*Wenn ihr das Gefühl habt, eurem Gehirn würden solche Trainingseinheiten aus der Geometrie definitiv öfter gut tun, dann schaut doch mal in dieser Playlist vorbei:* th-cam.com/play/PLW6pxDxlBvBlZz_IFUOSYbJ4k0Y-qRLdX.html *PS: Und wenn ihr wen kennt, der/die in Mathe ein bisschen Unterstützung braucht - schickt ihn/sie gern für eine Probestunde vorbei! Das "Magda liebt Mathe-Team" hat Verstärkung bekommen und wieder freie Plätze für neue Nachhilfeschüler/innen! **www.magdaliebtmathe.com/angebote* ❤
Liebe Magda, vielen Dank für die schönen geometrischen Aufgaben. Man lernt, genau hinzuschauen und muss gut nachdenken. Wie immer, super von dir erklärt!
Whooo cool. Das mit der Rotation von 30° und der Fläche von 1/3 kannte ich noch nicht. Auch die Formel für ein gleichseitiges Dreieck ist neu. Ich habe mit Pythagoras die Hälfte berechnet, also die Höhe. Das große Dreieck hat 27 Teile. Also mal 12/27. Schon wieder was gelernt. Danke
😋😋😋😋 Du siehst ja im Video immer nur den besten Lösungsversuch. Rate mal, wie lange ich manchmal an den Aufgaben sitze, bis ich die Lösung habe. Hahaha! 😝
Wie macht man es geschickt? Schneiden wir doch mal als erstes die Ecken vom großen gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge √27 = 3√3 ab. Dan bekommen wir ein regelmäßiges Sechseck der Seitenlänge √3. Das hat den Flächeninhalt A = 3√3a² / 2 = 9√3 / 2. Wenn wir jetzt noch wissen, dass die kleinen weißen gleichschenkligen Dreiecke genauso groß sind wie die kleinen gelben gleichseitigen Dreiecke und das gelbe Sechseck sechsmal so groß, dann wissen wir, dass der Stern einen Anteil von 12/18 = 2/3 an dem Sechseck mit Seitenlänge √3 hat. Und damit eine Fläche von A = 3√3 = √27 FE.
Ein gelbes Dreieck hat 1/3 der Fläche des weissen Dreiecks. Ein gelbes Dreieck besteht aus 9 kleinen gelben Dreiecken, der gelbe Stern (Zufall oder nicht?) enthält 12 davon. Der gelbe Stern umfasst also 1/3 * 12/9 der Fläche des grossen Dreiecks = 12/27 = 4/9 der Fläche des weissen Dreiecks. Fläche des weissen Dreiecks = s²/4 * √3 = 27/4 * √3 Fläche des gelben Sterns = 4/9 * 27/4 * √3 = 27/9 * √3 = 3√3
Lösung: Der gelbe Stern besteht aus 6 inneren, kleinen gleichseitigen Dreiecken und 6 äußeren, kleinen gleichseitigen Dreiecken. Unten links das Dreieck ist rechtwinklig, denn die kurze Kathete ist doppelt so lang wie die Hypothenuse und zwischen der kurzen Kathete und der Hypotenuse ist ein Winkel von 60° von dem großen, gleichseitigen Dreieck. Das ist dann das berühmte rechtwinklige Dreieck 60°, 90°, 30°. Die lange Kathete dieses rechtwinkligen Dreiecks ist dann: √[(2/3*√27)²-(1/3*√27)²] = √[12-3] = 3 Die Seite s eines kleinen, gleichseitigen Dreiecks ist dann 1/3 dieser langen Kathete: s = 3/3 = 1 Die zugehörige Höhe h ist: h = √[s²-(s/2)²] = s/2*√3 = √3/2 Die Fläche eines kleinen gleichseitigen Dreiecks ist dann: 1/2*1*√3/2 = √3/4 Die gelbe Fläche ist dann: 12*√3/4 = 3*√3
Anderer Lösungsweg: Die zwei seitlichen Zacken des Sterns ergänzen den Rest des Sterns genau zu einem Rechteck. (Man kann die seitlichen halbieren und die Teile verschieben) Das resultierende Rechteck hat als Grundseite x = 1/3 * √27= √3 Länge. Die andere Seite y ergibt sich aus Pythagoras des anliegenden Dreiecks y²+(√3)²=(2√3)² => y²=4*3-3=9 => y=3 Die Fläche des Rechtecks somit A=√3*3=√27
Bestimmt nicht geschickt, doch das ist unwichtig, entscheidend ist nur: Das Ergebnis ist richtig. Daher hier mein mutmaßlicher Alternativvorschlag (mutmaßlich, weil ich das Video noch nicht gesehen habe): Die Spitzen des Weihnachtssterns teilen die Seiten des äußeren Dreiecks in drei gleichlangeTeilstücke mit einer Länge von a = (√27)/3 = √3. An den Mitten jeder Seite des äußeren Dreiecks schließt der Stern mit diesem jeweils ein kleines weißes gleichschenkliges Dreieck mit den Winkeln 120° und 2x 30° ein. Die eine Seitenlänge ist a, die andere Seitenlänge s ergibt sich über den Cosinussatz: a² = s² + s² - 2s²cos(120°) = 2s² - 2s²*(-1/2) = 2s² + s² = 3s² ⇒ s = a / √3 = 1 Die Fläche des Weihnachtssterns besteht aus 12 gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge s. Somit sollte die Fläche des Weihnachtssterns folgenden Wert haben: A = 12 * (√3 / 4) * s² = 3√3 = √27 Na, das ist ja mal eine weihnachtliche Überraschung.⭐
Peter Volgnandt ich bin einen etwas anderen Weg gegangen. Also der gelbe Stern besteht aus 12 kleinen Dreiecken. Hast du ja schon eingezeichnet. Dann fehlen zum großen Dreieck, wenn man weiter zerlegt noch 15 weitere Dreicke, gibt insgesamt 27 Dreiecke. Komisch. Der gelbe Stern entspricht so einem Anteil von 12/27 des großen Dreiecks. Das dann mit dem Flächeninhalt des großen Dreiecks multipliziert und man erhält die gewünsche Fläche. Eine wunderschöne Aufgabe Gratuliere dir.
Danke, Peter! Habe auch eine Weile getüftelt, bis ich das Sternchen und die zahlen soll schön konstruiert hatte 😃. Man könnte auch sagen, „komponiert“ hatte 🤩. Das macht richtig viel Spaß!!
@@magdaliebtmathe Ich hätte auch nicht alle zählen müssen, sondern mich mehr auf die Aufgabe von vor 12 Tagen konzentrieren solle, die du uns gestellt hast. Also da war das grüne Dreieck 1/3 des großen. Das grüne Dreieck zerleg ich in 9 kleine und die entsprechen 1/3, das heisst eines ist 1/3 durch 9 gleich 1/27 vom großen. Jetzt legt man ein zweites grünes Dreieck darüber, so dass drei kleine Dreiecke drüber schauen. Das sind dann im Stern 12 Dreiecke und nach dem Dreisatz macht dies 12/27 des Großen. (Nannten meine Kollegen "Lineare Propotionalität", aber da bin ich altmodisch). So und dann multiplizieren wir das mit der Flächenformel, die du am Anfang angegeben hast und voila dann haben wir's. Könnte man übrigens ein schönes Puzzle für Kinder machen können. Ein paar von den kleinen Dreiecken liegen sozusagen halbiert vor.
@@fahrrad1950 Jaaa! Oft bauen die Videos aufeinander auf 😃🍀. So ist das in Mathe 😋. Und die Kongruenzen sind tatsächlich wie kleine Zaubertricks für Kinder. Habe ich immer gern mit den Kleinen gemacht, als ich noch vor Ort in einer Schule gearbeitet hab 🧚🏻♂️.
Lösbar, auch wenn man nur mit Pythagoras arbeitet. Aber ziemlich unschön und man kann nicht so "einfache" Zahlen schreiben, sondern muss mit Dezimalstellen arbeiten und das Ergebnis ist auch nicht so schick... Also gut, die Tipps vereinfachen das schon ziemlich :)
*Wenn ihr das Gefühl habt, eurem Gehirn würden solche Trainingseinheiten aus der Geometrie definitiv öfter gut tun, dann schaut doch mal in dieser Playlist vorbei:* th-cam.com/play/PLW6pxDxlBvBlZz_IFUOSYbJ4k0Y-qRLdX.html *PS: Und wenn ihr wen kennt, der/die in Mathe ein bisschen Unterstützung braucht - schickt ihn/sie gern für eine Probestunde vorbei! Das "Magda liebt Mathe-Team" hat Verstärkung bekommen und wieder freie Plätze für neue Nachhilfeschüler/innen! **www.magdaliebtmathe.com/angebote* ❤
Liebe Magda, vielen Dank für die schönen geometrischen Aufgaben. Man lernt, genau hinzuschauen und muss gut nachdenken. Wie immer, super von dir erklärt!
Herzlichen Dank, Klemens!! Und toll, dass du dieses Video jetzt schon entdeckt hast wo es noch „geheim“ ist 😃😃.
Richtig geil - das Ende - WOW.
So schön kann Mathe sein.
Danke für den tollen Fun Fact.
LG Gerald
Jaaaa, sowas lieb ich! Grüße an dich, und natürlich little R! 🤩
Benutzt du im Alltag auch den Genitiv?
Der Dativ ist dem Genitiv sein Tod. Ich hasse den Genitiv 😃.
Genietief in das Wasser weil es für deinen Akku sa tief da tief ist!
@@profdrschweinstaigerfun1623 Du duhumm.
Whooo cool. Das mit der Rotation von 30° und der Fläche von 1/3 kannte ich noch nicht. Auch die Formel für ein gleichseitiges Dreieck ist neu. Ich habe mit Pythagoras die Hälfte berechnet, also die Höhe. Das große Dreieck hat 27 Teile. Also mal 12/27. Schon wieder was gelernt. Danke
Diese Frau ist immer eine Idee schlauer als ich! 😅😀
😋😋😋😋 Du siehst ja im Video immer nur den besten Lösungsversuch. Rate mal, wie lange ich manchmal an den Aufgaben sitze, bis ich die Lösung habe. Hahaha! 😝
Wie macht man es geschickt?
Schneiden wir doch mal als erstes die Ecken vom großen gleichseitigen Dreieck mit der Seitenlänge √27 = 3√3 ab. Dan bekommen wir ein regelmäßiges Sechseck der Seitenlänge √3. Das hat den Flächeninhalt A = 3√3a² / 2 = 9√3 / 2. Wenn wir jetzt noch wissen, dass die kleinen weißen gleichschenkligen Dreiecke genauso groß sind wie die kleinen gelben gleichseitigen Dreiecke und das gelbe Sechseck sechsmal so groß, dann wissen wir, dass der Stern einen Anteil von 12/18 = 2/3 an dem Sechseck mit Seitenlänge √3 hat. Und damit eine Fläche von A = 3√3 = √27 FE.
Klasse Aufgabe. Hätte ich nicht lösen können, mit Flächenformel A= GxH : 2
Ein gelbes Dreieck hat 1/3 der Fläche des weissen Dreiecks.
Ein gelbes Dreieck besteht aus 9 kleinen gelben Dreiecken, der gelbe Stern (Zufall oder nicht?) enthält 12 davon.
Der gelbe Stern umfasst also 1/3 * 12/9 der Fläche des grossen Dreiecks = 12/27 = 4/9 der Fläche des weissen Dreiecks.
Fläche des weissen Dreiecks = s²/4 * √3 = 27/4 * √3
Fläche des gelben Sterns = 4/9 * 27/4 * √3 = 27/9 * √3 = 3√3
Beautiful! Der Waldläufer in seinem Element! 😇😇😇
Wobei ich die Umwandlung zur √27 sehr schön fand. Das hatte ich nicht "gesehen".
Lösung:
Der gelbe Stern besteht aus 6 inneren, kleinen gleichseitigen Dreiecken und 6 äußeren, kleinen gleichseitigen Dreiecken. Unten links das Dreieck ist rechtwinklig, denn die kurze Kathete ist doppelt so lang wie die Hypothenuse und zwischen der kurzen Kathete und der Hypotenuse ist ein Winkel von 60° von dem großen, gleichseitigen Dreieck. Das ist dann das berühmte rechtwinklige Dreieck 60°, 90°, 30°. Die lange Kathete dieses rechtwinkligen Dreiecks ist dann:
√[(2/3*√27)²-(1/3*√27)²] = √[12-3] = 3
Die Seite s eines kleinen, gleichseitigen Dreiecks ist dann 1/3 dieser langen Kathete: s = 3/3 = 1
Die zugehörige Höhe h ist: h = √[s²-(s/2)²] = s/2*√3 = √3/2
Die Fläche eines kleinen gleichseitigen Dreiecks ist dann: 1/2*1*√3/2 = √3/4
Die gelbe Fläche ist dann: 12*√3/4 = 3*√3
Sehr schön gelöst! 💛💛💛
Anderer Lösungsweg: Die zwei seitlichen Zacken des Sterns ergänzen den Rest des Sterns genau zu einem Rechteck. (Man kann die seitlichen halbieren und die Teile verschieben)
Das resultierende Rechteck hat als Grundseite x = 1/3 * √27= √3 Länge. Die andere Seite y ergibt sich aus Pythagoras des anliegenden Dreiecks y²+(√3)²=(2√3)² => y²=4*3-3=9 => y=3
Die Fläche des Rechtecks somit A=√3*3=√27
Bestimmt nicht geschickt, doch das ist unwichtig,
entscheidend ist nur: Das Ergebnis ist richtig.
Daher hier mein mutmaßlicher Alternativvorschlag (mutmaßlich, weil ich das Video noch nicht gesehen habe):
Die Spitzen des Weihnachtssterns teilen die Seiten des äußeren Dreiecks in drei gleichlangeTeilstücke mit einer Länge von a = (√27)/3 = √3. An den Mitten jeder Seite des äußeren Dreiecks schließt der Stern mit diesem jeweils ein kleines weißes gleichschenkliges Dreieck mit den Winkeln 120° und 2x 30° ein. Die eine Seitenlänge ist a, die andere Seitenlänge s ergibt sich über den Cosinussatz:
a² = s² + s² - 2s²cos(120°) = 2s² - 2s²*(-1/2) = 2s² + s² = 3s² ⇒ s = a / √3 = 1
Die Fläche des Weihnachtssterns besteht aus 12 gleichseitigen Dreiecken mit der Seitenlänge s. Somit sollte die Fläche des Weihnachtssterns folgenden Wert haben:
A = 12 * (√3 / 4) * s² = 3√3 = √27
Na, das ist ja mal eine weihnachtliche Überraschung.⭐
1) weißes Dreieck: A = 1/4 * sqrt(27)^2 * sqrt(3) = 27/4 * sqrt(3)
2) gelber Stern = 1/3 + 1/9 = 4/9 des weißen Dreiecks
3) 4/9 * 27/4 * sqrt(3) = 3 * sqrt(3) = sqrt(27) FE, wie die Grundseite - nur eben in FE 🙂
Ist es denn so, dass wenn ein solcher Stern in einem gleichseitigen Dreieck ist, immer die Fläche hat wie die Länge der Seite des Dreiecks?
Nope, das klappt nicht. Versuch es einfach mal mit zum Beispiel der doppelten Seitenlänge. 😉
Peter Volgnandt
ich bin einen etwas anderen Weg gegangen. Also der gelbe Stern besteht aus 12 kleinen Dreiecken. Hast du ja schon eingezeichnet. Dann fehlen zum großen Dreieck, wenn man weiter zerlegt noch 15 weitere Dreicke, gibt insgesamt 27 Dreiecke. Komisch. Der gelbe Stern entspricht so einem Anteil von 12/27 des großen Dreiecks. Das dann mit dem Flächeninhalt des großen Dreiecks multipliziert und man erhält die gewünsche Fläche. Eine wunderschöne Aufgabe Gratuliere dir.
Danke, Peter! Habe auch eine Weile getüftelt, bis ich das Sternchen und die zahlen soll schön konstruiert hatte 😃. Man könnte auch sagen, „komponiert“ hatte 🤩. Das macht richtig viel Spaß!!
@@magdaliebtmathe Ich hätte auch nicht alle zählen müssen, sondern mich mehr auf die Aufgabe von vor 12 Tagen konzentrieren solle, die du uns gestellt hast. Also da war das grüne Dreieck 1/3 des großen. Das grüne Dreieck zerleg ich in 9 kleine und die entsprechen 1/3, das heisst eines ist 1/3 durch 9 gleich 1/27 vom großen. Jetzt legt man ein zweites grünes Dreieck darüber, so dass drei kleine Dreiecke drüber schauen. Das sind dann im Stern 12 Dreiecke und nach dem Dreisatz macht dies 12/27 des Großen. (Nannten meine Kollegen "Lineare Propotionalität", aber da bin ich altmodisch). So und dann multiplizieren wir das mit der Flächenformel, die du am Anfang angegeben hast und voila dann haben wir's.
Könnte man übrigens ein schönes Puzzle für Kinder machen können. Ein paar von den kleinen Dreiecken liegen sozusagen halbiert vor.
@@fahrrad1950 Jaaa! Oft bauen die Videos aufeinander auf 😃🍀. So ist das in Mathe 😋. Und die Kongruenzen sind tatsächlich wie kleine Zaubertricks für Kinder. Habe ich immer gern mit den Kleinen gemacht, als ich noch vor Ort in einer Schule gearbeitet hab 🧚🏻♂️.
Lösbar, auch wenn man nur mit Pythagoras arbeitet. Aber ziemlich unschön und man kann nicht so "einfache" Zahlen schreiben, sondern muss mit Dezimalstellen arbeiten und das Ergebnis ist auch nicht so schick...
Also gut, die Tipps vereinfachen das schon ziemlich :)
Haha, jaaa, die schicken Ergebnisse bekommt man meist nur wenn man mit exakten und nicht-gerundeten Werten arbeitet 😃😃.