) & (4):
x² + xy + y² = z(x+y)
y² + yz + z² = x²
Поскольку x≠0, и оба уравнения системы являются однородными второй степени, мы можем поделить обе части каждого уравнения на x². Обозначим заодно y/x = a, z/x = b, тогда система примет вид:
1 + а + а² = b(1 + a)
a² + ab + b² = 1
Заметим, что a = -1 не является решением, так как иначе в первом уравнении системы будет 1 = 0. Умножим левую и правую часть второго уравнения на (1+а)² и используем первое уравнение:
(a+a²)² + (a+a²)(1+a+a²)+(1+a+a²)² = (1+a)²
Если мысленно заменить a + a² = t, то левая часть будет в виде t²+t(1+t)+(1+t)² = 3t²+3t+1. Значит,
3(a²+a)²+ 3(a²+a)+1 = a²+2a+1
После сокращения на 1 видим, что a = 0 является корнем уравнения, но тогда y = 0 и 1/y не определено. После деления на а и приведения подобных приходим к кубическому уравнению:
3а³ + 6а² + 5а + 1 = 0,
которое имеет единственный действительный корень: а = -2/3 + (1/3)cbrt(5/2 + sqrt(29)/2) + (1/3)cbrt(5/2 - sqrt(29)/2).
Найдём теперь 1/x + 1/y + 1/z = 1/x * (1 + 1/a + 1/b) = 1/x * (1 + a)³/(a + a² + a³)
Упрощать последнее я, пожалуй, не буду, поскольку в этом немного смысла)
Мне кажется, что все гораздо проще. С самого начала уравнения системы однородные. если поделить каждое из них на z^3 и обозначить : а=x/z, b= y/z, то получим систему : {a^3+b^2=b^3+a^2, a^3+b^2=1+a^2*b}. Она имеет решения : (1, 1) или (-1, -1). Отсюда x = y = z = t или x = y = - z = t. Дальнейшее я привел выше минут 50 назад.
@@SB-7423 Да, однородность третьей степени я тоже заметил, но мне не показалось это проще. К тому же, у вас только два решения получились
@@alexsokolov1729 У системы есть еще два решения для a и b, которые не подходят (0.1), (1,0) . Есть и еще пара, которую я не проверял. Возможно и эта пара даст решение. Потому и написал, что может быть решение не вполне полное. Могу проверить.
Нет, не подходит. Это все! Вы считаете, что то, что Вы привели не сложнее??? Сколько строчек я написал? Проверьте хорошенько своё решение. Других решений, кроме приведенных мной, нет.
Если Вы считаете, что есть, приведите х, у, z ( z можно принять за параметр), тогда проверим.
Ну a = 0 и b = 0 не подойдут по той же причине, что и у меня: получится x = 0 или y = 0, что вызовет деление на ноль.
Я тут присмотрелся к вашей системе и увидел, что, в общем-то, то же самое выходит: a = b, второе условие после деления на (a-b), b = 1 и ещё одно условие, после деление на (b-1). Так что это один и тот же метод, получается
ДЗ2. Либо я чего-то не понял либо х=у=z и не равны 0 и тогда 1/х+1/y+1/z=3/x либо x=y=-z и тогда 1/х+1/y+1/z=1/х ?
В двух первых ответ 0. В третьем овтеты в комментах. Спасибо. Может еще разберу ДЗ
@@GeometriaValeriyKazakov У меня не получяется , везде суммы трех множителей и если x=y=z то все сходится при любых значениях , хорошо бы обяснение или разбор.
@@vkr122 В Д.З.-2 ответ вовсе не 0 ! Вот решение, которое я выложил три дня назад.
В Д.З.-2 у меня получилось : x=y=z=t ∈ R, тогда 1/x+1/y+1/z=3/t, or x=y= -z=t ∈ R, тогда 1/x+1/y+1/z=1/t . Как оказалось после тщательной проверки, есть еще решение: 1/x+1/y+1/z= - 1.8288/t, t=z, x=0.90033t, y=-0.25384t. С самого начала уравнения системы однородные. если поделить каждое из них на z^3 и обозначить : а=x/z, b= y/z, то получим систему : {a^3+b^2=b^3+a^2, a^3+b^2=1+a^2*b}. Она имеет решения : (1, 1) или (-1, -1) или (0.90033, -0.25384).
@@SB-7423 Спасибо , ваше решение видел но не углубился ,, теперь понятно , я нашел только первых два , до кубической системы не добрался. Вы молодец , у вас хорошие решения, рад за вас!
@@vkr122 Спасибо. Ваши решения ничуть не уступают. Вы часто приводите красивые решения. Я всегда просматриваю комментарии. Мне еще многому нужно учиться.
Меня колошматит от однородных систем. Так и не учился.
Чоли у вас через тангенсы-котангенсы? Или вектора?
Я "решал" эмпирически, т е от балды. Положил х=z, нашел {2/3;-1/3;2/3} и искомое =1
А чоли единица -- инвариант?
Можно по-разному решать. У нас - классическое решение. Спасибо, что смотрите нас.