ฝัง
- เผยแพร่เมื่อ 16 ม.ค. 2024
- В этом видео будем находить период колебаний математического маятника. Эта простая на первый взгляд задача уже приводит к появлению специальной функции - эллиптическому интегралу 1ого рода.
В этом видео находится длина лемнискаты Бернулли, там появляется эллиптический интеграл 1ого рода и получено для него разложение в ряд: • Длина лемнискаты Берну...
В этом видео находится длина эллипса и появляется эллиптический интеграл 2ого рода: • Длина эллипса и разлож...
Если у вас есть возможность, поддержите канал:
сбербанк: 4276160020048840
тинькофф: 5536914075973911
регулярная поддержка: boosty.to/hmath
Да никто и не обманывал. Сразу говорили, что классическая формула является приближённой и годится только при малых колебаниях (с амплитудой колебаний не более 15 градусов). Точное решение не является аналитическим, так как решением является неэлементарная функция (то есть функция, которая не может быть представлена в виде конечного количества комбинаций известных простых функций. Хотя и тут расплывчато - некоторые "простые" функции просто уже получили своё условное обозначение в прошлом.
Например: если бы, к примеру, функция sin(x) не получила бы своё собственное обозначение в далёком прошлом и записывалась только в виде функционального степенного ряда, то и её бы тогда относили бы к неэлементарным функциям).
Такие дела, Карл
Так я же не утверждал, что обманывали, я задавался вопросом :) Хорошо, что вам в школе объяснили, что формула приближенная :)
Там даже 15 многовато, мы считали в универе - вроде градусов 5-7 где-то, не более
На самом деле даже если был бы просто синус, он точно так же приближенно вычисляется. У него свой ряд из которого он складывается.
@@alexselivanchik3775 в пределах, где sin(α)≈α. Это около 0.1 радиана. Или 6 градусов. Погрешность тут не более 0.2%
Всегда считал, что модель математического маятника уже содержит в себе приближение малых колебаний. Посмотрел сейчас в wiki, и вроде автор ролика прав в том, что мат маятник отдельно, а малые колебания - отдельно. Правда формула, которая обсуждается в ролике - она для малых колебаний, это даже в той же Вики прямым текстом.
Что мне теперь непонятно - это, нафига этот математический маятник вообще нужен без приближения малых колебаний?! Ведь полная абстракция, ни к чему в реальной жизни не применимая. Хочешь глубоко копать - бери сразу физический маятник, и разбирай его всерьез, при больших амплитудах. По крайней мере будет куда потом приложить полученное.. А так, дурь какая то выходит - абстракция и примитив, но просчитаем до последней запятой.. (
Школьную формулу вывел Христиан Гюйгенс для периода циклоидального маятника, в котором груз движется по циклоиде и период колебаний которого действительно не зависит от амплитуды. Для математического маятника "малые колебания" - это такие колебания, которые совпадают с колебаниями циклоидального маятника, чем меньше амплитуда, тем сильнее совпадают, тогда для них можно использовать эту формулу.
Боже мой! Я только сейчас узнал о существовании циклоиды поражён её свойствам th-cam.com/video/6KLAbvaw2Tk/w-d-xo.html
А в других источниках говорят, что целью Гюйгенса было нахождения кривой, которая "корректирует" маятник, чтобы тот имел постоянный период колебаний. Этой кривой оказалась циклоида. Поезденее Ньютон установил, что для сферического поля тяготения этой линией является эпициклоида.
Если в школе читать внимательно, то в учебнике написано, что формула приближённая и хорошо подходит для малых углов колебаний
Насколько я помню, то в школе говорили, что шарик на нитке считается математическим маятником только при малых углах колебания. Т.е. дело не в формуле, а в определении математического маятника.
Спасибо. Очень вовремя и качественно проведена работа.
Удачно зашел на канал
Чуть раньше был видосик про Рика огурчика - ваще бомба. Если не смотрели, советую)
Как всегда, очень интересно 👍👍👍 спасибо большое
Спасибо за видео! По поводу названия можно добавить, что в школе приближение применяют при выписывании дифф.уравнения, а потом не проговаривают, что точное решение "близкого" уравнения само является "близким" к решению исходного уравнения.
Спасибо!
спасибо. Очень интересно )
Ждал этого видео сразу после рассказа о эллиптическом интеграле. А теперь, если можно, расскажите о функции фи(t) для математического маятника и эллептическом синусе.
Эллептический - от Элле в Изумрудном городе 😄
@@alexandermorozov2248 Это сокращённое выражение, от «эпилептический интеграл». Разве вы таких не знали? В Изумрудном городе они подстерегают вас на каждом шагу. 🙂
Интересная тема, спасибо
Да, еще пару степеней свободы добавить, так и до ТММ недалеко
@@alexandertyomin1808 «так и до ТММ недалеко» Пожалуйста, для меня и всех нас, несведущих, не употребляйте акронимы или хотя бы расшифровывайте их. Что за TMM такое?
В школе берут значение периода, округляя сумму ряда до первого, наиболее значимого члена ряда. Спасибо за интересное видео.
В школе ее вообще не выводят - а принимают готовую - потому что вот. А получить ее можно только решиф диффур, чем школьники не занимаются.
@@Ihor_Semenenko Это не совсем так. В школе этот диффур (конечно, в линейном приближении, только для малых колебаний, и вообще скорее для грузика на пружинке) решается методом физической аналогии. С круговым движением по инерции. В школе этого многие не понимают. Одним кажется, что эта аналогия вообще ни при чём, другие усматривают в этом какой-то обман, нестрогость, что-то такое. Впрочем, я плохо знаю, как изменились учебники. Возможно, вы говорите о других учебниках, где этого нет. Тогда жаль.
Численные методы интегрирования входят в чат))
Так максимальеый угол же pi/2, если взять больше то у нас не будет натяжения и груз будет просто падать. Пол угла при этом pi/4, поэтому k даже приблизиться к 1 не может.
Что касается зависимости периода от начального положения маятника. А существует ли ТОЧНОЕ (выраженное через фундаментальные математические константы) значение эллиптического интеграла для каких то определенных значениях начального угла? Ну скажем если phi =90°? (k²=½)
неа, только K(0)=п/2 и K(1)-> бесконечности :) но это здесь не поможет
еще несколько значений выражаются через значения гамма-функции.
Сильно!
Занимательно. Надо запомнить.
Эта формула действует только для математического маятника, т.е. это такой ниточный маятник, в котором масса нитки пренебрежима мала, а воздух откачен (вакуум, сопротивление окр. среды пренебрежимо мало). Такой маятник практически не останавливается. Вообще математических маятников в природе очень мало, произвести их - дорогое удовольствие. Однако если делать маятниковые часы с ниточным маятником, то это должен быть именно математических маятник.
Для более высоких углов есть дифференциальное уравнение падения маятника, там уже нужно использовать гиперболические синусы и косинусы, результат точнее будет
Практически любая наука на бытовом уровне строится на простых, доступных для понимания, но неверных суждениях.
Мой преподаватель по сопромату учил нас, что инженерная точнось составляет 10%.
Если теория уложилась в 10% от практики - значит её для реальной жизни хватает.
Тот же преподаватель поставил 3 балла моему другу только за то, что в курсовой работе вычисления писал все 10 цифр с калькулятора. За полное непонимание предмета.
Сами понимаете - нестыковка с 10% точностью.
Другой преподаватель принципиально всё считал на логарифмической линейке. Результат меня впечатлял.
Спасибо
Раз пошло такое дело, расчехляем дельта-функцию Дирака, дабы корректно описать точечное воздействие и пространственно распределение массы груза. Внесем в эстетику спецфункции нотку шарма обобщенных функций!
Да без проблем. Только так и надо. Кроме шуток, это как функция свёртки, при интегрировании всё сведётся к настоящим традиционным функциям.
увидел новую формулу периода колебаний и подумал, как же было прикольно изучать школьную фзику
Very good thankyou
В школе выводят формулу через второй закон Ньютона и там получается уравнение типа x''=-k*sinx. А у вас через закон сохранения энергии, и получилось что один раз уже проинтегрировали. Но исходное уравнение второго порядка тоже полезно отметить: если заменить sinx на x, получается гармоническое уравнение.
да, но у меня только с периодом тут получилось длинное видео. Не всё сразу :)
только k²
Такой разбор задачи уже есть в следующей книге: Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц Теоретическая физика, Том 1: Механика; М. : Издательство "Наука" главная редакция физико - математической литературы, 1973, С. 39, задача 1 (прошу прощения за кривоту ссылки)
у меня на 41странице в издании 1988г :) но, согласитесь, что в видео значительно подробнее. В книге - это задача и там 5 строчек всего :)
Такое есть и в Сивухине первом томе :)) Общая физика.
@@Hmath Да, я с Вами соглашусь. У Вас во много раз подробнее)
Я смотрю ролики на Вашем канале, ибо мне нужна математика для понимания теоретической физики. Я студент - физик. Самое известное мне изложение теоретической физики - это 10 томов теоретической физики Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица. Там много математики.....
У Сивухина она также есть, но зная, что его курс общей физики содержит много элементов теоретической физики, то я этому не удивляюсь).
Красиво
Теперь можно ввести следующее уточнение: величина g зависит от высоты, и для очень длинных маятников g не будет константой и также будет зависеть и от начального, и от мгновенного угла фи 😉
Отлично! Ещё бы увидить вывод уравнения поверхности жидкрости в вихревой воронке (с граничными условиями на вкус автора - "на поверхности океана" или "в стакане") - сколько раз задумывался, всегда стопорился на матмодели процесса
Решал как то эту задачу для стакана, будучи студентом. Поверхностью вращения будет параболоид
@@sanek711 такая задача была на физтехе, не помню в каком году. Там вроде не силтно сложно это выводить( я диффур составлял, но можно без него, наверное)
Классная идея и классная задача. Поддерживаю. Вот, говорят, слишком просто. Тогда может не попасть в жанр этого канала. Ну, если автору это недостаточно интересно, усложнить-то всегда можно. Например: можно рассмотреть спонтанное развитие воронки при открывании пробки в ванной, это уже гораздо сложнее. Заодно можно рассмотреть пресловутое влияние вращения Земли на возникновение воронки, как это определяет направление вращения.
А может, тогда и кумулятивную струю рассмотреть? («А не замахнуться ли нам на Вильяма, понимаете ли, нашего Шекспира?» 🙂)
Ура!!! Даёшь Арифметико-Геометрическое Среднее!
По той части видео, где рассматривается погрешность, было бы неплохо сделать привязку к углу колебаний в серийно выпускавшихся маятниковых часах, а затем сравнить с документацией об их точности. Тем самым получился бы ответ на вопрос, является ли отклонение от школьной формулы пренебрежимо малым или, наоборот, существенным для правильного описания хода таких часов.
В часах вынужденные колебания - правая чатсь уравнения не коснтанта, а будет иметь функциональную зависимоть. То отдельная тема - вынужденные колебания - то же интересная.
@@Ihor_Semenenko По-хорошему, даже не вынужденные колебания (которые происходили бы под действием зависящей только от времени, но не от координат и скорости маятника, внешней силы), а автоколебания.
На самом деле, тут сперва нужна физическая оценка, насколько справедливо считать маятники серийно выпускавшихся часов математическими. Может быть, их нужно считать честно, по физике твёрдого тела.
Теперь нужно подсчитать погрешность в случае, если для расчётов брать ещё один член ряда.
А можно что-нибудь по аналитической механики? Лагранжиан или механику Гамильтона разобрать, был бы интересно
у меня все-таки пока по математике канал :) не каждое видео будет теперь по физике :)
@@Hmath а можно тогда видео) по тензорам) а то на просторах русскоязычного ютуба не так много видео)
@@Hmath Саму теоретическую механику (аналитическую механику) можно рассматривать как часть математики, а не как отдельную дисциплину. Это вопрос традиции. По аналогии: курс под названием «уравнения математической физики» читает почему-то кафедра математики, а не кафедра физики, а вот для аналитической механики может быть отдельная кафедра. Это просто исторически так сложилось. А физики в урматах не меньше, чем в аналитической механике. Сам фокус на слове «уравнения» а не «физика» выражает саму суть математики, и далеко не только прикладной. Это выражение принципа, который с точки зрения физиков формулируют как «одинаковые уравнения - одинаковые решения».
С другой стороны, аналитическая механика, как ни странно, не обязана рассматривать чисто механические задачи. Что-нибудь вроде колебаний в электрической цепи прекрасно охватывается именно аналитическом механики, у неё подход такой - отвлекаться от физической природы описываемых явлений и сосредотачиваться на их структуре: нормальные координаты, для колебаний собственное решение, фундаментальная частота, гармоники. Слово «механика» в выражении «аналитическая механика» чисто условно.
Теория автоматического регулирования строится на аналитической механике, а это уж точно не механика в физическом смысле слова. Когда эту теорию развивали, практика уже вышла за пределы чисто механических систем типа регулятора Уатта (граммофон, дисковый номеронабиратель). Аналитическая механика это вообще такая область, которая позволяет решать задачи, где густо перемешаны элементы разной физической природы. Хороший пример: все эти игрушки на тему динамического хаоса: они выглядят как механические, но реально у них есть и простой электронный элемент с батарейкой, для подталкивания системы. Это типичный пример объекта аналитической механики, когда механическая и электронная часть должны рассматриваться как единая система.
Я настаиваю, что и теория музыкальной гармонии выводится из аналитической механики, а не «акустики», как традиционно учат музыкантов. Акустика там дело десятое и даже сотое, а вся суть именно в аналитической механике и теории колебаний в абстрактном смысле. А музыкантов просто учат другие музыканты, которые сами механики и математики не знают, вот и талдычат и мифической «акустике». И так далее...
Очень крутое видео) гораздо лучше чем решение абстрактных задач.
Бесконечный период у угла маятника 180 градусов это потому что он навечно останется в этой точке) Хотя всегда есть минимальное отклонение, но тут все упирается в философию что обе стороны куда он может отклониться равнозначны для математики а значит он не сможет выбрать и будет вечно наверху.
В верхней точке неустойчивое равновесие ;) Но если точку опоры колебать с определённой частотой по вертикальной координате, то маятник может занять устойчивое вертикальное положение. Мы делали такие опыты.
К философии это не имеет никакого отношения - классическая теория устойчивости.
@@alexandermorozov2248 это становится понятно если просто палку на пальце удержать пытаешься ((%
а как вычисляется частота?
@@zloidooraque0 это чудо называется «маятник Капицы», есть статья в Вики. Там довольно сложная теория.
@@kpi6438 К философии всё имеет отношение. Кстати, если говорить о совсем классической теории устойчивости, в ней, несмотря на всю её несомненную ценность и всех этих поляков в правой части самолёта (кто знает, тот понял) есть одно слабое место: игнорирование неустойчивого движения, это как бы область за пределами.
Если мы говорим о численном значении периода, а не в виде букв - то мы точного значения и не знаем - число π мы знаем с некоторой точностью.
При fi0=π - у нас будет положение равновесия - с т.з. математики тогда период как раз будет равен бесконечности.
NB: когда игрался в численные методы решения как раз математического маятника (в бытность студентом оценивал погрешность приближенного метода и "точного" речениня методом Рунге-Кутта), в ступор попал, когда задав начальный угол в 180° получил прямой график.
В физике нет точных чисел, везде есть погрешности. Не понимаю, причем тут пи, мы буквально знаем триллионы (а скоро и квадриллионы) знаков после запятой у пи, мы можем поставить число пи на линейке с абсолютно такой же точностью, как 1 или 2, и точно также можем замерить пи секунд секундомером, как 1 или 2.
Может быть потому что комп считает что он так и останется наверху, от этого и бесконечный период если я правильно понял.
@Ihor Somenenko
Или я не понял твоего комментария , но если углом "отвода" считать угол между состоянием покоя и отведённым положением , то легко убедиться , что если он равен 180⁰ ты просто поднимешь груз вверх
@@chesscat553 ага, чисоенно решал диффур вида f''+ sin f = 0
А в верхней точке по условию ускорение равно нулдю ,а синус 180° тоже равен нулю, и при расчете получаеться нуль всегда.
@@user-uu4eo4zt9c Именно - и если не дать ему небольшого мещения, то он в состоянии почти "равновесия" будет, пока не отклонить будет покоиться. Т.е. логично что периода у такого движения нет - потмоу ка это ситуация апериодического движения - именно потому в формуле периода и будет деление на нуль - т.е. период ка бы бесконечный.
11:07
Какой угол фи0 ,равный pi?
Если фи0 больше pi/2,нить не будет натянута,и шарик рухнет.В моем понимании, фи0 в пределах от нуля до pi/2 должен быть.Точнее от - pi/2 до pi/2, если 3ю и 4ю четверть рассматривать
маятник бывает с жестким стержнем - тогда не рухнет вниз и начальный угол может быть больше п/2. Об этом говорю в видео и здесь уже писал в комментариях. В любом случае это же математическая модель. Отрицательный начальный угол нет смысла рассматривать - задача полностью симметрична и период очевидно будет такой же, как и при соответствующем положительном угле.
@@Hmath Просто в начале видео задача была сформулирована как невесомая нить,и я исходил из этого.
аа, да, я такое сказал. Но я там сказал еще, что вроде как это известная модель и перечислять все допущения не буду. Но потом в конце, где говорил про начальный угол больший п/2, я специально акцентировал на этом внимание.
@@user-cp3vc4ho9g Не просто невесомая, но еще и не растяжимая. Ведь нагрузки разные будут при большом отклонении маятника
Будет видео с рассмотрением уравнения движения такого маятника? Так до термеха доберёмся)
Ответ на поставленный автором вопрос:
При k = 1 у нас E полн = 0, т. е. маятник будет в как будто в неустойчивом равновесии. Что, на самом деле, очень забавно.
11:07 "Ни о каком периоде не можем говорить". Как раз, наоборот - можно говорить о любом периоде. 😂 То, что не меняется, повторяется через любой промежуток времени.
Я очень благодарен Вам за такое разъяснение и вообще вы всегда очень интересные темы рассматриваете и очень отлично разъясняете да так,что у меня появилась белая зависть к вам.Можете порекомендовать книги для знания физики и математики на таком уровне?😊
да тут нет ничего необычного - всё постепенно приходит с опытом :) по мат.анализу (большинство видео у меня): Фихтенгольц Г.М., Смирнов В.И., Курант Р. - классика, проверенная годами :) (и там много разборов задач в этих книгах)
@@Hmath Да, учебник Фихтенгольца- это глыба! У меня еще от родителей сохранился, издательство 60-х годов, а теперь сын в Монреальском университете на механике учится, так тоже ему частенько показываю, что и тогда вполне приличные книги писали. И даже без компьютеров))) А программа у них по Calculus почти один в один.
Спасибо, а можете больше физических и геометрических задач при решении которых возникают диффуры
Например, про модели движения небесных тел
Например общее решение задачи трёх тел
В моей школе было по-честному: формулу выводили для кругового маятника, там без диффуров. А потом говорили что подвесной маятник при малых колебаниях не сильно отличается от кругового, хотя аргументов уже не помню.
Похоже, вы просто путаете. Никакого упрощения для «кругового маятника» нет. С чего бы это? Почему вдруг «без диффуров»? Какая разница? В школе выводили решение для малых колебаний. Несмотря на то, что колебания малые, решение ещё нужно найти, и уже это за пределами школьной математики. С другой стороны, если решение уже известно, подтвердить, что оно является решением с помощью школьной математики уже можно.
Но в школьно учебнике само решение получали методом аналогии с вращательным движением по инерции, а не маятником, пользуюсь методом физической аналогии. Иначе говоря, это всё то же «давайте искать решение в виде...», но с более наглядным подходом, умеющим физический смысл, а не чисто абстрактным в математическом смысле. Если вы закрутите диск с отмеченной на нём точкой, он будет вращаться по инерции (а не колебаться), но положение проекции этой точки на какую-либо ось будет изменяться так же, как положение грузика маятника для малых колебаний.
@@Micro-Moo Для получения периода кругового маятника диффуры не нужны. Ну, правда, если верить на слово в правильность формулы для центростремительной силы.
@@jewgenijmoldawski3306 «Верить»?! Вы, товарищ, из какой Вселенной? Что-то вы путаете. Если вы думаете, что я ошибаюсь, опишите этот ваш маятник исчерпывающим образом.
А можно теперь теорию упругости (или просто мдтт), без пренебрежения производными втрого порядка и тд?
Есть ещё точная формула периода, с квадратичной сходимостью для любого угла максимального отклонения, обсуждается на страницах сентябрьского выпуска журнала «Заметки американского математического общества» 2012 года
почти уверен, что это та же самая формула, только сразу указан способ нахождения значений эллиптического интеграла через арифметико-геометрическое среднее. Раз есть слова про "квадратичную сходимость" :)
ясно, я в 11 классе, хотел просто узнать, почему такая формула, думал будет легко. Теперь я понял, что понять не суждено
Очень крутой ролик!
А будет ли что-нибудь про цепные дроби?
А почему на 11:10 при k=1 интеграл расходится ?
подставте k=1 (верхний предел в интеграле будет пи). Получится элементарный интеграл 1/cos(x/2), его можно найти (получится логарифм) и при подстановке пи он будет стремится к бесконечности.
График бы еще увидеть T(φo). А также с первой к То поправкой (1/2)^2 * sin(φo)^2.
Формула без синуса верна при длине маятника много большей его амплитуды
g это примерно pi*pi, и тогда T0 это примерно 2*sqrt(L)
11:22 - он будет вращаться по кругу.
Не совсем
Чтобы вращался бы нужно чтобы при угле f0=π у него была бы не нулевая скорость, так как в нашем примере мы просто поднимаем шарик удерживаем и отпускаем, то это будет свободное падение , тоесть период стремится к бесконечности
подразумевается, что при начальном угле больше п/2 маятник на жестком стержне должен быть (об этом говорю в конце видео). Мат. модель изначально строится на том, что груз двигается по дуге окружности, а чтобы этого добиться при угле больше п/2, он должен быть с жестким стержнем вместо гибкого подвеса. Иначе конечно в начальный момент он будет просто падать вертикально вниз пока нить не натянется - это уже другое движение.
Интересно, а для пружинного маятника такой же подвох?
Можно проще дойти до этой формулы, если использовать естественный спасибо задания движения
"подумайте, что это означает..." А ты тут для чего?! Объясняй давай!
Тоесть "К" это сумма, формула которой указана в формуле дальше, верно?
K - это функция, эллиптический интеграл (как и сказано в видео). С одной стороны он выражается через интеграл, а с другой в виде ряда (сумма)
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB#%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BD%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D1%8D%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BB_%D0%9B%D0%B5%D0%B6%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%80%D0%B0_1-%D0%B3%D0%BE_%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%B0
Отличное видео. Интересно бы экспериментально подтвердить данную формулу. С учётом сопротивления воздуха и т.д.
А вот для интереса перечислите все факторы которые влияют на движение реального маятника. А то из-за лени никто точно считать не будет, все будут писать и т.д.
@@user-ki6ld7wf8w сопротивление воздуха (для сферы и для нити) как функция скорости. Растяжение (деформация) подвеса как функция скорости и положения. Но тогда траектория уже не будет являться частью окружности. Ну и моменты инерции. Полагаю, реальный маятник - вещь, конечно, интересная. Но с практической точки зрения проще его сперва сделать, а потом измерить период.
Не зря на старых часах с маятником было две гречки для точной постройки частоты.
@@user-vw7of6zw9f И это все факторы? Надеюсь, что вы просто ещё не успели написать :)
@@user-ki6ld7wf8w пожалуй, это самое очевидное и первое что приходит на ум. Дополните, если есть возможность - самому интересно что я упустил.
Посоветуйте, пожалуйста, литературу для изучения функций и дифференциального исчисления, а то огромное количество книг не совсем подробно разбирают такие сложные темы
Базу даст хороший вуз с нормальными преподами, дальше только дело твоего интереса к предмету. Я лично пошел по такому пути, необдуманно поступил в вуз, где разочаровался, но 2 препода по матеше показали мне всю красоту матана, и теперь в другом вузе в маге я изучаю диффуры и электродинамику, где дохрена векторной математики и дифф исчисления, хотя специальность вообще не та первая была. Решение интересных задач, изучение каких нибудь математических фактов на просторах инета, просмотр вот таких каналов на ютубе и просто упорство, за этим всем последует результат.
Фихтенгольц три тома. Лучше ничего нет. Но тема в этом видео, на самом деле, тривиальная. Потом можно Арнольда В.И. почитать.
@@physman184
Спасибо большое!
Двухтомник Пискунова лучше всего для начала
@@user-ez7mv5tx2f
Благодарю
Возможно нагляднее было бы записать дифференциальное уравнение колебаний маятника из второго закона Ньютона для вращательного движения м.т. и решить его методом последовательных приближений
Для малых колебаний, то есть для линейного маятника это так. Это традиционный школьный подход, решение методом аналогии с вращательным движением по инерции. Но почему этот подход должен работать и для немалых колебаний, непонятно. Дело в том, что вращательное решение даёт не приближённое, а точное решение для чисто линейной задачи, например, для грузика на пружинке с линейным законом, то есть с законом Гука. Вы не можете перейти к более сложному движению с нелинейностью, потому что для вращения его просто нет.
Так и не дождался школьного обмана, а такая была интрига. Вопрос вот в чем: каким софтом вы пользуетесь, чтобы сделать такие анимированные математические выкладки? Мне понравилась такая наглядная анимация
Похоже на manim
нее, всё "вручную" :) Сначала формулы в MathType, потом создаю картинки для каждого кадра в Photoshop, а потом все соединяю в видеоредакторе (в любом можно делать простые анимации, я с самого начала использовал простой movavi и привык уже) и записываю звук.
Школьная формула она для длинного маятника и небольших отклонений.
Как бы есть формулы приближенного вычисления основанные на том факте, что синус малых углов равен самому углу с большой точностью (чем меньше угол, тем больше точность). А т.к. в реальной жизни веревка с грузиком быстро выходит на те самые малые углы, эта кишка К быстро стремится к единице и практического смысла не имеет.
тогда и вся эта модель (в которой не учтено трение) не имеет практического смысла: что малые углы, что немалые.
Я в бешеном восторге! 👍
Будет очень круто, если Вы и далее будете развивать подобного рода тематику. Образцово изложенный материал!
Да. Забавно. И одно маленькое замечание и одна смешная задачка. Замечание: ну как и с яйцом надо же было что-нибудь подвесить и сравнить теорию с экспериментом )))). Задачка (для школьников). У Бивиса и Батхеда (это такие два не умных подростка) был грузик на пружинке. Бивис оттянул пружинку и смотрел на колебания вверх-вниз. А Батхед -на колебания маятника : оттянул грузик немного вбок и начались малые колебания как у маятника. А у кого преиод польше : у Бивиса или у Батхеда? Не олимпиадные школьники не могут решить ))))
Давайте в рамках уравнений математической физики в таком случае
Оставалось совсем чуть-чуть до элиптических функций Якоби.
Помню, в школе как-то приближенно решали, находили второй член в формуле для периода
Внимание вопрос, к тем, кто сможет или внятно ответить или сослать на какие-либо труды: каким образом ведёт себя зависимость периода от начального положения в случае пружинного маятника? , и что интереснее, в случае колебательного контура?
В пружине и колебательном контуре от амплитуды период не зависит, тк в их моделях получается x'' - wx = 0 без приближений. В математическом маятнике x'' - wsin(x) = 0, что при малых x приближают к x'' - wx = 0.
Если говорить, про физические модели, где учитываются пределы упругой деформации, то тут уже помочь не могу.
Автору спасибо! Кликабельность заголовка должна быть, куда ж деться. А по существу ‐ хорошо изложили. Хотя это все грамотным людям известно с институтской скамьи, но повторить очень полезно. А кому-то и откровением будет. Manim используете для анимации формул?
нее, анимации "вручную" :) Сначала формулы в MathType, потом создаю картинки для каждого кадра в Photoshop, а потом все соединяю в видеоредакторе (в любом можно делать простые анимации, я с самого начала использовал простой movavi и привык уже) и записываю звук.
Очень странно, что простейший маятник не использовался в качестве метронома для точного определения темпа музыки.
После уравнения Лагранжа второго рода так не хочется выводить это уравнение школьными методами((
Просто в школе это рассказывают тогда,когда ни о интегралах,ни о производных дети еще не в курсе.Что кстати странно.
Будучи учеником 10 класса я постарался понять, но безуспешно...
При k=1 маятник находится в положении равновесия наверху
А можно побольше пожалуйста про применение матеши в теоретической механике
Спасибо
Уравнение Лагранжа второго рода вам понравится))
))))))))) Весь теормех - это математика, по сути товарищи Ньютон и Лейбниц изобрели дифференциальное исчесление как раз для объяснения законов движения. В теормехе от физики - почти ничего.
@@canis_mjr С козырей сразу )))
@@Ihor_Semenenko я с пол года назад с маятниками разбирался, при помощи уравнения Лагранжа второго рода вывел с десяток уравнений разного рода маятников, просто песня.
@@canis_mjr вы только уточните - что уравнение Лагранжа II-рода, потому как есть и первого.
Но там более сложный понятийный аппарат нужен - по сути в политехаха весь курс теормемеха - это подводка у этому уравнению.
в школе всегда все врут и скрывают правду от школьников. это заговор учителинойдов.
... и учителозавров!
Бедные школьники которым раскрыли секрет и они в 8 классе решали производные и интегралы
@@vladimirsmirnov8463 Учитилезавры вымерли в результате заговора учителиноидов. Правду скрывают от всего народа, а сами тайно делят на нуль в своих подземных лабораториях.
Браво! Кем вы работаете?
Что то не так. При Вашем выборе систему координат при отклонении на 90° нач энергия ноль. За счет чего тогда совершается движение. Хотя, выбор начало отсчета потен. энергии, не должен имет значение
вы же сами ответили на свой вопрос: выбор системы координат не влияет. Если угол меньше 90° - энергия вообще отрицательная. В данном случае главное, что она сохраняется и всё.
А если ещё и учесть изменение g от высоты? 😅
Хорошее видео, единственное, что смущает это очевидный кликбейт в названии. Некорректно называть эту формулу «обманом», она верна лишь при определенных условиях. Это очень распространённый способ рассуждений в физике. Без него не было бы ньютоновской механики и нам всегда бы пришлось пользоваться релятивистской, что привело бы к значительному усложнению физических моделей, как следствие развитие физики бы замедлилось.
я, кстати, ни разу не называл формулы "обманом" :) Обманывает именно тот, кто с потолка записывает "школьную" формулу и ничего не говорит о её применимости: поищите на ютьюбе - море таких видео. Я наоборот сразу в начале сказал, что формула приближенная и дальше будем выяснять насколько именно.
4:02 откуда 3 формула?
если про длину дуги окружности, то из геометрии: угол умножаем на радиус и получаем длину дуги.
@@Hmath а. Спасибо.
Как физика подъехала, так сразу все повылезали.
Логично. Я всё жду, когда подъедут те, которые доказывают, «что физики сами ничего не понимают» и каким-то чудесным образом они же «всех обманывают и скрывают правду». От эфирщиков до плоскоземельцев. Но их больше привлекает скорость света и тёмная материя.
ох, прямо пары теормеха первого курса вуза вспомнились) тут еще можно было бы рассмотреть фазовую плоскость, там занимательная картинка получается. и как раз видно, что возможно еще и другое движение - движение по окружности в плоскости с нормалью вдоль Оу. хотя и без этого объяснение довольно хорошее
Неплохо. Жаль, что к реальности не имеет отношения. В реальности период зависит от массы.
В математическом не зависит
@@megamurzik1387 напомнили мне другие строго доказанные утверждения: * У сферического коня абсолютно чёрное тело. * Сферический конь дышит идеальным газом. * Ржание сферического коня представляет собой одиночную гармонику и распространяется без рассеяния. * Сферический конь пасётся на однородных полях. * Когда сферический конь скачет, его траектория описывается параболой. * Копыта этого коня соударяются с плоской горизонтальной поверхностью абсолютно упруго. * Сферический конь с ненулевой вероятностью выберется из потенциальной ямы, в которую угодил. * Чтобы сесть на этого коня верхом, нужно найти седловую точку. Сопротивление коня в этом случае пренебрежимо мало. * Если смотреть с бесконечно удалённой трибуны, сферический конь представляется материальной точкой. * Задача о причёсывании шерсти сферического коня неразрешима.
@@megamurzik1387 Да не в математическом. Вся суть в тождественности инерциальной и гравитационной массы.
@@Micro-Moo ок, не буду спорить
Просто в школе не умеют решать дифуравнения. Цьому учат только в вузах.
Вы путаете две вещи: формальный метод решения уравнений и уравнение с нелинейностью. В школе не изучают ни то, ни другое, но линейное дифференциальное уравнение всё-таки решают - методом физической аналогии с вращательным движением. А нелинейность вообще не рассматривают, просто оговаривая, что для малых колебаний его можно отбросить.
Здесь играет роль ещё и то, что школьной математики маловато, чтобы формально найти решение, но достаточно, чтобы проверить правильность решения.
@@Micro-Moo я ничего не путаю. Нигде в старших класах школи не встречал решения дифуравнений, Только в техикумах начинают изучать уравнения с оазделяющимися переменными. Для маятника специально оговаривается, что в случае, если синус угла приближенно равен самому углу, то тогда решение этого уравнения имеет простой вид. Если же надо посчитать период колебаний для очень больших начальник углов, то тогда прибегают к численным методам решения
@@cherenkov196 «я ничего не путаю. Нигде в старших классах школу не встречал решения дифуравнений». Правильно. Но вы меня не совсем поняли. В школе решается только движение математического маятника для малых колебаний, или движение грузика на пружинке без нелинейности (закон Гука), и это одно и то же. Но решается оно не в форме формального дифференциального уравнение, а в форме физической аналогии, при этом даже само понятие дифференциального уравнения не вводится. Кроме того, я не очень в курсе изменений программ и учебников, возможно, вы этого в школьных учебниках и не встречали. Но это не значит, что этого вообще нет.
Если дифференциальное уравнение колебаний решается, нужно различать два случая: линейное или нелинейное, последнее получается, если учитывать, что угол не мал.
Теперь согласны?
@@Micro-Moo согласен.
@@cherenkov196👍
Мне ухе больше 50 и уже 45 лет верю что математика это женщина низкой социальной ответственности так как под умным она прогнется а дураку ручкой помашет
И вот Левша в сказке математику незнал а блоху подковал а почему ? Да барин по морде дал и от бутылки отогнал.
Правда блоха потеряла способность танцевать. Вопрос - и нафига он это делал?
Я уже грешным делом подумал, что вы хотите опровергнуть эту формулу. А она не только в школьных учебниках, она еще в учебниках везде по теоретической механике для высшей школы написана))) Мне она всегда казалась какой-то подозрительной))). Хотя, конечно, для "немалых" углов отклонения подобные вещи решаются только численно. Да и вообще в механике, как и в математике очень небольшой класс дифуравнений имеет квадратуры, обычно в курсе дифуравнений они все и приводятся, там не больше десятка классов, если не ошибаюсь. Можно, кстати по дифуравнениям тоже популярное видео сделать, с механическим приложением. Как и это.
Там я обнаружил ошибку в формуле. На 16 минуте ты зря поставил на вернем пределе интегралла пи/2. Верхний предел интеграла тоже меняется в зависимости от фи0.
непонятно о чем идет речь. В интеграле специально была сделана замена переменной, чтобы верхний предел стал равен пи/2. Об этом несколько раз говорю.
@@Hmath зачем специально была сделана замена на пи/2? Ведь верхий предел интеграла тоже меняется в зависимости от ф0
Если sin(ф0/2) это константа, то верхний предел интегралла ф0 это тоже константа, а не пи/2
в интеграле делается замена и пределы интегрирования меняются при замене. как именно они меняются - показано в видео подробно. после замены на верхнем пределе в интеграле будет пи/2.
Советую сначала разобраться с тем, что такое замена в определенном интеграле и как именно она делается, если здесь непонятно. Посмотрите более простые видео с определенными интегралами
У тебя готовый результат Т зависит от ф0. Маятник падает от точки ф0. Значит и интеграл должен быть взят от 0 до ф0 а не до пи/2
А для меня был удивительным тот факт, что период колебаний не зависит от массы груза. Может все-таки зависит?
Он удивителен, пока не понимешь, что колдебания происходят под действие силы тяжести, а значит масса она с обной стороны влияет на период, но сдругой стороны тоже влияет и ее суммарны эффект будет равен "0". А вот колдебаняи грузика на пружине - уже будет влиять масса.
@@Ihor_Semenenko С маятником вся суть в тождественности инерциальной и гравитационной массы. С грузиком на пружинке - гравитация не участвует.
Потенциальная энергия маятника в самом нижнем положении равна нулю. Потенциальная энергия связана с высотой объекта относительно точки отсчета, и в самом низком положении маятника высота равна нулю. Таким образом, потенциальная энергия тоже будет равна нулю.
намного более актуальными является условия при которых влияние среды значимо. найдите пожалуйста поправку для атмосферы, х.б. нити и, например, стального и деревянного груза на разной длинне подвеса
1:14 тогда уж во всех физических законах нужно поменять знак равенства на знак приближенного равенства, ведь в любой физической задаче не учитывается множество реальных факторов и вводится ряд некоторых допущений.
это совсем о другом. Одно дело соответствие математической модели физической реальности, а другое - неточность в рамках одной и той же математической модели.
В школе в лаборатрной работе по физике учительница поставила мне 2, за то, что я написал про зависимость периода от амплитуды и высмеяла перед классом. Выходит, я был прав )))
Разочарован таким неправильным рассуждением! Автор, а кто будет учитывать релятивистские эффекты и изменение ускорения g с высотой?
Дед Пихто. Это ещё что, а тёмную материю вообще ни черта не учитывают. Недоработочка.
Это всё известно любому интересующемуся студенту вуза. А в школе НЕ ОБМАНЫВАЛИ! Там уточняют заранее что речь у них идет лишь о МАЛЫХ колебаниях, когда угол ~ синус(угол).
Вы же математик? тогда ЗАЧЕМ устраивать "хайп" на уже известном? У вас просто получилась образовательная лекция, расширяющая знания учеников и простых людей с образованием...
Я в гимназии, и нам даже такую формулу не давали. Только на контрольной дали задачи с этой формуллй, от чего в афиге были все классы из паралели
Эта формула справедлива только для идеального маятника, и для колебаний малой амплитуды. Ещё следует напомнить ниспровергателю, что любая формула есть приближенное описание реального процесса. Мне такое а школе говорили. Ниспровергатель, наверное этого не слышал.
А кто такой "ниспровергатель"? :) об этом ничего не было в видео. Какая формула для "идеального маятника"? Видео о математическом маятнике - известная физическая модель.
@@Hmath Ладно, пусть в видео не было, но за кадром точно кто-то из них прятался. Главное, что такие ниспровергатели есть в природе. Просто ваш канал их не так привлекает. Вы скорость света вверните в заголовок, сразу набегут. Или тёмную энергию, или, на худой конец, чёрную дыру. Ну лучше всего - деление на нуль или «нуль это число», тогда будет плотная колонна ниспровергателей.
Вы описываете вполне реальный образ ниспровергателя. Но вашим рассуждением такого ниспровергателя не проймёшь. Он слышал. Дело в другом. Там, где вы видите абстрагирование от нежелательных усложнений и, скажем. теорию возмущений, он видит обман «официальной науки». Учёные, с его точки зрения, «всё скрывают». Удивительным образом, они же «сами ничего не понимают».
Ну да давайте говорить, что в школе обманывали. Там же точно могли давать на уроках элептические интергралы. И углы ни в коем случае не должны быть малы, чтобы забивать на сопротивление воздуха. В школе врут, а автор гений. Все так
силы трения нет но на движение маятника действует сила сопротивления воздуха. следовательно стоп. предпосылки должны быть верны. если бы препятствующие силы были нулевыми тогда бы движение маятника было бы вечным. но этого нет. формулы неверны
это просто означает, что вы не поняли условие задачи.
@@Hmath я понял условия так - силы действующие на маятник равны нулю.
ну по сути когда ответ пишешь, все равно округляешь. в физике же пи оставлять в ответе некрасиво
Для неучей и аналитическая механика некрасиво, и безразмерная мера угла это вообще порнография. 🙂
Я дико извиняюсь, но... потанцивальную энергию выражать через ординату? тогда, если поднять шарик до уровня у0 = 0, потанцевал будет нулевой и общая энергия будет равна нулю. Отпустив из этой отметки шарик, мы должны будем увидеть, как шарик остался в состоянии покоя. Но, вот чудеса! Он ПАДАЕТ!!! То есть увеличивается его кинетическая энергия за счёт уменьшения...какого чёрта? Энергия возникает из ниоткуда?! Или...О да, детка, мы только шта доказали существование тёмной энергии!!!
Вы исходите из убеждения, что энергия имеет некоторое мистическое свойство быть всегда положительной. А между тем - это просто константа, которая сохраняется при движении в данной системе и этим фактом можно воспользоваться для решения.
Он ПАДАЕТ из-за того, что на него действует сила тяжести.
В нижней точке потенциальная энергия отрицательная при данном выборе системы отсчета и, о чудеса, отрицательное число меньше нуля! А значит потенциальная энергия становится меньше, чем была в начальный момент.
@@HmathНе хочу показаться грубым, но...в таком случае можно и массу считать "просто константой", а чего мелочиться - ты, я , все люди - просто константы, тогда может быть и минус один человек и т.д. Ну, существует где-то минус один человек и ладно. Я про физический смысл знака "минус". Например, у скорости знак минуса указывает на обратное направление. Всё-таки речь в задаче о физическом явлении, физической характеристике. Если мы берём "энергию" со знаком минус, а не просто вычитаем, потому что она уменьшается, то, по-моему, должен быть физический смысл отрицательной энергии.)) Кстати, в данной системе сохраняется полная энергия маятника, кинетическая же и потенциальная - увеличиваются(по модулю), исходя из того самого "физического смысла!)
P.S. Извиняюсь за занудство, просто мысля в голове покоя не даёт.
в чем вообще тогда смысл термина "физический смысл"?
масса тоже константа, но положительная, на то есть причины. Энергия в механике легко может быть и отрицательной, от этого ничего не изменяется, уравнения движения системы будут точно такими же.
Вот вы предлагаете сделать, чтобы у маятника обязательно была положительная энергия, т.е сами выбираете за нулевой уровень какую-то определенную точку, но почему именно такую? чем она хуже или лучше других с "физической точки зрения". И если у меня есть маятник на 10 этаже и на 1-ом этаже, то они по разному двигаться будут? Т.е выбор точки отсчета потенциальной энергии будет влиять на уравнения движения?
Вообще, книга "теор. физика. том 1. Механика. Ландау" вам в помощь. 19страница: "потенциальная энергия есть величина, определяемая лишь с точностью до прибавления к ней произвольной постоянной, такое прибавление не изменило бы уравнений движения"
Чушь. В формуле на 4:30 .. 4:45 надо ставить векторную скорость, а заодно определиться и с вектором для потенциальной энергии, и тогда получите классическую формулу.
Чушь! это и есть классическая формула. Вектор скорости направлен по касательной - это любой школьник и так знает. Только к чему это? Кинетическая энергия зависит от квадрата модуля скорости. Потенциальная энергия не является векторной величиной по определению.
вектор для потенциальной энергии это сильно конечно
@@user-yn7ue1lk6u Это вектор в торсионном поле - очевидно, стыдно такого не знать.
@@user-yn7ue1lk6u Конечно, сильно. «Официальная наука» публично говорит только о модуле потенциальной энергии, а векторные компоненты «скрывает от народа». Чтобы не раскрыли их заговор против человечества.🙂